第一章 解三角形
1.1.1 正 弦 定 理
1、边的关系：
2、角的关系：
3、边角关系：
(1)两边之和大于第三边；两边之差小于第三边
(2)在直角三角形中：a2+b2=c2
大边对大角，小边对小角，等边对等角
回顾三角形中的边角关系:
A
B
C
a
b
c
一、课前回顾
A
C
B
c
b
a
想一想?
思考
（2）上述结论推广到任意三角形是否成立呢?
（1）你有何结论?
二、定理猜想
D
B
A
C
a
b
c
E
二、定理猜想
过点C作CD⊥AB于D,
2.若三角形是锐角三角形, 如图1,
图1
所以 CD=asinB=bsinA,
此时有
综上所得，结论成立．
同理可得
D
3.若三角形是钝角三角形,且角C是钝角，如图2 ，
C
A
c
b
B
图2
类比锐角三角形，请同学们自己推导.
二、定理猜想
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等.即
三、正弦定理
（2）已知任意两边与其中一边的对角，可求另一边的对角，进而求出其他的边和角.
（1）已知任意两角与一边，可求出其他角和边.
作用：
一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形.
解三角形：
其中，R为三角形ABC的外接圆半径
变形公式:
(1)
(2)
(3)
注意：结合问题的具体条件来选择不同的定理公式求解。
边化角
角化边
例 1：在△ABC 中，已知c = 10, A = 45。, C = 30。，解三角形.（即求出其它边和角）
解：
B
A
C
b
c
a
四、定理应用
小结：已知两角与任意一边，求其余两边和一角,
此时的解是唯一的.
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ ，A＝45°，
解三角形。
四、定理应用
B
A
C
b
c
a
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ ，A＝45°，
解三角形。
变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ ，A＝45°，
解三角形。
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ ，A＝45°，
解三角形。
变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ ，A＝45°，
解三角形。
变式2：在△ABC中，已知a＝ ，b＝ ，
A＝45°，解三角形。
小结：已知两边与其中一边的对角，解三角形时,通 常要用到三角形内角和定理或大边对大角等三角形有关性质，此时可能有多个解。
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ ，A＝45°，
解三角形。
变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ ，A＝45°，
解三角形。
变式2：在△ABC中，已知a＝ ，b＝ ，
A＝45°，解三角形。
课堂练习:
课后作业:
小结：
A
A
课后练习：
(2)
(1)
课后小结
A
B
C
a
b
c
( 其中 R是
外接圆的半径）
(1)
(2)
(3)
正弦定理
变形公式
注意定理的两个作用
1.1.2 余弦定理
人教版A版 高中数学必修5 第一章《解三角形》
复习回顾
b
a
C
A
B
1.正弦定理
2.正弦定理的作用
(1)已知三角形的两角和任一边,求其它两边和另一角;
(2)已知三角形的两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其它的边和角).
在第二种情况下：
若知道的是大边的对角,只有唯一的一组解;
若给出的是小边的对角,则结果可能是两解或一解、或无解.
证明：在三角形ABC中，AB、BC、CA的长分别为c,a,b.
A
B
C
一、余弦定理
三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
a =b +c-2bccosA
b =c +a-2accosB
c =a +b-2abcosC
2
2
2
2
2
2
2
2
2
延伸变形：
注意:余弦定理适用任何三角形.
推论:
二、余弦定理的作用
（1）已知三边，求三个角；
（3）判断三角形的形状。
（2）已知两边和它们的夹角，求
第三边和其它两角；
例 1：?ABC中，若a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C.
解：
b2＋c2－a2
2bc
∵ cosA＝ ＝0.725，
∴ A≈44°
a2＋b2－c2
2ab
∵ cosC＝ ＝0.8071，
∴ C≈36°,
∴ B＝180°－(A＋C)≈100°.
∵sinC＝ ≈0.5954,
∴ C ≈ 36°或144°(舍).
c sinA
a
(
)
三、应用举例
例 2：?ABC中，若a＝2.730，b＝3.696，C＝82°28′，
解这个三角形
解：
由 c2=a2＋b2－2abcosC,
得 c≈4.297.
b2＋c2－a2
2bc
∵ cosA＝ ≈0.7767，
∴ A≈39°2′,
∴ B＝180°－(A＋C)＝58°30′.
a sinC
c
∵sinA＝ ≈0.6299，
∴ A=39°或141°(舍).
(
)
A
B
C
O
x
y
例 3：?ABC三个顶点坐标为(6，5)、
(－2，8)、(4，1)，求A.
∵ AB ＝√[6-(-2)]2+(5-8)2 =√73 ,
BC ＝√(-2-4)2+(8-1)2 =√85 ,
AC ＝√(6-4)2+(5-1)2=2√5 ,
cosA＝ ＝ ,
2 AB AC
AB 2＋ AC 2－ BC 2
2
√365
∴
∴ A≈84°.
加深提高：
动手实践:
练习题答案: 1. 7; 2. 90°; 3. 7.
小结:
1.余弦定理
a =b +c-2bccosA
b =c +a-2accosB
c =a +b-2abcosC
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2.余弦定理的作用
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求
第三边和其它两角；
（3）判断三角形的形状。
3.推论:
＝
＝
（R为△ABC
外接圆半径）
＝
2R
求证:
补充作业
