第6章 一元一次方程
6.3 实践与探索
第1课时 等积变形问题
1.借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关
系和等量关系.（难点）
2.能利用一元一次方程解决简单的图形问题.（重点）
从一个水杯向另一个水杯倒水
思考：在这个过程中什么没有发生变化？
图形的等长变化
探究
(1)若该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的
长、宽各是多少米呢？
在这个过程中什么没有发生变化？
长方形的周长(或长与宽的和)不变
用一根长为10米的铁丝围成一个长方形.
(x+1.4) m
等量关系：
（长+宽）× 2=周长
解： 设此时长方形的宽为x米，则它的长为(x+1.4)米. 根据题意，得
(x+1.4 +x) ×2 =10
解得 x =1.8
1.8+1.4=3.2
此时长方形的长为3.2米，宽为1.8米.
(2)若该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长和
宽各为多少米？它围成的长方形与(1)中所围成的
长方形相比，面积有什么变化？
(x+0.8) m
解：设此时长方形的宽为x米，则它的长为（x+0.8）米.根据题意，得
(x+0.8 +x) ×2 =10
解得 x=2.1
2.1+0.8=2.9
此时长方形的长为2.9米，宽为2.1米，面积为
2.9 ×2.1=6.09(平方米)；(1)中长方形的面积为
3.2 × 1.8=5.76(平方米).
此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大 6.09－5.76=0.33(平方米).
(3)若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，
那么正方形的边长是多少？它围成的正方形的
面积与(2)中相比，又有什么变化？
(x +x) ×2 =10
解得 x=2.5
正方形的面积为2.5 × 2.5 =6. 25(平方米)
解：设正方形的边长为x米.
根据题意，得
比(2)中面积增大 6. 25 -6.09=0.16（平方米）
正方形的边长为2.5米
同样长的铁丝可以围更大的图形
用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长2(π－2) m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大．
[解析] 比较两图形的面积大小，关键是通过题中的等量关系列方程求得圆的半径和正方形的边长，本题的等量关系为正方形的周长＝圆的周长．
例1
解：设圆的半径为r m，则正方形的边长为
[r＋2(π－2)]m.根据题意，得
答：铁丝的长为8π m，圆的面积较大．
因为4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2，
所以圆的面积大．
正方形的面积为 [4＋2(π－2)]2＝4π2(m 2)．
所以圆的面积是 π×42＝16π(m 2)，
所以铁丝的长为2πr＝8π(m)．
2πr＝4(r＋2π－4)，解得 r＝4.
(1)形状、面积发生了变化，而周长没变；
(2)形状、周长不同，但是根据题意找出周长之间的
关系，把这个关系作为等量关系．解决问题的关
键是通过分析变化过程，挖掘其等量关系，从而
可列方程．
图形的等积变化
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆柱形储水箱．现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m减少为3.2 m．那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4 m变为多少米？
1.如果设水箱的高变为x m，填写下表：
3.列出方程并求解.
2.根据表格中的分析，找出等量关系.
2
1.6
4
x
π×2?×4
π×1.6?×x
旧水箱的容积=新水箱的容积
π×22×4
π×1.62×x
=
解得 x=5
因此，水箱的高度变成了5 m.
旧水箱 新水箱
底面半径/m
高/m
体积/m
一种牙膏出口处直径为5 mm，小明每次刷牙都挤出1 cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次，该品牌牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为6 mm，小明还是按习惯每次挤出1 cm的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？
例2
你认为列一元一次方程解应用题的主要步骤有哪些？关键是什么？
1.审——通过审题找出等量关系.
6.答——注意单位名称.
5.检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符
合实际问题.
4.解——求出方程的解(对间接设的未知数切忌继续求解).
3.列——依据找到的等量关系，列出方程.
2.设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称.
练一练
1.要锻造一个直径为8厘米、高为4厘米的圆柱形毛坯，
则至少应截取直径为4厘米的圆钢______厘米
2.钢锭的截面是正方形，其边长是20厘米，要锻造成
长、宽、高分别为40厘米、30厘米、10厘米的长方
体，则应截取这种钢锭多长？
答案：30厘米.
