第6章 一元一次方程
6.2.1 等式的性质与方程的简单变形
第1课时 等式的性质
1.理解等式的基本性质；
2.能利用等式性质对等式进行变形.（重点、难点）
想一想：要让天平平衡应该满足什么条件？
问题1 对比天平与等式，你有什么发现？
等号成立就可看作是天平保持两边平衡！
问题2 观察天平有什么特性？
天平两边同时加入相同质量的砝码
天平仍然平衡
天平仍然平衡
天平两边同时
天平仍然平衡
加入
拿去
相同质量的砝码
两边同时 相同的
等式
加上
减去
数(或式)
结果仍是等式
等式性质1:
等式两边同时加(或减)同一个数(或整式)，所得结果仍是等式.
几何符号：如果a = b，那么
a +c= b+c，a－c=b－c .
由天平性质看等式性质2
等式两边同时乘(或除以)同一个数(或式)(除数或除式不能为0)，所得结果仍是等式.
等式性质2：
ac=bc
几何符号：如果a = b，那么
（1）如果a+2 = b+7,那么a= ；
解：因为a+2=b+7 ，由等式性质1可知，
等式两边都减去2，得
a + 2 - 2 = b + 7 -2，
即 a = b + 5 .
b + 5
（2）如果3x = 9y，那么 x= ；
3y
2b
请在括号中写出下列等式变形的理由：
（1）如果 a-3=b+4，那么a=b+7 ( )；
（2）如果 3x=2y，那么 ( )；
等式性质1
等式性质2
（3）如果 ，那么x=2y ( )；
等式性质2
（4）如果2a+3=3b-1，那么2a-6=3b-10 ( ).
等式性质1
练一练
判断下列等式变形是否正确，并说明理由.
（1）如果a-3=2b-5,那么a=2b-8；
（2）如果 ，那么 10x-5=16x-8.
解:（1）错误. 由等式性质1可知，等式两边都
加上3 得 a-3+3=2b-5+3，即a = 2b - 2 .
例2
判断下列等式变形是否正确，并说明理由.
（1）若 ，则a+3=3b-3；
不正确，应该是 a+9=3b-3.
（2）若 2x-6=4y-2，则 x-3=2y-2.
不正确，应该是 x-3=2y-1.
练一练
2.下列变形中，不正确的是（ ）
由y+3=5，得y=5－3
由3y=4y+2，得3y－4y=2
由y=－2y+1，得y+2y=1
由－y=6y+3，得y－ 6y=3
1.如果ac=ab,那么下列等式中不一定成立的是（ ）
A. ac－1=ab－1 B. ac+a=ab+a
C. －3ac=－3ab D. c=b
D
D
4.下列结论中不能由a+b=0得到的是（ ）
A. B.
C. a=0，b=0 D.
3.下列等式变形正确的是（ ）
A. 若x=y，则
B.若a=b，则a－3=3－b
C.若2πR=2πr，则R=r
D.若 ，则a=c
C
C
等式的性质
等式的性质1，2
利用等式性质对等式进行变形
6．2 解一元一次方程
6．2.1 等式的性质与方程的简单变形
第1课时 等式的性质
教学目标
一、基本目标
1．了解等式的两条性质．
2．会用等式的性质将等式进行简单的变形．
二、重难点目标
【教学重点】
理解和应用等式的性质．
【教学难点】
会运用等式的性质进行简单的变形．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P4～P5的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．等式的性质
等式的性质1：等式两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.符号语言：如果a＝b，那么a＋c＝b＋c，a－c＝b－c.
等式的性质2：等式两边都乘(或都除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式.符号语言：如果a＝b，那么ac＝bc，＝(c≠0).
2．已知a＝b，请用“＝”或“≠”填空：
(1)3a＝3b； (2)＝； (3)－5a＝－5b.
3．下列说法正确的是 ( B )
A．在等式ab＝ac两边都除以a，可得b＝c
B．在等式a＝b两边都除以c2＋1，可得＝
C．在等式＝两边都除以a，可得b＝c
D．在等式2x＝2a－b两边都除以2，可得x＝a－b
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】说一说下面的变形是根据等式的哪条性质及怎样变形得到的？
(1)如果2x＋7＝10，那么2x＝10－7；
(2)如果5x＝4x＋7，那么5x－4x＝7；
(3)如果－3x＝18，那么x＝－6.
【互动探索】(引发学生思考)等式的性质有哪些？
【解答】(1)等式性质1，两边减去7.
(2)等式性质1，两边减去4x.
(3)等式性质2，两边除以－3.
【互动总结】(学生总结，老师点评)等式两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式两边都乘(或都除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列等式变形错误的是 ( B )
A．若x－1＝3，则x＝4
B．若x－1＝x，则x－1＝2x
C．若x－3＝y－3，则x－y＝0
D．若3x＋4＝2x，则3x－2x＝－4
2．若x＝y，且a≠0，则下面各式中不一定正确的是 ( D )
A．ax＝ay B．x＋a＝y＋a
C.＝ D.＝
3．已知m＋a＝n＋b，根据等式的性质变形为m＝n，那么a、b必须符合的条件是 ( C )
A．a＝－b
B．－a＝b
C．a＝b
D．a、b可以是任意有理数或整式
4．在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明根据的是等式的哪一条性质以及是怎样变形的．
(1)如果－＝，那么x＝－2y，根据等式的性质2，两边乘－10；
(2)如果－2x＝2y，那么x＝－y，根据等式的性质2，两边除以－2；
(3)如果x＝4，那么x＝6，根据等式的性质2，两边乘；
(4)如果x＝3x＋2，那么x－3x＝2，根据等式的性质1，两边减3x.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】 已知3b－2a－1＝3a－2b，试利用等式的性质比较a与b的大小．
【互动探索】要比较a与b的大小，可以对等式化简，再利用作差法比较两个数的大小．
【解答】根据等式的性质1，等式两边都减去3a－2b－1，得5b－5a＝1.
