第9章 多边形
教材简析
本章的主要内容包括：(1)三角形的概念及其边角性质；(2)多边形的有关概念以及多边形的内角和与外角和；(3)用多边形的内角和知识探究正多边形在铺设地面中的运用和隐含的数学道理．
三角形是最简单的多边形，也是认识其他图形的基础．本章将在学习与其有关的线段(三角形的高、中线和角平分线)和角(三角形的内角、外角)的基础上学习多边形的有关知识，如借助三角形的内角和探究多边形的内角和．学习本章后，我们不仅可以进一步认识三角形，而且还可以了解一些几何中研究问题的基本思路和方法．本章在中考中，主要考查运用三角形内角和定理、内外角的关系求角的度数，运用多边形内角和公式求角的度数或多边形的边数，以及选择一种或多种正多边形铺设地面．题型以选择题、填空题为主，难度较小．
教学指导
【本章重点】
1．三角形的有关概念及性质．
2．三角形的内角和定理、外角和定理的推导及应用．
3．三角形三边的关系．
【本章难点】
1．多边形的内角和定理及外角和定理的推导及应用．
2．如何运用正多边形铺设地面．
【本章思想方法】
1．体会和掌握分类讨论思想．如解决已知等腰三角形的周长和一边长的相关问题、不清楚三角形形状以及解决与三角形高相关的问题，需要分类讨论．
2．体会方程思想．如根据多边形内角和公式可以建立方程，从而运用方程思想解决．
课时计划
9．1 三角形4课时
9．2 多边形的内角和与外角和2课时
9．3 用正多边形铺设地面2课时
9．1 三角形
9．1.1 认识三角形
第1课时 三角形的相关概念及分类
教学目标
一、基本目标
1．理解三角形、三角形的边、顶点、内角、外角等概念．
2．会将三角形分类．
3．理解等腰三角形、等边三角形的概念．
二、重难点目标
【教学重点】
三角形内角、外角、等腰三角形、等边三角形等概念．
【教学难点】
三角形的外角．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P72～P74的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形.
2．如图，线段AB、BC、CA是三角形的边，点A、B、C是三角形的顶点，∠A、∠B、∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角．
3．我们把有两边相等的三角形称为等腰三角形.其中相等的两边叫做等腰三角形的腰；把三边相等的三角形称为等边三角形.
4．所有内角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个内角是钝角的三角形是钝角三角形．
5．三角形的分类(按角分)：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形；三角形的分类(按边分)：不等边三角形和等腰三角形．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图所示，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形并指出所有以E为顶点的角．
【互动探索】(引发学生思考)根据三角形的定义，让不在同一条直线上的三个点组合即可．
【解答】图中共有7个三角形，分别是：△ABC、△ABF、△ABE、△ADE、△AEF、△BCF、△BDE.
以E为顶点的角是∠AEF、∠AED、∠DEB、∠DEF、∠AEB、∠BEF.
【互动总结】(学生总结，老师点评)找的时候要有顺序，注意要不重不漏地找到所有三角形，一般从一边开始，依次进行．
【例2】△ABC的周长为22 cm，AB边比AC边长2 cm，BC边是AC边的一半，求△ABC三边的长．
【互动探索】(引发学生思考)设BC＝x cm→用含x的式子表示出AC、AB→由周长为22 cm列出方程→求解得出各边长．
【解答】设BC＝x cm，则AC＝2x cm，AB＝(2x＋2)cm.
∵△ABC的周长为22 cm，
∴2x＋2x＋2＋x＝22，
解得x＝4，
∴AC＝8 cm，BC＝4 cm，AB＝10 cm.
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了三角形的周长公式，根据题意得出关于三角形周长的方程是解题的关键．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；③三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中正确的有 ( B )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．如图，图中直角三角形共有 ( C )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3．已知一个三角形的周长为27 cm，三边长的比为2∶3∶4，则最长边比最短边长6cm.
4．如图，BD是长方形ABCD的一条对角线，CE⊥BD于点E.
