第6章 一元一次方程
教材简析
本章的内容包括：一元一次方程的相关概念及其解法；利用一元一次方程分析与解决实际问题．方程是一种重要的描述现实世界的数学模型．教材以实际问题为主线引入方程和方程的解的概念，探索等式的性质以及解一元一次方程，然后通过实践与探索，经历“问题情境——建立数学模型——解答——应用与拓展”的过程，体会数学建模思想．一元一次方程是中考的必考内容，题型主要是选择题和填空题，也有少量的解答题．主要考查一元一次方程的解的意义的理解、解一元一次方程以及列一元一次方程解决实际问题．贴近生活、具有时代气息的一元一次方程应用题是历年各地中考的热点题型之一。
教学指导
【本章重点】
一元一次方程的解及应用．
【本章难点】
列一元一次方程解决实际问题，提高数学应用能力．
【本章思想方法】
1．区分解方程中的两种变形．一是“同解变形”，变形的实质是“形变解不变”；另一种是“恒等变形”，变形的实质是“形变值不变”．
2．掌握方程思想．方程思想在本章内容的体现主要是列方程解决实际问题．解决问题的思路是分析题意，找出题目中的相等关系，列出一元一次方程，解方程，得出答案．
课时计划
6．1 从实际问题到方程1课时
6．2 解一元一次方程6课时
6．3 实践与探索3课时
6．1 从实际问题到方程
教学目标
一、基本目标
1．理解方程及方程的解的概念．
2．掌握检验某个值是不是方程的解的方法．
二、重难点目标
【教学重点】
根据实际问题中的等量关系，了解方程及方程的解的概念．
【教学难点】
会用方程描述具体问题中的数量关系和变化规律，建立数学模型．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P2～P3的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．含有未知数的等式叫做方程.
2．完成下面各题．
(1)某校七年级328名师生乘车外出春游，已有2辆校车共可乘坐64人，还需租用44座的客车多少辆？
解：设需要租用客车x辆，共可乘坐44x人．列方程为44x＋64＝328.
(2)在课外活动中，张老师发现同学们的年龄基本都是13岁，就问同学们：“我今年45岁，经过几年后你们的年龄整好是我年龄的？”
解：设经过x年后同学的年龄是老师年龄的，而经过x年后同学的年龄是(13＋x)岁，老师的年龄是(45＋x)岁．列方程为13＋x＝(45＋x).
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】根据题意设未知数，并列出方程(不必求解)．
(1)有两个工程队，甲队有30人，乙队有10人，问怎样调整两队的人数，才能使甲队的人数是乙队人数的7倍；
(2)七(1)班的同学准备去划船，租了若干条船，他们计算了一下，如果比原计划多租1条船，那么正好每条船坐6人；如果比原计划少租1条船，那么正好每条船坐9人．问这个班共有多少名同学？
【互动探索】(引发学生思考)根据实际问题列方程的步骤有哪些？题目中有哪些等量关系？
【解答】(1)设从乙队调x人去甲队，则乙队现在有(10－x)人，甲队有(30＋x)人．根据甲队的人数是乙队人数的7倍列出方程如下：
30＋x＝7(10－x)．
(2)设这个班共有x名同学，则原计划租船可表示为条或条，由此联立可得如下方程：
－1＝＋1.
【互动总结】(学生总结，老师点评)根据题意列方程的一般步骤：(1)弄清题意和其中的数量关系，用字母表示适当的未知数；(2)找出题目中有关数量的相等关系；(3)用代数式表示出这个等量关系中涉及的量，根据等量关系得到方程．
【例2】检验2,1,0三个数是否为方程3(x＋1)＝2(2x＋1)的解．
【互动探索】(引发学生思考)判断一个数是不是原方程的解，必须用这个数替换方程中的未知数，并计算方程左、右两边的值是否相等．
【解答】将x＝2分别代入原方程左、右两边，左边＝3×(2＋1)＝9，右边＝2×(2×2＋1)＝10.因为左边≠右边，所以x＝2不是原方程的解．
将x＝1分别代入原方程左、右两边，左边＝3×(1＋1)＝6，右边＝2×(2×1＋1)＝6.因为左边＝右边，所以x＝1是原方程的解．
将x＝0分别代入原方程左、右两边，左边＝3×(0＋1)＝3，右边＝2×(2×0＋1)＝2.因为左边≠右边，所以x＝0不是原方程的解．
【互动总结】(学生总结，老师点评)使方程左、右两边相等的未知数的值称为方程的解．检验方程的解的步骤：(1)将数值分别带入原方程的左、右两边进行计算；(2)比较方程左、右两边的值；(3)下结论，若方程左右两边的值相等，则该数是方程的解；反之则不是方程的解．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列式子是方程的有 ( B )
35＋24＝59；3x－18>33；2x－5＝0；＋15＝0.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．小明准备为希望工程捐款，他现在有20元，以后每月打算存10元，若设x月后他能捐出100元，则下列所列方程正确的是 ( A )
A．10x＋20＝100 B．10x－20＝100
C．20－10x＝100 D．20x＋10＝100
3．检验下列数值是不是方程的解．
(1)3y－1＝2y＋1(y＝2；y＝4)；
(2)3(x＋1)＝2x－1(x＝2；x＝－4)．
解：(1)y＝2是方程3y－1＝2y＋1的解；y＝4不是方程3y－1＝2y＋1的解． (2)x＝2不是方程3(x＋1)＝2x－1的解；x＝－4是方程3(x＋1)＝2x－1的解．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
方程
练习设计
请完成本课时对应练习！
第6章 一元一次方程
6.1 从实际问题到方程
1.初步学会如何寻找问题中的相等关系，列出
方程.（难点）
2.理解方程、方程的解等概念.（重点）
问题1 某校七年级328名师生乘车外出春游，已有2辆校车可乘坐64人，还需租用44座的客车多少辆？
想一想：这个问题是我们在生活中碰到的实际问题，你能利用所学的知识来解决吗？
完成下列问题:
1. 一本笔记本1.2元，买x本需要 元.