16
1.一个长方形的周长是40 cm，若将长减少8 cm，宽
增加2 cm，长方形就变成了正方形，则正方形的
边长为( )
A.6 cm B.7 cm C.8 cm D. 9 cm
B
C
3.根据图中给出的信息，可得正确的方程是( )
A
A. B.
C. D.
应用一元一次方程
图形等长变化
应用一元一次方程解决实际问题的步骤
图形等积变化
?审
⑥答
6．3 实践与探索
第1课时 实践与探索(一)
教学目标
一、基本目标
1．进一步熟悉一元一次方程的解法，会用一元一次方程解决有关面积与体积的实际问题．
2．通过解决面积与体积问题的过程，让学生初步体会数形结合思想的作用．
二、重难点目标
【教学重点】
进一步熟练运用一元一次方程解决实际问题．
【教学难点】
回顾面积与体积的有关等量关系，会解决有关面积与体积的实际问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P16的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．几何图形中常用的公式．
(1)常用的体积公式：
长方体的体积＝长×宽×高；
正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；
圆柱的体积＝底面积×高；
圆锥的体积＝×底面积×高.
(2)常用的面积、周长公式：
长方形的面积＝长×宽；
长方形的周长＝2×(长＋宽)；
正方形的面积＝边长×边长；
正方形的周长＝边长×4；
三角形的面积＝×底×高；
平行四边形的面积＝底×高；
梯形的面积＝×(上底＋下底)×高；
圆的面积＝π×半径的平方；
圆的周长＝2×π×半径.
2．用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形．
(1)如果长方形的宽是长的，求这个长方形的长和宽；
(2)如果长方形的宽比长少4厘米，求这个长方形的面积；
(3)比较(1)、(2)所得的两个长方形面积的大小，还能围出面积更大的长方形吗？
解：(1)长18厘米，宽12厘米． (2)长17厘米，宽13厘米． (3)能，当围成正方形时，面积最大．
教师点拨：(1)设长方形的长为x厘米，则宽为(30－x)厘米．可列方程30－x＝x.
(2)设长方形的长为x厘米，则宽为(x－4)厘米．可列方程2(x－4＋x)＝60.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】有一梯形和长方形，如图，梯形的上、下底边的长分别为6 cm,2 cm，高和长方形的宽都等于3 cm，如果梯形和长方形的面积相等，那么图中所标x的长度是多少？
【互动探索】(引发学生思考)本题的等量关系：长方形的面积＝梯形的面积．
【解答】由题意，得(6－x)×3＝，
解得x＝2.
即x的长度为2 cm.
【互动总结】(学生总结，老师点评)图形面积之间相等关系常作为列方程的依据．
【例2】有A、B两个圆柱形容器，如图，A容器内的底面积是B容器内的底面积的2倍，A容器内的水高为10 cm，B容器是空的，B容器的内壁高度为22 cm.若把A容器内的水倒入B容器，水会不会溢出？
【互动探索】(引发学生思考)A容器内的水倒入B容器后，如果水高不大于B容器的内壁的高度，水就不会溢出，否则，水就会溢出．因此只要求出A容器内的水倒入B容器后的水高即可判断出水会不会溢出．
【解答】设A容器内的水倒入B容器后的高度为xcm.
根据题意，得2×10＝1×x，
解得x＝20.
因为20<22，即B容器内的水高度不大于B容器的内壁的高度，所以水不会溢出．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题有如下的数量关系：A容器内的底面积＝B容器内的底面积的2倍；倒前水的体积＝倒后水的体积．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴40根．
2．要锻造一个半径为5 cm，高为36 cm的圆柱形毛坯，应截取半径为10 cm的圆钢9cm.
3．将一个底面半径为6 cm，高为40 cm的“瘦长”的圆柱形钢材压成底面半径为12 cm的“矮胖”的圆柱形零件，则它的高变成了10cm.
4．如图是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成．设中间最小的一个正方形边长为1，求这个矩形色块图的面积．
解：设右下角两个相等正方形的边长为x，则顺时针方向的其余三个正方形的边长依次为x＋1、x＋2、x＋3.根据长方形的对边相等，可得x＋x＋(x＋1)＝(x＋2)＋(x＋3)，解得x＝4.所以(x＋2)＋(x＋3)＝13，(x＋2)＋(x＋1)＝11，则长方形的面积为13×11＝143.