(1)写出图中所有的直角三角形；
(2)写出图中的锐角三角形和钝角三角形．
解：(1)直角三角形有：△ABD、△BCD、△BCE、△CDE. (2)锐角三角形：△ABE；钝角三角形：△ADE.
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
三角形
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时 三角形的高、中线与角平分线
教学目标
一、基本目标
1．掌握三角形的高、中线和角平分线的概念．
2．会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线，通过画图了解三角形的三条高(及所在直线)、三角形的三条中线和三条角平分线分别交于一点．
二、重难点目标
【教学重点】
理解三角形的高、中线与角平分线．
【教学难点】
会利用三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点解决问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P75的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.
2．在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线.三角形的三条中线相交于一点.
3．在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
1．用工具准确画出三角形的高．
如图，线段AD是△ABC中BC边上的高．
注意：标明垂直的记号和垂足的字母．
教师点拨：回忆并演示“过一点画已知直线的垂线”画法．
讨论：分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的高，观察高与三角形的位置关系．
结论：由作图可得：(1)三角形的三条高线相交于一点；(2)锐角三角形的三条高线相交于三角形的内部；(3)钝角三角形的三条高线相交于三角形的外部；
(4)直角三角形的三条高线相交于三角形的直角顶点.
2．画三角形的中线．
如图，线段AD是△ABC中BC边上的中线．
讨论：分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的中线，观察中线与三角形的位置关系．
结论：由作图可得：(1)三角形的三条中线相交于一点；(2)锐角三角形的三条中线相交于三角形的内部；(3)钝角三角形的三条中线相交于三角形的内部；
(4)直角三角形的三条中线相交于三角形的内部.
3．画三角形的角平分线．
如图，线段AD是△ABC的一条角平分线，则图中∠BAD＝∠CAD.
讨论：分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的角平分线，观察角平分线与三角形的位置关系．
结论：由作图可得：(1)三角形的三条角平分线相交于一点；(2)锐角三角形的三条角平分线相交于三角形的内部；(3)钝角三角形的三条角平分线相交于三角形的内部；(4)直角三角形的三条角平分线相交于三角形的内部.
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，在△ABC中，EF∥AC，BD⊥AC于点D，交EF于点G，则下列选项中错误的是 ( C )
A．BD是△ABC的高 B．CD是△BCD的高
C．EG是△ABD的高 D．BG是△BEF的高
第1题
第2题
2．如图，DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝60°，那么∠EDC＝30度．
3．如图所示，CD为△ABC中AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3，BC＝8，求边AC的长．
解：∵CD为△ABC中AB边上的中线，∴AD＝BD.∵△BCD的周长比△ACD的周长大3，∴(BC＋BD＋CD)－(AC＋AD＋CD)＝3，∴BC－AC＝3.∵BC＝8，∴AC＝5.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例题】如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝110°，AD是BC边上高线，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数．
【互动探索】根据三角形的内角和等于180°列式求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAE，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，然后根据∠DAE＝∠BAD－∠BAE计算即可得解．
【解答】∵∠B＝30°，∠ACB＝110°，
∴∠BAC＝180°－30°－110°＝40°.
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝×40°＝20°.
∵∠B＝30°，AD是BC边上高线，
∴∠BAD＝90°－30°＝60°，
∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝60°－20°＝40°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了三角形的角平分线和高，熟记概念并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
三角形的三线
练习设计
请完成本课时对应练习！
9．1.2 三角形的内角和与外角和
教学目标
一、基本目标
1．理解“三角形的内角和等于180°”．
2．掌握三角形的外角的定义和性质．
3．使学生能熟练灵活地利用三角形内角和、外角和以及外角的两条性质进行有关计算．
二、重难点目标
【教学重点】
1．三角形内角和定理．
2．与三角形的外角有关的性质．
【教学难点】
1．三角形内角和定理的推导、验证过程．
2．三角形外角的性质推理．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P76～P79的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．探索三角形的内角和都为180°.
