17.1 勾股定理
课时2 勾股定理的实际应用 基础训练
知识点 勾股定理的实际应用
1.(2017广东深圳锦华实验学校期中)小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m,当它把绳子的下端拉开4m后,发现下端刚好接触地面,则旗杆的高为 ( )
A.7m B.7.5m C.8m D.9m
2.(2017陕西西安铁一中月考改编)如图,已知圆柱底面的周长为4dm,圆柱的高为2dm,在圆柱的侧面上,过点A和点C嵌有一圈金属丝,则这圈金属丝的周长最小为 ( )
A.4dm B.2dm
C.2dm D.4dm
3.(2018湖南湘潭中考)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一,在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”翻译成数学问题是:如图所示,△ABC中,∠ACB=90°,AC+AB=10,
BC=3,求AC的长.如果设AC=x,则可列方程为 .
4.(2018贵州黔南州二模)如图是聶立在高速公路边水平地面上的交通警示牌,经测量得到如下数据:AM=4米,AB=8米,∠MAD=45°,∠MBC=30°,则警示牌的高CD约为 米.(结果精确到0.1米,参考数据:≈1.41,≈1.73)
5.(2017河南南阳期末)《中华人民共和国道路交通安全法》规定:小汽车在城市街路上行驶的速度不得超过70km/h.如图,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方30m的C处,过了2s后,测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m,这辆小汽车超速了吗?
6.如图,有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食,它的巢筑在距离该树24m远的一棵大树上,大树高14m,且巢离树顶部1m,当它听到巢中幼鸟的叫声,立即赶过去,如果它飞行的速度为5m/s,那么它至少需要多长时间才能赶回巢中?
参考答案
1.B
解析:如图,BC=4m,设旗杆AB=xm,则AC=(x+1)m.在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2,
所以(x+1)2=x2+42,解得x=7.5.故选B.
2.A
解析:如图,将圆柱展开,依题意,得AB=2dm,BC=×4=2(dm),在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC=dm,所以这圈金属丝的周长最小为4dm.故选A.
3.x2+32=(10-x)2
解析:∵AC=x,AC+AB=10,∴AB=10-x.在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,∴x2+32=(10-x)2.
4.2.9
解析:在Rt△AMD中,∵∠MAD=45°,∴DM=AM=4米.在Rt△BMC中,MB=AM+AB=4+8=
12(米),∠MBC=30°,∴BC=2MC.由MC2+MB2=BC2=4MC2,得3MC2=144,∴CM=4米,∴CD=CM-DM=4-4≈2.9(米),故警示牌的高CD约为2.9米.
5.解析:在Rt△ABC中,AC=30m,AB=50m.
根据勾股定理得BC=
所以小汽车的速度为=20(m/s)=72(km/h).
因为72>70,所以这辆小汽车超速了.
答:这辆小汽车超速了.
6.解析:如图,过A作AE⊥CD于点E.
由题意知AB=3m,CD=14-1=13(m),BD=24m,
则CE=13-3=10(m),AE=24m.
在Rt△AEC中,AC2=CE2+AE2=102+242,
故AC=26m,则26÷5=5.2.
答:它至少需要5.2s才能赶回巢中.
17.1 勾股定理
课时2 勾股定理的实际应用 提升训练
1.(2018安徽安庆四中课时作业)一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形杯子中,牙刷露在杯子外面的长度为hcm,则h的取值范围是 ( )
A.5＜h≤6 B.6＜h≤7
C.5≤h≤6 D.5≤h＜6
2.(2018湖北襄阳四中课时作业)如图是一个长、宽都是3cm,高BC=9cm的长方体纸箱,BC上有一点P,且PC=BC,则一只蚂蚁从点A出发沿纸箱表面爬行到点P的最短距离是 ( )
A.6cm B.3cm C.10cm D.12cm
3.(2018福建厦门一中课时作业)如图,西安路与南京路平行,并且与八一街垂直,曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口,准备去书店,按图中的街道行走,最短的路程为 ( )
A.600m B.500m C.400m D.300m
4.(2018河北衡水六中课时作业)如图,在一个高BC=6米、长AC=10米、宽为2.5米的楼梯表面铺设地毯,若每平方米地毯40元,则铺设地毯至少需要花费 元.
