10．1 轴对称
10．1.1 生活中的轴对称
教学目标
一、基本目标
1．通过观察、分析现实生活实例和典型图形的过程，认识轴对称和轴对称图形．
2．会找出简单的轴对称图形的对称轴，了解轴对称和轴对称图形的联系和区别．
二、重难点目标
【教学重点】
轴对称图形的概念及判断图形是否是轴对称图形．
【教学难点】
1．寻找轴对称图形的对称轴．
2．轴对称图形与成对称轴的区别与联系．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P98～P100的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．如果一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴.
2．把一个图形沿某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称；这条直线就是对称轴.两个图形中的对应点(即两个图形重合时互相重合的点)叫做对称点.
3．轴对称图形(或成轴对称的两个图形)的对应线段(对折后重合的线段)相等，对应角(对折后重合的角)相等.
4．下列体育运动标志中，从图案看不是轴对称图形的有 ( B )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】下列图标中，是轴对称图形的是( )
【互动探索】(引发学生思考)根据轴对称图形的概念可知，只有D是轴对称图形．
【答案】D
【互动总结】(学生总结，老师点评)如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形．
【例2】如图，△ABC和△AED关于直线l对称，若AB＝2 cm，∠C＝95°，则AE＝________，∠D＝________.
【互动总结】(引发学生思考)根据轴对称的性质，有AE＝AB＝2 cm，∠D＝∠C＝95°.
【答案】2 cm 95°
【互动总结】(学生总结，老师点评)根据成轴对称的两个图形的对应线段相等，对应角相等．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列图形中，不是轴对称图形的是( C )
2．下面的图形中，是轴对称图形的是 ( D )
3．如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为 ( B )
A．4 cm2 B．8 cm2
C．12 cm2 D．16 cm2
4．观察下图中各组图形，其中成轴对称的为①②④.(填序号)
5．如图所示，哪一组的右边图形与左边图形成轴对称？
解：④⑤⑥中右边图形与左边图形成轴对称．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图所示是4×5的方格纸，请在其中选取一个白色的方格并涂黑，使图中阴影部分是一个轴对称图形，这样的涂法有( )
A．4种 B．3种
C．2种 D．1种
【互动探索】根据轴对称图形的概念可知，一共有3种涂法，如下图所示：
【答案】B
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了轴对称图形的知识，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
生活中的轴对称
练习设计
请完成本课时对应练习！
10．1.2 轴对称的再认识
教学目标
一、基本目标
1．掌握用“连结对称点的线段被对称轴垂直平分”验证一个图形是不是轴对称图形．
2．能熟练画出轴对称图形的对称轴．
3．通过动手操作探索轴对称的性质，运用轴对称性质解决实际问题．
二、重难点目标
【教学重点】
线段垂直平分线概念的理解及作法，画轴对称图形的对称轴．
【教学难点】
归纳总结画轴对称图形对称轴的方法．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P102～P104的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.线段是轴对称图形，它的对称轴是垂直平分线.
2．角是轴对称图形，它的对称轴是它的角平分线所在的直线．
3．如果一个图形是轴对称图形，那么连结对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴.
4．以下图标中，是轴对称图形的有 ( C )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】下列轴对称图形中，恰好有两条对称轴的是( )
A．正方形 B．等腰三角形
C．长方形 D．圆
【互动探索】(引发学生思考)A.正方形有四条对称轴；B.等腰三角形有一条对称轴；C.长方形有两条对称轴；D.圆有无数条对称轴．故选C.
【答案】C
【互动总结】(学生总结，老师点评)判断轴对称的条数，仍然是根据定义进行判断，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，注意不要遗漏．
【例2】找出下列图形的所有的对称轴，并画出来．
【互动探索】(引发学生思考)找到并连结对称点，作出对称点的连线的垂直平分线．
【解答】所画对称轴如下所示：
【互动总结】(学生总结，老师点评)如果图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列图形中，对称轴最多的是 ( D )
A．等边三角形 B．正方形
C．角 D．圆
2．图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线( C )
A．l1 B．l2
C．l3 D．l4
3．试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格．
正多边形的边数 3 4 5 6 7 …
对称轴的条数 3 4 5 6 7 …
根据上表，猜想正n边形有n条对称轴．
4．如图，作出它们的对称轴．
解：如图所示．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
轴对称的再认识
练习设计
请完成本课时对应练习！
10．1.3 画轴对称图形
教学目标
一、基本目标
1．掌握作已知图形关于直线的轴对称图形的方法．
2．在探索问题的过程中体会知识间的关系，并从实践中体会轴对称变换在实际生活中的应用，感受数学与生活的联系．
二、重难点目标
【教学重点】
让学生识别轴对称图形与画轴对称图形的对称轴．
【教学难点】
作平面图形关于直线的轴对称图形．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P105～P106的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．画出下列轴对称图形的所有对称轴．
略
2．由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样；新图形上一个点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.