根据等式的性质2，等式两边都除以5，得b－a＝，
则有b>a.
【互动总结】(学生总结，老师点评)运用等式的基本性质1时，一定要注意条件“同时”和“同一个”；运用等式的性质2时，除了要注意“同时”和“同一个”外，还要注意除数不能为0.
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
等式的性质
等式的其他性质：(1)若a＝b，则b＝a(对称性)； (2)若a＝b，b＝c，则a＝c(传递性)； (3)若a＝b，c＝d，则a±c＝b±d，ac＝bd，＝(c＝d≠0)；(4)若a＝b，则an＝bn.
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时 方程的简单变形
教学目标
一、基本目标
1．理解并掌握方程的两个变形规则．
2．运用方程的两个变形规则解简单的方程．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握方程的两个变形规则．
【教学难点】
会运用方程的变形规则解简单方程．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P5～P7的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．由等式的基本性质，可以得到方程的变形规则：
(1)方程两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式，方程的解不变；
(2)方程两边都乘(或都除以)同一个不等于0的数，方程的解不变．
2．将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，像这样的变形叫做移项.
3．将方程的两边都除以未知数的系数，像这样的变形通常称作“将未知数的系数化为1”．
4．解方程20－3x＝5时，移项后正确的是 ( B )
A．－3x＝5＋20 B．20－5＝3x
C．3x＝5－20 D．－3x＝－5－20
5．解下列方程：
(1)x＋7＝26；
(2)－5x＝20；
(3)9x＝8x－4.
解：(1)x＝19. (2)x＝－4. (3)x＝－4.
教师点拨：注意运用方程的变形规则对方程进行逐步变形，最终可变形为“x＝a”的形式．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】解方程：
(1)x－5＝－2； (2)3x＝2x－5；
(3)－3x＝15； (4)x＝.
【互动探索】(引发学生思考)利用方程的变形规则将方程逐渐化为“x＝a”的形式．
【解答】(1)方程两边都加5，得x＝3.
(2)方程两边都减2x，得x＝－5.
(3)方程两边都除以－3，得x＝－5.
(4)方程两边都乘2，得x＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用方程的变形规则解方程时，要注意方程两边“同时”加、减、乘、除．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．解方程－x＝时，应在方程两边 ( C )
A．同乘－ B．同除以
C．同乘－ D．同除以
2．利用等式的性质解方程＋1＝2的结果是 ( A )
A．x＝2 B．x＝－2
C．x＝4 D．x＝－4
3．方程x－5＝0的解是x＝5.
4．由2x－1＝0得到x＝，可分两步，按步骤完成下列填空：
第一步：根据等式的性质1，等式两边加1，得到2x＝1；
第二步：根据等式的性质2，等式两边除以2，得到x＝.
5．利用等式的性质解方程：
(1)8＋x＝－5；
(2)4x＝16；
(3)3x－4＝11.
解：(1)方程两边减8，得x＝－13.
(2)方程两边除以4，得x＝4.
(3)方程两边加4，得3x＝15.两边除以3，得x＝5.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】能不能从(a＋3)x＝b－1得到x＝，为什么？反之，能不能从x＝得到等式(a＋3)x＝b－1，为什么？
【互动探索】方程的变形规则有哪些？需要注意什么？
【解答】当a＝－3时，从(a＋3)x＝b－1不能得到x＝，因为0不能为除数．而从x＝可以得到等式(a＋3)x＝b－1，这是根据等式的性质2，且从x＝可知，a＋3≠0.
【互动总结】(学生总结，老师点评)运用方程的变形规则求解方程时，注意除数不能为0.
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
方程的变形规则：
(1)方程两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式，方程的解不变；
(2)方程两边都乘(或都除以)同一个不等于0的数，方程的解不变．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第3课时 解方程
教学目标
一、基本目标
1．进一步熟悉方程的两个变形规则及解方程的两个重要步骤．
2．引导学生自主探索复杂方程的解法，体会方程不同解法中所蕴含的转化思想．
二、重难点目标
【教学重点】
让学生经历自主探索解方程的每一步变形依据，归纳解方程的一般步骤．
【教学难点】
灵活运用方程的变形规则解方程．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P7～P8的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．解方程的一般步骤：(1)移项；(2)合并同类项；(3)系数化为1.
2．合并同类项的法则：同类项的系数相加，字母连同它的指数不变.
3．解形如ax＋bx＝c的一元一次方程先合并同类项，再将系数化为1.
4．方程3x＋1＝7的解是x＝2.
5．若x＝1是关于x的方程3n－＝1的解，则n＝.
6．解下列方程：
(1)－3x＋7＝1； (2)－－3＝9；
(3)x－＝； (4)3x＋7＝2－2x.
解：(1)x＝2. (2)y＝－24. (3)x＝.
(4)x＝－1.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】解下列方程：
(1)x－2018＝82－5x；
(2)－2x＋3.5＝3x－8.
