18.2.2 菱形（2）课件
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人教版数学八年级下册
18.2.2菱形（2）
怎样判断一个四边形是菱形？
菱形ABCD的性质：
1.具有平行四边形的 一切性质。
2.菱形本身具有的特殊性质: 四条边相等；
两条对角线互相垂直平分, 每一条对角线平分一组对角.
3.菱形的面积等于菱形对角线乘积的一半.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的定义：
菱形
一组邻边相等
同学们想一想，我们在学习平行四边形的判定和矩形的判定时，我们首先想到的第一种方法是什么？那么类比着它们，菱形的第一种判定方法是什么？
根据菱形的定义,可得菱形的判定方法1：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
数学语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
例1 如图，AD平分∠BAC，DE∥AC 交AB于E，DF∥AB交AC于F．求证：四边形AEDF是菱形．
∴ □AEDF是菱形
证明：∵DE∥AC，DF∥AB
∴四边形AEDF是平行四边形
∵ DE∥AC
∴∠2=∠3
∵ AD是△ABC的角平分线
∴ ∠1=∠2
∴AE=DE
∴ ∠1=∠3
练习 如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E.
求证：四边形OCED是菱形.
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?
猜想：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：在□ABCD 中，AC ⊥ BD。求证：□ABCD是菱形。
证明：
∴ □ABCD是菱形
又∵ AC ⊥ BD
∵四边形ABCD是□
∴OA=OC
∴BA=BC
O
菱形的判定方法2：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
∴四边形ABCD是菱形
（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）
∵四边形ABCD是平行四边形，
且AC⊥BD
几何语言：
∴四边形ABCD是菱形.
∴OA=OC=4，OB=OD=3
证明:
又∵AB=5
∴AC⊥BD
∴∠AOB=90°
又∵ 四边形ABCD是平行四边形
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴AB2=AO2+BO2
情境：李芳同学先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？
猜想：四边都相等的四边形是菱形 。
A
B
C
D
命题：有四条边相等的四边形是菱形。
已知：在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.
求证：四边形ABCD是菱形。
证明：
∵AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
四条边都相等的四边形是菱形.
AB=BC=CD=DA
四边形ABCD是菱形
菱形的判定方法3：
例3 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形。
证明：连接AC、BD
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD
∵点E、F、G、H为各边中点
∴EF=FG=GH=HE
∴四边形EFGH是菱形
小明是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可。你知道其中的道理吗？
练习：如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
例4 如图,□ ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F．求证：四边形AFCE是菱形。
∵EF垂直平分AC
∴AO=CO, ∠AOE=90°
∴∠FOC=∠AOE=90°
∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AD∥BC ∴AE∥FC
∴∠AEO=∠CFO
∴△AEO≌△CFO
证明：
∴OE=OF
又∵AO=CO
∴四边形AFCE是平行四边形
又∵EF⊥AC
∴四边形AFCE是菱形
∟
∟
E
F
例6 如图，Rt△ABC中，∠ACB=900，∠BAC=600，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE。求证：四边形ACEF是菱形。
学到了如何识别菱形
? 今天你学到了什么 ?
菱形的判定方法：
1、一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
3、四条边都相等的四边形是菱形。
（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）
1.下列命题中正确的是（ ）
A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.三条边相等的四边形是菱形
C.四条边相等的四边形是菱形
D.四个角相等的四边形是菱形
2.对角线互相垂直且平分的四边形是（ ）
A.矩形 B.一般的平行四边形
C.菱形 D.以上都不对
3.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A.AC⊥BD,AC与BD互相平分 B.AB=BC=CD=DA
C.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BD D.AB=CD,AD=BC,AC⊥BD
1．填空：
（1）菱形的两条对角线长分别是3和4，则周长和面积
分别是________、________．
（2）菱形周长为80，一对角线为20，则较小的角的度
数为______，面积为_______．
（3）菱形一边与两条对角线夹角的差是20°，那么菱
形各角的度数分别为________．
（4）已知：菱形的周长为40cm，两条对角线长的比是
3：4。求两对角线长分别是 。
（5）对角线互相平分的四边形是 ；
（6）对角线互相垂直平分的四边形是________；
（7）对角线相等且互相平分的四边形是________；
（8）两组对边分别平行，且对角线 的四边
形是菱形．
2.□ABCD的对角线AC与BD相交于点O， （1）若AB=AD，则□ABCD是 形； （2）若AC=BD，则□ABCD是 形； （3）若∠ABC是直角，则□ABCD是 形； （4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 形。
3.判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形．
(2)两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形．
(3)邻角相等的四边形是菱形．
(4)有一组邻边相等的四边形是菱形．
(5)两组对角分别相等且对角线互相垂直的四边形是菱形．
(6)对角线互相垂直的四边形是菱形．
(7)对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
(8)一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。
(9)对角线互相垂直,且有一组邻边相等的四边形是菱形.