3．几何图形都可以看作由点组成，只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连结这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】画出△ABC关于直线l的对称图形．
【互动探索】(引发学生思考)画已知图形关于直线对称的图形的关键是什么？
【解答】如图所示：
【互动总结】(学生总结，老师点评)画一个图形关于某条直线对称的图形的方法：先确定一些特殊的点，然后作这些特殊点的对称点，最后顺次连结即可．
【例2】如图，将长方形ABCD沿DE折叠，使A点落在BC上的F处，若∠EFB＝60°，则∠CFD＝( )
A．20° B．30°
C．40° D．50°
【互动探索】(引发学生思考)根据图形翻折变换可知，∠EAD＝∠EFD＝90°.∵∠EFB＝60°，∴∠CFD＝30°，故选B.
【答案】B
【互动总结】(学生总结，老师点评)折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下面是四位同学作△ABC关于直线MN的轴对称图形的方法，其中正确的是 ( B )
2．如图所示，以虚线为对称轴画出图形的另一半．
解：如图所示：
3．在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF.
解：如图所示：
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
作与图形成轴对称的图形，关键在于将图形抽象成各点，然后作点的对称点，再连线即可．
练习设计
请完成本课时对应练习！
10．1.4 设计轴对称图形
教学目标
一、基本目标
1．使学生能设计简单的轴对称图案．
2．使学生能够欣赏现实生活中的轴对称图形．
二、重难点目标
【教学重点】
利用称轴对进行图案设计．
【教学难点】
寻找对称轴以及如何利用对称轴作轴对称图形．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P107～P108的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．下列各图，均是圆与等边三角形的组合，其中不是轴对称图形的是 ( B )
2．观察下列轴对称图形的构成，然后在答题纸横线上画出恰当的图形．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】某居民小区搞绿化，要在一块长方形空地(如下图)上建花坛，现征集设计方案，要求设计的图案由圆和正方形组成(圆与正方形的个数不限)，并且使整个长方形场地成轴对称图形．请在下边长方形中画出你的设计方案．
【互动探索】(引发学生思考)长方形是轴对称图形吗？正方形和圆呢？怎样设计图案才能保证其成轴对称图形？
【解答】如图所示(答案不唯一)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用轴对称可以设计出精美的图案，一个图形经过不同位置的几次变换，若再结合平移、旋转等，便可以得到非常美丽的图案．
【例2】将一个四边形纸片依次按图1、2的方式对折，然后沿图3中的虚线裁剪成图4样式．将纸片展开铺平，所得到的图形是图中的( )
【互动探索】(引发学生思考)严格按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个和菱形位置基本一致的正方形．故选A.
【答案】A
【互动总结】(学生总结，老师点评)对于此类问题，只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
【例3】如图，A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM、ON上各求作一点B、C，组成△ABC，使△ABC的周长最小．
【互动探索】(引发学生思考)分别作点A关于OM的对称点A′、关于ON的对称点A″，连结A′A″，则A′A″与OM交点为点B的位置，与ON交点为点C的位置．
【解答】如图所示，点B、C即为所求作的点．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类问题时，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用轴对称知识的是 ( C )
2．将一张正方形纸片按如图1，图2所示的方向对折，然后沿图3中的虚线剪裁得到图4，将图4的纸片展开铺平，再得到的图案是 ( B )
3．小明设计了这样一个游戏：在4×4方格内有3个小圆，其余方格都是空白，请你分别在下面四个图中的某个方格内补画一个小圆，使补画后的图形为轴对称图形．
解：如图所示，答案不唯一，参见下图．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
轴对称图形给人以美感，所以人们常利用轴对称来设计图案．
练习设计
请完成本课时对应练习！
10．2 平 移
10．2.1 图形的平移
教学目标
一、基本目标
1．认识平移现象，判断平移现象．
2．掌握平移的定义和性质，理解平移的基本内涵．
二、重难点目标
【教学重点】
理解并掌握平移的相关概念．
【教学难点】
掌握两次连续平移的方法，正确判断平移的距离．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P112～P113的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．平面图形在它所在的平面上的平行移动，简称为平移.它由移动的方向和距离所决定的．
2．一个图形经过平移后得到一个新图形，这个图形能够与原图形相互重合，只是位置发生了变化，我们把互相重合的点称为对应点，互相重合的角称为对应角，互相重合的线段称为对应线段.
3．下列运动属于平移的是 ( A )
A．急刹车时汽车在地面上的滑动
B．冷水加热中，小气泡上升为大气泡
C．随风飘动的风筝在空中的运动
D．随手抛出的彩球的运动
4．图中的小船通过平移后可得到的图案是 ( B )
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，△DEF是△ABC平移后得到的三角形，点P在AC上，线段BP在平移中漏掉了，请你在△DEF中补上，然后指出图中的对应点、对应线段、对应角．
【互动探索】(引发学生思考)怎样确定线段BP平移后的线段？怎样找出对应点、对应线段对应角？
【解答】如图，EG为BP平移后的对应线段．
对应点：点A与点D，点B与点E，点C与点F，点P与点G.
对应线段：AB与DE，BC与EF，AC与DF，BP和EG.
对应角：∠A和∠D，∠ABC和∠DEF，∠C和∠F.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了利用平移变换作图，熟记平移变换的性质是解题的关键．
【例2】如图，在长20米，宽10米的长方形草地内修建了宽2米的道路，则草地的面积为________.
【互动探索】(引发学生思考)将道路分别向左、向上平移，得到草地为一个长方形，分别求出长方形的长和宽，再用长和宽相乘即可．
如图所示，∵草地的长方形的长为20－2＝18(米)，宽为10－2＝8(米)，∴草地面积为18×8＝144(平方米)．
【答案】144平方米
【互动总结】(学生总结，老师点评)解题时运用平移，将道路分别向左、向上平移，得到草地为一个长方形是解题的关键．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图所示，下列每组图形中的两个三角形不是通过平移得到的是 ( B )
2．下列现象：①电风扇的转动；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④传送带上瓶装饮料的移动．其中属于平移的是②④.
3．如图，△A′B′C′是由△ABC平移得到的，写出图中的对应点、对应线段和对应角．
解：对应点：点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′.
对应线段：AB与A′B′，BC与B′C′，AC与A′C′.
对应角：∠A和∠A′，∠C和∠A′B′C′，∠ABC和∠B′.
4．如图所示，一张白色正方形纸片的边长是10 cm，被两张宽为2 cm的阴影纸条分为四个白色的长方形部分，请你利用平移的知识求出图中白色部分的面积．
解：把图中的阴影部分平移到正方形纸片相邻的两边上，这时图中的四个白色长方形变成了一个正方形，边长为10－2＝8(cm)，所以面积为82＝64(cm2)，故图中白色部分的面积为64 cm2.
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
图形的平移
练习设计
请完成本课时对应练习！
10．2.2 平移的特征
教学目标
一、基本目标
1．能根据所给条件作简单的平面图形平移后的图形．
2．理解平移时对应点所连线段平行(有时在同一条直线上)且相等，对应线段平行(有时在同一条直线上)且相等以及对应角相等的理论．
二、重难点目标
【教学重点】
平移的特征和平移的基本性质．
【教学难点】
准确理解平移的特征和平移的基本性质．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P114～P116的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．如图，△A′B′C′是由△ABC平移得到的．
我们知道A′B′∥AB，A′B′＝AB，∠B′＝∠B，同时也有A′C′∥AC，A′C′＝AC，∠C′＝∠C.
结论：平移后的图形与原图形的对应线段平行且相等(也可能在同一条直线上)，对应角相等，图形的形状和大小不变.
2．如图，△ABC沿着PQ的方向平移到△A′B′C′的位置．
我们可以看到，△ABC上的每一点都作了相同的平移：A→A′，B→B′，C→C′.不难发现，AA′∥BB′∥CC′；AA′＝BB′＝CC′.
结论：平移后对应点所连的线段平行并且相等.