5.(2018江苏南京外国语学校课时作业)我国古代有这样一道数学题:枯木一根直立地上,高二丈周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,圆柱的局为20尺(一丈是十尺),底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛藤的最短长度是 尺.
6.(2018河南洛阳五中课时作业)小明听说“武黄城际列车”已经开通.便设计了如下问题:如图,以往从黄石A坐客车到武昌客运站B,现在可以在A坐城际列车到武汉青山站C,再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB=80km,
BC=20km,∠ABC=120°.请你帮助小明解决以下问题:
(1)求A,C之间的距离;(参考数据:≈4.6)
(2)若客车的平均速度为60km/h,市内公共汽车的平均速度为40km/h,城际列车的平均速度为180km/h,为了最短时间到达武昌客运站,小明应该选择哪种乘车方案?请说明理由.(不计候车时间)
7.(2018山西太原三十七中课时作业)有一块直角三角形绿地,量得两直角边长分别为6m,8m,现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.
参考答案
1.C
解析:根据题意,得杯子中牙刷长度的最小值等于杯子的高12cm,最大值等于=13(cm),因为牙刷的长为18cm,所以h的取值范围是18-13≤h≤18-12,即5≤h≤6.故选C.
2.A
解析:(1)如图1,AD=3cm,DP=3+6=9(cm),在Rt△ADP中,AP=(cm);
(2)如图2,CP=6cm,AC=3+3=6(cm),在Rt△ACP中,AP=,因为
3,所以蚂蚁从点A出发沿纸箱表面爬行到点P的最短距离是6cm.故选A.
名师点睛:求解最短路径问题,关键是将立体图形转化为平面图形.
3.B
解析:如图,小明去书店共有三种走法:①A→C→书店;②A→B→书店;③A→B→
D→书店.∵曙光路与环城路垂直,∴△BDE为直角三角形,∴BD>BE,∴③的路程大于②的路程,因此只要比较①,②的路程即可.在Rt△ABC和Rt△EDB中,
∵∠CAB=∠BED=90°,∠ACB=∠EBD,AB=ED,∴Rt△ABC≌Rt△EDB,∴BE=AC=300m,
而BC=,∴EC=500-300=200(m),∴①的路程为300+200=
500(m),②的路程为400+300=700(m),∴最短路程为500m.故选B.
4.1400
解析:在Rt△ABC中,AB==8(米),∴地毯面积为
(8+6)×2.5=14×2.5=35(米2),∴铺设地毯至少需要花费35×40=1400(元).
5.25
解析:如图,一条直角边AC(即枯木的高)长为20尺,另一条直角边BC长为5×3
=15(尺),因此葛藤的最短长度为=25(尺).
6.解析:⑴如图,过点C作CE⊥AB,交AB的延长线于点E,∵∠ABC=120°,
∴∠CBE=60°,∠BCE=30°.
又∵BC=20km,∴BE=10km,∴CE=(km).
在Rt△ACE中,∵AC2=AE2+CE2=(80+10)2+(10)2=8100+300=8400,
∴AC=20=92(km).
(2)小明应选择乘城际列车.理由如下:
乘客车需时间t1=
乘城际列车需时间t2=
∵,
∵小明应选择乘城际列车.
名师点睛:非直角三角形问题,可以通过作辅助线的方法转化成直角三角形问题进行解决,通常以特殊角为一锐角,构造直角三角形.
7.解析:记直角三角形绿地为Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=8m,BC=6m,由勾股定理得AB=10m,扩充部分为Rt△ACD,扩充成等腰三角形ABD应分以下三种情况:
①如图1,当AB=AD=10m时,易得CD=CB=6m,
所以△ABD的周长为32m.
