1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
定义：任意给定的一个实数x,有唯一确定的值sinx与之对应。由这个法则所确定的函数 y=sinx叫做正弦函数，y=cosx叫做余弦函数，二者定义域为R。
实 数
正 弦 值
角
一 一对应
唯一确定
一 对 多
一、正弦函数的定义:
遇到一个新的函数,画出它的图象,通过观察图象获得对它性质的直观认识, 是研究函数的基本方法.
为了获得正弦函数和余弦函数的图象, 我们通过简谐运动实验, 对正弦曲线余弦曲线有了初步印象.
观察:
问：那么怎么样画出正、余弦函数的图象呢？我们学过哪些画图象的方法？
二、常用的作图法：
1、描点法作图
列表
描点
连线
2、几何法作图
几何法即借助单位圆中的三角函数线作图
基本步骤：
下面我们用这两个方法来画正弦函数的图象
(1) 列表
(2) 描点
(3) 连线
1、用描点法作出函数 的图象
-
-
-
-
-
-
P
o
1
1
M
A
T
正弦线MP
余弦线OM
正切线AT
2、三角函数线
问题1：由单位圆中正弦线知识，思考在直角坐标系中如何作出点P 的坐标？
问题2：能否借助上面作点P的方法，在直角坐标系中作出正弦函数
的图象呢？
1.函数
图象的几何作法:
-1
1
_
_
1.函数
图象的几何作法:
-1
1
_
_
x
6?
y
o
-?
-1
2?
3?
4?
5?
-2?
-3?
-4?
1
?
y=sinx x?[0,2?]
y=sinx x?R
正弦曲线
y
x
o
1
-1
问题3：
如何由 的图象得到
的图象
y=sinx, x?[0,2?]
y=sinx, x?R
由部分到整体
y=sinx, x?[0,2?]
y=sinx,x?R
sin(x+2k?)=sinx, k?Z
利用图象平移
x
6?
y
o
-?
-1
2?
3?
4?
5?
-2?
-3?
-4?
1
?
余弦函数的图象
正弦函数的图象
x
6?
y
o
-?
-1
2?
3?
4?
5?
-2?
-3?
-4?
1
?
y=cosx与 y=sin(x+ ), x?R图象相同
余弦曲线
正弦曲线
形状完全一样只是位置不同
探究
你能根据诱导公式，以正弦函数的图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象吗？
由诱导公式y= ,将正弦函数的图象向左平移 个单位即可得到余弦函数的图象.
生活中，能否举出一些类似的图形？
在精确度要求不太高时，如何快捷地作出正弦函数的图象呢？
在作出正弦函数的图象时，应抓住哪些
关键点？
思考？
与x轴的交点
图象的最高点
图象的最低点
图象中关键点
五点作图法
思考：在作出正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？
0
1
0
0
-1
解:(1)按五个关键点列表:
与x轴的交点
图象的最高点
图象的最低点
探究：类似正弦函数图象的五个关键点，找出余弦函数的五个关键点，完成下面表格，并作出 的简图。
1
0
－1
1
0
解:(1)按五个关键点列表:
(2)描点
例1. 画出下列函数的简图。
（3）连线
（1）
五点法作图
(2)描点
(1)列表
(3)连线
（2）y=－cosx , x∈[0,2π]
思考：能否从图象变换的角度出发得到（1）（2）的图象？
1. 正弦曲线、余弦曲线作法
几何作图法（三角函数线）
描点法（五点法）
图象变换法
4.巩固图象变换的规律：对自变量x“左加右减”，对函数值f(x) “上加下减”.
y
x
o
1
-1
y=sinx，x?[0, 2?]
y=cosx，x?[0, 2?]
