2.1.1
平面及其基本性质
1．平面
平面：
几何画法：
平面是无限延展的平的面，是没有边界的。
通常用平行四边形来表示平面。
如：平面a，
平面AC，
平面ABCD
表示方法：
相交平面的画法
画相交平面时，虚线实线要清楚。
点、线、面的位置关系（集合语言表示法）
点A 在平面a内，
点B 在平面a外，
点Ｐ在直线l上，
点Q不 在直线l上，
P
Q
直线L在平面a 内,
表示为：
直线a与b 相交于点A,
A
表示为：
表示为：
直线 L 在平面 a 之外
A
L
(II)
(I)
2．平面的基本性质
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
公理1
A
B
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
公理2
A
C
B
公理3
如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．
经过一条直线和一条直线外的一点，有且只有一个平面。
推论1
A
经过两条相交直线有且只有一个平面 。
推论2
经过两条平行直线有且只有一个平面 。
推论3
例 题
１、分别根据题中的条件, 用集合语言来描述点、直线、平面之间的关系，并画出图形。
（１）、直线ＡＢ在平面a内；
（２）、直线l与平面a有且只有一个公共点Ｐ；
（３）、已知Ａ、Ｂ、Ｃ三点都是与平面a与平面β的公共点，并且a与β是两个不同的平面；
（４）、直线m和n相交于平面a内一点Ｍ。
2、选择题:
（１)两个平面的公共点的个数可能有......( )
（２)三个平面两两相交,则它们交线的条数……( )
（A）0 （B）1 （C）2 （D）０或无数
（A)最多4条最少3条 （B）最多3条最少1条
（C)最多3条最少2条 （D）最多2条最少1条
D
B
３、填空题:
三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面，
四条直线相交于一点呢?_____________。
最多确定的平面数是_______;
3
6
练 习
1．正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平面 ，分别记作 ，试用适当的符号填空。
2、根据下列符号表示的语句，说出有关点、线、面的关系，并画出图形．
Goodbye
请同学们预习下一节内容。
练习：《学海》 P20 1-6
P21 1-4
作业：P56-57 1、2、7
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
A
B
C
D
复习与准备：平面内两条直线的位置关系
相交直线
（有一个公共点）
平行直线
（无公共点）
两路相交
立交桥
立交桥中, 两条路线AB, CD
a
b
o
a
b
既不平行，又不相交
NEXT
BACK
庄严肃穆的天安门广场上，旗杆所在直线与长安街所在直线
讨论：同学们能否在教室里找到一对既不平行又不相交的直线的例子呢？
定义辨析：在两个平面内的两条直线是否一定是异面直线？
讲授新知
1、异面直线定义
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
A
B
C1
D1
A1
D
C
B1
a与b是相交直线
a与b是平行直线
a与b是异面直线
a
b
M
分别在两个平面内的两条直线的位置关系？
a
b
a
b
合作探究
NEXT
BACK
2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现
它们不共面的特点。常借
助一个或两个平面来衬托.
a
b
a
A
b
(1)
(2)
NEXT
BACK
练一练：如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD是平行四边形，则与棱AB所在直线异面的棱共有 条?
4
分别是 ：A1D1、DD1、B1C1、CC1
A
B
C1
D1
A1
D
C
B1
按平面基本性质分
同在一个平面内
相交直线
平行直线
不同在任何一个平面内:
异面直线
有一个公共点:
按公共点个数分
相交直线
无 公 共 点
平行直线
异面直线
NEXT
BACK
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
动动脑，
一定能想出办法！
发现问题
提出问题
如何刻画异面直线的相互倾斜程度？
解决问题
异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).
a
b
b ′
a′
O
思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变?
NEXT
BACK
异面直线所成的角的范围( 0 , 90 ]
o
o
如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b
注2
a ″
O
动动手：取一块长方形纸板ABCD，E，F分别为AB，CD的中点，将纸板沿EF折起，在空间中直线AD与BC的位置关系如何 ?
A
F
E
D
C
B
A
B
C
D
E
F
观察：
，
，
与
什么关系？
B
A
D
C
A'
C'
B'
D'
公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
———平行线的传递性
NEXT
BACK
推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行．
问题探究
思考1:在平面上，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角的大小有什么关系？ 空间中这个关系是否成立？
思考2: 如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′ 的底面是平行四边形，∠ADC与∠A′D′C′, ∠ADC与∠B′A′D′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何 ?
B
A
D
C
A'
B'
D'
C'
B
A
D
C
A'
B'
D'
C'
定理 空间中如果两个角的两边分别
对应平行，那么这两个角相等或互补.
上面的定理称为等角定理
NEXT
BACK
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小
是否改变?
∵ a′∥a , a″ ∥a∴ a′∥ a″ (公理4),
解答： 如图
设a ′与 b ′相交所成的角为∠1, a ″与 b 所成的角为∠2 ,
由 b′∥b, ∴ ∠1 = ∠2 (等角定理)
b ′
a′
O
∠1
a
a″
b
∠2
答 :
这个角的大小与O点的位置无关.