②如图2,当AB=AD=10m时,易得CD=4m,
由勾股定理得AD=
所以△ABD的周长为(20+4)m.
③如图3,当AB为等腰三角形的底时,
设AD=BD=xm,则CD=(x-6)m,
由勾股定理得(x-6)2+82=x2,解得x=,
所以△ABD的周长为m.
综上,扩充后等腰三角形绿地的周长为32m或（20+4)m或m.
17.1 勾股定理
课时3 利用勾股定理作图与计算 基础训练
知识点1 勾股定理与实数
1.(2018福建福州福清期中)如图,以原点O为圆心、OB长为半径画弧与数轴交于点A,若点A表示的数为x,则x的值为 ( )
A. B.- C.2 D.-2
2.如图,在平面直角坐标系中,点P的坐标为(-2,3),以点O为圆心,OP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的横坐标介于 ( )
A.-6和-5之间 B.-5和-4之间
C.-4和-3之间 D.-3和-2之间
3.在数轴上作出-,表示的点.
知识点2 勾股定理与几何问题
4.如图,将长方形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于点E,AD=8,AB=6,则AE的长为 .
5.嘉嘉参加机器人设计活动,需操控机器人在5×5的方格棋盘上从A点行走至B点,且每个小方格皆为正方形,主办单位规定了三条行走路径R1,R2,R3,其行径位置如图与表所:
已知A,B,C,D,E,F,G七点皆落在小方格的顶点上,且两点之间的路径皆为直线,在无法使用任何工具测量的条件下,请判断R1,R2,R3这三条路径中,最长路径与最短路径分别是哪个,并说明理由.
参考答案
1.B
解析:由题图,可知点O到点A的距离为,因为点A在原点的左边,所以x的值为-.故选B.
2.C
解析:∵点P的坐标为(-2,3),∴0P=,∴OA=OP=,∴点A的横坐标为-.∵-4<-<-3,∴点A的横坐标介于-4和-3之间.故选C.
3.解析:如图所示,表示的点分别是A,C.
名师点睛:一条线段长度等于已知无理数的方法不唯一,尽量利用直角边长为整数的直角三角形作出.另外要注意:并不是所有的无理数都能用尺规作图的方法在数轴上作出对应的点,如:0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)等.
4.1.75
解析:∵△BDC′是由△BDC折叠得到的,∴△BDC′与△BDC全等,∴∠DBC=∠DBE.∵AD//BC,∴∠DBC=∠BDE,∴∠DBE=∠BDE,∴BE=DE.设AE=x,则BE=DE=AD-AE=
8-x,在Rt△ABE中,∵AE2+AB2=BE2,∴x2+62=(8-x)2,解得x=1.75,即AE的长为1.75.
名师点睛:长方形中的折叠问题一般包括“全等形”“等腰三角形”和“勾股定理”三大问题.“全等形”和“等腰三角形”用来进行边、角转换,“勾股定理”用来列方程求值.
5.解析:最长路径是R2,最短路径是R3.理由如下:
路径R1的长度为
路径R2的长度为
路径R3的长度为
∵
∴最长路径为R2,最短路径为R3.
17.1 勾股定理
课时3 利用勾股定理作图与计算 提升训练
1.(2018河南许昌一中课时作业)如图点C表示的数是 ( )
A.1 B. C.1.5 D.
2.(2018山东济南育英中学课时作业)如图,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,将其沿MN折叠,使点B落在CD边上的B′处,点A的对应点为A′,且B′C=3,则AM的长是 ( )
A.1.5 B.2 C.2.25 D.2.5
3.(2018天津武清区期中)如图,正方形的网格中每个小正方形的边长均为1,小正方形的顶点叫格点.
(1)在图1中,以格点为端点,画线段MN=;
(2)在图2中,以格点为顶点,画正方形ABCD,使它的面积为10.
参考答案
1.D
解析:由题图,可知OB=,∴OA=,∴OD=,
∴OC=.故选D.