2. 一支铅笔a元，一支钢笔b元，小强买两支铅笔和三
支钢笔，一共需要 元.
3. 长方形的宽为a,长比宽长3，则该长方形的 面积为
_________.
4. x辆44座的汽车加上2辆23座的汽车最多可以坐
__________人.
1.2x
2a+3b
a(a+3)
44x+64
通过上面的练习回顾，可设租用客车x辆，共可乘坐44x人，加上乘坐校车在64人，就是全体的328人.可得出等式
44x+64=328
问题1 某校七年级328名师生乘车外出春游，已有2辆校车可乘坐64人，还需租用44座的客车多少辆？
含有未知数的等式叫做方程.
①
②
小学我们已经学过简易方程，那么方程是如何定义的呢？
判断下列各式是不是方程，是的打“√”，不是的打“×”.
(1) -2+5=3 ( ) (2) 3x-1=7 ( )
(3) 2a+b ( ) (4) x﹥3 ( )
(5) x+y=8 ( ) (6) 2x2-5x+1=0 ( )
√
×
√
×
√
×
练一练：
比较：列算式和列方程
从算式到方程是数学的进步！
列算式:列出的算式表示解题的计算过程, 只能用 已知数.对于较复杂的问题,列算式比较困难.
列方程:方程是根据题中的等量关系列出的等式. 既可用已知数,又可用未知数,解决问题比较方便.
根据下列问题，设未知数并列出方程.
(1)用一根长24 cm的铁丝围成一个正方形，正
方形的边长是多少？
解：设正方形的边长为x cm.
等量关系：正方形边长×4=周长.
列方程： .
x
例1
(2)一台计算机已使用1700 h，预计每月再使用150 h，
经过多少个月这台计算机的使用时间达到规定的
检修时间2450 h？
解：设x个月后这台计算机的使用时间达到2450 h
等量关系：已用时间+再用时间=检修时间.
列方程 ： .
根据下列问题，设未知数并列出方程.
例1
(3)某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，
这个学校有多少学生？
解：设这个学校的学生数为x，那么女生数为0.52x，
男生数为(1－0.52)x.
等量关系：女生人数－男生人数=80
列方程：0.52x－(1－0.52)x=80
根据下列问题，设未知数并列出方程.
例1
（1）怎样将一个实际问题转化为方程问题？
（2）列方程的依据是什么？
实际问题
设未知数列方程
方程
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法.
抓关键句子找等量关系
想一想？
问题2 在课外活动中，张老师发现同学们的年龄大多是13岁。就问同学：“我今年45岁，几年以后你们的年龄是我年龄的三分之一？”
一年后年龄：老师 46岁，同学 14岁
二年后年龄：老师 47岁，同学 15岁
三年后年龄：老师 48岁，同学 16岁
分析：
（45+x）= 3（ 13+x ）
13+x
45+x
通过刚才的分析方法可以启发我们，只要将x=1，2，3，4等等代入方程的左右两边，使得两边相等的那个数就是方程的解，这里 x=3 是方程的解.
１.将数值代入方程左边进行计算，
２.将数值代入方程右边进行计算，
３.若左边＝右边，则是方程的解，反之，则不是．
★判断一个数值是不是方程的解的步骤：
以下各方程后面的括号内分别给出了一组数，从中找出方程的解。
（1）6x+2=14 (0,1,2,3)
（2）10=3x+1 (0,1,2,3)
（3）2x－4=12 (4,8,12)
x=2
x=3
x=8
例2
3.“一个数比它的相反数大4”，若设这个数是x,则
可列出关于x的方程为（ ）
A. x=－x+4 B. x=－x+（－4 ）
C. x=－x－（－4 ） D. x+(－x)=4
1. 方程2(x+3)=x+10的解是 ( )
A. x=3 B. x=－3 C. x=4 D. x=－4
2. 已知x=2是方程2(x－3)+1=x+m的解，则m=（ ）
A. 3 B.2 C. －3 D. －2
C
C
A
4.A种饮料比B种饮料的单价少1元，小峰买了2瓶A种
饮料和3瓶B种饮料，一共花了13元，如果设B种饮
料的单价为x元/瓶，可列方程为_________________.
2(x－1)＋3x＝13
从实际问题到方程
方程的定义
列方程
方程的解