【互动探索】(引发学生思考)解简单的方程的步骤有哪些？移项的关键是什么？
【解答】(1)移项，得x＋5x＝82＋2018.
合并同类项，得6x＝2100.
系数化为1，得x＝350.
(2)移项，得－2x－3x＝－8－3.5.
合并同类项，得－5x＝－11.5.
系数化为1，得x＝2.3.
【互动总结】(学生总结，老师点评)移项是解方程的关键步骤，移项时，一般把含有未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边，注意移项时一定要变号．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列各式的变形中，错误的是 ( C )
A．由7x－6x＝1，得x＝1
B．由3x－4x＝10，得－x＝10
C．由x－2x＋4x＝15，得x＝15
D．由－7y＋y＝6，得－6y＝6
2．已知关于x的方程4x－3m＝2的解是x＝m，则m的值是 ( A )
A．2 B．－2
C． D．－
3．一个两位数，个位上的数字是十位上数字的3倍，两个数字的和是12，这个两位数是39.
4．解下列方程：
(1)x－2＝3－x； (2)－x＝1－2x；
(3)5＝5－3x； (4)x－2x＝1－x；
(5)x－3x－1.2＝4.8－5x.
解：(1)x＝. (2)x＝1. (3)x＝0.
(4)x＝－3. (5)x＝2.
5．有只狡猾的狐狸，它平时总喜欢戏弄人，有一天它遇见了老虎，狐狸说：“我发现2和5是可以一样大的，我这里有一个方程5x－2＝2x－2.
方程两边同时加上2，得
5x－2＋2＝2x－2＋2.①
即5x＝2x.
方程两边同时除以x，得5＝2.②”
老虎瞪大了眼睛，听傻了．
你认为狐狸的说法正确吗？如果正确，请说明上述①、②步的理由；如果不正确，请指出错在哪里？并加以改正．
解：不正确．①正确，运用了等式的性质1.②不正确，因为方程两边同时除的数不能为0.由5x＝2x，两边同时减去2x，得5x－2x＝0，即3x＝0，所以x＝0.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】有一些分别标有6,12,18,24，…的卡片，后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大6，小彬拿了相邻的3张卡片．
(1)若这些卡片上的数字之和为342，小彬拿了哪3张卡片？
(2)这3张卡片上的数的和能为86吗？如果能，请求出这3张卡片上的数各是多少；如果不能，请说明理由．
【互动探索】(1)根据题意列方程即可求得所拿卡片；(2)假设这三个数字的和能为86，利用方程的解进行判断假设是否正确．
【解答】(1)设小彬拿到相邻的3张卡片上的数分别为x－6，x，x＋6.
根据题意，得x－6＋x＋x＋6＝342，
解得x＝114，
所以x－6＝108，x＋6＝120.
即小彬拿到相邻的3张卡片上的数分别为108,114,120.
(2)假设能拿到和为86的3张卡片，设这3张卡片上的数分别为y－6，y，y＋6.
则有y－6＋y＋y＋6＝86，
解得y≈28.67，
显然不符合题意，说明上述假设不成立．
所以这3张卡片上的数的和不能为86.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解答本题的关键是由后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大6的特点，设出未知数，然后根据每一问中的具体等量关系列出方程求解．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
解方程的步骤
练习设计
请完成本课时对应练习！
6．2.2 解一元一次方程
第1课时 解一元一次方程(一)
教学目标
一、基本目标
1．了解一元一次方程的概念．
2．掌握含有括号的一元一次方程的解法．
3．熟练地运用去括号法则解带有括号的方程．
二、重难点目标
【教学重点】
了解一元一次方程的概念．
【教学难点】
会解含有括号的一元一次方程．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P9～P10的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，像这样的方程叫做一元一次方程．
2．当方程中含有括号时，在解方程的过程中把方程含有的括号去掉的过程叫做去括号.
3．方程中的去括号法则与整式运算中的去括号法则相同，它的依据是乘法分配律．
4．去括号法则：
(1)将括号外的因数连同前面的符号看作一个整体，按乘法分配律与括号内的各项相乘；
(2)若括号外的因数是正数时，去括号后，原括号内各项的符号不变；
(3)若括号外的因数是负数时，去括号后，原括号内各项的符号要变号.
5．对于方程2(2x－1)－(x－3)＝1，去括号正确的是 ( D )
A．4x－1－x－3＝1 B．4x－1－x＋3＝1
C．4x－2－x－3＝1 D．4x－2－x＋3＝1
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】下列方程：①x－2＝；②0.3x＝1；③＝5x＋1；④x2－4x＝3；⑤x＝6；⑥x＋2y＝0.其中一元一次方程的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【互动探索】(引发学生思考)①x－2＝分母含有未知数，是分式方程，故①不符合；
②0.3x＝1，即0.3x－1＝0，符合一元一次方程的定义；
③＝5x＋1，即9x＋2＝0，符合一元一次方程的定义；
④x2－4x＝3的未知数的最高次数是2，它属于一元二次方程，故④不符合；
⑤x＝6，即x－6＝0，符合一元一次方程的定义；
⑥x＋2y＝0中含有2个未知数，属于二元一次方程，故⑥不符合．
综上所述，一元一次方程的个数是3.
【答案】B
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要考查了一元一次方程的定义．一元一次方程必须满足的条件：(1)是整式，即分母中不含有未知数；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的次数都是1，且系数不为0.