(1)在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码．
(2)把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，如图，用量角器量出∠BCD的度数，可得到∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.
(3)把∠B和∠C剪下按下图拼在一起，如图，用量角器量一量∠MAN的度数，可得到∠BAC＋∠B＋∠C＝180°.
(4)三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
2．在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C＝40°.
3．如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
4．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．
5．△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD＝120°.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，DF⊥AB交AB于点F，交AC于点E，若∠A＝46°，∠D＝50°，求∠ACB的度数．
【互动探索】(引发学生思考)DF⊥AB，∠D＝50°→得∠B的度数，结合∠A＝46°→得∠ACB的度数(三角形内角和定理)．
【解答】在△DFB中，∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°.
∵∠D＝50°，∠DFB＋∠D＋∠B＝180°，
∴∠B＝40°.
在△ABC中，∵∠A＝46°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝94°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)求三角形的内角，一般和三角形内角和定理有关，解决问题时要根据图形特点，在不同的三角形中，灵活运用三角形内角和定理求解．
【例2】如图所示，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．
【互动探索】(引发学生思考)∠A与已知角不在同一个三角形内→考虑作辅助线，如图→利用三角形的外角性质求解．
【解答】如图，延长BP交AC于点E，则∠BPC、∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，
∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，
∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE＝150°－30°＝120°，
∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类题的一般方法是作辅助线，利用三角形的外角的性质将已知与未知的角联系起来是计算角的度数的方法．此题也可以延长CP与AB相交，还可以连结AP并延长与BC相交，同学们可以自己尝试另外两种解法．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于 ( B )
A．120° B．105°
C．60° D．45°
2．在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝50°.
3．已知三角形三个内角的度数之比为1∶3∶5，则这三个内角的度数分别为20°，60°，100°.
4．求下列各图中∠1的度数．
解：左图：∠1＝90°；中图：∠1＝80°；右图：∠1＝95°.
5．已知△ABC中，DE∥BC，∠AED＝50°，CD平分∠ACB，求∠CDE的度数．
解：∵DE∥BC，∠AED＝50°，∴∠ACB＝∠AED＝50°.∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACB＝25°.∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝25°.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，点P是△ABC内一点．
(1)求证：∠BPC＞∠A；
(2)若PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，∠A＝40°，求∠P的度数．
【互动探索】(1)延长BP交AC于点D(如图)，根据△PDC外角的性质知∠BPC＞∠1，根据△ABD外角的性质知∠1＞∠A，所以易证∠BPC＞∠A；(2)由三角形内角和定理求出∠ABC＋∠ACB＝140°，由角平分线和三角形内角和定理即可得出结果．
【解答】(1)证明：延长BP交AC于点D，如图所示．
∵∠BPC是△CDP的一个外角，∠1是△ABD的一个外角，
∴∠BPC＞∠1，∠1＞∠A，
∴∠BPC＞∠A.
(2)在△ABC中，∵∠A＝40°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝180°－40°＝140°.
∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB.
在△ABC中，∠P＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－×140°＝110°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了三角形的外角性质、三角形内角和定理、三角形的角平分线定义；熟练掌握三角形的外角性质和三角形内角和定理是解决问题的关键．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！
9．1.3 三角形的三边关系
教学目标
一、基本目标
1．掌握三角形三边关系．
2．利用三角形三边关系判断三条线段能否组成三角形以及已知三角形的两边会求第三边的取值范围．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握三角形三边关系．
【教学难点】
三角形三边关系的应用．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P80～P81的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．三角形三边关系：三角形的任意两边之和小于第三边．
2．推论：三角形两边的差小于第三边．
3．如果三角形三边的长度固定，那么三角形的形状和大小就能唯一确定下来．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.