3．如图，若把△ABC沿着BC的方向平移到△A′B′C′的位置，在平移过程中，对应点所连的线段也可能在一条直线上．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图在8×8的正方形网格中，△ABC的每个顶点都在格点(每个小正方形的顶点)上，把△ABC先向右平移4个单位，再向上平移3个单位得△A1B1C1.
(1)作出平移后的△A1B1C1；
(2)求△A1B1C的面积．
【互动探索】(引发学生思考)(1)图形经过了几次平移？怎样作出多次平移后的图形？(2)可直接求出△A1B1C的面积吗？△A1B1C的面积能转换成哪些面积的和(差)?
【解答】(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．
(2)由图可知，△A1B1C的面积为×3×6－×2×2－×1×4－1×2＝3.
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法等知识，根据题意正确把握平移的性质是解题关键．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连结对应点即可得到平移后的图形．
【例2】如图，原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC方向平移线段BE的距离，就得到此图形，下列结论正确的有( )
①AC∥DF；②HE＝5；③CF＝5；④阴影部分面积为.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【互动探索】(引发学生思考)①由对应线段平行可得AC∥DF，正确；②对应线段相等可得AB＝DE＝8，则HE＝DE－DH＝8－3＝5，正确；③平移的距离CF＝BE＝5，正确；④S四边形HDFC＝S梯形ABEH＝(AB＋EH)·BE＝×(8＋5)×5＝，错误．
【答案】C
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．本题关键要找到平移的对应点．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列说法正确的是 ( B )
A．两个全等的图形可看作其中一个是由另一个平移得到的
B．由平移得到的两个图形对应点连线互相平行(或共线)
C．由平移得到的两个等腰三角形周长一定相等，但面积未必相等
D．边长相等的两个正方形一定可以通过平移得到
2．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长是 ( B )
A．8 B．10
C．12 D．16
3．如图，在5×5的方格纸中，将如图1的三角形甲平移到如图2所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形．正确的平移方法可以先将甲向下平移3格，再向 右 平移 2 格得到．
4．如图，三角形DEF是由三角形ABC通过平移得到，且点B、E、C、F在同一条直线上，若BF＝14，EC＝6，则BE的长度是4.
5．如图，已知△ABC的面积为16，BC的长为8，现将△ABC沿BC向右平移m个单位到△A′B′C′的位置．若四边形ABB′A′的面积为32，求m的值．
解：如图，过点A向BC作垂线，垂足为H.∵△ABC的面积＝16，BC＝8，∴BC·AH＝16，∴×8×AH＝16，解得AH＝4.又∵四边形ABB′A′的面积为32，∴BB′×4＝32，∴BB′＝8，∴m＝BB′＝8.
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
平移的特征
练习设计
请完成本课时对应练习！
10．3 旋 转
10．3.1 图形的旋转
教学目标
一、基本目标
1．通过具体实例认识旋转．
2．了解旋转的定义，能说出旋转中心、旋转角．
二、重难点目标
【教学重点】
旋转的有关概念．
【教学难点】
会找出旋转前后图形中的对应点、对应线段、对应角、旋转中心、旋转角．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P118～P121的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点.
2．下列运动属于旋转的是 ( B )
A．滚动过程中的篮球的滚动
B．钟表的钟摆的摆动
C．气球升空的运动
D．一个图形沿某直线对折的过程
3．如图，△ABC绕着A点旋转45°后到△AB′C′.
(1)它的旋转中心是点A.
(2)它的旋转的角度是45°.
(3)点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′.
(4)线段AB与线段AB′，线段AC与线段AC′，线段BC与线段B′C′是对应线段．
(5)∠BAC和∠B′AC′，∠B与∠B′，∠C与∠C′是对应角．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】(教材P120例1)如图，△ABC是等边三角形，D是BC上一点，△ABD经过逆时针旋转后到达△ACE的位置．
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转了多少度？
(3)如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？
温馨提示：详细见教材P120例1.
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为 ( C )
A．30° B．45°
C．90° D．135°
2．如图所示，把菱形ABOC(四条边都相等)绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中，不是旋转角的为 ( D )
A．∠BOF B．∠AOD
C．∠COE D．∠AOF
3．如图，△OAB绕点O按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：旋转中心是点O，经过旋转，点A转到点E，点B转到点F，线段OA、OB、AB分别转到OE、OF、EF，∠A的对应角是∠E，∠B的对应角是∠F，∠AOB的对应角是∠EOF.
