直线与平面平行的判定
1.直线和平面有哪些位置关系?
α
a
直线与平面α相交
a ∩ α= A
有且只有一个交点
α
A
a
a
α
直线与平面α平行
a∥α无交点
直线在平面α内a α
有无数个交点
2.如何判断直线在平面内这一位置关系？
（1）定义
（2）公理1
【复习与思考】
3.如何判断直线与平面平行这一位置关系？
（1）定义
（2）？
定义：一条直线和一个平面没有公共点，
叫做直线与平面平行.
【数学源于生活】
a
b
感受校园生活中线面平行的例子:
天花板平面
（1）创设情境—感知概念
思考：如何判断一条直线与一个平面平行？
1.线面平行判定的建构
b
a
a
α
（2）观察归纳—形成概念
1.线面平行判定的建构
讨论：能否用平面外一条直线平行于平面内直线，来判断这条直线与这个平面平行呢？
【抽象概括】
定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，
则该直线与此平面平行。
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
l
m
c
P
直线与平面平行的判定定理：
A：判定定理
P
P
B：定理说明
1、线面平行的判定定理的数学符号表示，其中三个条件缺一不可.
2、线线平行
线面平行
线线平行是条件的核心.
3、注意定理中文字叙述、符号语言、图
形表示的相互转换。
4、判定线面平行的三种方法：
（1）定义法（ 2）判定定理 （3）反证法
判断正误：
（3）辨析讨论—深化理解
b
a
（1）直线在平面外是指直线和平面最多有一个公共点.
（2）若直线 平行于平面 内的无数条直线，则
（3）如果a、b是两条直线，且 ，那么a平行于经过b的任何平面.
?
（5）若直线a//b ， a//c ，且 ，则
（4）若直线a与平面 内的一条直线平行 ，则 a
与平面 平行
（6）若两条平行直线中的一条与 平面 平行，则
另一条也与平面 平行
练习：
（1）直线 a∥平面α，平面α内有 n 条互相平行的直线，
那么这 n 条直线和直线 a ( )
（A）全平行 （B）全异面
（C）全平行或全异面 （D）不全平行也不全异面
（2）直线 a∥平面α，平面α内有无数条直线 交于 一点，那
么这无数条直线中与直线 a 平行的（ ）
（A）至少有一条 （B）至多有一条
（C）有且只有一条 （D）不可能有
C
B
定理的应用
例1. 如图，空间四边形ABCD中，
E、F分别是 AB，AD的中点.
求证：EF∥平面BCD.
A
B
C
D
E
F
分析：要证明线面平行只需证明线线平行，即在平面BCD内找一条直线 平行于EF，由已知的条件怎样找这条直线？
证明：连结BD.
∵AE=EB,AF=FD
∴EF∥BD（三角形中位线性质）
例1. 如图，空间四边形ABCD中，
E、F分别是 AB，AD的中点.
求证：EF∥平面BCD.
A
B
D
E
F
定理的应用
1.如图，在空间四边形ABCD中，E、F分
别为AB、AD上的点，若 ，则EF
与平面BCD的位置关系是_____________.
EF//平面BCD
变式1:
A
B
C
D
E
F
变式2:
A
B
C
D
F
O
E
2.如图,四棱锥A—DBCE中,O为底面正方形DBCE对角线的交点,F为AE的中点. 求证:AB//平面DCF.(04年天津高考)
分析:连结OF,
可知OF为
△ABE的中位线,所以得到AB//OF.
∵ O为正方形DBCE 对角线的交点,
∴BO=OE,
又AF=FE,
∴AB//OF,
B
D
F
O
2.如图,四棱锥A—DBCE中,O为底面正方形DBCE对角线的交点,F为AE的中点. 求证:AB//平面DCF.
证明:连结OF,
A
C
E
变式2:
1.线面平行,通常可以转化为线线平行来处理.
反思~领悟：
2.寻找平行直线可以通过三角形的中位线、梯形的中位线、平行线的判定等来完成。
3、证明的书写三个条件“内”、“外”、“平行”，缺一不可。
D
1
C
1
B
1
A
1
D
C
B
A
1.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,与AA1平行
的平面是___________________.
巩固练习:
平面ＢＣ1 、平面CD1
分析：要证BD1//平面AEC即要在平面AEC内找一条直线与BD1平行.根据已知条件应该怎样考虑辅助线?
巩固练习:
2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，求证:BD1//平面AEC.
E
D
1
C
1
B
1
A
1
D
C
B
A
O
证明:连结BD交AC于O,连结EO.
∵O 为矩形ABCD对角线的交点,
∴DO=OB,
又∵DE=ED1,
∴BD1//EO.
E
D
1
C
1
B
1
A
1
D
C
B
A
O
巩固练习:
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，求证:BD1//平面AEC.