4．如图是一个由四根木条钉成的框架，拉动其中两根木条后，它的形状将会改变，若固定其形状，下列有四种加固木条的方法，不能固定形状的是钉在________两点上的木条. ( D )
A．A、F B．C、E
C．C、A D．E、F
5．以下列各组线段为边，能组成三角形的是 ( B )
A．2,3,5 B．5,6,10
C．1,1,3 D．3,4,9
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是( )
A．1 B．2
C．8 D．11
【互动探索】(引发学生思考)设第三边的长为x.
根据三角形的三边关系，可得7－3＜x＜7＋3，即4＜x＜10，
所以此三角形第三边的长可能是8，故选C.
【答案】C
【互动总结】(学生总结，老师点评)已知三角形的两边长，则第三边长的范围为大于两边差且小于两边和．
【例2】用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长为4厘米的等腰三角形吗？
【互动探索】(引发学生思考)(1)理解题意，得出等腰三角形的周长是18厘米→列方程求解；(2)知道等腰三角形的周长为18厘米→分类讨论，已知边是腰还是底边→得三角形另外两边长→三角形三边关系进行判断．
【解答】(1)设底边长为x厘米，则腰长为2x厘米．
根据题意，得x＋2x＋2x＝18，解得x＝3.6.
∴三边长分别为3.6厘米，7.2厘米，7.2厘米．
(2)①当4厘米长为底边，设腰长为x厘米，
则4＋2x＝18，解得x＝7.
∴等腰三角形的三边长为7厘米，7厘米，4厘米；
②当4厘米长为腰长，设底边长为x厘米，
则4×2＋x＝18.解得x＝10.
∵4＋4<10，
∴此时不能构成三角形．
∴能围成有一边的长为4厘米的等腰三角形，且三边长分别为7厘米，7厘米和4厘米．
【互动总结】(学生总结，老师点评)当已知等腰三角形的周长和一边长时，需要分类讨论已知的一边长是腰还是底边，再解决问题．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．一个三角形的两边长分别为5 cm和3 cm，第三边也是整数，且周长是偶数，则第三边长是( B )
A．2 cm或4 cm B．4 cm或6 cm
C．4 cm D．2 cm或6 cm
2．已知a、b、c为三角形的三边，则︱a＋b―c︱－︱b－c－a︱的化简结果是 ( D )
A．2a B．－2b
C．2a＋2b D．2b－2c
3．已知等腰三角形的两边长分别为4 cm和6 cm，且它的周长大于14 cm，则第三边长为6 cm.
4．三角形的三边长是三个连续的自然数，且三角形的周长小于20，求三边的长．
解：2,3,4；3,4,5；4,5,6；5,6,7.
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
三角形的三边关系
练习设计
请完成本课时对应练习！
9．2 多边形的内角和与外角和
第1课时 多边形的内角和
教学目标
一、基本目标
1．了解多边形的有关概念．
2．理解并掌握多边形的内角和公式．
二、重难点目标
【教学重点】
多边形内角和公式．
【教学难点】
探索多边形内角和公式的推导过程．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P83～P86的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．三角形的内角和为180°.
2．如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形.
3．探究四边形的内角和是多少？
(1)展示1：分成2个三角形 180°×2＝360°；
(2)展示2：分割成3个三角形180°×3－180°＝360°.
(3)展示3：分割成4个三角形180°×4－360°＝360°；
4．将下表填写完整：
多边形 的边数 3 4 5 6 7 … n
从一个顶 点出发画 对角线的 条数 0 1 2 3 4 … n－3
分成三角 形的个数 1 2 3 4 5 … n－2
多边形的 内角和 180° 360° 540° 720° 900° … (n－2)×180°
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例题】已知n边形的内角和等于900°，试求出n边形的边数．
【互动探索】(引发学生思考)多边形的内角和公式→建立等式→求得多边形的边数．
【解答】由题意，得(n－2)·180°＝900°，
解得n＝7.
即n边形的边数是7.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是( C )
A．4 B．5
C．6 D．7
2．正十二边形的每一个内角的度数为( C )
A．120° B．135°
C．150° D．1080°
3．八边形内角和的度数是1080°.
4．如图所示，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数为540°.