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
用一元一次方程解决有关面积与体积的实际问题的关键是掌握面积与体积的公式．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时 实践与探索(二)
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．理解和、差、倍、分问题的关系，会解决实际问题中的和、差、倍、分问题．
2．理解商品销售中所涉及的进价、原价、售价、利润、打折数、利润率这些基本量的关系．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握用方程解决和、差、倍、分问题、销售利润问题的方法．
【教学难点】
根据问题背景，建立适当的数学模型．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P17的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
销售问题中的几个等量关系：
(1)标价＝进价×(1＋利润率)；
(2)利润与售价、进价的关系：利润＝售价－进价；
(3)利润率与利润、进价的关系：利润率＝×100%＝×100%；
(4)标价、实际售价与打折数的关系：实际售价＝标价×打折数；
(5)实际售价与进价、利润之间的关系：利润＝实际售价－进价＝标价×打折数－进价．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】新学年开始，某校三个年级为地震灾区捐款．经统计，七年级捐款数占全校三个年级捐款总数的，八年级捐款数是全校三个年级捐款数的平均数，已知九年级捐款1964元，求其他两个年级的捐款数．
【互动探索】(引发学生思考)本题中的等量关系：七年级捐款数＝全校三个年级捐款总数的；八年级捐款数＝全校三个年级捐款数的平均数；九年级的捐款数＝全校三个年级的捐款数－七年级的捐款数－八年级的捐款数．
【解答】(方法一)设全校三个年级的捐款数为x元．
根据题意，得x－x－1964＝.
解得x＝7365.
七年级捐款：7365×＝2946(元)
八年级捐款：7365－2946－1964＝2455(元)
故七、八年级的捐款数分别为2946元、2455元．
(方法二)设八年级的捐款数为x元．
根据题意，得3x－1964－x＝×3x.
解得x＝2455.
七年级捐款数：×3×2455＝2946(元)
故七、八年级的捐款数分别为2946元、2455元．
【互动总结】(学生总结，老师点评)和、差、倍、分问题的显著特点，就是在题目中能找到两个有关系的量，并且其中一个量能用另一个量的和、差、倍、分表示．当题目中有两个等量关系且其中一个等量关系比较简单时，一般以较为简单的等量关系转化未知数，以较为复杂的等量关系列方程．
【例2】某文具店出售每册120元和80元的两种纪念册，两种纪念册售后都有售价30%的利润，但每册120元的销售情况不佳．某人共有1080元钱，欲买一定数量的某一种纪念册，若买每册120元的钱不够，但该店予以优惠，如数付给他，满足了他的要求，结果文具店获利和卖出同数量的每册80元的纪念册获得一样多，问此人共买纪念册多少册？
【互动探索】(引发学生思考)由于利润＝售价－进价，而这些纪念册售价即为1080元，进价为原售价的(1－30%)，即每册进价为120(1－30%)元，利润与每册80元的获利一样多，由相等关系可列方程．
【解答】设共买纪念册x册．
根据题意，得1080－120(1－30%)x＝80×30%x.
解得x＝10.
即此人共买纪念册10册．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解答本题的关键是找出等量关系，列方程解答．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．五一期间，某区一中、二中组织100名优秀教师去某景区旅游(其中一中教师多于二中教师)，景区门票价格规定如下表：
一次性购票人数 1～49人 50～99人 100人及以上
每人门票价格 50元 45元 40元
若两校都以校为单位一次性购票，则两校一共需付4725元，求两校各有多少名优秀教师参加这次旅游．若两校联合起来，作为一个团体购票，能节约多少钱？
解：设一中有x名优秀教师参加旅游，则二中有(100－x)名优秀教师参加旅游．由题意，得45x＋50(100－x)＝4725，解得x＝55，则100－x＝45，即一中、二中分别有55名、45名优秀教师参加这次旅游．故若两校联合起来，作为一个团体购票，能节约4725－40×100＝725(元)．
2．某足球协会举办了一次足球赛，其计分规则及奖励方案(每人)如下表：
胜1场 平1场
积分 3分 1分
奖励 1500元/人 700元/人
当比赛进行到每队各比赛12场时，A队(11名队员)共积分20分，并且没有负一场．
(1)试判断A队胜、平各几场；
(2)若每赛1场每名队员均得出场费500元，那么A队的某一名队员所得奖金与出场费的和是多少元？
解：(1)设A队胜了x场，则平了(12－x)场．根据题意，得3x＋1×(12－x)＝20，解得x＝4，所以12－x＝12－4＝8.即A队胜了4场，平了8场．
(2)500×12＋1500×4＋700×8＝17600(元)．即A队的某一名队员所得奖金与出场费的和是17600元．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】七(1)班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，而且定价也都相同．乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠．该班需球拍5副，乒乓球若干盒(不小于5盒)．
(1)当购买乒乓球多少盒时，两种优惠方案付款一样？
(2)当分别购买15盒、30盒乒乓球时，去哪家商店购买较合算？为什么？
【互动探索】(1)设该班购买乒乓球x盒，根据付款一样列方程求解．
(2)根据各商店优惠方案分别计算出所需款数，再确定去哪家商店购买合算．
【解答】(1)设购买x盒乒乓球时，两种优惠方案付款一样．
根据题意，得30×5＋(x－5)×5＝(30×5＋5x)×0.9.