2.B
解析:如图,连接BM,B′M,在Rt△ABM中,AB2+AM2=BM2.在Rt△MDB′中,
B′M2=MD2+DB′2.由题意,得MB=B′M,∴AB2+AM2=MD2+DB′2,
∴92+AM2= (9-AM)2+(9-3)2,解得AM=2.故选B.
3.解析:(1)如图1所示.(画法不唯一)
(2)如图2所示(画法不唯一)
名师点睛:本题主要考查勾股定理的应用和作图设计,关键是理解题意,借助网格中的直角完成作图.
17.1 勾股定理
课时1 勾股定理 基础训练
知识点1 勾股定理
1.(2018山东滨州中考)在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
2.(2018甘肃张掖高台南华中学月考)下列说法中正确的是 ( )
A.已知a,b,c是三角形的三边长,则a2+b2=c2
B.在直角三角形中,两边的平方和等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中,若∠C=90°,则BC2+AC2=AB2
D.在Rt△ABC中,若∠B=90°,则BC2+AC2=AB2
3.在Rt△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,∠B=90°.
(1)已知a=6,b=10,求c;
(2)已知a=5,c=12,求b.
知识点2 勾股定理的验证
4.(2018贵州遵义期中)如图,在Rt△ABC和Rt△BDE中,∠C=90°,∠D=90°,
AC=BD=a,BC=DE=b,AB=BE=c,试利用图形证明勾股定理.
知识点3 勾股定理的简单应用
5.(2018天津南开区期中)在Rt△ABC中,斜边AB=2,则AB2+AC2+BC2= ( )
A.2 B.4 C.8 D.16
6.(2018湖南邵阳武冈期中)等腰三角形的腰长为13,底边长为10,则它底边上的高为 ( )
A.12 B.7 C.6 D.5
7.(2018山东济南商河期末)已知直角三角形两边的长分别为3和4,则此三角形的周长为 ( )
A.12 B.7+
C.12或7+ D.以上都不对
8.(2018河北唐山路南区三模)如图,点E在正方形ABCD内,且∠AEB=90°,AE=3,
BE=4,则阴影部分的面积为 ( )
A.16 B.18 C.19 D.21
9.(2017广东佛山顺德区教研联盟测试)如图，已知正方形B的面积为100,正方形C的面积为169,那么正方形A的面积为 .
10.如图,∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,求AB的长.
参考答案
1.A
解析:在直角三角形中,因为勾为3,股为4,所以弦为=5.故选A.
2.C
3.解析:(1)在Rt△ABC中,∵∠B=90°,a=6,b=10,
∴c2=b2-a2=100-36=64,
∴c=8.
(2)在Rt△ABC中,∵∠B=90°,a=5,c=12,
∴b2=a2+c2=52+122=169,
∴b=13.
名师点睛:应用勾股定理应注意的问题:(1)勾股定理使用的前提是必须在直角三角形中;(2)要分清斜边和直角边,在Rt△ABC中,直角不一定是∠C.
4.解析:∵∠C=∠D=90°,AC=BD,BC=DE,AB=BE,
∴Rt△ACB≌Rt△BDE,∴∠ABC=∠BED,∠BAC=∠EBD.
∵∠ABC+∠BAC=90°,∴∠ABC+∠DBE=90°,∴∠ABE=90°.
由题图,可知S△ACB+S△BDE+S△ABE=S梯形ACDE,
∴∴
名师点睛:此题通过面积法证明勾股定理.解决问题的关键是通过面积之间的相等关系,将“形”的问题转化为“数”的问题.
5.C
解析:根据勾股定理,得AC2+BC2=AB2=4,故AB2+AC2+BC2=4+4=8.故选C.
6.A
解析:如图,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,AD⊥BC,∴BD=DC=BC=5.在Rt△ABD中,由勾股定理,得AD=故选A.
7.C
解析:设此三角形第三边的长为x.①当4为直角边长时,x为斜边长,由勾股定理,得x==5,则此三角形的周长为3+4+5=12;②当4为斜边长时,x为直角边长,由勾股定理,得x=,则此三角形的周长为3+4+=7+.所以此三角形的周长为12或7+.故选C.