求异面直线所成的角
例1、如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，试求异面直线AA1与 BC1所成的角.
A
B
C1
D1
A1
D
C
B1
变式：如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，试求异面直线BC1与AC所成的角.
A
B
C1
D1
A1
D
C
B1
变式：如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，试求与AA1所成的角为90度的棱有几条？
A
B
C1
D1
A1
D
C
B1
提升:空间四边形ABCD中,E、F分别是BC、AD的中点，若BD=AC=2,EF=1，求直线EF与直线AC所成的角。
Ａ
Ｂ
D
C
Ｅ
·
Ｆ
Ｇ
·
·
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
异面直线：
相交直线
平行直线
异面直线
空间两直线的位置关系：
公理４：
在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
异面直线的求法：
一作(找)二证三求四下结论
空间中，如果两个角的两边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补．
等角定理：
异面直线的画法：
用平面来衬托
异面直线所成的角：
平移，转化为相交直线所成的角
课堂小结
布置作业
基础篇：课本P48练习
提高篇：课本P52 B组
谢 谢 大 家！
2.1.3 直线和平面的位置关系
问题情境
没有公共点
只有一个公共点
没有公共点
1．平 行
2．相 交
3．异 面
a
b
a
b
a
b
1.空间中, 两条直线会有怎样的位置关系?
3 .类比直线与直线的位置关系，你能说说直线和平面可能有哪几种位置关系?
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
2.长方体的12条棱及体对角线 A1C 所在的直线
分别与底面ABCD所在的平面公共点个数怎样？
位置关系
公共点
符号表示
图形表示
直线与平面的位置关系：
直线a在
平面 内
直线a与
平面 相交
直线a与
平面 平行
有无数个
公共点
有且只有
一个公共点
没有公共点
注：我们常把直线与平面相交或平行的情况称为直线在平面
外，记作 .
问题1. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
与平面ADD1A1平行的直线有：
这些直线与平面ADD1A1中的直线AD有怎样位置关系?
与平面ADD1A1中的直线AA1有怎样位置关系?
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
BC ，CC1 ，C1B1 ， B1B
探究(一) 直线和平面平行的判定
AB与CD的关系如何？
AB是否在平面内？
CD是否在桌面内?
问题2 .如图,将课本的一边紧靠桌面，并饶AB转动。观察AB的对边CD在各个位置时是不是与桌面所在的平面平行？
A
B
C
D
问题3. 综上所述,要想得到一条直线和一个平面平行的结论，该直线和平面需要满足怎样的条件呢？
直线与平面平行的判定定理:
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
简述为：线线平行?线面平行
例1.如图，已知 分别是三棱锥 的侧棱
的中点，
求证： 平面
A
B
C
D
F
E
解后反思：通过本题的解答，你可以总结出什么解题思想和方法？
反思1：要证明直线与平面平行可以运用判定定理；
线线平行 线面平行
反思2：能够运用定理的条件是要满足六个字，
“面外、面内、平行”.
反思3: 运用定理的关键化归为找平行线。找平行线又经常会用到初中几何的内容.
a ?
b ?
a //?
b//a
问题4.如果直线a与平面α平行，那么直线a与平面α内的直线有哪些位置关系？
追问1:若直线a与平面α平行，那么在平面α内与直线a平行的直线有多少条？这些直线的位置关系如何？
a
α
a
α
探究(二) 直线与平面平行的性质
追问2:如果直线a与平面α平行，那么经过直线a的平面与平面α有几种位置关系？
α
a
追问3: 如果直线a与平面α平行，经过直线a的
平面与平面α相交于直线b，那么直线a、b的位置
关系如何？为什么？
α
a
b
问题5:综上分析，在直线与平面平行的条件下可以得到什么结论？
如果一条直线和一个平面平行，经过
这条直线的平面和这个平面相交，那么这
条直线和交线平行．
已知： ， ， .
求证： ．
证明：
直线与平面平行的性质定理:
例2 求证：如果三个平面两两相交于三条直线，并且其中
两条直线平行，那么第三条直线也和它们平行.
例2 求证：如果三个平面两两相交于三条直线，并且其中
两条直线平行，那么第三条直线也和它们平行.
思考：如果三个平面两两相交于三条直线，并且其中两条直线相交，那么第三条直线和这两条直线有怎样的位置关系？
目标检测
1.指出下列命题是否正确，并说明理由：
(1)如果一条直线不在平面内，那么这条直线就与这个平面平行
(2)过直线外一点有无数个平面与这条直线平行
(3)过平面外一点有无数条直线与这个平面平行
2.已知直线 和平面 ，下列命题中正确的是( ) A 若 ，则
B 若 ，则
C 若 ，则
D 若 ，则
D
1. 如图，在正方体ABCD——A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC与C1D1的中点。
求证：EF//平面BDD1B1.
M
N
M
这节课你学到了什么?
1 线面位置关系的定义
2 线面平行的判定定理和性质定理
3 线面判定定理和性质定理充分体现了平面和空间之间相互的转化,体现了化归思想
4 线面位置关系定义的获得运用了类比的方法