解得x＝20.
即购买20盒乒乓球时，两种优惠方案付款一样．
(2)当购买15盒时，甲店需付款30×5＋(15－5)×5＝200(元)，
乙店需付款(30×5＋15×5)×0.9＝202.5(元)．
因为200＜202.5，
所以购买15盒乒乓球时，去甲店购买较合算．
当购买30盒时，甲店需付款30×5＋(30－5)×5＝275(元)，
乙店需付款(30×5＋30×5)×0.9＝270(元)．
因为275＞270，
所以购买30盒乒乓球时，去乙店购买较合算．
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题考查的是一元一次方程的应用，解决本题的关键是理解两家商店的优惠方案，并分别用代数式表示甲、乙店购买的费用．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．销售中的盈亏问题，要掌握以下关系式：(1)利润＝售价－进价；(2)利润率＝×100%；(3)售价＝进价×(1＋利润率)；(4)打几折就是按原价的百分之几十销售．
2．用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第3课时 实践与探索(三)
教学目标
一、基本目标
1．进一步熟悉一元一次方程的解法．
2．会用一元一次方程解决工程、行程及其他问题．
3．让学生在活动中获得成功的体验，培养学生的探索精神，树立学好数学的信心．
二、重难点目标
【教学重点】
工程、行程问题中的等量关系．
【教学难点】
将实际问题抽象为数学问题，列方程解应用题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P19的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．工程问题：弄清工作量、工作时间、工作效率之间的关系．工作量一般看作“1”处理，等量关系：工作总量＝工作效率×工作时间，各部分的工作量总和等于1.
2．行程问题：路程＝速度×时间.
相遇问题的等量关系：甲的路程＋乙的路程＝总路程.
追击问题的等量关系：甲的路程－乙的路程＝追击的距离(甲的速度比乙的速度快)．
3．配套问题：若m件A产品与n件B产品配套，其等量关系是“A产品的数量×n＝B产品的数量×m”．
4．一条环形跑道长400米．甲练习骑自行车，平均每分钟行驶550米；乙练习长跑，平均每分钟跑250米．两人同时、同地、同向出发，经过多长时间，两人首次相遇？
解：设经过x分钟后，两人首次相遇．
根据题意，得550x－250x＝400，
解得x＝.
即经过分钟，两人首次相遇．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】油桶制造厂的某车间主要负责生产制造油桶用的圆形铁片和长方形铁片，该车间有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片或者长方形铁片80片．如图，一个油桶由两个圆形铁片和一个长方形铁片相配套．生产圆形铁片和长方形铁片的工人各为多少人时，才能使生产的铁片恰好配套？
【互动探索】(引发学生思考)可设生产圆形铁片的工人为x人，则生产长方形铁片的工人为(42－x)人，根据“两张圆形铁片与一张长方形铁片可配套成一个圆桶”可列出关于x的方程，求解即可．
【解答】设生产圆形铁片的工人为x人，则生产长方形铁片的工人为(42－x)人．
根据题意，得120x＝2×80(42－x)，
解得x＝24，
则42－x＝18.
即生产圆形铁片的工人为24人，生产长方形铁片的工人为18人时，才能使生产的铁片恰好配套．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
【例2】一段长为360 m的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24 m，乙工程队每天整治16 m．求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道？
【互动探索】(引发学生思考)设甲队整治了x天，则乙队整治了(20－x)天．由两个工程队一共整治了360 m建立方程，求出其解即可．
【解答】设甲工程队整治了x天，则乙工程队整治了(20－x)天．
由题意，得
24x＋16(20－x)＝360.
