【备考2019中考数学学案】第四单元 图形的初步知识与三角形 第3课时 等腰三角形

第四单元 图形的初步知识与三角形
第3讲 等腰三角形
考 点 知 识 清 单
考点一 等腰三角形的性质与判定
定义
有①___________相等的三角形是等腰三角形。
性质
等腰三角形是轴对称图形，有②_________条对称轴。
等腰三角形的两个③________相等（简称“④__________”）。
等腰三角形的顶角⑤________，底边上的⑥_______、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）。
判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“⑦___________”）.
【温馨提示】 等腰三角形的对称轴是底边上中线（或底边上的高，或顶角的平分线）所在的直线，不要说成底边上的中线是对称轴，对称轴是一条直线，而中线是一条线段.
考点二 等边三角形的性质与判定
定义
⑧___________相等的三角形是等边三角形.
性质
等边三角形是轴对称图形.有⑨________条对称轴.
等边三角形的三个内角都⑩_________，且都等于?________.
判定
?_________都相等的三角形是等边三角形.
有一个角是?________的_________三角形是等边三角形.
考点三 线段的垂直平分线
1.线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离________________。
2.线段垂直平分线的判定
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的________________。
题 型 归 类 探 究
类型一 等腰三角形的性质与判定（重难点）
【典例1】（2018·雅安）已知:如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，BC＝，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，则线段AD的长为（ ）
A.2 B.2 C. D.
【思路导引】 在等腰△ABC与等腰△BCD中，计算∠A与∠BDC的度数，从而可得∠ABD的大小，进一步得∠ABD＝∠A，于是有AD＝BD＝BC.
【自主解答】
【反思归纳】1.等腰三角形的性质“等边对等角”，是三角形中边与角关系转化的纽带.当利用方程思想求角度时，等腰三角形的性质在用含未知数的代数式表示角时起到关键作用。
2.等腰三角形“三线合一”的性质，不仅能够证明相关的线段或角相等，还可以证明相关线段之间的关系，并且利用等腰三角形的性质解题，往往要比利用三角形全等简捷明快.
【变式训练】
1.（2018·湖州）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（ ）
A.20° B.35°
C.40° D.70°
【典例2】（2018·嘉兴）已知:在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE＝DF.
求证:△ABC是等边三角形。
【思路导引】根据已知条件，易证Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），于是可得∠A＝∠C＝∠B，因此，△ABC是等边三角形。
【自主解答】
【方法技巧】1.等边三角形是一种特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质，等边三角形也是轴对称图形，并且有3条对称轴。
2.等边三角形的判断方法的选择:（1）若已知三边关系，则考虑运用等边三角形的定义进行判定；（2）若已知三角关系，则根据“三个角都相等的三角形是等边三角形”进行判定；（3）若已知该三角形是等腰三角形，则可再寻找一个内角等于60°即可。
【变式训练】
2.（2018·玉林）如图，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（ ）
A.平行 B.相交 C.垂直
D.平行、相交或垂直
类型三 线段的垂直平分线（高频点）
【典例3】（2018·毕节）如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是_____________。
【思路导引】 根据DE是AB的垂直平分线，得到AE与BE的关系，进而将△BCE的周长转化为已知线段的和求解。
【自主解答】
【方法技巧】 线段的垂直平分线性质的应用:在遇到线段的垂直平分线时，常利用线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，构成等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解决问题。
【变式训练】
3.（2018·铜仁）在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D，E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，BC＝2，则AB＝___________。
中 考 真 题 回 放
考点一 等腰三角形的性质与判定
1.（2017·滨州）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为（ ）
A.40° B.36° C.80° D.25°
2.（2018·枣庄）如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA，PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
3.（2017·天津）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP＋EP最小值的是（ ）
A.BC B.CE C.AD D.AC
4.（2018·包头）如图3，在△ABC中，AB＝AC，△ADE的顶点D，E分别在BC，AC上，且∠DAE＝90°，AD＝AE.若∠C＋∠BAC＝145°，则∠EDC的度数为（ ）
A.17.5° B.12.5° C.12° D.10°
5.（2018·遵义）如图，△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点.若∠CAE＝16°，则∠B为_________度.
6.（2018·孝感）如图，△ABC中，AB＝AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作:
①作∠BAC的平分线AM交BC于点D；
②作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P；
③连接PB，PC.
请你观察图形解答下列问题:
（1）线段PA，PB，PC之间的数量关系是_____________；
（2）若∠ABC＝70°，求∠BPC的度数.
