向量加法运算及其几何意义
向量减法运算及其几何意义
2.2.3 向量的数乘运算及其
几何意义
1.向量加法三角形法则:
特点:首尾相接，首尾连
特点:共起点
B
A
O
特点：共起点，连终点，方向指向被减数
2.向量加法平行四边形法则:
3.向量减法三角形法则:
实际背景
讲授新课
思考题1:已知向量 如何作出 和
O
A
B
C
N
M
Q
P
记:
即:
同理可得:
思考题2: 向量 与向量 有什么关系? 向量
与向量 有什么关系?
(1)向量 的方向与 的方向相同, 向量 的长度是 的3倍,即
(2)向量 的方向与 的方向相反, 向量 的长度是 的3倍,即
一、向量的数乘运算的定义：
注意：比较两个向量时,主要看它们的长度和方向
二、数乘向量的几何意义
数乘向量的几何意义就是把向量 沿 的方向或反
方向放大或缩短.若 ,当 沿 的方
向放大了 倍.当 沿 的方向缩短了 倍.
当 ,沿 的反方向放大了 倍.当
沿 的反方向缩短了 倍.由其几何意义可以看出
用数乘向量能解决几何中的相似问题.
解：（1）
（2）
(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为非零向量)，并进行比较。
(2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并进行比较。
=
三、向量的数乘运算满足如下运算律：
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算
例2：计算下列各式
共线向量的充要条件：
向量共线定理：
对于向量 a (a≠0), b ，以及实数λ。
问题1：如果 b=λa
那么，向量a与b是否共线？
问题2：如果 向量a与b共线
那么，b=λa ？
向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当有唯一个实数λ，使得 b=λa
1.把下列各小题中得向量b表示为实数与向量a得积.
练习：
2.判断下列各小题中的向量a与b是否共线.
练习：
例3.
设AB=2(a+5b)，BC= ?2a + 8b，CD=3(a ?b)，
求证：A、B、D 三点共线。
分析
要证A、B、D三点共线，可证
AB=λBD关键是找到λ
解：
∵BD=BC+CD= ?2a + 8b+ 3(a ?b)=a+5b
∴AB=2 BD
∴ A、B、D 三点共线
AB∥ BD
且AB与BD有公共点B
向量 与非零向量 共线
有且仅有一个实数 ，使得 ．
定理
例4.如图：已知 ， ，
试判断 与 是否共线．
∴ 与 共线．
解：
向量 与非零向量 共线
有且仅有一个实数 ，使得 ．
定理
解：作图如右
O
A
B
C
依图猜想:A、B、C三点共线
∴ A、B、C三点共线.
a
b
b
b
∵ AB=OB-OA
∴ AC=2AB
又 AC=OC-OA
=a+3b-(a+b)=2b
=a+2b-(a+b)=b
又 AB与AC有公共点A，
例5： 如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点
N在线段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C
三点共线。
提示：设AB = a BC = b
则MN= … = a + b
MC= … = a+ b
练习
例7:若
其中 , 是已知向量,求 ，
分析:此题可把已知条件看作向量的方程,通过解方程组获得
解：记 ①， ②
3②得 ③
①-③得
例8. 在 中,设D为边ＢＣ的中点,求证:
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
解：因为
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
E
过点B作BE,使
连接CE
则四边形ABEC是平行四边形,D是BC中点，则D也是AE中点.
由向量加法平行四边形法则有
解2:
例8. 在 中,设D为边ＢＣ的中点,求证:
例8. 在 中,设D为边ＢＣ的中点,求证:
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
解：
（２）
所以，所证等式成立
练习:
如图，在 中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取
点D,使BD= OB.DC与OA交于E,设 请用
.
E
C
O
D
B
A
分析: 解题的关键是建立
的联系，为此需要利用向量的加、减法数乘运算。
解：因为A是BC的中点，所以
基础知识反馈
C.
A.
B.
(2).
设 是非零向量, 是非零实数,下列结论正确的是( ).
D.
(1).
下列四个说法正确的个数有( ).
B.2个
A.1个
C.3个
D.4个
?
?
?
?
B
C
练习
（ C ）
分析:由 所以
在平行四边形ABCD中, ,M为BC的
中点,则 等于＿＿＿＿＿＿
(1)
(2)
A
B
C
D
二、定理的应用：
1. 证明 向量共线
2. 证明 三点共线: AB=λBC A,B,C三点共线
3. 证明 两直线平行:
AB=λCD AB∥CD
AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
课堂小结：
一、①λa 的定义及运算律
②向量共线定理 (a≠0)
b=λa 向量a与b共线
向量与平面几何
A
B
D
C
A
B
D
C
四边形ABCD是菱形
四边形ABCD是矩形
对于任意一个三角形，
三角形的三条高的交点叫做垂心，
三角形的三条中线的交点所为重心，
三角形的三条角平分线的交点叫内心，
三角形的三条中垂线的交点叫外心
向量与三角形的“心”：
A
B
C
O
A
B
C
D
M
A
B
C
O
M
外心
重心
重心
通过三角形ABC的_________
内心
例1
O 是平面上一点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，
动点 P 满足
，λ∈[0，＋∞）,
则 P 的轨迹一定通过 △ABC 的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
B
例2.
0
x
y
B
C
A
C’
B’
D
(P)
解：设 为 上的单位向量，
为 上的单位向量
则 的方向为∠BAC的角平分线AD的方向
（如图）
又λ∈［0，＋∞）
的方向与 的方向相同．
而
，∴点 P 在 上移动．
因此点 P 一定通过 ΔABC 的内心．
∴ 选（B）
∴
谢 谢！
