1.1 正玄定理和余弦定理 课件（61张PPT）

正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
1.正弦定理、余弦定理

知识梳理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝ ＝ ＝2R a2＝ ；
b2＝ ；
c2＝_______________
b2＋c2－2bccos A
c2＋a2－2cacos B
a2＋b2－2abcos C
变形 (1)a＝2Rsin A，b＝ ，c＝ ；
(2)sin A＝ ，sin B＝ ，sin C＝ ；
(3)a∶b∶c＝ ；
(4)asin B＝bsin A，
bsin C＝csin B，
asin C＝csin A cos A＝ ；

cos B＝ ；

cos C＝____________
2Rsin B
2Rsin C
sin A∶sin B∶sin C
3.三角形常用面积公式
(1)S＝ a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝ absin C＝ ＝ ；
(3)S＝ r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径).
acsin B
bcsin A
1.三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；


知识拓展
2.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(　　)
(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.(　　)
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(　　)
(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形.(　　)
(5)在△ABC中， .(　　)
(6)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.(　　)


思考辨析
×
√
×
×
√
√

1.(2016·天津)在△ABC中，若AB＝ ，BC＝3，C＝120°，则AC等于
A.1 B.2 C.3 D.4

考点自测
答案
解析

由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C，
即13＝AC2＋9－2AC×3×cos 120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，
解得AC＝1或AC＝－4(舍去).故选A.

2.在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于
答案
解析

由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，

3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等边三角形
答案
解析

因为B∈(0，π)，所以sin B>0，所以sin C又C＝π－(A＋B)，可得sin(A＋B)即△ABC为钝角三角形，故选A.
4.(2016·辽宁五校联考)设△ABC的内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝ .
答案
解析

因为3sin A＝5sin B，所以由正弦定理可得3a＝5b.
令a＝5，b＝3，c＝7，
则由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，
得49＝25＋9－2×3×5cos C，
答案
解析


题型分类　深度剖析

题型一　利用正弦定理、余弦定理解三角形
答案
解析

1
①证明：sin Asin B＝sin C；
证明

则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C，
sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B).
在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C.
所以sin Asin B＝sin C.
解答

由(1)知，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
思维升华
应用正弦、余弦定理的解题技巧
(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解.
(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.

答案
解析

(边化角)

(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2－c2＝b，且sin(A－C)＝2cos Asin C，则b等于
A.6 B.4 C.2 D.1
答案
解析

(角化边)
由题意，得sin Acos C－cos Asin C＝2cos Asin C，
即sin Acos C＝3cos Asin C，
由正弦、余弦定理，得
整理得2(a2－c2)＝b2， ①
又a2－c2＝b， ②
联立①②得b＝2，故选C.
题型二　和三角形面积有关的问题
例2　(2016·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.
(1)证明：A＝2B；

证明
由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，
故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，
于是sin B＝sin(A－B).
又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，
所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，
因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.
解答

由sin B≠0，得sin C＝cos B.
思维升华
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.

跟踪训练2　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝ ，则△ABC的面积是
答案
解析

∵c2＝(a－b)2＋6，
∴c2＝a2＋b2－2ab＋6. ①
由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.


题型三　正弦定理、余弦定理的简单应用
命题点1　判断三角形的形状
例3　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等边三角形
答案
解析
即sin(A＋B)因为在三角形中sin A>0，所以cos B<0，
即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.

(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋
ccos B＝asin A，则△ABC的形状为
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
答案
解析

由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，
即A＝ ，∴△ABC为直角三角形.
引申探究
1.例3(2)中，若将条件变为2sin Acos B＝sin C，判断△ABC的形状.
解答

∵2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)，
∴2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Bsin A，
∴sin(A－B)＝0，
又A，B为△ABC的内角.
∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形.

2.例3(2)中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，判断△ABC的形状.
解答
又由2cos Asin B＝sin C得sin(B－A)＝0，∴A＝B，
故△ABC为等边三角形.
命题点2　求解几何计算问题
解答

例4　(2015·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍.
因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，
所以AB＝2AC.

(2)若AD＝1，DC＝ ，求BD和AC的长.
解答
在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.
故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，
又由(1)知AB＝2AC，所以解得AC＝1.
思维升华
(1)判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.
②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.
(2)求解几何计算问题要注意
①根据已知的边角画出图形并在图中标示；
②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.

跟踪训练3　(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
答案
解析

∵c－acos B＝(2a－b)cos A，C＝π－(A＋B)，
∴由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
∴sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
∴cos A(sin B－sin A)＝0，∴cos A＝0或sin B＝sin A，
∴A＝ 或B＝A或B＝π－A(舍去)，
∴△ABC为等腰或直角三角形.
(2)(2015·课标全国Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是 .
答案
解析

如图所示，延长BA与CD相交于点E，
过点C作CF∥AD交AB于点F，则BF在等腰三角形CBF中，∠FCB＝30°，CF＝BC＝2，
在等腰三角形ECB中，∠CEB＝30°，∠ECB＝75°，
二审结论会转换
审题路线图系列
(1)求cos A的值；
规范解答
审题路线图

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课堂练习
A.135° B.105° C.45° D.75°
答案
解析

√
又由题知，BC1
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答案
解析

3.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，且sin2B＝sin2C，则△ABC的形状为
A.等腰三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
√
答案
解析

由bcos C＋ccos B＝asin A，得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin A＝sin2A，在三角形中sin A≠0，∴sin A＝1，∴A＝90°，
由sin2B＝sin2C，知b＝c，
综上可知△ABC为等腰直角三角形.
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由余弦定理，得BD2＝CB2＋CD2－2CD·CBcos ∠DCB＝4，解得BD＝2.
∴∠BDC＝135°，∠ADC＝45°，
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答案
解析

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即a2＋c2－b2＝ac，
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答案
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解得sin B＝1，所以B＝90°，

答案
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8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tan B＝
ac，则角B的值为 .
答案
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答案
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又b－c＝2，∴b2－2bc＋c2＝4，b2＋c2＝52，
∴a＝8.
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*10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin B＝
bcos A.若a＝4，则△ABC周长的最大值为 .
答案
解析
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由余弦定理得a2＝16＝b2＋c2－2bccos A
则(b＋c)2≤64，即b＋c≤8(当且仅当b＝c＝4时等号成立)，
∴△ABC周长＝a＋b＋c＝4＋b＋c≤12，即最大值为12.
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11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
csin A＝acos C.
(1)求角C的大小.
解答

由正弦定理，得sin Csin A＝sin Acos C，
因为00，
从而sin C＝cos C，
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(2)求 sin A－cos(B＋ )的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小.
解答

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12.(2015·陕西)△ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a， )与n＝(cos A，sin B)平行.
(1)求A；
解答

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解答

方法一　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，
得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，
因为c＞0，所以c＝3，
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(1)求角A和角B的大小；
解答

即sin B＝1＋cos C，则cos C＜0，即C为钝角，
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(2)求△ABC的面积.
解答

由(1)知，a＝b，
解得b＝2，