考点二 等边三角形的性质与判定
7.（2018·福建）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（ ）
A.15° B.30° C.45° D.60°
8.（2017·河池）已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时，AD的长是（ ）
A.3 B.4 C.8 D.9
9.（2016·宁夏）在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，若CD＝2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，DCF交BC的延长线于点F，求EF的长。
10.（2018·荆州）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕MN，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到MN上的点F处，折痕AP交MN于E；延长PF交AB于G.
求证:（1）△AFG≌△AFP；
（2）△APG为等边三角形。
考点三 线段的垂直平分线
11.（2018·安顺）已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA＋PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是（ ）
12.（2018·黄冈）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（ ）
A.50° B.70° C.75° D.80°
13.（2017·连云港）如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连接BE，CD，交于点F。
（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
（2）求证:过点A，F的直线垂直平分线段BC.
参考答案及解析
【题型归类探究】
【典例1】
【自主解答】C 解析:在△ABC中，由于AB＝AC，∠C＝72°，所以∠A＝180°-2∠C＝36°。又BC＝BD，∠C＝72°，所以∠ABD＝∠BDC-∠A＝∠C-∠A＝72°-36°＝36°，所以∠A＝∠ABD，所以AD＝BD＝BC＝。
【变式训练】1. B
【典例2】
【自主解答】证明:∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEA＝∠DFC＝90°。
∵D为AC的中点，∴DA＝DC.又∵DE＝DF。
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），
∴∠A＝∠C，∴∠A＝∠B＝∠C.∴△ABC是等边三角形.
【变式训练】2.A 解析:如题图，∵∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，∴AO＝AB.∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD.
又∵∠OAB＝∠CAD＝600，∴∠OAC＝∠BAD，∴△AOC≌△ABD（SAS），
∴∠ABD＝∠AOC＝60°，∴∠ABD＝∠OAB＝60°，∴BD∥OA.
【典例3】
【自主解答】16 解析:由线段垂直平分线的性质得EA＝EB，从而可得△BEC的周长＝AC＋BC＝16.
【变式训练】3.4 解析:根据CE垂直平分AD，得AC＝CD，
再根据等腰三角形的“三线合一”性质，得得∠ACE＝∠ECD，
结合角平分线定义和∠ACB＝90°的条件，得∠ACE＝∠ECD＝∠BCD＝30°，
所以∠ACD＝∠ADC＝∠A＝60°，∠B＝∠BCD＝30°，
∴AD＝AC＝CD，BD＝CD，AB＝2AD＝2AC，
在Rt△ACB中，∠B＝30°，BC＝2，可求AB＝4.
【中考真题回放】
1.B 2.B 3.B 4.D 5.37°
6.（1）PA=PB=PC；
（2）∵AM平分∠BAC，AB＝AC，∠ABC＝70°，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝90°-∠ABC＝20°，
∵EF是线段AB的垂直平分线，∴PA＝PB，∴∠PBA＝∠PAB＝20°，
∵∠BPD是△PAB的外角，
∴∠BPD＝∠PAB＋∠PBA＝40°
∴∠BPD＝∠CPD＝40°，∴∠BPC＝∠BPD＋∠CPD＝80°。
A
8.C 解析:易证△DEF为等边三角形，则有AD＝BF，可求∠BFD＝30°，
所以BD＝BF＝AD，又AD＋BD＝AB＝12，
即AD＋AD＝12，解得AD＝8.
9.解:∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，∴△EDC是等边三角形，
∴DE＝DC＝2.在Rt△DEF中，∵∠DEF＝90°，DE＝2，∴DF＝2DE＝4，
∴EF＝＝＝2.
10.证明:（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∠DAB＝∠D＝90°，
由两次折叠可知:MN∥AB∥DC，AM＝DM，∠AFP＝∠D＝90°，∠1＝∠2，
∵∠AFP＝90°，∴∠AFP＝∠AFG，
∵MN∥AB∥DC，AM＝DM，∴点F是PG的中点即PF＝GF，
在△AFG和△AFP中，PF＝GF，∠AFP＝∠AFG，AF是公共边，∴△AFG≌△AFP.
（2）∵△AFG≌△AFP，∴∠2＝∠3，AP＝AG，
∵∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠DAB＝90°，∴∠1＝∠2＝∠3＝30° ，
∴∠PAG＝∠2＋∠3＝60°，AP＝AG，
∴△APG为等边三角形.
11.D 12.B
13.（1）解:∠ABE＝∠ACD。
∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，AE＝AD，∴△ABE≌△ACD∴∠ABE＝∠ACD。
（2）证明:∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB
由（1）可知∠ABE＝∠ACD，所以∠FBC＝∠FCB，所以FB ＝FC.
又因为AB＝AC，所以点A，F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC。