苏科版八年级下册 第10章《分式》考点+易错整理同步学案

第10章《分式》考点+易错整理
知识梳理

重难点分类解析
考点1 分式的概念及性质
【考点解读】分式的概念主要内容包括分式的定义、分式有意义的条件、分式的值等;分式的性质包括分式的基本性质、通分和约分.中考中对该知识点要求较低，多以基础题的形式出现.
例1 (2018·盐城)要使分式有意义，则的取值范围是 .
分析:当分母，即时，分式有意义.
答案:
【规律·技法】若分式有意义，则分母不等于零.
【反馈练习】
1.分式在实数范围内有意义，则的取值范围是 .
点拨:当分母不为0时，分式有意义.
2.在代数式中，分式的个数有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个
点拨:根据分式是分母中含有字母的式子进行判断即可.
考点2 分式的运算
【考点解读】分式的运算包括分式的加减和分式的乘除，分式的基本性质是解决分式运算问题的关键，在中考中分式的运算多以计算题出现，属于简单题.
例2 (2018·泰州)化简: .
分析:本题考查分式的化简，先算括号内的减法，把除式分子和分母中多项式因式分解，同时把除法变为乘法再约分化简.
解答:原式=
【规律·技法】整式与分式进行运算时，常把整式化为分式形式后再进行通分.
【反馈练习】
3.化简：.



点拨:先算括号内加减法，再利用除法法则把除法运算变为乘法运算，并且因式分解分式中复杂的因式最后约分化为最简分式.
4. (2018·淮安)先化简，再求值: ，其中.



点拨:先把括号中的式子通分，再把除法转化为乘法进行化简，最后把的值代入化简后的式子计算求值.
考点3 分式方程
【考点解读】分式方程的解法主要利用转化的数学思想，即把分式方程转化为整式方程，再进行求解，转化过程中可能会出现增根，故在解分式方程时一定要检验.中考中常以简单的计算题出现，遗忘检验是失分的主要原因.
例3 (2018·镇江)解方程: .
分析:两边同时乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后解答，检验后确定方程的解.
解答:两边同时乘，得.去括号，得.移项、合开同类项，得.系数化为1,得.检验:当时，.故是原分式方程的解.
【规律·技法】分式方程的解法主要用到转化的数学思想，通过方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程后再进行求解，检验是解分式方程必不可少的步骤.
【反馈练习】
5.若关于的分式方程有增根，则实数的值是 .
点拨:先去分母转化为整式方程，利用方程有增根，使分式方程的分母为0的的值，代入整式方程即可解决问题.
6.解方程: .


点拨:先去分母化为整式方程，再解方程，最后检验方程的根是否是增根.
考点4 列分式方程解决问题
【考点解读】列分式方程解决问题的关键是要找出问题的等量关系，根据等量关系列出方程从而解决问题，在解方程时要注意进行检验.
例4 (2018·徐州)徐州至北京的高铁里程约为700 km，甲、乙两人从徐州出发，分别乘坐“徐州号”高铁A与“复兴号”高铁B前往北京.已知A车的平均速度比B车的平均速度慢80 km/h, A车的行驶时间比B车的行驶时间多40%，两车的行驶时间分别为多少?
分析:解题关键是找出解决问题的等量关系列出方程.设B车行驶的时间为h，则A车行驶的时间为1.4h，根据速度=路程÷时间得出关于的分式方程，解此分式方程并检验即可得出结论.
解答:设B车行驶的时间为h，则A车行驶的时间为1.4h.由题意，得，解得= 2.5.经检验，= 2.5是所列方程的解.则1.4= 3.5.故A车行驶的时间为3.5,B车行驶的时间为2.5.
【规律·技法】行程问题的等量关系主要体现在速度、时间和路程的关系，如速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间，掌握基本的等量关系是解题的关键.
【反馈练习】
7.某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原
来每天多50%，结果提前10天完成任务，原来每天制作多少件?



