第二章 平面向量
2.1.1 平面向量的实际背景及基本概念
唉, 哪儿去了?
嘻嘻!大笨猫!
A
B
老鼠由A向东北方向以每秒6米的速度逃窜，如果猫由B向正东方向以每秒10米速度追赶，那么猫能否抓到老鼠？为什么？
请同学们回忆在物理中学习过哪些既有大小又有方向的量.
探究点1 向量的物理背景与概念
向量的定义
既有大小，又有方向的量叫做向量.
数量只有大小，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，不能比较大小.
思考:时间,路程,速度,加速度是向量吗?为什么?
下列不是向量的是（ ）
① 质量; ② 速度; ③位移; ④温度;
⑤加速度; ⑥路程; ⑦ 密度;⑧功.
① ④ ⑥⑦ ⑧
【即时训练】
AB
探究点2 向量的表示方法
有向线段
（起点、 ）
(1)几何表示法：
(2)字母表示法：
B（终点）
A（起点）
方向、
长度
探究点3 向量的有关概念
1.向量的长度（模） 向量AB的大小,也就是向量的长度（或称模）.
|AB|
记作
2．两个特殊向量：
问：在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那么它们的终点的集合组成什么图形？
零向量——长度为0的向量叫做零向量，记作 0.
P
单位向量——长度等于1个单位的向量，叫做单位向量.
提示：圆
【即时训练】
4.若点M是△ABC的外心，则向量 是( )
A.有共同起点的向量 B.相等向量
C.共线向量 D.模相等的向量
【解析】选D.M是△ABC的外心，故有
（1）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
记作：
a
b
o
.
b
a
探究点4 向量间的关系
各向量的终点与直线l之间有什么关系？
如：
（2）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
记作 a ∥b ∥c
规定： 与任一向量平行.
问：把一组平行于直线l的向量的起点平移到直线l上的一点O ，这时它们是不是平行向量？
O
l
.
C
OC = c
A
OA = a
OB = b
B
平行向量又叫做共线向量
【即时训练】
（3）
【典例】给出下列说法
①若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
②若|a|=|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
③若a∥b，则a=b；
④若a≠b，则a与b不是共线向量；
⑤向量a与b不共线，则a与b都是非零向量.
其中错误的说法是________.
例2．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与 相等的向量.
解：
A
B
C
D
F
E
M
解：（1）DE，BF，FB，FA，
AF，ED，MC
（2）FB，AF，MC
如图,D，E，F分别是△ABC各边上的中点，四边形BCMF是平行四边形，请分别写出：
（1）与CM长度相等且共线的向量；
（2）与ED相等的向量；
【变式练习】
1、下列说法中正确的是( )
A.平行向量就是向量所在直线都平行
的向量
B.长度相等的向量叫做相等向量
C.零向量的长度为0
D.共线向量就是在同一直线上的向量
C
B
3.下列说法中错误的是( )
A.零向量是没有方向的
B.零向量的长度为0
C.零向量与任一向量平行
D.零向量的方向是任意的
A
C
5.已知边长为2的等边三角形ABC，
求BC边上的中线向量 的模.
单位向量
概念
表示方法
关系
共线向量
相等向量
向量
零向量
无论哪个时代，青年的特点总是怀抱着各种理想和幻想。这并不是什么毛病，而是一种宝贵品质。
——加里宁
相等向量与共线向量
问题提出
1.向量与数量有什么联系和区别？ 向量有哪几种表示？
联系：向量与数量都是有大小的量；
区别：向量有方向且不能比较大小，数 量无方向且能比较大小.
向量可以用有向线段表示，也可以用字母符号表示.
2.什么叫向量的模？零向量和单位向量分别是什么概念？
向量的模：表示向量的有向线段的长度.
零向量：模为0的向量.
单位向量：模为1个单位长度的向量.
3.引进向量概念后，我们就要建立相关的理论体系，为了研究的需要，我们必须对向量中的某些现象作出合理的约定或解释，特别是两个向量的相互关系.对此，我们将作些研究.
探究（一）：相等向量与相反向量
思考1：向量由其模和方向所确定.对于两个向量a、b，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？
模相等，方向相同；
模相等，方向不相同；
模不相等，方向相同；
模不相等，方向不相同；
思考2：两个向量不能比较大小，只有“相等”与“不相等”的区别，你认为如何规定两个向量相等？
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
向量a与b相等记作a=b.
思考3：用有向线段表示非零向量 和 ，如果 ，那么A、B、C、D四点的位置关系有哪几种可能情形？
A
B
C
D
A
B
C
D
思考4：对于非零向量 和 ，如果 ，通过平移使起点A与C重合，那么终点B与D的位置关系如何？
长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.
思考5：非零向量 与 称为相反向量，一般地，如何定义相反向量？
D
C
B
A
B
A
思考6：如果非零向量 与 是相反向量，通过平移使起点A与C重合，那么终点B与D的位置关系如何？
D
C
B
A
B
A
探究（二）：平行向量与共线向量
思考1：如果两个向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？
思考2：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行记作a//b，那么平行向量所在的直线一定互相平行吗？
方向相同或相反
思考3：零向量0与向量a平行吗？
规定：零向量与任一向量平行.
思考4：将向量平移，不会改变其长度和方向.如图，设a、b、c是一组平行向量，任作一条与向量a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，分别作 =a， =b， c = ， 那么点A、B、C的位置关系如何？
A
B
C
O
l
a
b
c
思考5：上述分析表明，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量.如果非零向量 与 是共线向量，那么点A、B、C、D是否一定共线？
思考6：若向量a与b平行（或共线），则向量a与b相等或相反吗？反之，若向量 a与b相等或相反，则向量a与b平行（或共线）吗？
思考7：对于向量a、b、c，若a // b， b // c，那么a // c吗？
思考8：对于向量a、b、c，若a =b， b =c，那么a = c吗？
例1 判断下列命题是否正确：
（1）若两个单位向量共线，则这两个向量相等； （ ）
（2）不相等的两个向量一定不共线； （ ）
（3）在四边形ABCD中，若向量与共线，则该四边形是梯形； （ ）
（4）对于不同三点O、A、B，向量与一定不共线. （ ）
理论迁移
×
×
×
×
例2 如图，设O为正六边形ABCDEF的中心，分别写出与 、 相等的向量.
A
B
C
D
E
F
O
例3 如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA边上的点，已知 求证： .
A
B
C
D
E
F
小结作业
1.相等向量与相反向量是并列概念，平行向量与共线向量是同一概念，相等向量（相反向量）与平行向量是包含概念.
2.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关.
3.向量的平行、共线与平面几何中线段的平行、共线是不同的概念，平行向量（共线向量）对应的有向线段既可以平行也可以共线.
4.平行向量不具有传递性，但非零平行向量和相等向量都具有传递性.
