17.4一元二次方程根与系数关系 同步练习
一.选择题
1. 若一元二次方程x2-x-6=0的两根为x1，x2，则x1+x2的值为（ ），
A.1 B.-1 C.0 D.-6
2. 已知关于x的一元二次方程x2-4x+c=0的一个根为1，则另一个根为（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
3. 方程x2-2x+3=0的根的情况是（ ）
A. 两实根的和为-2 B. 两实根的积为3
C. 有两个不相等的正实数根 D. 没有实数根
4. 设a、b是一元二次方程x2-2x-1=0的两个根，则a2+a+3b的值为，（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
5. 已知一元二次方程x2+2x-1=0的两实数根为x1、x2，则x1x2的值为（ ）
A.2 B.-2 C.1 D.-1
二.填空题
1. 若x1、x2是一元二次方程x2-3x-3=0的两个根，则，x1+x2的值是 ，
2. 设a、b是方程x2+x-2018=0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为 .
3. 一元二次方程x2-mx-n=0的两个实数根是x1=2，x2=3，则m= ,n= .
4. 一元二次方程x2+3x+2=0的两个实数根是x1、x2，则x12x2+x1x22= .
三.解答题
1. 已知方程2x2+3x-4=0的两实数根为x1、x2，不解方程求:
(1) x12+x22的值;
(2) (x1-2)(x2-2) 的值
2. 已知关于x的方程x2+5x-p2=0，
(1) 求证:无论p取何值方程，总有两个不相等的实数根，;
(2) 设方程两个实数根为x1、x2，当x1+x2= x1x2时，求p的值
3. 定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为”好玩”方程，
(1) 求证: ”好玩”方程必有一个根x=1，;
(2) 说某个“好玩”方程ax2+bx+c＝0(a≠0)满足a-b+c＝0，求该“好玩”方程的另一个根.
参考答案
一.1.Ａ 2.Ｃ 3.Ｄ 4.Ｃ 5.Ｄ
二.1.3
2.1
3.5;-6
4.-6
三 1.解：根据题意得
2.(1) 证明:
因为无论p取何值时,总有p2≥0，
所以，25+ p2>0,
所以无论p取何值方程，总有两个不相等的实数根，
(2)解：由题意得，x1+x2＝-5，x1x2＝- p2
因为，x1+x2= x1x2，
所以，-5＝- p2
所以，.
课件29张PPT。17.4一元二次方程根与系数关系沪科版 八年级下新知导入(b2-4ac≥0)b=0 且a、c异号1.写出一元二次方程的一般形式和求根公式ax2+bx+c=0(a≠0)2.方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两不相等的根且它们互为相反数的条件是什么? 新知导入-2-331-19-56438-9设 x1 、 x2是下列一元二次方程的两个根，填写下表2、一元二次方程的两个根的和、两根的积与方程之间这种关系，是这几个方程特有的呢，还是对于任何一元二次方程都具有的呢？1、根据所填写的表格，你能发现x1 + x2 ， x1 · x2与方程的系数有什么关系？新知导入思考（1）：结论 ：一元二次方程 两个根是x1 ，x2，那么 x1+x2 = ,x1·x2= . 新知讲解仿照上述结论，如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 ，x2 ，
那么两根的和与两根的积和原方程的系数有什么关系? 思考（3）：思考(4)：上述结论能利用求根公式验证吗？ 新知讲解由求根公式，可知一元二次方程的两根为，新知讲解如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 ，x2 ，
那么当一元二次方程的二次项系数为1时，它的标准形式为x2+px+q=0，设它的两个根是x1，x2 ，这时韦达定理应是，那么x1+x2= -p， x1.x2= q. 此定理是法国数学家韦达首先发现的，也称为韦达定理.公式的特例新知讲解在使用根与系数的关系时，应注意：
(1)、不是一般式的要先化成一般式；
(2)、在使用 时， 注意“－ ”号不要漏写；
(3)、不要漏除二次项系数；
(4)、能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0.新知讲解例1.下列方程两根的和与两根的积各是多少？（不解方程）（1）x2+3x-1=0
（2）3x2-2x=2
（3）2x2-4x+1=0
（4）3x2=1新知讲解（1）x2+3x-1=0
解：因为b2-4ac＝32-4×1×(-1)=13≥0
所以x1+x2= -3， x1x2= -1.
