【备考2019中考数学学案】第四单元 图形的初步知识与三角形 第1课时 几何初步及相交线、平行线

第四单元 图形的初步知识与三角形
第1讲 几何初步及相交线、平行线
考点一 直线、射线、线段
1.线段、射线、直线的区别与表示
图形
表示方法
端点个数
延伸方向
可否度量
线段
线段AB（BA）线段a
2
无
能
射线
射线OC
射线b
1
向一方
延伸
不能
直线
直线DE（ED）
直线l
0
向两方
延伸
不能
2.性质:（1）直线的性质:两点①________一条直线；（2）线段的性质:两点之间，②_______最短。
3.两点间的距离:连接两点间的线段的长度.
4.线段的中点:把一条线段分成相等的两条线段的点，叫做线段的中点。
【温馨提示】 若点C是线段AB的中点，则有以下表示方法:
①AC＝BC；②AC＝AB或BC＝AB；③AB＝2AC或AB＝2BC.
这些不同的表示方法，为我们解决问题带来方便。
考点二 角的有关概念与性质
定义
具有公共端点的两条③__________组成的图形。
分类
按大小分为锐角、直角、钝角、平角、周角。
互余
两个角的和为④____________，则两个角互为余角。
互补
两个角的和为⑤________，则两个角互为补角。
性质
等角的余（补）角⑥______________。
【温馨提示】 1.角的平分线:从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.若OC平分∠AOB，则可表示为:∠AOC＝∠BOC或∠AOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC.
2.角的度量与计算
（1）把一个周角360等分，每一等份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1'；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1''。
（2）1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60'，1'＝60''.
注意: ①在进行度、分、秒的有关计算时，应按级运算，度、分、秒的进制是60进制，而不是10进制；②把高级单位转化成低级单位要乘进率；把低级单位转化为高级单位要除以进率。
考点三 相交线与垂线
对顶角
特征
有公共顶点，角的两边互为反向延长线。
性质
对顶角⑦____________。
邻补角
有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线.
垂
线
垂直
过一点有且只有⑧________直线与已知直线垂直。
垂线段
垂线段⑨_______________。
点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
三线八角
同位角有:⑩_____________________；
内错角有:∠3与∠5，∠4与∠6；
同旁内角有:∠3与∠6，∠4与∠5.
【温馨提示】 1.两条直线垂直是两条直线相交的特殊情况，特殊在它们所交的角是直角。
2.线段与线段、射线与线段、射线与射线的垂直，都是指它们所在的直线垂直。
考点四 平行线的性质与判定
1.平行公理
（1）经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
（2）平行线的传递性:如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
2.平行线的性质和判定
（1）两直线平行台?__________相等；
（2）两直线平行?____________相等；
（3）两直线平行台同旁内角互补.
题 型 归 类 探 究
类型一 直线、射线、线段（重点）
【典例1】（1）（2017·随州）某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分（如图），发现剩下树叶的周长比原树叶的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A.两点之间线段最短 B.两点确定一条直线
C.垂线段最短 D.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
（2）(2017·桂林)如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中点，若CD＝1，则AB＝_______。

【思路导引】 （1）利用线段公理解释即可；（2）根据线段中点的定义，求线段AD的长，再求AB的长；或先得到线段AB与CD的数量关系，再计算长度.
【自主解答】
【方法技巧】1.“两点之间，线段最短”与“垂线段最短”是解决最短路径问题的重要依据。
2.几个规律:（1）数直线条数:过同一平面内不在同一直线上的n个点最多可画条直线；
（2）数线段条数:线段上有n个点（包括线段的两个端点）时，共有条线段；
（3）数交点个数:同一平面内，n条直线两两相交，最多有个交点。
【变式训练】
1.（1）（2017·常州）已知△ABC中，BC＝6，AC＝3，CP⊥AB，垂足为P，则CP的长可能是（ ）
A.2 B.4 C.5 D.7
（2）（2018·衡阳）如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分，现有n条直线最多可将平面分成56个部分，则n的值为___________。
类型二 相交线中角的有关计算（重点）
【典例2】（2018·平邑县一模）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM.若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为（ ）
A.65° B.55° C.45° D.35°
【思路导引】 由角平分线的定义可得∠AOM和∠COM相等，再由垂直的定义得∠MON是90°，最后由互余的定义得出∠CON的度数。
【自主解答】
【方法技巧】 解决相交线中角的计算问题的方法:解决相交线中角的计算问题，首先确定要求的未知角和已知角，借助其他角建立联系，再运用角平分线垂直、对顶角、邻补角等相关知识进行运算。
【变式训练】
2.（2018·河南）如图，直线AB，CD示相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD＝50°，则∠BOC的度数为__________。
类型三 平行线的性质与判定（高频点）
【典例3】 （2017·广安）如图，若∠1＋∠2＝180°，∠3＝110°，则
∠4=____________。
【思路导引】先判断直线a与b的位置关系，再由平行线的性质，得到∠4与∠3相等，可求其大小。【自主解答】
【反思归纳】1.运用平行线的性质与判定求角的度数时，关键是找准角与角之间的位置关系，包括“对顶角、邻补角、同位角、内错角、同旁内角”这些关系.另外还常和三角形的内角和定理，及三角形外角性质结合解决相关问题2.遇到这类简单问题，立刻联想到平行线的性质定理，三角形内角和定理及推论综合求解.较为复杂的此类问题还需添加必要的辅助线，构造相关基本图形助解.