解得x＝5.
∴乙工程队整治了20－5＝15(天)，
∴甲工程队整治的河道长为24×5＝120(m)；
乙工程队整治的河道长为16×15＝240(m)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题是一道工程问题，考查了列一元一次方程解实际问题的运用，解答时设间接未知数是解答本题的关键．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．一项工程，甲单独做40天完成，乙单独做50天完成，甲先单独做4天，然后两人合作，x天完成这项工程，则可列的方程是 ( D )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＋＝1
2．甲、乙两港相距80千米，一船往返于两港之间，且顺水航行时的速度为20千米/时，逆水航行时的速度为16千米/时，那么这只船的静水速度为 ( D )
A．4千米/时 B．2千米/时
C．16千米/时 D．18千米/时
3．服装厂要生产一批某种型号的学生服装，已知3 m长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，仓库内存有这样的布料600 m，应分别用多少布料做上衣，多少布料做裤子才能恰好配套？
解：设做上衣的布料用x m，则做裤子的布料用(600－x)m.由题意，知×2＝×3.解得x＝360，∴600－x＝240.即用360 m做上衣，240 m做裤子．
4．一本稿件，甲打字员单独打20小时可以完成，甲、乙两打字员合打，12小时可以完成，现在由两人合打7小时，余下部分由乙完成，还需多少小时？
解：设还需x小时．由题意，得×7＋x＝1，解得x＝12.5.即还需12.5小时．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】整理一批图书，由1人做160小时完成，先由一些人做4小时，再增加5人做6小时，完成这项工作的，则先安排了多少人做4小时？(假设这些人的工作效率都相同)
【互动探索】首先设先安排了x人整理图书，题中等量关系：先安排的人4小时的工作量＋增加5人后6小时的工作量＝，根据等量关系列出方程，解答即可．
【解答】设先安排x人做4小时．
根据题意，得＋＝.
去分母、去括号，得4x＋6x＋30＝120.
移项、合并同类项，得10x＝90.
系数化为1，得x＝9.
即先安排了9人做4小时．
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，表示出各部分的工作量，再根据“先做4小时完成的工作量＋增加5人后6小时完成的工作量＝工作总量×”列出方程．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．工程问题：工作总量＝工作效率×工作时间，各部分的工作量总和等于1.
2．行程问题：路程＝速度×时间．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第6章 一元一次方程
6.3 实践与探索
第2课时 销售问题及百分率问题
1.掌握“销售中的盈亏”中的相关概念及数量关系.
(重点）
2.掌握解决“销售中的盈亏”的一般思路.（难点）
跳楼价
清仓处理
满200返160
5折酬宾
销售中的盈亏
1.商品原价200元，九折出售，卖价是 元.
2.商品进价是150元，售价是180元，则利润
是 元.利润率是_______.
3.某商品原来每件零售价是a元, 现在每件降价10%,
降价 后每件零售价是 元.
4.某种品牌的彩电降价20%以后，每台售价为a元，
则该品牌彩电每台原价应为 元.
5.某商品按定价的八折出售，售价是14.8元，则原定
售价是 .
180
30
20％
0.9a
1.25a
18.5
上面商品销售中的盈亏问题里有哪些量?
成本价(进价);
标价;
销售价;
利润; 盈利; 亏损:
利润率
上面这些量有何关系?
= 商品售价—商品进价
●售价、进价、利润的关系式：
商品利润
●进价、利润、利润率的关系：
利润率=
商品进价
商品利润
×100%
●标价、折扣数、商品售价关系 :
商品售价＝
标价×
折扣数
10
●商品售价、进价、利润率的关系：
商品进价
商品售价=
×(1+利润率)
销
售
中
的
盈
亏
A. 盈利
B. 亏损
C. 不盈不亏
你估计盈亏情况是怎样的？
一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25% ，另一件亏损25% ，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏?