3.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系；
2.正弦曲线和余弦曲线之间的区别与联系；
课堂小结：
作业：P46 A组1
1.画出下列函数的图象简图:
(1) y=1-sinx ，x∈[0,2π
(2) y=1+3cosx ，x∈[0,2π]
1.4.2正弦函数余弦函数的性质
一.奇偶性
为奇函数
为偶函数
二.定义域和值域
正弦函数
定义域：R
值域：[-1，1]
余弦函数
定义域：R
值域：[-1，1]
例1.求下列函数的定义域、值域
解(1)：定义域：R. 值域：[-1,1].
∴值域为
解（2）：∵-3sinx ≥0
∴sinx ≤0
∴定义域为
{x|π+2kπ≤x≤2π+2kπ,k∈Z}
又∵-1≤sinx ≤0
∴0≤-3sinx ≤3
练习：求下列函数的定义域和值域。
定义域
值域
[0,1]
[2,4]
探究：正弦函数的最大值和最小值
最大值：
当 时，
有最大值
最小值：
当 时，
有最小值
三.最值
探究：余弦函数的最大值和最小值
最大值：
当 时，
有最大值
最小值：
当 时，
有最小值
例2.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
解：
这两个函数都有最大值、最小值.
（1）使函数 取得最大值的x的集合，就是使函数 取得最大值的x的集合：
使函数 取得最小值的x的集合，就是
使函数 取得最小值的x的集合：
函数 的最大值是1+1=2；最小值是-1+1=0.
练习.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
解：
（2）令t=2x,因为使函数 取最大值的t的集合是
所以使函数 取最大值的x的集合是
同理，使函数 取最小值的x的集合是
函数 取最大值是3，最小值是-3。
正弦函数在每个闭区间
都是增函数，其值从－1增大到1；
而在每个闭区间
都是
减函数，其值从1减小到－1。
四、（1）正弦函数的单调性
（2）余弦函数的单调性
由余弦函数的周期性知：
其值从1减小到－1。
而在每个闭区间
上都是减函数，
其值从－1增大到1 ；
在每个闭区间
都是增函数，
六、正弦、余弦函数的对称性
x
6?
y
o
-?
-1
2?
3?
4?
5?
-2?
-3?
-4?
1
?
x
6?
o
-?
-1
2?
3?
4?
5?
-2?
-3?
-4?
1
?
y
y=sinx的图象对称轴为：
y=sinx的图象对称中心为：
y=cosx的图象对称轴为：
y=cosx的图象对称中心为：
任意两相邻对称轴(或对称中心)的间距为半个周期；对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期.
求 函数的对称轴和对称中心
解（1）令
则
的对称轴为
解得：对称轴为
的对称中心为
对称中心为
例5：
C
该函数的对称中心为 .
（ ）
(2)求 函数的对称轴和对称中心:
函数 y=sinx y=cosx
图形
定义域
值域
最值
单调性
奇偶性
周期
对称性
1
-1
时，
时，
时，
时，
增函数
减函数
增函数
减函数
1
-1
对称轴：
对称中心：
对称轴：
对称中心：
奇函数
偶函数
作业：
1、优化设计P32-34
2、印发的小卷
优秀是一种习惯，
加油！
正弦函数、余弦函数的性质
习题课
6
3π
π/2
一、基础题型
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．以上都不对
[答案] B
3．函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数，0≤φ<2π，则φ的值为或 .
4．函数y＝2cos3x的单调增区间为， .
(2)①若a>0，
当cosx＝1，即x＝2kπ(k∈Z)时，y取最大值为a＋b；
当cosx＝－1，即x＝2kπ＋π(k∈Z)时，y取最小值为－a＋b.
②若a<0，
当cosx＝1，即x＝2kπ(k∈Z)时，ymin＝a＋b；
当cosx＝－1，即x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymax＝－a＋b.
转化
换元法
[辨析] ∵b的符号未定，故－bcosx的最值不仅与cosx有关，还与b的正负有关，因此应按b>0与b<0讨论．
练习 求下列函数的单调区间：
变形1:
分类讨论法
变形2:
已知关于x的方程2sin2x-cosx+2m=0有解,求m的取值范围.