点拨:本题考查了分式方程的应用，解题的关键是根据题意列出符合等量关系的分式方程并正确求解检验。本题中的等量关系是“原计划的天数－实际的天数=10”，然后用代数式分别表示原计划的天数和实际的天数.
8.某服装店用4 500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2 1 00元购进第二批该款
式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元.
(1)这两次各购进这种衬衫多少件?
(2)若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1 950
元，则第二批衬衫每件至少要售多少元?



点拨:(1)本题中的等量关系是“第二次进货数量=第一次进货数重×”，抓住等量关系列分式方程解答即可.(2)抓住“总利润≥1 950”列不等式解决.
易错题辨析
易错点1 忽视分式值为0时需满足的条件
例1 当为何值时，的值等于0?
错误解答:由题意，得，解得或.
错因分析:造成错误的原因是使分式的值为0，必须是分式的分子为0，而分母不能为0，但分式的分母不为0有时容易被忽略.
正确解答:由题意，得，解得.
易错辨析:分式的值为0必须同时满足以下两个条件:(1)分子为0;(2)分母不为0.即要使分式 .则且,也就是说，必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值等于或不等于0的条件.
易错点2 不能正确运用分式的基本性质
例2 不改变分式的值，把分式的分子、分母中的各项系数都化为整数.
错误解答: .
错因分析:错解中，分子、分母所乘的不是同一个数，虽然把各项系数化成了整数，但分式的值改变了.
正确解答: .
易错辨析:将各项系数化为整数的前提条件是不能改变分式的值.由分式的基本性质可知，若分式的值不变，则分式的分子和分母所乘(或除以)的必须是同一个不等于0的数或整式.
易错点3 分式化简时的错误
①通分时去分母
例3 化简: .
错误解答:原式= .
错因分析:上述化简过程从第2步开始就出现了错误，错误的原因是通分时去分母了，为了防止此类错误的发生，要理解分式化简每一步的变形依据都是分式的基本性质，通分要保留分母，而不是去分母.
正确解答:原式= .
易错辨析:为了防止通分时去分母，就要注意使用分式的基本性质，只能约分，而不能去分母.
②忽视分数线的括号作用
例4 化简: .
错误解答:原式= .
错因分析:本题忽视了分数线的括号功能，在通分时，应将用括号括起来.
正确解答:原式= .
易错辨析:分数线有时起到括号的作用.
③运算顺序出错
例5 化简：
错误解答:原式= .
错因分析:运算顺序不对，没有按照从左到右的运算顺序计算，而错误地用“结合律”导致出错.
正确解答:
原式=.
易错辨析:乘除运算是同级运算，运算顺序是从左向右依次计算.由于受“结合律”的影响而容易出现忽视运算顺序的错误.乘除运算的规律一般是先把除法转化为乘法，再按照乘法法则进行计算.若乘方与乘除混合，要先乘方，再乘除.
易错点4 解分式方程时忽视对根的检验
例6 解方程：.
错误解答: 方程两边同乘，得，解这个方程，得.所以是原方程的解.
错因分析:此题错在没有检验，解分式方程必须要验根.
正确解答:方程两边同乘，得，解这个方程，得.
检验:当时，，所以是原方程的解.
易错辨析:通过“去分母”把分式方程转化为整式方程，但这个整式方程的解可能使原分式方程的分母为零，因而一定要验根.
【反馈练习】
1.当= 时，分式的值为零.
点拨:必须在分式有意义的前提下讨论分式的值是否等于0，易错的地方是忽视分式有意义时分母不为0这个条件.
2.计算: .



点拨:本题易混淆分式的运算与通分，错误地得到，分式的加减运算应先通分.



3.计算: .



点拨:本题易错的是先把后面两个分式相乘使运算简便，忽视了运算顺序.
4.计算: .



点拨:本题易出现错解:
原式=，
错误的原因是把分式的乘法分配律用在除法上.
5.当为何值时，关于的方程的解为负数?