【例2】解下列方程：
(1)10－4(x＋3)＝2(x－1)；
(2)2(y－3)－(4y－1)＝6(1－y)．
【互动探索】(引发学生思考)由方程特点，运用去括号法则解方程．
【解答】(1)去括号，得10－4x－12＝2x－2.
移项，得－4x－2x＝－2－10＋12.
合并同类项，得－6x＝0.
系数化为1，得x＝0.
(2)去括号，得2y－6－4y＋1＝6－6y.
移项，得2y－4y＋6y＝6＋6－1.
合并同类项，得4y＝11.
系数化为1，得y＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解方程的基本程序又多了一步“去括号”．解含括号的一元一次方程的基本步骤：①去括号；②移项；③合并同类项；④未知数的系数化为1.
活动2 巩固练习(学生独学)
1．将方程2x－3(4－2x)＝5去括号，正确的是 ( C )
A．2x－12－6x＝5 B．2x－12－2x＝5
C．2x－12＋6x＝5 D．2x－3＋6x＝5
2．方程2(x－3)＋5＝9的解是 ( B )
A．x＝4 B．x＝5
C．x＝6 D．x＝7
3．解方程4(x－1)－x＝2步骤如下：①去括号，得4x－1－x＝2x＋1；②移项，得4x－2x－x＝1＋1；③合并同类项，得x＝2，其中做错的一步是 ( A )
A．① B．②
C．③ D．①②
4．判断下列哪些是一元一次方程？
(1)x＝；
(2)3x－2；
(3)x－＝－1；
(4)5x2－3x＋1＝0；
(5)2x＋y＝1－3y；
(6)＝5.
解：(1)(3)是一元一次方程．
(2)不是方程，是代数式．
(4)不是一元一次方程，方程中未知数x的次数是2.
(5)不是一元一次方程，方程中含有2个未知数．
(6)不是一元一次方程，不是整式．
5．解下列方程：
(1)2(x－3)＝5x；
(2)4x＋3(2x－3)＝12－；
(3)6＋2x＝7－；
(4)2－3(x＋1)＝1－2.
解：(1)x＝－2. (2)x＝. (3)x＝6.
(4)x＝0.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】某供电公司分时电价执行时段分为平、谷两个时段，平段为8：00～22：00,14小时，谷段为22：00～次日8：00,10小时．平段用电价格在原电价基础上每千瓦时上浮0.03元，谷段电价在原电价基础上每千瓦时下浮0.25元，小明家5月份实用平段电量40千瓦时，谷段电量60千瓦时，按分时电价付费42.73元．
(1)平段、谷段电价每千瓦时各为多少元？
(2)如不使用分时电价结算，5月份小明家将多支付电费多少元？
【互动探索】(1)本题中存在的等量关系是：小明家支付平段用电费用＋谷段用电费用＝42.73元； (2)求出原售电价，已知5月份的用电量，就比较容易求出不使用分时电价结算，5月份小明家将支付的电费．
【解答】(1)设原电价为每千瓦时x元．
根据题意，得40×(x＋0.03)＋60×(x－0.25)＝42.73.
去括号，得40x＋1.2＋60x－15＝42.73.
移项、合并同类项，得100x＝56.63.
化系数为1，得x＝0.5653.
当x＝0.5653时，x＋0.03＝0.5953，x－0.25＝0.3153.
即平段电价为每千瓦时0.5953元，谷段电价为每千瓦时0.3153元．
(2)100×0.5653－42.73＝13.8(元)．即如不使用分时电价结算，小明家5月份将多支付13.8元．
【互动总结】(学生总结，老师点评)正确找出题目中的等量关系是列方程解应用题的关键．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
一元一次方程
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时 解一元一次方程(二)
教学目标
一、基本目标
1．会解含有分母的一元一次方程．
2．对于求解较复杂的方程，要自觉反思求解的过程和自觉检验方程的解是否正确的良好习惯．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握解含分母的一元一次方程的方法．
【教学难点】
总结解一元一次方程的一般步骤，并能正确的求解一元一次方程．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P10～P11的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．方程中的系数为分数时，根据等式的性质2，将含分数系数的方程两边都乘同一个数(所有分母的最小公倍数)，使方程中的分母为1，约去分母的过程叫做去分母.
2．方程中含有分母，解方程时，一般先去分母，再进行其他变形．去分母时方程的两边应同乘各分母的最小公倍数.
3．解方程：3x＋＝－.
解：方程两边都乘12，去分母，得12×3x＋6(x－1)＝3(x＋1)－4(2x－1)．
去括号，得36x＋6x－6＝3x＋3－8x＋4.
移项，得36x＋6x－3x＋8x＝3＋4＋6.
合并同类项，得47x＝13.
系数化为1，得x＝.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】解方程：－＝1.
【互动探索】(引发学生思考)解方程的一般步骤是什么？
【解答】去分母，得4(x＋1)－(4－3x)＝8.
去括号，得4x＋4－4＋3x＝8.
移项、合并同类项，得7x＝8.
系数化为1，得x＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数；(2)去括号：根据去括号法则，依次去小括号、中括号、大括号；(3)移项：将方程的项改变符号后，从方程的一边移到另一边；(4)合并同类项：利用合并同类项的法则，将方程化为ax＝b的形式(a≠0)；(5)系数化为1：将方程的两边都除以未知数的系数，得到方程的解．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．方程3－＝0可以变形为 ( C )
A．3－1－x＝0
B．6－1－x＝0
C．6－1＋x＝0
D．6－1＋x＝2
2．解方程－＝1的结果是 ( D )
A．x＝ B．x＝－
C．x＝ D．x＝－
3．若式子4x－5与的值相等，则x的值是 ( B )
A．1 B.