4．在钟面上从2点到2点16分，分针旋转的度数是96°.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】钟表的分针匀速旋转一周需要60分，如图所示．
(1)指出它的旋转中心；
(2)经过18分，分针旋转多少度？
(3)从12时整开始计时，到几时几分时，分针和时针的旋转角度第一次相差90°？
【互动探索】(1)观察得到旋转中心是钟面圆的圆心；(2)先算出分针每分旋转多少度，再乘18即是经过18分后，分针转过的角度；(3)分针每分走＝6°，时针每分走＝°，第一次成90度角，即分针比时针多走90度，据此进行解答．
【解答】(1)旋转中心是钟表的圆心，即时针与分针的交点．
(2)∵钟表的分针匀速旋转一周需要60分，
∴分针每分旋转＝6°，
∴经过18分，分针转过6°×18＝108°.
(3)设经过x分，分针旋转的角度第一次比时针旋转的角度多90°.
由题意，得6x－x＝90，
解得x＝，
故到12点16分时，分针和时针的旋转角度第一次相差90°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)钟表表盘被分成12大格，每一大格又被分为5小格，故表盘共被分成60小格，每一小格所对角的度数为6°.
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
图形旋转的三要素：旋转中心、旋转角度、旋转方向．
练习设计
请完成本课时对应练习！
10．3.2 旋转的特征
教学目标
一、基本目标
1．通过具体实例认识旋转．
2．理解旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等的性质．
3．能够按照要求作出简单平面图形旋转后的图形．
二、重难点目标
【教学重点】
图形的旋转的特征．
【教学难点】
图形的旋转的特征的应用．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P121～P122的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．图形旋转的特征：图形中的每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转了同样大小的角度；对应点到旋转中心的距离相等；对应线段相等，对应角相等；图形的形状和大小不变.
2．下列关于图形旋转的说法不正确的是 ( D )
A．对应点到旋转中心的距离相等
B．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
C．旋转前后的图形全等
D．旋转后，图形的大小，形状与位置都发生了变化
3．如图，旋转中心是点O，点A、B都是绕着点O旋转45°角到对应点A′、B′，则OA＝OA′，OB＝OB′，AB＝A′B′，∠AOB＝∠A′OB′，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠AOA′＝∠BOB′＝45°.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，已知∠BAC＝40°，把△ABC绕着点A顺时针旋转，使得点B与CA的延长线上的点D重合．
(1)△ABC旋转了多少度？
(2)连结CE，试判断△AEC的形状；
(3)求∠AEC的度数．
【互动探索】(引发学生思考)(1)图中哪些角是旋转角？旋转中对应角有什么特征？(2)AC与AE有什么关系？旋转过程中对应线段有什么特征？(3)∠AEC在哪个三角形中？等腰三角形有什么特征？
【解答】(1)由图可知，∠BAD是旋转角．
∵∠BAC＝40°，点C、A、D共线，
∴∠BAD＝140°，
即△ABC旋转了140°.
(2)由旋转的性质可知，AC＝AE，
∴△AEC是等腰三角形．
(3)由旋转的性质可知，∠CAE＝∠BAD＝140°.
又∵AC＝AE，
∴∠AEC＝(180°－140°)÷2＝20°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是旋转变换的性质，理解旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度的概念、掌握旋转变换的性质是解题的关键．
【例2】如图，△ABC绕点C旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B的对应点的位置，以及旋转后的三角形．
【互动探索】(引发学生思考)旋转作图要满足的三要素是什么？
【解答】(1)如题图，连结CD；
(2)以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE＝∠ACD；
(3)在射线CE上截取CB′＝CB，则B′即为所求的B的对应点；
(4)连结DB′，则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)旋转作图时，首先必须确定旋转中心、旋转方向和旋转角，并根据对应点到旋转中心的距离相等找到对应点．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，△OAB绕点O逆时针旋转85°得到△OCD，若∠A＝110°，∠D＝40°，则∠α的度数是 ( C )
A．35° B．45°
C．55° D．65°
2．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连结AD.下列结论一定正确的是 ( D )
A．∠ABD＝∠E
B．∠CBE＋∠DBE＜180°
C．AD＝BC
D．AD∥BC
3．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE＝，△ABF是△ADE的旋转图形．
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转了多少度？
(3)如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？
解：(1)旋转中心是A点．
(2)∵△ABF是由△ADE旋转而成的，∴B是D的对应点，∴∠DAB就是旋转角．即旋转了90°.