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
多边形的内角和：n边形的内角和为(n－2)×180°.
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时 多边形的外角和
教学目标
一、基本目标
多边形的外角和是360°及其简单运用．
二、重难点目标
【教学重点】
多边形的外角和．
【教学难点】
探索多边形外角和推导过程．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P86～P87的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°，n边形的内角和为(n－2)×180°.
2．任意多边形的外角和为360°.
3．正十边形的每一个内角的度数为( D )
A．120° B．135°
C．140° D．144°
4．一个正n边形的每一个外角都是36°，则n＝( D )
A．7 B．8
C．9 D．10
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数和内角和．
【互动探索】(引发学生思考)多边形的内角和公式→建立等式→求得多边形的边数→得出多边形的内角和．
【解答】设这个多边形的边数为n.
根据题意，得(n－2)×180°＝3×360°－180°，
解得n＝7.
所以这个多边形的内角和为(7－2)×180°＝900°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为( C )
A．360° B．540°
C．720° D．900°
2．已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260°，则这个多边形边数是11.
3．正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是18.
4．内角和与外角和相等的多边形是四边形．
5．将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝220°，则∠5＝40°.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30度，再沿直线前进10米，又向左转30度，这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走了多少米？
【互动探索】确定小亮走过的是什么图形(正多边形)→利用正多边形的外角和是360°求得边数→确定小亮走的路程．
【解答】∵小亮每次都是沿直线前进10米后向左转30度，
∴他走过的图形是正多边形，
∴边数n＝360°÷30°＝12，
∴他第一次回到出发点A时，一共走了12×10＝120(米)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了正多边形的边数的求法和多边形的外角和，根据题意判断出小亮走过的图形是正多边形是解题的关键．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
多边形的外角和：任意多边形的外角和为360°.
练习设计
请完成本课时对应练习！
9．3 用正多边形铺设地面
9．3.1 用相同的正多边形
教学目标
一、基本目标
1．通过用相同的正多边形拼地板的活动，巩固多边形的内角和与外角和公式．
2．通过“拼地板”和有关计算，使学生从中发现能拼成一个不留空隙，又不重叠的平面图形的关键是围绕一点拼在一起的几个多边形的内角相加要等于360°.
二、重难点目标
【教学重点】
正多边形进行密铺的原理．
【教学难点】
掌握用哪些正多边形可以进行密铺．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P88～P89的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．完成下表：
正多边 形的 边数 3 4 5 6 7 … n
正多边 形的内 角和 180° 360° 540° 720° 900° … (n－2)×180°
正多边 形每个 内角的 大小 60° 90° 108° 120° 128.5° …
2.当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个平面图形，即可以铺满地面．
3．用一种正多边形铺地面时，需要的条件是这种正多边形的每个内角都能被360o整除．
4．小王到瓷砖店购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是( D )
A．正三角形 B．正四边形
C．正六边形 D．正八边形
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图所示，有一边长为8米的正方形大厅，它是由黑白完全相同的方砖密铺而成．求一块方砖的边长．
【互动探索】(引发学生思考)正方形大厅中共用方砖多少块？正方形大厅的面积与方砖有什么关系？
【解答】根据题意可知，共有32块方砖，
所以每块方砖的面积为8×8÷32＝2(平方米)，
故一块方砖的边长为米．
【互动总结】(学生总结，老师点评)正方形大厅的四个角处的白方砖正好组成一块白方砖，各边上的残缺白瓷砖正好组成6块完整的白瓷砖，那么共有32块瓷砖．求出每块瓷砖的面积，进而求得边长即可．
【例2】如图所示，已知等边三角形ABC的边长为1，按图中所示的规律，用2019个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是( )
A．2018 B．2019
C．2020 D．2021
【互动探索】(引发学生思考)观察图形可知，第一个三角形的周长是3，利用2个三角形成的第1个四边形的周长是3＋1＝4，利用3个三角形成的第2个四边形的周长是3＋2＝5，利用4个三角形成的第3个四边形的周长是3＋3＝6，…，利用n个三角形成的第n－1个四边形的周长就是3＋n－1＝n＋2，所以用2019个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是n＋2＝2019＋2＝2021.
