【备考2019中考数学学案】第四单元 图形的初步知识与三角形 第2课时 三角形的基本概念及性质

第四单元 图形的初步知识与三角形
第2讲 三角形的基本概念及性质
考 点 知 识 清 单
考点一 三角形的分类及稳定性
1.按三个内角的大小分类
①______三角形
三角形 ②______三角形
钝角三角形
2.按边的相等关系分类
③_________三角形
三角形 底边和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
④__________三角形
3.三角形的稳定性: 三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性.
考点二 三角形的三边关系及主要线段
三边关系
三角形的任意两边之和⑤__________第三边.
三角形的任意两边之差⑥__________第三边.
中线
三角形的三条中线相交于一点，这一点叫做三角形的重心.
角平分线
三角形的三条角平分线相交于一点.
高
锐角三角形的三条高在三角形内部，直角三角形有两条高与三角形的边重合，钝角三角形有⑦_______条高在三角形外部，一条高在三角形内部.
【温馨提示】 三角形的角平分线与角的平分线是两个不同的概念，三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线.
考点三 三角形的内、外角
1.三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于⑧____________。
2.三角形的外角性质
（1）三角形的一个外角⑨_______与它不相邻的两个内角的和。
（2）三角形的一个外角⑩_______任何一个与它不相邻的内角。
题 型 归 类 探 究
类型一 三角形中的重要线段
【典例1】（2018·贵阳）如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EG，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（ ）
A.线段DE B.线段BE C.线段EG D.线段FG
【思路导引】 三角形的中线是指一边的中点与这边所对顶点连接而成的线段，据此进行识别即可。【自主解答】
【反思归纳】本例中注意不要忽视三角形中线的定义而错选，三角形的中线指一边的中点与所对顶点的连线，注意与高线和角平分线的区别。
【变式训练】1.（2017·河池）三角形的下列线段中，能将三角形分成面积相等的两部分的是（ ）
A.中线 B.角平分线 C.高 D.中位线
类型二 三角形的三边关系（重点）
【典例2】（2018·酒泉）已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足｜a-7｜＋(b-1)2＝0，c为奇数，则c＝_________。
【思路导引】由非负数的非负性，解得a，b的值.根据三角形的三边关系可确定第三边c的取值范围.【自主解答】
【方法技巧】（1）解答三角形的三边关系的方法:①不等边三角形只需满足较短两边的和大于最长的边即满足三边关系；②等腰三角形需满足两个腰的和大于底即可.（2）确定三角形第三边的取值范围的方法:设三角形的两边长为a，b（a＞b），则第三边长c必须满足条件:a-b＜c＜a＋b.由此便可确定第三边长的范围。
【变式训练】2.（2018·福建）下列各组数中，能作为一个三角形的三边边长的是（ ）
A.1，1，2 B.1，2，4 C.2，3，4 D.2，3，5
类型三 三角形的内、外角关系（高频点）
【典例3】（2018·泰安）如图，将一30张含有30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若∠2＝44°，则∠1的大小为（ ）
A.14° B.16° C.90°- a D.a - 44°
【思路导引】 由矩形的两条对边平行，可得∠2的同位角的度数，根据三角形的外角性质，它与30°之差，即为∠1的度数。
【自主解答】
【方法技巧】1.解答与三角形有关的角的问题的方法:
（1）在三角形中解决角的问题，一般要将角转化到同一个三角形中，利用三角形内角和定理、外角的性质，从整体上求解；
（2）证明角的不等关系时，常根据“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”，列出不等式求解。
2.几个常见结论:
（1）如图①，BD与CD为△ABC一内角与一外角的平分线，则有结论∠D＝∠A；
（2）如图②，BE与CE为△ABC两外角的平分线，则有结论∠E＝90°-∠A；
（3）如图③，BO与CO为△ABC两内角的平分线，则有结论∠O = ∠A + 90o。
【变式训练】 3.（2018·长春）如图，在△ABC中，AB＝AC.以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连接BD.若∠A＝32°，则∠CDB的大小为________度.
中 考 真 题 回 放
考点一 三角形中的重要线段
1.（2017·秦州）三角形的重心是（ ）
A.三角形三条边上中线的交点 B.三角形三条边上高线的交点
C.三角形三条边垂直平分线的交点 D.三角形三条内角平分线的交点
2.（2018·漳州）下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高的是（ ）
3.（2017·陕西）如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线，若∠A＝52°，则
∠1＋∠2＝___________。

4.（2018·济南）如图，D，E分别是△ABC边AB，BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝6，则S1 - S2＝____________。
考点二 三角形的三边关系
5.（2018·常德）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A.1 B.2 C.8 D.11
6.（2018·济宁）三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2-13x＋36＝0的根，则三角形的周长为（ ）
A.13 B.15 C.18 D.13或18
7.（2017·酒泉）已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简｜a＋b-c｜-｜c-a-b｜的结果为（ ）
A.2a＋2b-2c B.2a＋2b C.2c D.0
考点三 三角形的内、外角关系
8.（2017·长沙）一个三角形三个内角的度数之比为1:2:3，则这个三角形一定是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
9.（2018·聊城）如图，将一张三角形A纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A′处，折痕为DE.如果∠A＝a，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是（ ）
A.γ＝2a＋β B.γ＝a＋2β C.γ＝a＋β D.γ＝180°- a - β
10.（2017·潍坊）如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠a与∠β满足（ ）
A.∠a＋∠β＝180° B.∠β-∠a＝90°
C.∠β＝3∠a D.∠a＋∠β＝90°
11.（2018·枣庄）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与
∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于（ ）
A.15° B.17.5° C.20° D.22.5
参 考 答 案 及 解 析
【题型归类探究】
【典例1】
【自主解答】B 解析:三角形的顶点与对边中点连接的线段即为中线，故线段BE是△ABC的中线.【变式训练】1.A
【典例2】
【自主解答】7 解析:∵｜a-7｜≥0，（b-1）2≥0，且｜a-7｜＋（b-1）2＝0，
∴｜a-7｜＝0，（b-1）2＝0，∴a＝7，b＝1.
根据三角形的三边关系，得7-1＜c＜7＋1，即6＜c＜8，又c为奇数，∴c= 7。
【变式训练】2.C
【典例3】
【自主解答】A 解析:如图，由于矩形的两条对边平行，故有∠3＝∠2＝44°，
根据三角形的外角性质，得∠1＝∠3 - 30°＝44°- 30°＝14°。
【变式训练】3.37°
【中考真题回放】
1.A 2.B 3.64°
4. 1 解析:∵AD＝2BD，BE＝CE，∴S△ABE＝S△ABC＝3，S△BCD＝S△ABC＝2，
∴S1＋S四边形BDFE＝3，S2＋S四边形BDFE＝2，
∴S1-S2＝3-2＝1.
5.C 6.A 7.D 8.B
9.A 解析:设DA′交AC于点E，经过折叠，∠A′＝∠A＝a，
由三角形的外角定理，∠AED＝∠CEA′＋∠A′＝a＋β，∠BDA′＝∠A＋∠AED＝a＋a＋β，
即γ＝2a＋β。
10.B 11.A