第7章 一次方程组
教材简析
本章的主要内容包括：二元一次方程(组)的概念及其解法，三元一次方程组的概念及其解法，运用二元一次方程(组)分析和解决实际问题．其中解二元一次方程(组)的基本思路和具体解法是本章的重点内容．方程是科学研究中重要的数学思想方法，也是后续内容学习的基础和工具，本章是对一元一次方程知识的延续和深化．联系一元一次方程的基本知识，继续探索实际问题中的数量关系及其变化规律，让学生进一步体会“方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型”．本章是中考查的重点内容，主要考查二元一次方程(组)的解及其解法、建立二元一次方程(组)模型解决实际问题．
教学指导
【本章重点】
二元一次方程(组)的解法及应用．
【本章难点】
利用二元一次方程(组)解决实际问题．
【本章思想方法】
1．体会和掌握转化法，如：在解二元一次方程(组)时，利用转化法将二元一次方程(组)转化为一元一次方程．
2．掌握建模思想，如：在利用二元一次方程(组)解决实际问题时，根据题意建立适当的二元一次方程(组)，实际问题转化为数学模型．
课时计划
7．1 二元一次方程组和它的解1课时
7．2 二元一次方程组的解法5课时
*7.3 三元一次方程组及其解法1课时
7．4 实践与探索1课时
7．1 二元一次方程组和它的解
教学目标
一、基本目标
1．了解二元一次方程组的概念和二元一次方程组解的含义，认识二元一次方程及方程组的解的特点．
2．掌握二元一次方程及方程组的基本形式的书写规范，会检验一对数是不是二元一次方程组的解．
二、重难点目标
【教学重点】
认识二元一次方程组及二元一次方程组解的概念．
【教学难点】
检验一组数是否为二元一次方程的解．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P24～P25的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．含有两个未知数，并且含未知数项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
2．下列方程哪些是二元一次方程？
(1)x＋3y－9＝0; (2)3x2－2y＋12＝0；
(3)3a－4b＝7； (4)3x－＝1；
(5)3x＝5； (6)－5n＝1.
解：(1)(3)(6)是二元一次方程．
3．把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
4．一般地，使二元一次方程组中两个方程的左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】已知|m－1|x|m|＋y2n－1＝3是二元一次方程，则m＋n＝________.
【互动探索】(引发学生思考)二元一次方程的指数必须满足什么条件？系数呢？
【分析】根据题意，得|m|＝1且|m－1|≠0,2n－1＝1，解得m＝－1，n＝1.所以m＋n＝0.
【答案】0
【互动总结】(学生总结，老师点评)二元一次方程必须符合以下三个条件：(1)方程中只含有2个未知数；(2)含未知数的项的最高次数为1；(3)方程是整式方程．
【例2】已知是方程2x＋ay＝3的一个解，那么a的值是( )
A．1 B．3
C．－3 D．－1
【互动探索】(引发学生思考)二元一次方程的解满足什么条件？
【分析】将代入方程2x＋ay＝3，得2＋a＝3，所以a＝1.故选A.
【答案】A
【互动总结】(学生总结，老师点评)根据方程的解的定义知，将x、y的值代入方程中，方程左右两边相等，即可求解得出a的值．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列方程组：①②③④⑤其中二元一次方程组有 ( B )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．小刘同学用10元钱购买两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元与2元．设1元的贺卡购买了x张，2元的贺卡购买了y张，那么x、y所适合的一个方程组是 ( D )
A. B.
C. D.
3．已知是关于x、y的方程4kx－3y＝－1的一个解，则k的值为( A )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
4．写一个以为解的二元一次方程组.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为试计算a2018＋2019的值．
【互动探索】甲看错了方程①中的a，得到的解满足4x－by＝－2吗？乙看错了方程②中的b，得到的解满足哪个方程？
【解答】把代入②，得－12＋b＝－2，
所以b＝10.
把代入①，得5a＋20＝15，
所以a＝－1.
故a2018＋2019＝(－1)2018＋2019＝0.