8.C
解析:∵∠AEB=90°,AE=3,BE=4,∴AB=,∴阴影部分的面积为S正方形ABCD-S△ABE=52-×3×4=25-6=19.故选C.
9.69
解析:根据题意,得正方形A的面积=正方形C的面积-正方形B的面积=169-100=69.
名师点睛:分别以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形面积的和等于以斜边为边长的正方形的面积.
10.解析:在Rt△ACD中,∠ACD=90°,AD=13,CD=12,
∴由勾股定理得AC=.
在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=5,BC=3,
∴由勾股定理得AB=
17.1 勾股定理
课时1 勾股定理 提升训练
1.(2018陕西师大附中课时作业)如图，在△ABC中∠B=40°,EF//AB,∠1=50°,
CE=3,EF=CF+1,则EF的长为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2.(河南新乡一中课时作业)如图,分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形,然后分别以三个正方形的中心为圆心、正方形边长的一半为半径作圆,记三个圆的面积分别为S1,S2,S3,则S1,S2,S3之间的关系为 ( )
A.S1+S2>S3 B.S1+S2=S3
C.S1+S23.(2018山东济南外国语学校课时作业)如图Rt△ABC的周长为4+2,斜边AB的长为2,则Rt△ABC的面积为 .
4.(2018江西临川一中课时作业)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=12,BC=5,
AM=AC,BN=BC,则MN的长为 .
5.(2018四川成都七中课时作业)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,分别以AB,AC,BC为边在AB的同侧作正方形ABEF,ACPQ,BCMN,四块阴影部分的面积分别为S1,S2,S3,S4，则S1+S2+S3+S4等于 .
6.(2018广东揭阳惠来溪西中学月考)如图,在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.
某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路,完成解答过程.
(1)作AD⊥BC于点D,设BD=x,用含x的代数式表示CD,则CD= ;
(2)请根据勾股定理,利用AD作为“桥梁”建立方程,并求出x的值;
(3)利用勾股定理求出AD的长,再计算三角形的面积.
7.(2018安徽合肥四十五中)如图,∠B=∠ADC=90°,∠A=60°,AB=4, CD=2,求四边形ABCD的面积.
参考答案
1.C
解析:∵EF//AB,∴∠A=∠1=50°,∴∠A+∠B=50°+40°=90°,∴∠C=90°.
设CF=x,则EF=x+1,在Rt△CEF中,CE2+CF2=EF2,∴32+x2=(x+1)2,解得x=4,
∴EF=4+1=5.故选C.
2.B
解析:由勾股定理,得最大正方形的面积等于其余两个小正方形的面积和,由于在正方形中作圆,圆的直径就是正方形的边长,利用圆的面积公式,得S1+S2=S3.故选B.
3.1
解析:∵Rt△ABC的周长为
4.4
解析:在Rt△ABC中,根据勾股定理得AB==13,∵AM=AC,BN=BC,
∴AM=12,BN=5,∴MN=AM+BN-AB=12+5-13=4.
5.18
解析:如图,过点F作FD⊥AM于点D,可证明Rt△ADF≌Rt△BCA,
Rt△DFK≌Rt△CAT,所以S2=SRt△ABC.连接PF,由Rt△DFK≌Rt△CAT可证得
Rt△FPT≌Rt△EMK,所以S3=SRt△EPT.又可证得Rt△AFQ≌Rt△ABC,所以S1+S3=
SRt△AQF=SRt△ABC.易证Rt△ABC≌Rt△EBN,所以S4=SRt△ABC.所以
S1+S2+S3+S4=(S1+S3)+S2+S4=SRt△ABC+SRt△ABC+SRt△ABC=3SRt△ABC=3××3×4=18.
6.解析(1)14-x
(3)由(2)得AD=,
∴ S△ABC=
7.解析:如图:分别延长AD,BC交于点E.
名师点睛:求不规则图形的面积,可以转化为求一些规则图形的面积的和或差.