(3)∵∠EAF＝90°(与旋转角相等)且AF＝AE，∴△AEF是等腰直角三角形．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
旋转的特征
练习设计
请完成本课时对应练习！
10．3.3 旋转对称图形
教学目标
一、基本目标
1．理解旋转对称图形和旋转对称的特征．
2．通过探究图形之间的变换关系的过程，发展图形的分析能力，提高“化归”意识和综合运用变换解决实际问题的能力．
二、重难点目标
【教学重点】
认识旋转对称图形．
【教学难点】
求旋转对称图形的最小旋转角．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P122～P124的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．如果一个图形绕某一定点旋转一定角度后能与自身重合，那么这个图形就叫旋转对称图形.
2．某校在暑假放假之前举办了交通安全教育图片展活动．下列四个交通标志图中，是旋转对称图形的是 ( D )
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，下列各图形是否是旋转对称图形？若是，则各绕哪一点最少旋转多少度后，能与它自身重合？
【互动探索】(引发学生思考)什么是旋转对称图形？怎样确定旋转中心和旋转角度？
【解答】(1)是旋转对称图形，绕圆心最少旋转180度后，能与它自身重合．
(2)不是旋转对称图形．
(3)是旋转对称图形，绕圆心最少旋转60度后，能与它自身重合．
(4)是旋转对称图形，绕正方形对角线的交点最少旋转90度后，能与它自身重合．
【互动总结】(学生总结，老师点评)确定旋转对称图形绕旋转中心最少旋转多少度可与自身重合的关键是观察图形可以被从中心发出的射线平分成几部分．
【例2】如图，在△ABC中，以点C为旋转中心，将△ABC旋转到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，且点B′在AB边上，按照上述方法旋转△A′B′C，…，这样共旋转四次恰好构成一个旋转对称图形．
(1)求∠BCB′的度数；
(2)判断△BCB′的形状．
【互动探索】(引发学生思考)(1)旋转四次恰好构成一个旋转对称图形→旋转对称图形被5等分→每次旋转角度为360°÷5→求得∠BCB′的度数． (2)旋转的特征→CB＝CB′→判断△BCB′的形状．
【解答】(1)∵旋转四次恰好构成一个旋转对称图形，
∴∠BCB′＝360°÷5＝72°.
(2)∵△ABC旋转到△A′B′C的位置，
∴CB＝CB′，
∴△BCB′是等腰三角形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一定角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列图形中，旋转对称图形有 ( C )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．如图，该图形围绕其旋转中心按下列角度旋转后，能与自身重合的是 ( B )
A．150° B．120°
C．90° D．60°
3．如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为 ( C )
A．45 B．60
C．72 D．144
4．分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图所示．将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合，则这个旋转角的最小度数是90度．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
旋转对称图形：如果一个图形绕某一定点旋转一定角度后能与自身重合，那么这个图形就叫旋转对称图形．
练习设计
请完成本课时对应练习！
10．4 中心对称
10．4.1 认识中心对称
教学目标
一、基本目标
1．了解中心对称图形和成中心对称图形的概念．
2．理解中心对称的性质．
二、重难点目标
【教学重点】
1．中心对称图形和成中心对称图形的概念．
2．中心对称的性质．
【教学难点】
中心对称和成中心对称的区别与联系．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P127～P128的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．在平面内，一个图形绕着中心旋转180°后能与自身重合，我们把这种图形就叫做中心对称图形，这个中心叫做对称中心.
2．把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么我们就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点，叫做关于中心的对称点.
3．在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分.反过来，如果两个图形的所有对应点连成的线段都经过某一点，并且都被该点平分，那么这两个图形关于这一点成中心对称.
4．判断．
(1)三角形一定不是中心对称图形．(?)
(2)中心对称图形的对称中心是唯一的．(?)
(3)如果成中心对称的两个图形只有一个交点，那么这个点一定是对称中心．(?)
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
【互动探索】(引发学生思考)根据轴对称和中心对称的概念和性质逐一进行判断．选项A是中心对称图形，不是轴对称图形；选项B既是中心对称图形，又是轴对称图形；选项C是轴对称图形，不是中心对称图形；选项D既不是中心对称图形，也不是轴对称图形．
【答案】B
【互动总结】(学生总结，老师点评)识别中心对称图形的方法是根据概念，将这个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与自身重合，那么这个图形就是中心对称图形．
【例2】如图，长方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为________.