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用方程组的解确定字母参数的方法是将方程组的解代入它适合的方程中，得到关于字母参数的新方程，从而求解．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
二元一次方程组
练习设计
请完成本课时对应练习！
7．2 二元一次方程组的解法
第1课时 用代入消元法解二元一次方程组(一)
教学目标
一、基本目标
1．使学生通过探索，逐步发现解方程组的基本思想是“消元”，化二元一次方程组为一元一次方程．
2．使学生了解“代人消元法”，并掌握直接代入消元法．
3．通过代入消元，使学生初步理解把“未知”转化为“已知”，和复杂问题转化为简单问题的思想方法．
二、重难点目标
【教学重点】
用代入法把二元一次方程组转化为一元一次方程．
【教学难点】
用代入法求出一个未知数值后，把它代入哪个方程求另一个未知数值较简便．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P27～P29的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程．我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想．
2．把下列方程变形为用含x的代数式表示y的形式．
(1)2x－y＝4； (2)3x＋y＝17；
(3)x＋y＝5； (4)3x＋5y＝0.
解：(1)y＝2x－4.
(2)y＝17－3x.
(3)y＝10－x.
(4)y＝－x.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】用代入法解下列方程组：
(1)
(2)
【互动探索】(引发学生思考)解二元一次方程组的思路是什么？什么是代入法？
【解答】(1)将①代入②，得3y＋2＋3y＝8，
解得y＝1.
将y＝1代入①，得x＝3×1＋2＝5.
所以
(2)由①，得y＝2x－4.③
将③代入②，得3x＋2(2x－4)＝13，
解得x＝3.
将x＝3代入③，得y＝2×3－4＝2.
所以
【互动总结】(学生总结，老师点评)代入消元法的主要步骤：①将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来；②将这个代数式代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程式；③解这个一元一次方程；④把求得的一次方程的解代入方程中，求得另一个未知数值，组成方程组的解．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．解方程组时，把①代入②，得 ( D )
A．2(3y－2)－5x＝10 B．2y－(3y－2)＝10
C．(3y－2)－5x＝10 D．2y－5(3y－2)＝10
2．方程组的解是 ( A )
A. B.
C. D.
3．已知则用含x的式子表示y为y＝－2x＋9.
4．用代入法解下列方程组：
(1)
(2)
解：(1)
(2)
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】已知是二元一次方程组的解，则a－b的值为( )
A．1 B．－1
C．2 D．3
【互动探索】把解代入原方程组，得解得所以a－b＝－1.故选B.
【答案】B
【互动总结】(学生总结，老师点评)解这类题就是根据方程组解的定义求，即将解代入方程组，得到关于字母系数的方程组，解方程组即可．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．解二元一次方程组的基本思路是“消元”．
2．代入法解二元一次方程组的主要步骤：①将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来；②将这个代数式代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程式；③解这个一元一次方程；④把求得的一次方程的解代入方程中，求得另一个未知数值，组成方程组的解．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时 用代入消元法解二元一次方程组(二)
教学目标
一、基本目标
1．使学生进一步理解代人消元法的基本思想和代入法解题的一般步骤．
2．让学生在实践中去体会根据方程组中未知数系数的特点，选择较为合理、简单的表示方法，将一个未知数表示成另一个未知数．
二、重难点目标
【教学重点】
熟练地用代人法解一般形式的二元一次方程组．
【教学难点】
准确地把二元一次方程组转化为一元一次方程．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P29～P30的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．解二元一次方程组的基本思路是“消元”．
2．用代入消元法解下列方程组：
(1)
(2)
(3)
(4)
解：(1)
(2)
(3)
(4)
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】用代入法解下列方程组：
(1)
(2)
【互动探索】(引发学生思考)解二元一次方程组的基本思路是什么？代入法解二元一次方程组的关键是什么？
【解答】(1)由①，得x＝.③
把③代入②，得4×＋5y＝3，
解得y＝－1.
把y＝－1代入③，得x＝2.
所以原方程组的解是
(2)将原方程组整理，得
由③，得x＝.⑤
把⑤代入④，得2(3y＋1)－3y＝－5，
解得y＝－.