(10)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．
4.老师说下列三个图形都是菱形,你相信吗?
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
有四条边相等的四边形是菱形。
5.如图，AD是的角平分线，DE∥AC，DF∥AB. 证明：四边形AEDF是菱形。 对于这道，小林是这样证明的。 证明：∵AD平分，∴∠1＝∠2,
∵DE∥AC，∴∠2＝∠3
∵DF∥AB，∴∠1＝∠4
又有AD=AD,∴△AED ≌ △AFD.
∴AE＝AF,DE=DF. ∴四边形AEDF是菱形. 老师说小林的解题过程有错误，你能看出来吗？ ⑴请你帮小林指出他的错误是什么？（先在解答过程中划出来，再说明他错误的原因） ⑵请你帮小林做出正确的解答。
6.如图，已知在□ABCD中，AD=2AB，E、F在直线AB上，且AE=AB=BF，说明CE⊥DF。
7.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形。
8.如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的高,∠BAC的平分线交CD于E，交BC于F，FG⊥AB于G．
求证：四边形EGFC为菱形．
D
E
F
G
1
2
3
4
5
9.如图:将菱形ABCD沿AC方向平移至A1B1C1D1,A1D1交CD于E,A1B1交BC于F,请问四边形A1FCE是不是菱形?为什么?
作业
1.课本P58页第 2 题
3.练习册 P 25-27 页
2.课本P60页第6、10题
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18.2.2菱形（2）
怎样判断一个四边形是菱形？
菱形ABCD的性质：
1.具有平行四边形的 一切性质。
2.菱形本身具有的特殊性质: 四条边相等；
两条对角线互相垂直平分, 每一条对角线平分一组对角.
3.菱形的面积等于菱形对角线乘积的一半.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的定义：
菱形
一组邻边相等
同学们想一想，我们在学习平行四边形的判定和矩形的判定时，我们首先想到的第一种方法是什么？那么类比着它们，菱形的第一种判定方法是什么？
根据菱形的定义,可得菱形的判定方法1：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
数学语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
例1 如图，AD平分∠BAC，DE∥AC 交AB于E，DF∥AB交AC于F．求证：四边形AEDF是菱形．
∴ □AEDF是菱形
证明：∵DE∥AC，DF∥AB
∴四边形AEDF是平行四边形
∵ DE∥AC
∴∠2=∠3
∵ AD是△ABC的角平分线
∴ ∠1=∠2
∴AE=DE
∴ ∠1=∠3
练习 如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E.
求证：四边形OCED是菱形.
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?
猜想：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：在□ABCD 中，AC ⊥ BD。求证：□ABCD是菱形。
证明：
∴ □ABCD是菱形
又∵ AC ⊥ BD
∵四边形ABCD是□
∴OA=OC
∴BA=BC
O
菱形的判定方法2：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
∴四边形ABCD是菱形
（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）
∵四边形ABCD是平行四边形，
且AC⊥BD
几何语言：
∴四边形ABCD是菱形.
∴OA=OC=4，OB=OD=3
证明:
又∵AB=5
∴AC⊥BD
∴∠AOB=90°
又∵ 四边形ABCD是平行四边形
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴AB2=AO2+BO2
情境：李芳同学先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？
猜想：四边都相等的四边形是菱形 。
A
B
C
D
命题：有四条边相等的四边形是菱形。
已知：在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.
求证：四边形ABCD是菱形。
证明：
∵AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
四条边都相等的四边形是菱形.