￥60
￥60
例1
思考：销售的盈亏决定于什么？
取决于总售价与总成本(两件衣服的成本之和)的关系
售价120 ＞ 总成本
售价120 ＜ 总成本
售价120 ＝ 总成本
盈 利
亏 损
不盈不亏
(2)设亏损25%的衣服进价是 y元，
依题意，得 y－0.25y＝60
解得 y＝80
(1)设盈利25%的衣服进价是 x 元，
依题意，得 x＋0.25 x＝60
解得 x＝48
解：
两件衣服总成本：x+y=48＋80＝128(元)
因为120－128＝－8(元)
所以卖这两件衣服共亏损了8元.
与你猜想的一致吗？
1.某琴行同时卖出两台钢琴，每台售价为960元.其中
一台盈利20%，另一台亏损20%.这次琴行是盈利
还是亏损，或是不盈不亏？
练一练
2.某文具店有两个进价不同的计算器都卖64元，其
中一个盈利60%，另一个亏本20%.这次交易中的
盈亏情况？
答案：买这两个计算器盈利8元
答案：这次琴行亏本80元
一件服装先将进价提高25%出售，后进行促销活动，又按标价的8折出售, 此时售价为60元. 请问商家是盈是亏，还是不盈不亏？
解：设这件衣服的进价是x元，
则提价后的售价是(1＋25%)x 元，
促销后的售价是(1＋25%)x×0.8 元，
依题意得(1＋25%)x×0.8＝60
解得 x＝60
售价60=成本60
答：这家商店不盈不亏.
例2
1.某商场把进价为1980元的商品按标价的八折出
售，仍获利10%, 则该商品的标价为 元.
2.我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调
药品的价格，某种药品在2005年涨价30%后，
2007降价70%至a元，则这种药品在2005年涨价
前价格为 元.
2725
练一练
1.某商品的进价是1000元，售价是1500元，由于销售
情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率
不低于5%,那么商店最多可打几折出售此商品？
解:设商店最多可以打x折出售此商品,
根据题意，得
解得 x=7
答:商店最多可以打7折出售此商品.
2.据了解个体商店销售中售价只要高出进价的20%便
可盈利，但老板们常以高出进价50%~100%标价，
假若你准备买一双标价为600元的运动鞋，应在什
么范围内还价？
答：应在480元~360元内还价.
高于进价50%标价 高于进价100%标价
进价 x元 y元
标价 (1＋50%)x (1＋100%)y
方程 (1＋50%)x＝600 (1＋100%)y＝600
方程的解 x＝400 y＝300
盈利价 400(1＋20%)＝480 300(1＋20%)＝360
= 商品售价—商品进价
●售价、进价、利润的关系式：
商品利润
●进价、利润、利润率的关系：
利润率=
商品进价
商品利润
×100%
●标价、折扣数、商品售价关系 :
商品售价＝
标价×
折扣数
10
●商品售价、进价、利润率的关系：
商品进价
商品售价=
×(1+利润率)
销
售
中
的
盈
亏
第6章 一元一次方程
6.3 实践与探索
第3课时 速率问题
1.学会利用线段图分析行程问题，寻找等量关系，
建立数学模型；（难点）
2.能利用行程中的速度、路程、时间之间的关系列
方程解应用题.（重点）
3.能利用工程中的数量关系列方程解应用题.（重
点）
你知道它蕴含的是我们数学中的什么问题吗？
相遇问题
星期天早晨，小斌和小强分别骑自行车从家里同时出发去参观雷锋纪念馆. 已知他俩的家到雷锋纪念馆的路程相等，小斌每小时骑10km，他在上午10时到达；小强每小时骑15km，他在上午9时30分
到达.求他们的家到雷锋
纪念馆的路程.
由于小斌的速度较慢，因此他花的时间比小强花的时间多.
本问题中涉及的等量关系有：
因此，设他俩的家到雷锋纪念馆的路程均为s km，
解得 s = ＿＿＿＿.
因此，小斌和小强的家到雷锋纪念馆的路程为 km．
根据等量关系，得
15
15
注意单位要统一
小明与小红的家相距20km，小明从家里出发骑自行车去小红家，两人商定小红到时候从家里出发骑自行车去接小明. 已知小明骑车的速度为13 km/h，小红骑车的速度是12 km/h.
（1）如果两人同时出发，那么他们经过多少小时
相遇？
分析：由于小明与小红都从家里出发，相向而行，所以相遇时，他们走的路程的和等于两家之间的距离.即
小明走的路程+小红走的路程=两家之间的距离(20km).