把y＝－代入⑤，得x＝－3.
所以原方程组的解是
【互动总结】(学生总结，老师点评)用代入法解二元一次方程组，关键是观察方程组中未知数的系数的特点，尽可能选择变形后比较简单的或代入后容易消元的方程进行变形．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．用代入消元法解方程组时，最简单的消元方法是 ( B )
A．根据①用含x的代数式表示出y，并代入②
B．根据①用含y的代数式表示出x，并代入②
C．根据②用含x的代数式表示出y，并代入①
D．根据②用含y的代数式表示出x，并代入①
2．方程组的解为 ( A )
A. B.
C. D.
3．用代入法解下列方程组：
(1)
(2)
解：(1)
(2)
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】解方程组：
【互动探索】直接利用代入消元法求解较为麻烦，两个方程中都含有(x＋1)，可考虑将(x＋1)整体代入另一个方程中进行求解．
【解答】由①，得x＋1＝6y.③
把③代入②，得2×6y－y＝11，
解得y＝1.
把y＝1代入①，得＝2×1，
解得x＝5.
所以原方程组的解为
【互动总结】(学生总结，老师点评)当所给的方程组比较复杂时，应先化简，但若两方程中含有未知数的部分形式相同时，可把这一部分看作一个整体求解．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
若二元一次方程组中所有方程中的未知数的系数都不是1或－1，则选择系数的绝对值较小的方程变形比较简便．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第3课时 用加减消元法解二元一次方程组(一)
教学目标
一、基本目标
1．使学生进一步理解解方程组的消元思想．
2．使学生了解加减法是消元法的又一种基本方法，并会用加减法解一些简单的二元一次方程组．
二、重难点目标
【教学重点】
用加减法解简单的二元一次方程组．
【教学难点】
两个方程相减消元时对减的方程各项符号要做变号处理．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P31～P32的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．通过将两个方程的两边分别相加(或相减)消去一个未知数，把方程组转化为一元一次方程来求解的方法，叫做加减消元法，简称加减法.
2．运用加减消元法解方程组时，首先要观察两个方程中同一个未知数的系数，若系数相等，则将这两个方程相减；若系数互为相反数，则将这两个方程相加.
3．解二元一次方程组
解：
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】用加减法解下列方程组：
(1) (2)
【互动探索】(引发学生思考)解二元一次方程组的基本思路是什么？加减法解二元一次方程组的关键是什么？
【解答】(1)①－②，得－9y＝9，
解得y＝－1.
把y＝－1代入①，得3x－4×(－1)＝10，
解得x＝2.
所以原方程组的解是
(2)①＋②，得7x＝14，
解得x＝2.
把x＝2代入①，得3×2＋7y＝9，
解得y＝.
所以原方程组的解是
【互动总结】(学生总结，老师点评)用加减法解二元一次方程组，关键是观察方程组中相同未知数的系数的特点，若系数相等，则将这两个方程相减；若系数互为相反数，则将这两个方程相加．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．用加减法将方程组中的未知数x消去后，得到的方程是 ( D )
A．2y＝6 B．8y＝16
C．－2y＝6 D．－8y＝16
2．方程组的解为 ( A )
A. B.
C. D.
3．用加减法解下列方程组：
(1)
(2)
解：(1)
(2)
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】已知x、y满足方程组求代数式x＋y的值．
【互动探索】观察发现，两个方程中未知数的系数刚好对调了，则将两方程相加可得出x＋y的几倍的结果，再除以相应系数即可得出答案．
【解答】
由①＋②，得4x＋4y＝4.③
由③÷4，得x＋y＝1.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解题的关键是观察两个方程相同未知数的系数关系，利用加减消元法求解．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．加减消元法的概念．
2．运用加减消元法解方程组时，首先要观察两个方程中同一个未知数的系数，若系数相等，则将这两个方程相减；若系数互为相反数，则将这两个方程相加．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第4课时 用加减消元法解二元一次方程组(二)
教学目标
一、基本目标
使学生了解用加减法解二元一次方程组的一般步骤，能熟练地用加减法解较复杂的二元一次方程组．
二、重难点目标
【教学重点】
用加减消元法解一般的二元一次方程组．
【教学难点】
会正确用加减消元法解二元一次方程组．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P33的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．运用加减消元法解方程组时，若系数既不相等，也不互为相反数，则运用等式的性质将同一个未知数的系数化为相等或互为相反数.