【答案】D
【互动总结】(学生总结，老师点评)解答本题关键是得出利用n个三角形进行镶嵌而成的四边形的周长规律．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列几种形状的瓷砖中，只用一种不能够铺满地面的是( B )
A．正六边形 B．正五边形
C．正方形 D．正三角形
2．只用一种正六边形地砖密铺地板，则能围绕在正六边形的一个顶点处的正六边形地砖有( A )
A．3块 B．4块
C．5块 D．6块
3．如果只用一种正多边形做平面密铺，而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有6个正多边形，则该正多边形的每个内角度数为60°.
4．在一个边长为10 m的正六边形地面，用边长为50 cm的正三角形瓷砖铺满，则需这样的瓷砖2400块．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
用一种正多边形铺地面时，需要的条件是这种正多边形的每个内角都能被360o整除．
练习设计
请完成本课时对应练习！
9．3.2 用多种正多边形
教学目标
一、基本目标
通过用两种以上的正多边形拼地板，提高学生观察、分析、概括、抽象等能力．
二、重难点目标
【教学重点】
寻找用哪几种正多边形能铺满地面．
【教学难点】
用列举法根据铺满地面的条件，设计铺设地面的方案．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P90～P91的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．下列图形中能单独进行镶嵌的是 ( B )
A．正五边形 B．正六边形
C．正八边形 D．正十二边形
2．当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个平面图形，即可以铺满地面．
3．一幅美丽的图案，在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中的三个分别为正三角形，正方形，正六边形，那么另外一个是 ( B )
A．正三角形 B．正方形
C．正五边形 D．正六边形
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖，从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第9层中含有正三角形个数是( )
A．54个 B．102个
C．90个 D．114个
【互动探索】(引发学生思考)观察图形可知，第1层包括6个正三角形，第2层包括18个正三角形，…，则每一层比上一层多12个，所以第9层中含有正三角形的个数是6＋12×8＝102(个)．
【答案】B
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了平面镶嵌(密铺)问题，此题要注意能够分别找到三角形和正方形的个数的规律．
【例2】如图是小亮家里地面上铺设的正方形地板砖，上面的图案由一个小正方形和四个等腰梯形组成，小明发现地板上有正八边形图案，那么地板上的两个正八边形图案需要这样的地板砖至少( )
A．6块 B．8块
C．10块 D．12块
【互动探索】(引发学生思考)由正多边形铺满地面的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°.
∵正方形的一个内角为90°，
∴同一顶点处等腰梯形的一个内角为(360－90)÷2＝135°.
又∵正八边形的内角为180°－360°÷8＝135°，
∴小正方形的边长即为正八边形的边长，画图如下：
则两个正八边形图案需要这样的地板砖至少8块．
【答案】B
【互动总结】(学生总结，老师点评)解题时画出图形分析，并利用正八边形的性质得出答案．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列正多边形中，与正八边形组合能够铺满地面的是( B )
A．正三角形 B．正方形
C．正五边形 D．正六边形
2．阳光中学阅览室在装修过程中，准备用边长相等的正方形和正三角形两种地砖铺满地面，在每个顶点周围正方形、正三角形地砖的块数可以是( B )
A．正方形2块，正三角形2块
B．正方形2块，正三角形3块
C．正方形1块，正三角形2块
D．正方形2块，正三角形1块
3．下列四组多边形中，能铺满地面的是①②③④.
①正六边形与正三角形；
②正十二边形与正三角形；
③正八边形与正方形；
④正三角形与正方形．
4．用正多边形镶嵌，设在一个顶点周围有m个正方形，n个正八边形，则m＝1，n＝2.
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
几种边长相等的正多边形能密铺要满足围绕一点拼在一起的几种正多边形的内角和为360°.
练习设计
请完成本课时对应练习！
