平面向量基本定理
平面向量的正交分解、坐标表示
及坐标运算
1．理解向量的坐标表示．
2．掌握向量的有关坐标运算：两坐标的和、两坐标的差、数乘向量坐标和向量 的坐标运算．
基础梳理
一、平面向量的坐标表示
1．平面向量的正交分解：把一个向量分解为________叫做把向量正交分解．
2．在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对实数x、y使得________．这样平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作________，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示．
1.两个互相垂直的向量 2.a＝xi＋yj a＝(x，y)
3．几个特殊向量的坐标表示
i＝________，j＝________，0=________.
4．以原点O为起点作向量 ，设 ＝xi＋yj，则向量 的坐标(x，y)，就是________；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是________．
3．(1,0) (0,1) (0,0)
4.终点A的坐标 向量 的坐标
思考应用
1．点的坐标和向量的坐标有什么区别和联系？
解析：(1)点的坐标是反映点的位置，它由点的位置决定，向量的坐标反映的是向量的大小和方向，其仅仅由大小和方向决定，与位置无关；
(2)向量的坐标等于其终点坐标减去其起点坐标，当向量起点在原点时，向量的终点坐标就等于向量的坐标．
二、向量的坐标运算
1．两个向量和差的坐标运算
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝________；
a－b＝________.
2．数乘向量和坐标运算
若a＝(x，y)，则λa＝__________.
3．向量 的坐标表示
若已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ＝______.即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的______．
1.(x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) 2.(λx，λy)
3．(x2－x1，y2－y1) 终点的坐标减去始点的坐标
思考应用
2．向量平移前后始点、终点的坐标发生了变化，而向量本身的坐标却不变，这怎么解释呢？
解析：解决这个问题的关键是探讨始点、终点坐标的变化是否会引起向量坐标的变化，向量 经过平移以后得到向量 ，这两个向量的坐标分别等于其相应的终点的坐标减去始点坐标，尽管对应的始点、终点坐标不同，但由坐标表示过程中构造的平行四边形全等可知，其差值是不变的，所以一个向量的坐标只和表示它的有向线段的始点、终点的相对位置有关，而与具体位置无关．
自测自评
1．若向量(x，y)＝0，则必有( )
A．x＝0或y＝0 B．x＝0且y＝0
C．xy＝0 D．x＋y＝0
B
D
3．已知a＝(3,－1)，b＝(－1,2)，c＝2a＋b则c＝( )
A. (6,－2) B.(5,0)
C. (－5,0) D.(0,5)
4．若点A (－2,1) ，B(1,3)，则 ＝_________.
B
(－3,－2)
平面向量的坐标运算
已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，求a＋b，a－b，3a＋4b.
点评：(1)实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来向量的相应坐标．
(2)两个向量的和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)
跟踪训练
用方程思想求向量坐标
已知a＋b＝ (2,-8),a－b＝ (－8,16),求a和b.
分析：设a＝(m，n)，b＝(p，q)，则问题就可转化为方程思想解决．
点评：上面两种方法都是通过解方程组得到解决，解法一侧重以坐标为主体的方程；解法二是整体思想，解向量方程．
跟踪训练
2．已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，c＝(－6,19)，用a，b，表示c.
平面向量的坐标表示
分析：本题主要是考查向量的坐标表示、向量的坐标运算、平面向量基本定理以及待定系数法等知识，求解时首先由点A、B、C、D的坐标求得向量
等的坐标，然后根据平面向量基本定理得到等式 再列出关于m、n的方程组，进而解方程求出所表示的系数．
点评： 坐标运算要熟记公式，始点和终点的前后顺序不可颠倒，否则会出现错误．
跟踪训练
分析：本题主要是考查向量的坐标表示、向量的坐标运算．问题已给出A、B、C三点的坐标，因此可写出向量 的坐标，进而利用向量的数乘、加、减的坐标运算，问题就可得解．
平面向量坐标在几何中的应用
已知平面上三点的坐标分别为A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形ABCD的四个顶点．
点评：设出所求点的坐标，利用向量相等或向量共线列方程组求解，利用方程的思想求解向量中未知的点的坐标，是一种最基本的方法．
跟踪训练
4.已知平面上三点的坐标分别为A(1,2)，B(3，－1)，C(5,6)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形ABCD的四个顶点．
C
C
1．要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．
2．向量的加法、减法及实数与向量的积都可以用坐标来进行运算，使得向量运算完全代数化，将数和形紧密结合起来，这样许多几何问题的解决就可以转化为我们熟悉的数量运算．
3．求一个向量时，首先求一个向量的始点和终点坐标．
4．求一个点的坐标，可以转化为求一个始点在原点，终点在该点的向量坐标．
平面向量共线的坐标表示