2．解下列方程组：
(1)
(2)
解：(1)
(2)
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】用加减消元法解下列方程组：
(1)
(2)
【互动探索】(引发学生思考)解二元一次方程组的基本思路是什么？用加减消元法解一般的二元一次方程组的关键是什么？
【解答】(1)由①×2，得8x＋6y＝6.③
由②×3，得9x－6y＝45.④
由③＋④，得17x＝51，
解得x＝3.
把x＝3代入①，得4×3＋3y＝3，
解得y＝－3.
所以原方程组的解是
(2)先化简方程组，得
由③×2，得4x＋6y＝28.⑤
由⑤－④，得11y＝22，
解得y＝2.
把y＝2代入④，得4x－5×2＝6，
解得x＝4.
所以原方程组的解是
【互动总结】(学生总结，老师点评)用加减消元法解一般的二元一次方程组时，决定消去哪个未知数很重要，一般选择消去两个方程中系数的最小公倍数的绝对值较小的未知数；复杂的方程组一定要先化简，再观察思考消元方案．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．利用加减消元法解方程组下列做法正确的是 ( D )
A．要消去y，可以将①×5＋②×2
B．要消去x，可以将①×3＋②×(－5)
C．要消去y，可以将①×5＋②×3
D．要消去x，可以将①×(－5)＋②×2
2．方程组的解为 ( A )
A. B.
C. D.
3．已知则x－y等于2.
4．用加减法解下列方程组：
(1)
(2)
(3)
(4)
解：(1)
(2)
(3)
(4)
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】若二元一次方程组的解互为相反数，求k的值．
【互动探索】本题中，若想求得方程组中的字母参数k，关键是得到关于k的方程，这个方程怎样得到呢？就是利用方程组的解互为相反数．
【解答】(方法一)①－②×2，得7y＝－3k－5，
解得y＝－.
把y＝－代入②，
得x＋2×＝2k＋1.
解得x＝.
∵方程组的解互为相反数，
∴－＝0，
解得k＝.
(方法二)∵原方程组的解互为相反数，
∴x＋y＝0，
即x＝－y.
将x＝－y代入原方程组，得
则－3k＋9＝2k＋1，
解得k＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解本题的关键是利用方程组的解互为相反数得到关于k的一元一次方程．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！
第5课时 二元一次方程组的实际应用
教学目标
一、基本目标
1．使学生能借助二元一次方程组解决简单的实际问题．
2．在列方程组的建模过程中，强化方程的模型思想，培养学生列方程解决现实问题的意识和应用能力．
二、重难点目标
【教学重点】
根据题意，列出二元一次方程组．
【教学难点】
正确地找出应用题中的两个等量关系，并把它们列成方程．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P34～P35的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
(1)审：弄清题意和题目中的数量关系，找出问题中的所有等量关系；
(2)设：设元，可以直接设，也可以间接设；
(3)列：根据等量关系列出方程组；
(4)解：解方程组，并检验所得的解是否符合题意；
(5)答：写出答案．
2．老王家去年收入x元，支出y元，而今年收入比去年高15%，支出比去年低10%，结果今年结余3000元．根据题意可列出的方程为 ( B )
A．15%x－10%y＝3000
B．(1＋15%)x－(1－10%)y＝3000
C.－＝3000
D．(1－15%)x－(1＋10%)y＝3000
3．某旅店一共70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480名学生刚好住满，设大房间有x个，小房间有y个．下列方程正确的是 ( A )
A. B.
C. D.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】某中学七年级甲、乙两班共有93人，其中参加数学课外兴趣小组的共有27人，已知甲班有的学生，乙班有的学生参加数学课外兴趣小组，求这两个班各有多少人？
【互动探索】(引发学生思考)本题的数量关系：甲班人数＋乙班人数＝93；甲班的学生人数＋乙班的学生人数＝27.