C. D．2
4．解下列方程：
(1)－＝1； (2)＝1－.
解：(1)x＝－9. (2)x＝1.
5．当x取何值时，代数式－x的值比代数式－3的值小1?
解：根据题意，得－x＝－3－1.去分母，得5x－2－8x＝4x＋44－32.移项、合并同类项，得－7x＝14.系数化为1，得x＝－2.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/小时，顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时．
(1)求无风时飞机的飞行速度；
(2)求两城之间的距离．
【互动探索】应先设出飞机在无风时的速度，由此可知在顺风时的飞行以及在逆风时的飞行速度，又已知了顺风飞行和逆风飞行所用的时间，再根据路程相等，列出方程，求解即可．
【解答】(1)设无风时飞机的飞行速度为x千米/小时．
根据题意，得(x＋24)×2＝(x－24)×3，
解得x＝840，
即无风时飞机的飞行速度为840千米/小时．
(2)由(1)可知，两城之间的距离为(840－24)×3＝2448(千米)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查一元一次方程的实际运用，关键在于根据飞机在顺风时的速度为风速加上在无风中的速度，飞机在逆风中的速度等于在无风中的速度减去风速，列出等式．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
解一元一次方程的步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.
练习设计
请完成本课时对应练习！
第3课时 解一元一次方程(三)
教学目标
一、基本目标
1．理解一元一次方程解简单应用题的方法和步骤．
2．会列一元一次方程解简单应用题．
二、重难点目标
【教学重点】
弄清应用题题意并列出方程．
【教学难点】
会用一元一次方程解决实际问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P11～P13的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．天平的两个盘内分别盛有51 g和45 g的盐，其中盘A盛有51 g，盘B盛有45 g，问应从盘A中拿出多少盐放到盘B中，才能使两者所盛盐的质量相等？
分析：本题的等量关系：盘A现有盐的质量＝盘B现有盐的质量.设应从盘A中拿出x克盐放到盘B中，则
盘A 盘B
原有盐(g) 51 45
现有盐(g) 51－x 45＋x
列出方程为51－x＝45＋x.解得x＝3.
故应从盘A中拿出3 g盐放到盘B中，才能使两者所盛盐的质量相等．
2．学校团委组织65名新团员为学校建花坛搬砖．女同学每人每次搬6块，男同学每人每次搬8块，每人各搬了4次，共搬了1800块．问这些新团员中有多少名男同学？
分析：本题的等量关系：男同学的搬砖数＋女同学的搬砖数＝搬砖总数.设新团员中有x名男同学，则
男同学 女同学 总数
参加人数(名) x 65－x 65
每人搬砖数(块) 8×4 6×4
共搬砖数(块) 32x 24(65－x) 1800
列出方程为32x＋24(65－x)＝1800.解得x＝30.
故这些新团员中有30名男同学．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】有一位工人师傅要锻造底面直径为40 cm的“矮胖”形圆柱，可他手上只有底面直径是10 cm，高为80 cm的“瘦长”形圆柱，试帮助这位师傅求出“矮胖”形圆柱的高．
【互动探索】(引发学生思考)题中的等量关系：锻造前的体积＝锻造后的体积．
【解答】设锻造成“矮胖”形圆柱的高为x cm.
根据题意，得π·2·80＝π·2·x.
解得x＝5.
即“矮胖”形圆柱的高为5 cm.
【互动总结】(学生总结，老师点评)圆柱的形状由“瘦长”变成“矮胖”，底面直径和高度都发生了变化，在不计损耗的情况下不变量是它们的体积，抓住这一不变量，就得到等量关系：锻造前的体积＝锻造后的体积．
【例2】在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量(每小时通过观测点的汽车车辆数)，三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：
甲同学说：“二环路车流量为每小时10 000辆．”
乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆．”
丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍．”
请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？
【互动探索】(引发学生思考)本题中的等量关系：三环路车流量的3倍－四环路车流量＝二环路车流量的2倍．
【解答】设三环路车流量为每小时x辆，那么四环路车流量为每小时(x＋2000)辆．
依题意，得3x－(x＋2000)＝2×10 000，
解得x＝11 000，
所以x＋2000＝13 000.
即三环路车流量为每小时11 000辆，四环路车流量为每小时13 000辆．
【互动总结】(学生总结，老师点评)用一元一次方程解决实际问题，关键在于抓住问题中的等量关系，列出方程．求得方程的解后，经过检验，得到实际问题的解答．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．顺安旅行社组织200人到怀集和德庆旅游，到德庆的人数比到怀集的人数的2倍少1人，到两地旅游的人数各是多少人？
解：设到怀集的旅游人数为x人，则到德庆旅游的人数为(2x－1)人．根据题意，得x＋2x－1＝200.解得x＝67，则2x－1＝133.即到怀集和德庆旅游的人数分别是67人，133人．
2．把若干块糖果分给若干个小朋友，若每人分3块，则多12块；若每人分5块，则少10块．求一共有多少个小朋友？多少块糖？
解：设一共有x个小朋友．根据题意，得5x－10＝3x＋12.解得x＝11.所以共有糖5x－10＝5×11－10＝55－10＝45(块)．即一共有11个小朋友，糖45块．
3．一个三位数，十位上的数字比个位上的数字多1，且是百位上的数字的4倍，百位上的数字与个位上的数字之和比十位上的数字大1，求这个三位数．
解：设十位上的数字为x.根据题意，得x－1＋＝x＋1.移项，得x＋－x＝1＋1.合并同类项，得＝2.系数化为1，得x＝8.所以个位上的数字为x－1＝8－1＝7，百位上的数字是＝＝2，则这个三位数是287.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】某中学组织七年级的同学去游玩，原计划租用45座客车(不包括司机)若干辆，但有15人没有座位，如果租用同样数量的60座客车(不包括司机)，则多出一辆且其余客车恰好坐满．则七年级有多少人？原计划租用45座客车多少辆？
【互动探索】本题中的等量关系为45×45座客车辆数＋15＝学生总数，60×(45座客车辆数－1)＝学生总数，据此可列方程组求出第一小题的解．
【解答】设原计划租用45座客车x辆，则七年级有(45x＋15)人．
根据题意，得45x＋15＝60(x－1)．
解得x＝5.
当x＝5时，45x＋15＝45×5＋15＝240.
即七年级有240人，原计划租用45座客车5辆．
【互动总结】(学生总结，老师点评)列方程解应用题的一般步骤：审题→找相等关系→设未知数→列方程→解方程→检验(不在解题过程中体现)→写出答案．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
用一元一次方程解实际问题
练习设计
请完成本课时对应练习！
6.2.1 等式的性质与方程的简单变形
第6章 一元一次方程
第3课时 利用方程的变形求方程的解
1.回顾移项的方法步骤.
2.学会用移项的方法解形如“ax+b=cx+d”的一元
一次方程.(重点）
(1)移项；
利用移项解方程的步骤：
(3)系数化为1.
(2)合并同类项；
请运用等式的性质解下列方程：
(1)4x － 15 = 9；
解：两边都减去 5x ,得
－3x=－21．
系数化为1，得
x = 6．
(2) 2x = 5x －21.
解:两边都加上 15 ,得
系数化为1，得
x = 7．
合并同类项 ,得
合并同类项 ,得
4x = 24．
2x = 5x – 21
4x – 15 = 9
4x= 9+15．
2x －5x = －21．
你能发现什么吗？
用移项解一元一次方程
例1
这 个变形相当于把
①中的 “– 15”这一项
由方程①
到方程 ② ,
“– 15”这项移动后，发生了什么变化?
从方程的左边移到了方程的右边.
改变了符号
－15
这个变形相当于把
③中的 “ 5x ” 这一项
由方程③
到方程 ④ ,
“ 5x ” 这项移动后，发生了什么变化?
改变了符号
从方程的右边移到了方程的左边.
5x
解方程：
解：移项，得
合并同类项 ,得
系数化为1，得
移项实际上是利用等式的性质1，但是解题步骤更为简捷！
例2
(1) 8x=2x－7; (2) 6=8+2x;
解：移项，得
8x－2x=－7,
即 6x=－7.
两边同时除以6，得
解：原方程即
8+2x=6.
移项，得
2x=－2.
两边同时除以2，得
x=－1.
解方程：
例3
(3)
解：移项，得
即
两边都除以 ，得
练一练
解下列方程：
（1） 2.5x+318 =1068；
（2） 2.4y + 2y+2.4 = 6.8.
x = 300
y = 1
解下列一元一次方程：
答案：(1) x=-2 (2) t=20
(3) x=-4 (4) x=2
解形如“ax+b=cx+d”的方程的一般步骤：
(1)移项；
(2)合并同类项；
(3)化未知数的系数为1.
第2课时 方程的简单变形
6.2.1 等式的性质与方程的简单变形
第6章 一元一次方程
1.正确理解和使用移项法则；（难点）
2.能利用移项求解一元一次方程.（重点）
等式性质1:
等式两边同时加(或减)同一个数(或式)，所得结果仍是等式.
即，如果a = b，那么
a +c= b+c，a－c=b－c .
等式两边同时乘(或除以)同一个数(或式)(除数或除式不能为0)，所得结果仍是等式.
等式性质2：
ac=bc
即，如果a = b，那么
请利用等式的性质，把方程
2345 + 12x = 5129
变形成x = a (其中a是已知数)的形式.
①
在方程①两边都减去2345，
得 2345+12x-2345= 5129-2345，
即 12x=2784. ②
方程②两边都除以12，得x=232 .
求方程的解的过程叫做解方程.(把方程化成x = a 的形式)
12x = 5129
-2345
在上面的问题中，我们根据等式性质1，在方程①两边都减去2345，相当于作了如下变形：
这个变形有什么特点？
把方程中的某一项改变________后，从________的一边移到________，这种变形叫做移项.
(1)移项的根据是等式的性质1.
(2)移项要变号，没有移动的项不改变符号.
(3)通常把含有未知数的项移到方程的左边，把常数
项(不含未知数的项)移到方程的右边.
移项要点：
符号
方程
另一边
(1)5＋x＝10移项得x＝ 10＋5 ；
(2)6x＝2x＋8移项得 6x＋2x ＝8；
(3)5－2x＝4－3x移项得3x－2x＝4－5；
(4)－2x＋7＝1－8x移项得－2x＋8x＝1－7.
×
×
√
√
10－5
6x－2x
下面的移项对不对？如果不对，应怎样改正？
练一练
1.移项时必须是从等号的一边到另一边，并且不
要忘记对移动的项变号，如从2＋5x＝7得到
5x＝7＋2是不对的．
2.没移项时不要误认为移项，如从－8＝x得到x＝8，
犯这样的错误，其原因在于对等式的对称性与移项
的区别没有分清．
解方程：
4x= 3x-4
4x
-3x
=
－4
4x = 3x －4
例1
解：
原方程为4x = 3x-4，
将同类项放在一起
合并同类项，得 x = -4.
移项，得 4x -3x = -4，
所以 x=-4是原方程的解.
检验：把x=-4分别代入原方程的左、右两边，
左边= 4×(-4)=-16，
右边= 3×(-4)-4=-16，
左边=右边，
进行检验
提示：以上解一元一次方程的检验过程可以省略.
解方程：
解：方程两边都除以 （或都乘以 ），得
即
例2
(1)移项；
利用移项解方程的步骤：
(3)系数化为1.
(2)合并同类项；
1.(1)由等式x－10=15的两边都______，得到等式x=25，
这是根据_______________；
（2）由等式 的两边都______，等到等式
x=_____，这是根______________.
加10
等式基本性质1
乘－3
等式基本性质2
D
D
（1）一般地,把方程中的某些项改变符号后,从方程
的一边移到另一边,这种变形叫做移项.
（2）移项的依据是等式的性质1.
1.移项
2.解形如“ax+b=cx+d”的方程的一般步骤：
(1)移项；
(2)合并同类项；
(3)化未知数的系数为1.
第6章 一元一次方程
6.2.2 解一元一次方程
第1课时 解含有括号的一元一次方程
1.理解一元一次方程概念及特点.(重点）
2. 了解“去括号”是解方程的重要步骤；
3.准确而熟练地运用去括号法则解带有括号的方
程.(难点、重点）
观察这两个方程
有什么共同特点?
一元一次方程的概念
问题 观察以下两个方程有什么共同特点?
只含有一个未知数,
（一元）
（一次）
未知数的次数都是1,
等号两边都是整式，
这样的方程叫做一元一次方程.
我们发现 ，
一元一次方程定义:
只含有一个未知数,并且含有未知数的式子都是整式,未知数的次数是1,这样的方程叫做一元一次方程.
注意以下三点：
（1）一元一次方程有如下特点：①只含有一个未知数；
②未知数的次数是1；③含有未知数的式子是整式.
（2）一元一次方程的最简形式为：ax=b(a≠0).
（3）一元一次方程的标准形式为：ax+b= 0
（其中x是未知数，a、b是已知数，并且(a≠0).
下列哪些是一元一次方程？
（1） ； （2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ．
（7）
练一练
√
√
利用去括号解一元一次方程
1.利用乘法分配律计算下列各式：
(1) 2(x+8)=
(2) -3(3x+4)=
(3) -7(7y-5)=
2x+16
-9x-12
-49y+35
2. 去括号:
(1) a + (– b + c ) =
(2) ( a – b ) – ( c + d ) =
(3) – (– a + b ) – c =
(4) – (2x – y ) – ( – x2 + y2 ) =
a-b+c
a-b-c-d
a-b-c
-2x+y+x2-y2
去括号法则：
去掉“+( )”，括号内各项的符号不变.
去掉“–( )”，括号内各项的符号改变.
用三个字母a、b、c表示去括号前后的变化规律:
a+(b+c)
a–(b+c)
= a+b+c
= a–b–c
解方程：3(x－2)+1=x－(2x－1)
3x－6+1=x－2x+1，
解：原方程的两边分别去括号，得
即 3x－5=－x+1
移项，得 3x+x=1+5
即 4x=6
两边都除以4，得
例1
解下列方程：
解：去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
例2
解：去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
移 项
合并同类项
系数化为1
去括号
通过以上解方程的过程，你能总结出解含有括号一元一次方程的一般步骤吗？
练一练
(1) 6x ＝－2(3x－5) ＋10; (2) －2(x＋5)=3(x－5)－6.
解下列方程
解:
6x＝－6x＋10＋10
6x +6x＝10＋10
12x＝20
－2x－10=3x－15－6
－2x－3x=－15－6＋10
－5x＝－11
解:
(1) 3x－5(x－3)=9－(x+4)
1.解下列方程．
x＝10
x＝14
2. 解一元一次方程的步骤：去括号→移项 → 合并同
类项 → 系数化为1
3. 如果括号外的因数是负数时，去括号后，原括号
内各项的符号要改变符号.
1.一元一次方程的概念
只含有一个未知数,并且含有未知数的式子都是整式,未知数的次数是1,这样的方程叫做一元一次方程.
第6章 一元一次方程
6.2.2 解一元一次方程
第2课时 利用去分母解一元一次方程
1.掌握含有分数系数的一元一次方程的解法.(重点）
2.熟练利用解一元一次方程的步骤解各种类型的方
程.（难点）
问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33，求这个数？
英国伦敦博物馆保存着一部极其珍贵的文物—纸莎草文书．现存世界上最古老的方程就出现在这部英国考古学家兰德1858年找到的纸草上．经破译，上面都是一些方程，共85个问题．其中有如下一道著名的求未知数的问题.
纸莎草文书
你能解决以上古代问题吗？
分析：你认为本题用算术方法解方便，还是用方程方法解方便？
请你列出本题的方程.
结论：设这个数是 x，则可列方程
你能解出这道方程吗？把你的解法与其他同学交流一下，看谁的解法好.
总结：像上面这样的方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化为整数，则可以使解方程中的计算更方便些.
解含分母的一元一次方程
2.去分母时要注意什么问题?