AB=BC=CD=DA
四边形ABCD是菱形
菱形的判定方法3：
例3 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形。
证明：连接AC、BD
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD
∵点E、F、G、H为各边中点
∴EF=FG=GH=HE
∴四边形EFGH是菱形
小明是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可。你知道其中的道理吗？
练习：如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
例4 如图,□ ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F．求证：四边形AFCE是菱形。
∵EF垂直平分AC
∴AO=CO, ∠AOE=90°
∴∠FOC=∠AOE=90°
∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AD∥BC ∴AE∥FC
∴∠AEO=∠CFO
∴△AEO≌△CFO
证明：
∴OE=OF
又∵AO=CO
∴四边形AFCE是平行四边形
又∵EF⊥AC
∴四边形AFCE是菱形
∟
∟
E
F
例6 如图，Rt△ABC中，∠ACB=900，∠BAC=600，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE。求证：四边形ACEF是菱形。
学到了如何识别菱形
? 今天你学到了什么 ?
菱形的判定方法：
1、一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
3、四条边都相等的四边形是菱形。
（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）
1.下列命题中正确的是（ ）
A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.三条边相等的四边形是菱形
C.四条边相等的四边形是菱形
D.四个角相等的四边形是菱形
2.对角线互相垂直且平分的四边形是（ ）
A.矩形 B.一般的平行四边形
C.菱形 D.以上都不对
3.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A.AC⊥BD,AC与BD互相平分 B.AB=BC=CD=DA
C.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BD D.AB=CD,AD=BC,AC⊥BD
1．填空：
（1）菱形的两条对角线长分别是3和4，则周长和面积
分别是________、________．
（2）菱形周长为80，一对角线为20，则较小的角的度
数为______，面积为_______．
（3）菱形一边与两条对角线夹角的差是20°，那么菱
形各角的度数分别为________．
（4）已知：菱形的周长为40cm，两条对角线长的比是
3：4。求两对角线长分别是 。
（5）对角线互相平分的四边形是 ；
（6）对角线互相垂直平分的四边形是________；
（7）对角线相等且互相平分的四边形是________；
（8）两组对边分别平行，且对角线 的四边
形是菱形．
2.□ABCD的对角线AC与BD相交于点O， （1）若AB=AD，则□ABCD是 形； （2）若AC=BD，则□ABCD是 形； （3）若∠ABC是直角，则□ABCD是 形； （4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 形。
3.判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形．
(2)两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形．
(3)邻角相等的四边形是菱形．
(4)有一组邻边相等的四边形是菱形．
(5)两组对角分别相等且对角线互相垂直的四边形是菱形．
(6)对角线互相垂直的四边形是菱形．
(7)对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
(8)一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。
(9)对角线互相垂直,且有一组邻边相等的四边形是菱形.
(10)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．
4.老师说下列三个图形都是菱形,你相信吗?
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
有四条边相等的四边形是菱形。
5.如图，AD是的角平分线，DE∥AC，DF∥AB. 证明：四边形AEDF是菱形。 对于这道，小林是这样证明的。 证明：∵AD平分，∴∠1＝∠2,
∵DE∥AC，∴∠2＝∠3
∵DF∥AB，∴∠1＝∠4
又有AD=AD,∴△AED ≌ △AFD.
∴AE＝AF,DE=DF. ∴四边形AEDF是菱形. 老师说小林的解题过程有错误，你能看出来吗？ ⑴请你帮小林指出他的错误是什么？（先在解答过程中划出来，再说明他错误的原因） ⑵请你帮小林做出正确的解答。
6.如图，已知在□ABCD中，AD=2AB，E、F在直线AB上，且AE=AB=BF，说明CE⊥DF。
7.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形。
8.如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的高,∠BAC的平分线交CD于E，交BC于F，FG⊥AB于G．
求证：四边形EGFC为菱形．
D
E
F
G
1
2
3
4
5
9.如图:将菱形ABCD沿AC方向平移至A1B1C1D1,A1D1交CD于E,A1B1交BC于F,请问四边形A1FCE是不是菱形?为什么?
作业
1.课本P58页第 2 题
3.练习册 P 25-27 页
2.课本P60页第6、10题
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