【解答】设甲班的人数为x人，乙班的人数为y人．
根据题意，得
解得
即甲班的人数为48人，乙班的人数为45人．
【互动总结】(学生总结，老师点评)设未知数时，一般是求什么，设什么，并且所列方程的个数与未知数的个数相等．解这类问题的应用题，要抓住题中反映数量关系的关键字：和、差、倍、几分之几、比、大、小、多、少、增加、减少等，明确各种反映数量关系的关键字的含义．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．木工厂有28个工人，2个工人一天可以加工3张桌子，3个工人一天可加工10把椅子，现在如何安排劳动力，使生产的一张桌子与4把椅子配套？
解：设x个工人加工桌子，y个工人加工椅子．
根据题意，得解得
即10个工人加工桌子，18个工人加工椅子，才能使生产的1张桌子与4把椅子配套．
2．某学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，汽车先以60 km/h的速度走平路，后又以30 km/h的速度爬坡，共用了6.5 h；原路返回时，汽车以40 km/h的速度下坡，又以50 km/h的速度走平路，共用了6 h．问平路和坡路各有多远？
解：设平路有x km，坡路有y km.
根据题意，得解得
即平路有150 km，坡路有120 km.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】某商场计划用40 000元从厂家购进若干新型手机，以满足市场需求．已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为甲型号手机每部1200元，乙型号手机每部400元，丙型号手机每部800元．
(1)若全部资金只用来购进其中两种不同型号的手机共40部，请你研究一下商场的进货方案；
(2)商场每销售一部甲型号手机可获利120元，每销售一部乙型号手机可获利80元，每销售一部丙型号手机可获利120元，那么在同时购进两种不同型号手机的几种方案中，哪种进货方案获利最多？
【互动探索】根据题意有三种购买方案：①甲、乙；②甲、丙；③乙、丙．然后根据所含等量关系求出每种方案的进货数．
【解答】(1)①若购甲、乙两种型号手机．设购进甲型号手机x1部，乙型号手机y1部．
根据题意，得
解得
即购进甲型号手机30部，乙型号手机10部．
②若购甲、丙两种型号手机．设购进甲型号手机x2部，丙型号手机y2部．
根据题意，得
解得
即购进甲型号手机20部，丙型号手机20部．
③若购乙、丙两种型号手机．设购进乙型号手机x3部，丙型号手机y3部．
根据题意，得
解得
因为x3表示手机部数，只能为正整数，所以这种情况不合题意，应舍去．
综上所述，商场共有两种进货方案．
方案1：购甲型号手机30部，乙型号手机10部；
方案2：购甲型号手机20部，丙型号手机20部．
(2)方案1获利：120×30＋80×10＝4400(元)，
方案2获利：120×20＋120×20＝4800(元)．
所以购甲型号手机20部，丙型号手机20部获利最多．
【互动总结】(学生总结，老师点评)仔细读题，找出等量关系．当用含未知数的式子表示等量关系时，要注意不同型号的手机数量和单价要对应．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程或方程组的方法来处理这些问题．处理问题的过程可以进一步概括为：
练习设计
请完成本课时对应练习！
*7.3 三元一次方程组及其解法
教学目标
一、基本目标
1．使学生认识三元一次方程组，并会解三元一次方程组．
2．使学生感受“三元”化归到“二元”，再由“二元”化归到“一元”的数学思想．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握三元一次方程组的解法．
【教学难点】
三元一次方程组如何化归到二元一次方程组．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P37～P40的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程.含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.
2．下列方程组中，是三元一次方程组的是 ( D )
A. B.
C. D.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
(一)代人法解三元一次方程组
【例1】解方程组：
【互动探索】(引发学生思考)三元一次方程组与二元一次方程组有什么区别？解三元一次方程组的基本思路是什么？
【解答】(1)由①，得z＝x＋y.④
将④代入②、③，消去z，得
解得
把x＝2，y＝3代入④，得z＝2＋3＝5.