点拨:对于求含有字母的分式方程的解，考虑问题一定要全面，若未知数的取值使得原分式方程中的分母为零，则应舍去.
探究与应用
探究1 整体代换求值
例1 (1)若，则= ;
(2)若，则= ;
(3)若，则= .
点拨:观察题干条件，可用消元思想与整体代换法，计算分式的值.
(1)由条件，得,所以原式=.
(2)方法一:因为,所以.所以原式= .
方法二:由分式性质，将分子、分母同时除以，所以原式= .
(3)由，得.所以原式=

答案:(1) (2) (3) 1
【规律·提示】
在解答分式题时，适当运用整体思想，会使问题巧妙解决，如分式化简求值中经常运用整
体代换法.分式的化简求值通常分为有条件和无条件两类，给出一定的条件并在此条件下求分式的值的问题称为有条件的分式化简求值.解这类问题，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要依据条件逼近目标，又要能根据目标变换条件.常常用到如下策略:①适当引入参数;②拆项变形或拆分变形;③整体代入;④取倒数或利用倒数关系等.
【举一反三】
1. (1)已知，则代数式的值为 .
(2)已知，则= .
(3)已知，则= .
探究2 类比转化、归纳猜想等数学思想解决问题
例2 解方程: .
点拨:如果本题直接去分母，运算量较大，但联想到分数中，当分子大于分母时，如，
可化为，类比到分式中，当分子的次数不小于分母的次数时
可分离系数，即，从而减少运算量.
解答:原方程可化为.移项，得.整理，得.
所以，解得.经检验，是原方程的解.
【规律·提示】本章知识一般情况下都要通过类比才可以发现新旧知识的相同点，利用已有的知识来认识新知识.由分数的定义、基本性质、通分、约分、分数的加减乘除等运算法则类比引入学习分式的相关知识;从分数的一些运算技巧类比引入了分式的运算技巧.
例3 设.
(1)化简;
(2)记.当时，记此时的值为;当时，记此时的值为;...;解关于的不等式: ，并将解集在数轴上表示出来.

点拨:本题第(2)小题属于新定义型，对于本题中的，可利用“一分为二”的裂项法进行化简,即.
解答:(1)
(2)因为当时，;当时，，当时，;….因为，
即，
所以，所以，所以，解得.所以原不等式的解集是，在数轴上表示如图所示:

【规律·提示】在有关分式的运算中，当项数较多时，可利用归纳与猜想的思想寻找这些式子的一般规律，从而减少运算量.
【举一反三】
2.一列数，其中为不小于2的整数)，则等于( )
A. B. C. D.
3.若关于的方程无解，求的值.



探究3 特殊方法解决实际问题
例4 某工程，甲队单独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的倍，乙队单独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的倍，丙队单独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的倍，则的值是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
点拨:本题属于工程类应用题，不妨设甲、乙、丙三队的工作效率分别为.再根据条件列方程，将用表示，即可求值.设甲、乙、丙三队的工作效率分别为,
则.所以.所以，即.同理可得.三式相加、整理，得.
答案:A
【规律·提示】在分式运算及解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过模型去解决实际问题.经历“实际问题—分式方程模型—求解—检验解的合理性”的“数学化”过程，体会分式方程模型的思想.
【举一反三】
4.某商场在一楼和二楼之间安装了一个自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一个男孩和一个
女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯行驶，两人也走梯).如果两人上梯的速度都是匀速的，
每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍.已知男孩走了27级到达扶梯顶部，
而女孩走了18级到达顶部.
(1)扶梯露在外面的部分有多少级?
(2)现扶梯旁有一个从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两人
各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼(不考虑扶梯与楼
梯间的距离)，如此反复.求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶?







参考答案
知识梳理
未知数 整式 分式 方程 检验
重难点分类解析
【反馈练习】
1.
2. A
3.
4. .
当时，原式.
5.
6. 无解
7. 原来每天制作16件.
8. (1) 第一批衬衫购进30件，第二批购进15件.
(2)第二批衬衫每件至少要售170元.
易错题辨析
【反馈练习】
1.
2.
3.
4.
5. 当且时，方程的解为负数.
探究与应用
【举一反三】
1. (1)
(2) 2
(3) 1
2. A
3. 或时，方程无解
4. (1) 扶梯露在外面的部分有54级.
(2) 男孩第一次追上女孩时走了198级台阶.