（2）3x2-2x=2
解：因为b2-4ac＝(-2)2-4×3×(-2)=28≥0
所以新知讲解（3）2x2-4x+1=0
解：因为b2-4ac＝(-4)2-4×2×1=8≥0
所以x1+x2= 2， x1x2= 0.5.
（4）3x2=1
解：因为b2-4ac＝02-4×3×(-1)=12≥0
所以x1+x2= 0，
新知讲解例2. 已知关于x的方程2x2+kx-4=0的一个根是 -4，求它的另一根及k的值解：设方程的另一个根是x2,则解方程组，得答:方程的另一根为 , k的值是7.新知讲解例3.方程2x2-3x+1=0的两个根记作x1、x2，不解方程，求x1-x2的值.解：由韦达定理，得求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，然后再整体代入.新知讲解新知讲解例4.已知方程 x2-2(k-1)x+k2-2=0解：（1）设方程的两个根为x1,x2，则x1 < 0 ，x2 < 0（1）k 为何值时，方程有两个负数根？新知讲解例4.已知方程 x2-2(k-1)x+k2-2=0（2）k 为何值时，方程有一正根和负根？解：(2)设方程的两个根为x1,x2，则x1 < 0 ，x2 > 0课堂练习1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值.解法一：设方程的另一个根为x1.由韦达定理，得解这方程组，得答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2.1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值.课堂练习解法二：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0解这方程，得 k= - 2由韦达定理，得x1●2＝3k即2x1 ＝－6∴ x1 ＝－3答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2.课堂练习2、已知2x2-x-2=0的两根是x1 , x2 .求下列代数式的值.(1) x12+x22 （2）解：∴x12+x22 ＝(x1＋x2)2 -2x1x2课堂练习3 、已知a、b是一元二次方程x2+3x-7=0的两个实数根，求代数式a2+4a+b的值.解：∵a、b是一元二次方程x2+3x-7=0的两个实数根∴a2+3a-7=0，a+b=-3，则a2+4a+b=a2+3a+a+b=7-3=4．课堂练习4 、方程 有一个正根，一个负根，求m的取值范围.解：设方程的两个根为x1,x2，则x1 < 0 ，x2 > 01.（2018宜宾）一元二次方程x2-2x=0的两个根分别是x1和x2，则x1x2为（ ）
Ａ.-1 Ｂ.1 Ｃ.2 Ｄ.0 中考链接分析：根据根与系数的关系可得出x1x2的值.解：因为一元二次方程x2-2x=0的两个根分别是x1和x2，所以，x1x2＝0，故选择 ：Ｄ.Ｄ中考链接2.（2018遵义）已知x1、x2是关于x的方程x2+bx-3=0的两根，且满足x1+x2-3 x1x2=5，那么b的值为（ ）
Ａ.4 Ｂ.-4 Ｃ.3 Ｄ.-3 分析：根据根与系数的关系可得出x1+x2＝-b, x1x2＝-3,进而求出结果.中考链接解：因为 x1、x2是关于x的方程x2+bx-3=0的两根，所以 x1+x2＝-b, x1x2＝-3,故选择 ：A.2.（2018遵义）已知x1、x2是关于x的方程x2+bx-3=0的两根，且满足x1+x2-3 x1x2=5，那么b的值为（ ）
Ａ.4 Ｂ.-4 Ｃ.3 Ｄ.-3 因为 x1+x2-3x1x2=5所以 -b-3(-3)=5, 解得， b=4， A课堂总结1、韦达定理及其推论2、利用韦达定理解决有关一元二次方程根与系数问题时，注意两个隐含条件：（1）二次项系数a≠0（2）根的判别式△ ≥0本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？本节课还有哪些疑惑？说一说！板书设计1、韦达定理2、韦达定理应用作业布置选做题：P40习题17.4 第1、4题必做题：P39练习：第1、3题谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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沪科版数学八年级下册17.4一元二次方程根与系数关系
课题
17.4一元二次方程根与系数关系
单元
第17章第6节
学科
数学
年级
八年级下
学习
目标
1、知识目标：巩固一元二次方程的解法、根的判别式等知识，掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用，会运用根与系的关系解决相关数学问题和实际问题。
2、能力目标：培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力。
3、情感目标：渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神和全面辩证地认识事物的能力。
重点
根与系数的关系的推导、运用。
难点
正确归纳、理解、运用根与系数的关系，培养学生探索和发现意识。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
师：同学们好，在学习新课之前，请同学们回答下面两个问题，
1.写出一元二次方程的一般形式和求根公式
2.一元二次方程的一般形式有两不相等的根且它们互为相反数的条件是什么？
师：接下来请同学们，根据所学的知识完成下表，设 x1 、 x2是下列一元二次方程的两个根，填写下表
师：填完表格，请回答下面问题，
1、根据所填写的表格，你能发现x1 + x2 ， x1 · x2与方程的系数有什么关系？
2、一元二次方程的两个根的和、两根的积与方程之间这种关系，是这几个方程特有的呢，还是对于任何一元二次方程都具有的呢？
师：我们可以发现，对于二次项系数是1的标准形式的一元二次方程而言， 两个根的和等于一次项系数的相反数，两个根的积等于它的常数项。
即x2+px+q=0 , x1+x2 = -P x1·x2=q
师：利用上述结论填空：
一元二次方程 两个根是x1 ，x2 ，那么
师：方程能变形得到 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式吗？它们的解相同吗？
师：仿照上述结论，如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 ，x2 ，那么两根的和与两根的积和原方程的系数有什么关系?