所以原方程组的解为
【互动总结】(学生总结，老师点评)解三元一次方程组时，若某一方程的系数比较简单，可选用代入法，将其转化为二元一次方程组进行解答．
(二)加减法解三元一次方程组
【例2】解方程组：
【互动探索】(引发学生思考)方程①只含x、z，因此，可以由②③消去y，得到一个只含x、z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组．
【解答】②×3＋③，得11x＋10z＝35.④
①与④组成方程组
解得
把x＝5，z＝－2代入②，得y＝.
所以原方程组的解为
【互动总结】(学生总结，老师点评)解三元一次方程组时，若方程组三个方程中某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数时，可选用加减消元法，但要注意必须消去同一个未知数，否则所得的两个新方程虽然都含两个未知数，但由它们组成的方程组仍含三个未知数，并未达到消元的目的．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列方程组中不是三元一次方程组的是 ( D )
A. B.
C. D.
2．已知关于x的代数式ax2＋bx＋c，且x＝－1时，代数式的值为－1；x＝0时，代数式的值为2；x＝1时，代数式的值为3.则a＝－1，b＝2，c＝2.
3．解下列方程组：
(1) (2)
解：(1) (2)
4．某校初中三个年级共有651人，八年级的学生比九年级的学生人数多10%，七年级的学生比八年级多5%，求三个年级各有多少人？
解：设七、八、九年级的学生人数分别为x人，y人和z人．
由题意，得
解得
所以七、八、九年级的学生人数分别为231人，220人和200人．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
农作物品种 每公顷需劳 动力(人) 每公顷需投入 资金(万元)
水稻 4 1
棉花 8 1
蔬菜 5 2
已知该农场计划在设备投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？
【互动探索】本题中的等量关系：水稻投入资金＋棉花投入资金＋蔬菜投入资金＝67；水稻需要劳动力＋棉花需要劳动力＋蔬菜需要劳动力＝300；水稻种植面积＋棉花种植面积＋蔬菜种植面积＝51.
【解答】设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜为z公顷．
由题意，得
解得
即应种植水稻15公顷，棉花20公顷，蔬菜为16公顷．
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了三元一次方程组的应用，关键是弄懂题意，抓住题目中的关键语句，找出等量关系，设出未知数，列出方程组．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
三元一次方程组
练习设计
请完成本课时对应练习！
7.4 实践与探索
教学目标
一、基本目标
在运用方程解决实际问题的过程中，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型．
二、重难点目标
【教学重点】
让学生在实践与探索中，运用二元一次方程组解决实际问题．
【教学难点】
用方程(组)这样的数学模型刻画和解决实际问题，即数学建模的过程．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P42～P43的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．夏季来临，某超市试销A、B两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5300元，A型风扇每台200元，B型风扇每台150元，问A、B两种型号的风扇分别销售了多少台？若设A型风扇销售了x台，B型风扇销售了y台，则根据题意列出方程组为 ( C )
A.
B.
C.
D.
2．已知二元一次方程组则x－y等于 ( B )
A．1.1 B．1.2
C．1.3 D．1.4
3．方程组的解是.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】(教材P42问题1)要用20张白卡纸做长方体的包装盒，准备把这些白卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张白卡纸可以做2个侧面，或者做3个底面．如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，那么如何分才能使做成的侧面和底面正好配套？
【互动探索】(引发学生思考)想一想，如果可以将一张白卡纸裁出一个侧面和一个底面，那么，该如何分这些白卡纸，才能既使做出的侧面和底面配套，又能充分利用白卡纸？
【解答】设用x张白卡纸做侧面，用y张白卡纸做底面．
根据题意，得
解得
由于解为分数，所以若白卡纸不能套裁，则最多能做成16个包装盒；若可以套裁，用8张做侧面，11张做底面，另一张套裁出1个侧面，1个底面，则共可做侧面17个，底面34个，正好配成17个包装盒，较充分地利用了材料．
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，还需注意本题的等量关系是：底面数量＝侧面数量的2倍．
【例2】已知用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货共19吨；用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货共21吨．
(1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次分别可以运货多少吨？
(2)某物流公司现有49吨货物，计划同时租用A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．
①求m、n的值；
②若A型车每辆需租金130元/次，B型车每辆需租金200元/次．请求出租车费用最少是多少元？
【互动探索】(引发学生思考)(1)根据3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货＝10吨；2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货＝11吨，列出方程组即可解决问题．(2)①由题意得到3m＋5n＝49，根据m、n均为正整数，即可求出m、n的值．②求出每种方案下的租金数，经比较、分析，即可解决问题．
【解答】(1)设1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次分别可以运货x吨，y吨．
根据题意，得
解得
即1辆A型车一次可以运货3吨，1辆B型车一次可以运货5吨．
(2)①由(1)和题意可得，3m＋5n＝49，
∴m＝＝16－.