【变式训练】3.（2018·雅安）如图，AB∥CD，∠1＝110°，∠2＝30°，则∠P的度数为（ ）
A.70° B.100° C.110° D.140°
中 考 真 题 回 放
考点一 直线、射线、线段
1.（2017·黔南）如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙角的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，其运用到的数学原理是（ ）
A.两点之间，线段最短 B.两点确定一条直线
C.垂线段最短 D.过一点有且只有一条直线和已知直线平行
2.（2018·柳州）如图，在直线l上有A，B，C三点，则图中线段共有（ ）
· · · l
A B C
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
3.（2018·淄博）如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D.则图中能表示点到直线距离的线段共有（ ）
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
4.（2017·长沙）如图，C，D是线段AB上两点，D是线段AC的中点，若AB＝10cm，BC＝4cm，则AD的长等于（ ）
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm
考点二 对顶角及互余（补）的有关计算
5.（2018·德州）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中∠a与∠β互余的是（ ）
A.图① B.图② C.图③ D.图④
6.（2017·恩施）已知∠AOB＝70°，以O为端点作射线OC，使∠AOC＝42°，则∠BOC的度数为（ ）
A.28° B.112° C.28°或112° D.68°
7.（2015·菏泽）将一副直角三角尺如图所示放置，若∠AOD＝20°，则∠BOC的大小为（ ）
A.140° B.160° C.170° D.150°
8.（2014·滨州）如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线.如果∠AOB＝40°，
∠COE＝60°，则∠BOD的度数为（ ）
A.50° B.60° C.65° D.70°
考点三 平行线的性质与判定
9.（2018·东营）下列图形中，根据AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是（ ）
10.（2018·枣庄）已知直线m∥n，将一块30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A.20° B.30° C.45° D.50°
11.（2018·潍坊）把一副三角板放在同一水平面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（ ）
A.45° B.60° C.75° D.82.5°
12.（2018·济南）如图，AF是∠BAC的平分线，DF∥AC.若∠1＝35°，则∠BAF的度数为（ ）
A.17.5° B.35° C.55° D.70°
13.（2018·聊城）如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是（ ）
A.110° B.115° C.120° D.125°
14.（2018·日照）如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1＝（ ）
A.30° B.25° C.20° D.15°
15.（2018·淄博）如图，直线a∥b，若∠1＝140°，则∠2＝_________度.
参考答案及解析
【题型归类探究】
【典例1】
【自主解答】（1）A 解析:由题意可知，从原图形中剪掉一部分后，其中的剪痕是线段，而剪掉部分是曲线，根据两点之间，线段最短可知，剩下树叶的周长比原树叶的周长要小。
（2）4 解析:根据线段中点的定义，有AD＝2CD＝2，AB＝2AD＝4.
【变式训练】1.（1）A
（2）10 解析:n条直线最多可将平面分成1＋个部分，令1＋=56，可得n＝10.
【典例2】
【自主解答】B 解析:∵OM平分∠AOC，∴∠AOM＝∠COM.
∵ON⊥OM，∴∠MON＝90°，即∠COM＋∠CON＝90°。
∵∠AOM＝35°，∴∠CON＝55°。
【变式训练】2.140°
【典例3】
【自主解答】110° 解析:∵∠1＋∠2＝180°，∴a∥b，∴∠4＝∠3＝110°。
【变式训练】3.B 解析:过点P作PF∥AB，则PF∥CD，
依题意∠FPB＋∠1＝180°，∠FPG＝∠2，所以∠FPB＝70°，
∠FPG＝30°，所以∠BPG＝∠FPB＋∠FPG＝70°＋30°＝100°，
即∠P的度数是100°
【中考真题回放】
1.B 2.C 3.D 4.B 5.A 6.C 7.B 8.D
9.B 10.D 11.C 12.B 13.C 14.D 15.40