师：上述结论能利用求根公式验证吗？请同学们证明一下。
认真思考积极发言，
积极思考，认真填表，
观察，思考，猜想，证明，发现规律，
通过对一元二次方程相关知识的复习，既能巩固旧知又能为后面的学习做铺垫.
学生通过计算、观察、分析，发现一元二次方程中根与系数的关系，发展学生的感性认识，体会由特殊到一般的认识过程
1.进一步分析、验证所发现的根与系数的关系，为从感性认识到理性认识打好基础．教学中使学生明确利用一元二次方程根与系数的关系进行计算需要满足Δ≥0. 2．探究根与系数关系的理论证明，培养学生严谨的学习态度.
讲授新课
师：通过证明我们可以得到，
师：其中韦达定理一个特例：当一元二次方程的二次项系数为一时，它的标准形式为x2+px+q=0，设它的两个根是x1，x2 ，这时韦达定理应是，那么x1+x2= -p， x1.x2= q.
师：在使用根与系数的关系时，应注意：
(1)、不是一般式的要先化成一般式；
(2)、在使用时， 注意“－ ”号不要漏写；
(3)、不要漏除二次项系数；
(4)、能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0.
师：现在我们来看几道例题，请同学们认真思考，独立完成，
例1.下列方程两根的和与两根的积各是多少？（不解方程）
（1）x2+3x-1=0
（2）3x2-2x=2
（3）2x2-4x+1=0
（4）3x2=1
例2. 已知关于x的方程2x2+kx-4=0的一个根是 -4，求它的另一根及k的值
例3.方程2x2-3x+1=0的两个根记作x1、x2，不解方程，求x1-x2的值.
师：通过例3我们发现在求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，然后再整体代入.
例4.已知方程 x2-2(k-1)x+k2-2=0
（1）k 为何值时，方程有两个负数根？
（2）k 为何值时，方程有一正根和负根？
在老师的引导下，总结出定理，理解定理，
在老师的引导下，独立思考，小组合作，完成例题，展示成果，
理解并掌握新知，
针对本课时的重点进行及时巩固，培养学生的计算能力，同时也能使学生熟记公式
课堂练习
1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值.
2、已知2x2-x-2=0的两根是x1 , x2 .求下列代数式的值.
(1) x12+x22 （2）
3 、已知a、b是一元二次方程x2+3x-7=0的两个实数根，求代数式a2+4a+b的值.
4 、方程 有一个正根，一个负根，求m的取值范围.
独立完成，展示成果，
通过当堂练习，，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到堂堂清
中考链接
1.（2018宜宾）一元二次方程x2-2x=0的两个根分别是x1和x2，则x1x2为（ ）
Ａ.-1 Ｂ.1 Ｃ.2 Ｄ.0
2.（2018遵义）已知x1、x2是关于x的方程x2+bx-3=0的两根，且满足x1+x2-3 x1x2=5，那么b的值为（ ）
Ａ.4 Ｂ.-4 Ｃ.3 Ｄ.-3
观察思考，独立完成，
应用新知，贴近实战，进一步巩固所学，
课堂小结
本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？
本节课还有哪些疑惑？说一说！
回顾总结，梳理知识，
指导学生养成系统整理知识的好习惯，加强教学反思，进一步提高教学效果
板书
1、韦达定理
2、韦达定理应用
认真笔记，
为梳理知识，留下思考的线索，