归纳小结，理清知识体系
1.判定直线与平面平行的方法：
（1）定义法：直线与平面没有公共点则线面平行；
（2）判定定理：（线线平行 线面平行）；
2.用定理证明线面平行时,在寻找平行直线可以通过三角形的中位线、梯形的中位线、平行线的判定等来完成。
练习. 如图，长方体 的
六个表面中，
（1）与AB平行的平面是_____________________；
（2）与AA1平行的平面是____________________；
（3）与AD平行的平面是_____________________；
例题.在正方体 中，（1）若E、F
分别为A1D1、AB的中点，求证：EF//平面BB1D1D.
平行四边形法
（2）若G为DD1中点，试判断BD1与平面AGC位置关系.
解: BD1//平面AGC.
证明：连接BD交 AC于H，连接GH.
∵四边形ABCD是正方形，∴DH=HB .
又∵DG=GD1， ∴GH//BD1.
∴BD1//平面AGC.
中位线法
例题.在正方体 中，（1）若E、F
分别为A1D1、AB的中点，求证：EF//平面BB1D1D；
D：能力提高
V
B
C
A
.
E
F
G
例2：一木块如图所示，点P在平面VAC内，过点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，应该怎样画线？
作法: 1)过点P作EF//AC 分别交V C 、VA于E、F点；
2 )分别过E作EH//VB交BC于H点，过F点作FG//VB交AB于G点；
3)最后连接GH;
平面EFGH即为所求的截面.
H
P
【本课小结】
（1）线面平行的判定定理：
线线平行
线面平行
（将空间问题转化为平面问题）
（2）线面平行的判定方法；
平行移动法
平行四边形法
中位线法
1．证明直线与平面平行的方法：
（1）利用定义；
（2）利用判定定理．
2．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
知识小结
线线平行
线面平行
直线与平面没有公共点
【思考】
如图，已知直线a，b是异面直线，你能作
一个平面 ，使得 吗？
b
a
b1
P
l
α
β
1、如果两个相交平面分别经过两条平行直线
中的一条,那么它们的交线和这两条直线平行.
a
b
课后练习
平面与平面平行的
判定
1．证明直线与平面平行的方法：
（1）利用定义；
（2）利用判定定理．
2．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
复习巩固
线线平行
线面平行
直线与平面没有公共点
已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和 ABEF不在同一个平面内，P，Q分别是对角线AE，BD的中点
B
A
C
D
E
F
P
Q
求证：PQ∥平面BCE。
思路：在平面BCE内找PQ平行线。
课堂练习
如图.M,N分别是AB,PC的中点
求证MN//面PAD
H
P
A
B
C
D
N
M
课堂练习
思路：在平面PAD内找MN平行线。
一、两个平面的位置关系
两平面平行
没有公共点
有一条公共直线
两平面相交
α∥β
α∩β=a
位置关系
公共点
符号表示
图形表示
定义：如果两个平面没有公共点，那么这
两个平面互相平行，也叫做平行平面.
平面α平行于平面β ，记作α∥β
画两个互相平行的平面时，要注意使表示
平面的两个平行四边形的对应边平行，如图1，
而不应画成图2那样．
两个平面平行的画法
图1
图2
两个平面满足什么条件才能够平行呢？
有没有学过两平面平行的判定？学过什么平行？平面内有没有直线？
如果平面α内有一条直线a平行于平面β那么α与β平行吗？
如果平面α内有两条直线a，b平行于平面β那么α与β平行吗？
模型
模型
模型１
α
β
a
a// β
α
α
α
模型２
有两条怎么样的直线呢？
a// β
a
b
α
b// β
a// β
a
b
α
b// β
β
β
c
a// b
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
二、两个平面平行的判定
判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行
于另一个平面，那么这两个平面平行．
图形语言：
符号语言：
A
已知：a,b α,a∩b=P,a,b∥β.
求证： α∥β.
证明：假设α∩β＝c.∵a∥β, a α, ∴a∥c.同理b∥c.于是在平面内过点P有两条直线与c平行，这与平行公理矛盾，假设不成立. ∴ α∥β.
判断下列命题是否正确，并说明理由．
（1）若平面 内的两条直线分别与平面 平行，则
与 平行；
（2）若平面 内有无数条直线分别与平面 平行，则
与 平行；
（3）平行于同一直线的两个平面平行；
（4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平
行；
（5）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平
行的平面．
练习
×
×
×
×
×
两平面平行的判定定理变式
a,b α
a∩b=P
a,b∥β
α∥β
a , b β
a∥a
b∥b
a ,b α
定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。
【例1】如图，在长方体 中，
求证：平面 平面 .
A
B
D
C
D'
C'
B'
A'
证明：
是平行四边形
平面
平面
又
平面
平面
同理：
平面
平面
线线平行
线面平行
面面平行
第一步：在一个平面内找出两条相交直线；
第二步：证明两条相交直线分别平行于另一个平面。
第三步：利用判定定理得出结论。
证明两个平面平行的一般步骤：
方法总结：
a∥c
b∥c
①
α∥c
β∥c
③
α∥c
a∥c
⑤
α∥γ
a∥γ
⑥
1）α、β、γ为三个不重合的平面，a,b,c为三条不同直线，则有一下列命题，不正确的是
a∥γ
b∥γ
②
α∥γ
β∥γ
④
a∥b
a∥b
α∥β
α∥β
α∥a
a∥α
练习：
A
B
C
D
A?