法1:分离参数法
[答案] D
[答案] C
[答案] B
5．下列函数中，奇函数的个数为
( )
①y＝x2sinx; ②y＝sinx，x∈[0,2π]；
③y＝sinx，x∈[－π，π]; ④y＝xcosx.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[答案] C
[解析] ∵y＝sinx，x∈[0,2π]的定义域不关于原点对称，∴②不是奇函数，
①、③、④符合奇函数的概念．
6．y＝2sinx2的值域是
( )
A．[－2,2] B．[0,2]
C．[－2,0] D．R
[答案] A
[解析] ∵x2≥0，∴sinx2∈[－1,1]，
∴y＝2sinx2∈[－2,2]．
8．函数y＝asinx－b的最大值为1，最小值为－7，则a＝________，b＝________.
[答案] ±4 3
§1.4.3 正切函数的性质与图像
1.4三角函数的图像与性质
1、正弦函数的图像与性质
2、余弦函数的图像与性质
3、特殊角的正切值
复习：
o
1
1
P
M
A
T
正弦线MP
余弦线 OM
正切线 AT
sinα、cosα、tanα的几何意义.
想一想?
有向线段
回顾三角函数线：
教学目标：
1、理解并掌握正切函数图像的推导思路及画法，即《正弦函数图像类比推导法》。
准确写出正切函数的性质。
2、通过学生自己动手作图，调动学生的积极性和情感投入，培养学生数形结合的思想方法。
3、培养学生发现数学规律，实践第一的观点，增强学习数学的兴趣。
重点，难点：
重点：
学绘画正切函数的简图，推导正切函数的性质。
难点：
体验正切函数基本性质的应用
知识探究（一）：正切函数的图象
思考1：类比正弦函数图象的作法，可以利用正切线作正切函数在区间 的图象，具体应如何操作？
O
x
y
x
y
o
-1
1
正切曲线是被相互平行的直线
所隔开的无穷多支曲线组成。
思考2：请同学观察正切函数的图象
知识探究（二）：正切函数的性质
1.正切函数的定义域和值域
定义域：
观察正切线在
的变化。
值域：
R
无最大值、无最小值。
［例1］求函数y＝tan2x的定义域.
巩固练习：
解：
∴y＝tan2x的定义域为：
x
y
o
-1
1
2.正切函数的周期性
正切函数是周期函数，最小周期是
［例2］求函数 的最小正周期.
巩固练习：
解：
3.正切函数的奇偶性
正切函数是 函数
奇
［例3］ 下列哪个函数是奇函数（ ）
巩固练习：
解： A是偶函数， B是偶函数， C既不是偶函数 也不是奇函数 ， D是奇函数
所以D是正确。
D
由正切线的变化规律知，正切函数在
内是 函数
增
由正切函数的的周期性知，正切函数在
4.正切函数的单调性
内都是增函数
［例4］利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小：
巩固练习：
解：
［例5］
巩固练习：
解：函数的自变量x满足
所以函数的定义域是
y
x
1
-1
?/2
-?/2
?
3?/2
-3?/2
-?
0
定义域
值域
周期性
奇偶性
单调性
R
?
奇函数
性质
答案
课堂小结
作业：
习题1.4 第7,8,9题
谢谢大家！
祝你们学习进步身体健康！
x
y
o
-1
1
正切曲线是被相互平行的直线
所隔开的无穷多支曲线组成。
正弦、余弦函数的图像和性质
y=sinx (x?R)
x
6?
y
o
-?
-1
2?
3?
4?
5?
-2?
-3?
-4?
1
?
x
6?
o
-?
-1
2?
3?
4?
5?
-2?
-3?
-4?
1
?
y
y=cosx (x?R)
定义域
值 域
周期性
x?R
y?[ - 1, 1 ]
T = 2?
奇函数
偶函数