【互动探索】(引发学生思考)因为长方形ABCD是中心对称图形，所以△BOF与△DOE关于点O成中心对称，所以图中阴影部分的三个三角形就可以转化到Rt△ADC中．又因为AB＝2，BC＝3，所以Rt△ADC的面积为×3×2＝3，即图中阴影部分的面积为3.
【答案】3
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用中心对称的性质将阴影部分转化到一个直角三角形中来解决更简单．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．观察下列四个平面图形，其中中心对称图形有 ( D )
A．2个 B．1个
C．4个 D．3个
2．已知△ABC和△DEF关于点O对称，相应的对称点如图所示，则下列结论正确的是 ( D )
A．AO＝BO
B．BO＝EO
C．点A关于点O的对称点是点D
D．点D在BO的延长线上
3．图中所有的小正方形都全等，已有4个正方形被涂黑，现将①②③④中某一个涂黑使得它与原来4个小正方形组成的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则要被涂黑的正方形是 ( B )
A．① B．②
C．③ D．④
4．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，∠ABC＝45°，∠B′C′A′＝80°，∠BAC＝55°.
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
认识中心对称
练习设计
请完成本课时对应练习！
10．4.2 画中心对称图形
教学目标
一、基本目标
1．掌握已知对称中心画出一个图形关于这点的对称图形的方法．
2．掌握已知图形上某点关于对称中心的对称点，补全该图关于中心对称的图形的方法．
二、重难点目标
掌握运用中心对称的性质作图的方法．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P130～P131的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．中心对称作图的具体步骤：(1)定：确定对称中心；(2)找：找出表示图形的关键点；(3)作：连结原图形上的特殊点和对称中心并延长连线的一倍，即得到该点关于中心对称的对应点；(4)连：按照原图形顺次连结各对称点，即得到原图形关于中心对称的图形．
2．下列图形中是中心对称图形的是 ( A )
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，已知AD是△ABC的中线，画出以点D为对称中心，与△ABD成中心对称的三角形．
【互动探索】(引发学生思考)确定对称中心→确定关键点的对称点→作出符合要求的图形．
【解答】(1)延长AD，且使AD＝DA′，因为AD是△ABC的中线，所以C点关于D的中心对称点是B(C′)，B点关于中心D的对称点为C(B′)； (2)连结A′B′、A′C′.则△A′B′C′为所求作的三角形，如图所示．
【互动总结】(学生总结，老师点评)作一个图形关于某点的中心对称图形，关键是正确作出特殊点(关键点)的对称点．
【例2】如图，每个小正方形的边长为1个单位长度，作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标．
【互动探索】(引发学生思考)找关于原点对称的点，本质上是对称中心为原点的中心对称作图，故也可以采用中心对称作图的方法确定对称点．
【解答】如图所示：
由图可知，A1(2，－2)，B1(3,0)，C1(1,1)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)在直角坐标系中，关于原点对称的两个点的坐标特点是：横坐标、纵坐标都互为相反数，根据点的坐标确定原图形的顶点的对应点，进而即可作出所求图形．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是 ( A )
A．O1 B．O2
C．O3 D．O4
2．平面直角坐标系中，点P(3，－2)关于原点(0,0)成中心对称的点的坐标是(－3,2).
3．如图，△ABC和△DEF是成中心对称的两个三角形，请找出它们的对称中心．
解：如图所示：
4．如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,1)、B(4,2)、C(3,4)．
(1)请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
(2)请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；
(3)在x轴上求作一点P，使△PAB周长最小，请画出△PAB，并直接写出点P的坐标．
解：(1)点A、B、C向左平移5个单位后的坐标分别为(－4,1)，(－1,2)，(－2,4)，连结这三个点，得△A1B1C1，如图所示：
(2)如图，点A、B、C关于原点的对称点的坐标分别为(－1，－1)，(－4，－2)，(－3，－4)，连结这三个点，得△A2B2C2.