想一想
1.若使方程的系数变成整系数方程，方程两边应
该同乘以什么数?
系数化为1
去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数）
移项
合并同类项
去括号
注意:(1)为什么同乘各分母的最小公倍数6；
(2)小心漏乘,记得添括号
例1
解下列方程：
解：去分母(方程两边乘4)，得
2(x+1) －4=8+ (2 －x)
去括号，得 2x+2 －4=8+2 －x
移项，得 2x+x =8+2 －2+4
合并同类项，得 3x = 12
系数化为1，得 x = 12
例2
解：去分母(方程两边乘6)，得
18x+3(x－1) =18－2 (2x －1)
去括号，得
18x+3x－3 =18－4x +2
移项，得
18x+3x+4x =18 +2+3
合并同类项，得
25x = 23
系数化为1，得
下列方程的解法对不对？如果不对，你能找出错在哪里吗？
解方程：
解：去分母，得
4x－1－3x+6=1
移项，合并同类项，得
x=4
去括号符号错误
约去分母3后，(2x－1)×2在去括号时出错.
观察与思考
方程右边的“1”去分母时漏乘最小公倍数6
1.去分母时，应在方程的左右两边乘以分母
的 ；
2.去分母的依据是 ，去分母时不能
漏乘 ；
3.去分母与去括号这两步分开写，不要跳步，
防止忘记变号.
最小公倍数
等式性质2
没有分母的项
C
D
3.解下列方程:
答案：
解一元一次方程的一般步骤
变形名称 具体的做法
去分母 乘所有的分母的最小公倍数.
依据是等式性质二
去括号 先去小括号,再去中括号,最后去大括号.
依据是去括号法则和乘法分配律
移项 把含有未知数的项移到一边,常数项移到另一边.“过桥变号”，依据是等式性质一
合并同类项 将未知数的系数相加，常数项相加.
依据是乘法分配律
系数化为1 在方程的两边除以未知数的系数.
依据是等式性质二.
第6章 一元一次方程
第3课时 实际问题与一元一次方程
6.2.2 解一元一次方程
1.分清有关数量关系，能正确找出作为列方程依据
的主要等量关系.(难点）
2.掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过
程.(重点)
小敏，我能猜出你年龄.
不信
你的年龄乘2减5得数是多少？
你今年13岁
21
她怎么知道我的年龄是13岁的呢？
列方程解决实际问题
某湿地公园举行观鸟节活动，其门票价格如下：
该公园共售出1200张门票，得总票款20000元，问全价票和半价票各售出多少张？
全价票 20元/人
半价票 10元/人
全价票数＋________＝1200张； ?
________＋半价票款＝________．?
分析题意可得此题中的等量关系有：
半价票数
全价票款
20000元
设售出全价票x张，填写下表：
根据等量关系②，可列出方程：
.
解得x＝ .
因此，售出全价票 张，半价票 张
x
1200－ x
20x
10(1200－ x)
全价票款＋半价票款＝20000元
20x
10(1200－ x)
+ = 20000
800
800
400
可不可以设其他未知量为x？
全价 半价
票数/张
票款/元
如图,天平的两个盘内分别盛有51g、45g盐，问应该从盘A内拿出多少盐到盘B内，才能使两者所盛盐的质量相等？
A
B
A
B
例1
应从盘A内拿出盐 x g ，
列表如下
盘A
盘B
解：设应从盘A内拿出盐x g放到盘B内，则根据题意，得
51－x=45+x
解这个方程，得
x=3.
经检验，符合题意.
答：应从盘A内拿出盐3g放到盘B内.
分析
学校团委组织65名团员为学校建花坛搬砖.女同学每人每次搬6块,男同学每人每次搬8块,每人各搬了4次，总共搬了1800块.问这些新团员中有多少名男同学?
分析
设新团员中有x名男同学,列表如下：
男同学
女同学
总数
参加人数
每人搬砖数
共搬砖数
65
1800
x
65－x
32x
24(65－x)
8×4
6×4
例2
解：设新团员中有x名男同学,根据题意，得
32x+24(65－x)=1800
32x+1560－24x=1800
32x－24x=1800－1560
8x=240
x=30
经检验，符合题意.
答：这些新团员中有30名男同学.
1.学校田径队的小刚在400米跑测试时,先以6米／秒
的速度跑完了大部分路程,最后以8米／秒的速度冲
刺到达终点,成绩为 1分零5秒,问小刚在冲刺阶段
花了多少时间?
400
6
8
65
分析:设小刚在冲刺阶段花了x 秒时间,可列表
x
65－x
路程 速度 时间(秒)
前一段
后一段
总数
解:小刚在冲刺阶段花了x秒时间,根据题意，得
答:小刚在冲刺阶段花了5秒时间.
经检验，符合题意.
6（65－x）＋8x = 400
390－6x＋8x = 400
－6x＋8x = 400－390
2x = 10
x = 5.
2.某市的出租车计价规则如下:行程不超过3千米,收起
步价8元;超过部分每千米路程收费1.20元.某天李老
师和三位学生去探望一位病假的学生,坐出租车付了
17.60元,他们共乘坐了多少路程?
解:设共乘坐了x千米的路程,根据题意，得
解方程得 x=11.
经检验，符合题意.
答:他们共乘坐了11千米的路程.
用方程解实际问题的过程:
问题
方程
解答
分析
抽象
求解
检验
分析和抽象的过程包括:
(1)弄清题意,设未知数;
(2)找等量关系;
(3)列方程.