∵m、n都是正整数，
∴或或
②∵A型车每辆需租金130元/次，B型车每辆需租金200元/次，
∴当m＝13，n＝2时，需租金为130×13＋200×2＝2090(元)；
当m＝8，n＝5时，需租金为130×8＋200×5＝2040(元)；
当m＝3，n＝8时，需租金为130×3＋200×8＝1990(元)．
∵2090＞2040＞1990，
所以租车费用最少的是1990元．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要考查了列二元一次方程组和用二元一次方程来解决现实生活中的实际问题．解题的关键是深入把握题意，准确找出命题中隐含的数量关系，正确列出方程或方程组来分析、推理、解答．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有 ( B )
A．4种 B．3种
C．2种 D．1种
2．(教材P42问题2变式)如图，八个大小相同的小长方形可拼成下面两个大长方形，拼成图2时，中间留下了一个边长为1的小正方形，则每个小长方形的面积是 ( C )
A．12 B．14
C．15 D．16
3．如图所示，已知前两架天平两端保持平衡．要使第三架天平两端保持平衡，则应在天平的右托盘上放3个圆形物品．
4．一座铁桥长1000米，有一列火车从桥上通过，测得火车开始上桥到完全过桥，共用了1分钟．整列火车完全在桥上的时间为40秒(从车尾上桥到车头即将下桥)，求这列火车的速度和长度．
解：设火车的速度为v米/秒，火车长为l米．
根据题意，得
解得
即火车的长度为200米，速度为20米/秒．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】某人乘汽车，他看到第一块里程碑上写着一个两位数(表示千米)；经过1小时，他看到第二块里程碑写的两位数恰好是第一块里程碑上的数字互换了；又经过1小时，他看到第三块里程碑上写着一个三位数，这个三位数恰好是第一块里程碑上的两位数中间加上一个0，问汽车的速度是多少？
【互动探索】假设这个两位数的个位数字是x，十位数字是y，汽车的速度为z千米/小时，那么这个两位数数值就是10y＋x，则1小时后站牌上的数值是10x＋y，又经过1小时，他看到第三块里程碑上数值是100y＋x，所以可列方程(10x＋y)－(10y＋x)＝z与(100y＋x)－(10x＋y)＝z，求得x与y的比例关系，再通过数字x、y满足0≤x≤9,1≤y≤9，确定出x、y的取值，代入即可求得z的值．
【解答】设这个两位数的个位数字是x，十位数字是y，汽车的速度为z千米/小时．
由题意，得
化简，得
由③÷④，得＝1，即x＝6y.
又∵0≤x≤9,1≤y≤9，且x、y为整数，
∴x只能取6，y＝1，
∴z＝9×(6－1)＝45.即汽车的速度是45千米/小时．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键是根据题目的具体说明，列出方程组，求得数字x、y之间的关系．另外注意题目中的隐含条件，数字x、y满足0≤x≤9,1≤y≤9，且x、y为整数．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
列二元一次方程组解应用题的步骤：
(1)审清题意，弄清各个量之间的关系，找出等量关系；
(2)设未知数；
(3)列出方程，联立方程，得二元一次方程组；
(4)解二元一次方程组；
(5)作答．
练习设计
请完成本课时对应练习！