(3)如图，作点A关于x轴的对称点A′，连结A′B交x轴于点P，则点P即为所求作的点．由图可知，P(2,0)．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
中心对称作图简记为：一定；二找；三作；四连．
练习设计
请完成本课时对应练习！
10．5 图形的全等
教学目标
一、基本目标
1．借助具体情境和图案，经历观察、发现和实践操作重叠图形等过程，了解图形全等的意义．
2．了解图形全等的特征．
二、重难点目标
【教学重点】
全等图形的意义及特征．
【教学难点】
识别全等图形．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P133～P135的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
(一)全等多边形．
1．能够完全重合的两个图形叫做全等图形.
2．能够完全重合的两个多边形是全等多边形．全等多边形的对应边相等，对应角相等.
3．边、角分别对应相等的两个多边形全等.
(二)全等三角形．
1．全等三角形的对应边相等，对应角相等.
2．如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】将△ABC沿BC方向平移得到△DEF.
(1)若∠B＝74°，∠F＝26°，求∠A的度数；
(2)若BC＝4.5 cm，EC＝3.5 cm，求△ABC平移的距离．
【互动探索】(引发学生思考)(1)将△ABC平移得到△DEF→△ABC≌△DEF→∠2＝∠F→利用三角形的内角和求得∠A的度数；(2)根据平移的性质可得BE即为平移距离→由BC－EC求出BE.
【解答】(1)由图形平移的特征可知，△ABC和△DEF的形状与大小相同，即△ABC≌△DEF，
∴∠2＝∠F＝26°.
又∵∠B＝74°，
∴∠A＝180°－(∠2＋∠B)＝180°－(26°＋74°)＝80°.
(2)∵BC＝4.5 cm，EC＝3.5 cm，
∴BE＝BC－EC＝4.5－3.5＝1(cm)，
∴△ABC平移的距离为1 cm.
【互动总结】(学生总结，老师点评)平移不改变图形的形状和大小；全等三角形的对边相等，对应角相等．
【例2】如图，△ACF≌△DBE，∠E＝∠F，若AD＝11，BC＝7.
(1)试说明AB＝CD；
(2)求线段AB的长．
【互动探索】(引发学生思考)(1)根据全等三角形对应边相等→AC＝DB→AC－BC＝DB－BC→AB＝CD；(2)由AD－BC＝AB＋CD，且AB＝CD→AB＝(AD－BC)→代入数据进行计算即可得解．
【解答】(1)∵△ACF≌△DBE，∴AC＝DB，
∴AC－BC＝DB－BC，即AB＝CD.
(2)∵AD＝11，BC＝7，且AB＝CD，
∴AB＝(AD－BC)＝×(11－7)＝2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)全等三角形对应边相等，根据图形以及全等三角形对应顶点的字母写在对应位置上准确找出AC、DB是对应边是解题的关键．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列各组的两个图形属于全等图形的是 ( D )
2．对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相等．其中能获得这两个图形全等的结论共有 ( A )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到Rt△DEF，则下列结论中，错误的是 ( A )
A．BE＝EC B．BC＝EF
C．AC＝DF D．△ABC≌△DEF
4．如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′全等，则∠A′＝120°，∠A＝70°，B′C′＝12，AD＝6.
5．如图，△ABC≌△ADE，其中点B与点D，点C与点E对应．
(1)写出对应边和对应角；
(2)∠BAD与∠CAE相等吗？说明理由．
解：(1)对应边：AB与AD，BC与DE，AC与AE；对应角：∠BAC与∠DAE，∠B与∠D，∠C与∠E. (2)∠BAD＝∠CAE.理由如下：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图所示是一个4×4的正方形，求∠1＋∠2＋∠3＋…＋∠16的度数．
【互动探索】由图可找出多对全等三角形，对应多对角的和是90°，再相加即可．
【解答】根据全等三角形的性质可知，∠1与∠7的余角相等，也就是∠1与∠7互余．
同理，∠2与∠6互余，∠3与∠5互余，∠8与∠12互余，∠9与∠11互余，∠13与∠15互余．
又∠4＝∠10＝∠14＝∠16＝45°，
∴∠1＋∠7＝90°，∠2＋∠6＝90°，∠3＋∠5＝90°，∠8＋∠12＝90°，∠9＋∠11＝90°，∠13＋∠15＝90°，∠4＝∠10＝∠14＝∠16＝45°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋…＋∠16＝720°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是三角形全等的性质的运用：由三角形全等得角相等．认真观察图形，发现并利用全等三角形是正确解决本题的关键．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
图形的全等
练习设计
请完成本课时对应练习！