例1
解：（1）设小明与小红骑车走了x h后相遇，
则根据等量关系，得
13x + 12x = 20 .
解得 x = 0.8 .
答：经过0.8 h他们两人相遇.
（2）如果小明先走30min，那么小红骑车要走多
少小时才能与小明相遇？
解：（2）设小红骑车走了t h后与小明相遇，
则根据等量关系，得
13(0.5 + t )+12t = 20 .
解得 t = 0.54 .
答：小红骑车走0.54h后与小明相遇.
相遇问题
注意相向而行的始发时间和地点
甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行．已知A，B两地的距离为480km，且甲车以
65km/ h的速度行驶．若两车4h后相遇，则乙车
的行驶速度是多少？
答：乙车的行驶速度是55km/h.
练一练
追及问题
小明早晨要在7：20
以前赶到距家1000米的学校
上学．一天，小明以80米/分
钟的速度出发，5分钟后，小
明的爸爸发现 他忘了带历史
作业，于是，爸爸立即以180米/分钟的速度去追小明，
并且在途中追上了他．
问爸爸追上小明用了多长时间？
分析：当爸爸追上小明时，两人所走路程相等.
例2
解：设爸爸追上小明用了x分钟，则此题的数量关系可用线段图表示.
据题意，得 80×5＋80x=180x.
答：爸爸追上小明用了4分钟．
解得 x=4.
80×5
80x
180x
一队学生步行去郊外春游，每小时走4km，学生
甲因故推迟出发30min，为了赶上队伍，甲6km/h
的速度追赶，问甲用多少时间就可追上队伍？
答：该生用了1小时追上了队伍.
练一练
追及问题
注意同向而行始发时间和地点
工程问题
生产的这批螺钉、螺母要打包，由一个人做要40 h 完成.现计划由一部分人先做4 h，然后增加 2人与他们一起做8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，具体应该安排多少人工作？
列表分析：
例3
人均效率 人数 时间 工作量
前一部分工作 x 4
后一部分工作 x＋2 8
解：设先安排 x 人做4 h，根据题意得等量关系：
可列方程
解方程，得
4x＋8(x＋2)＝40，
4x＋8x＋16＝40，
12x＝24，
x＝2.
答：应先安排 2人做4 小时.
一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天. 如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？
分析：把工作量看作单位“1”，则甲的工作效率为 ,乙的工作效率为 , 根据工作效率×工作时间=工作量，列方程.
解：设要x天可以铺好这条管线，由题意得
解方程，得
x=8
答：要8天可以铺好这条管线.
练一练
解决工程问题的思路：
1.三个基本量：
工程问题中的三个基本量：工作量、工作效率、工作时间，
它们之间的关系是：工作量=工作效率×工作时间.
若把工作量看作1，则工作效率=
2.相等关系：
(1)按工作时间，各时间段的工作量之和=完成的工作量.
(2)按工作者，若一项工作有甲、乙两人参与，则甲的工作
量+乙的工作量=完成的工作量.
1．甲每小时走5千米，甲出发4.5小时后，乙骑车从同
一地点出发追赶甲，乙用了35分钟追上甲，设乙骑
车的速度为x千米/时，则所列方程为( )
B
A. × B. ×
C. × D. ×
2．甲、乙两人骑摩托车同时从相距170千米的A，B
两地相向而行，2小时相遇，如果甲比乙每小时
多行5千米，则乙每小时行( )
A．30千米 B．40千米
C．50千米 D．45千米
B
3．甲、乙两人在400米的环形跑道上练习长跑，他
们同时同地反向而跑，甲的速度是6米/秒，乙的
速度是4米/秒，则他们首次相遇时，两人都跑了
( )
A．40秒 B．50秒
C．60秒 D．70秒
A
4.一项工作，甲独做需18天，乙独做需24天，如果
两人合做8天后，余下的工作再由甲独做x天完成，
那么所列方程为____________.
解决工程问题的思路：
1.三个基本量：
工程问题中的三个基本量：工作量、工作效率、工作时间，
它们之间的关系是：工作量=工作效率×工作时间.
若把工作量看作1，则工作效率=
2.相等关系：
(1)按工作时间，各时间段的工作量之和=完成的工作量.
(2)按工作者，若一项工作有甲、乙两人参与，则甲的工作
量+乙的工作量=完成的工作量.
行程问题