B?
C?
D?
F
Q
E
G
R
P
练习：在正方体AC?中，E、F、G、P、
Q、R分别是所在棱AB、BC、BB?
A?D?、D?C?、DD?的中点，
求证：平面PQR∥平面EFG。
空间四边形ABCD中，M、E、F 分别为
?BAC、 ?ACD、 ?ABD 的重心.
(1) 求证: 面MEF // 平面BCD;
(2) 求 与 面积的比.
C
A
E
D
B
G
F
M
P
H
【例2】
1.已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和 ABEF不在同一个平面内，P，Q分别是对角线AE，BD的中点
B
A
C
D
E
F
P
Q
R
求证：PQ∥平面BCE。
思路1：在平面BCE内找PQ平行线。
思路2：过PQ构造与平面BCE平行的平面。
课堂练习1
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
2、棱长为a的正方体AC1中,设M、N、E、F分别为棱A1B1、A1D1、 C1D1、 B1C1的中点.
(1)求证：E、F、B、D四点共面；
(2)求证：面AMN∥面EFBD.
M
N
E
F
课堂练习1
今天学习的内容有：
空间两平面的位置关系有几种？
面面平行的判定定理需要什么条件？
面面平行的判定定理的变式是什么?
课堂小结
小结
平面与平面平行的判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
定理的推论
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行
直线与平面平行的性质
一复习回顾：线面平行的判定定理
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
?
b
a
b??
a∥ b
a ??
a ∥ ?
1、简记：线线平行，则线面平行。
2、定理告诉我们：
要证线面平行，得在面内找一条线，使线线平行。
如果一条直线与一个平面 平行，那么这条直线与这个平面内的直线有哪些位置关系？
a
b
有平行，
但不会相交
?
有异面
二、思考与探究
在怎样的条件下，平面?内的直线与直线a平行呢？
a
?
∵ a与平面?内的任何直
线都无公共点，
∴过直线a的某一个平面
?，若与平面?相交，
则直线a就平行于这一条交线
思考出新知
?
b
a
?
?
?
证明：
结论证明
?
?
知识归纳
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
b
a
直线与平面平行性质定理
条件
结论
思路
线面平行 线线平行。
定理说明：要证线//线，只需作(找)平面,找交线
三练习巩固
1.已知直线a//平面?，P? ? ，那么过点P且平
行于直线a的直线___
A)只有一条，不在平面?内
B)有无数条，不一定在?内
C)只有一条，且在平面?内
D)有无数条，一定有?内
2.能保证a// ?的条件是
教室内的日光灯管所在的直线与地面平行，如何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行？
定理活用1
从灯管上任意两点向地面作铅垂线，过垂线与地面的交点的直线就是与灯管所在的直线平行的直线。
参考方案：
小组讨论
定理活用二
怎么办？
例1：有一块木料如图，已知棱BC平行于面A?C?．
（1）要经过木料表面A?B?C?D?内的一点P和
棱BC将木料锯开，应怎样画线？
（2）所画的线和面AC有什么关系？
点击图片可见动画
应用定理证平行关键：找平面与平面的交线
小巧门
例2.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于一个平面，则另一条也平行于这个平面
已知：直线a//b，a、b
在平面?外，a// ?
求证：b// ?
分析：
由a// ?，则?内可作一条直线c与a平行
c与a是怎样的位置关系？与b呢？
c
定理应用三
例3:求证:如果三个平面两两相交于三条直线,并且其中两条直线平行,那么第三条直线也和它们平行.
定理应用四
性质定理
已知△ABC中，D，E分别为AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，M是PB的中点。
求证：ME∥平面PCD。
例4.
A
B
C
D
E
M
P
分析：
线//线
只需找
找过ME的且与面PCD相交平面，定交线。
只需
ME//AP
线//面
如ME//面PCD
如过ME的面BAP，交线AP
判定定理
体会各自的作用
四、拓展与提高
1.以下命题（其中a，b表示直线，?表示平面）
①若a∥b，b??，则a∥?
②若a∥?，b∥?，则a∥b
③若a∥b，b∥?，则a∥?
④若a∥?，b??，则a∥b
其中正确命题的个数是 （ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
2.若直线a//平面?，直线b?? ,则a与的关系为
A)相交
B)平行
C)异面
D)平行或异面
（1）若两直线a、b异面，且 a ∥ ?,则b与?的位置关系可能是_________________
3.填空：
（2）若两直线a、b相交，且a ∥ ?，则b与?的位置关系可能是_________________
b ∥ ? ，b与 ?相交
b//? ，或 b ? ，
或b与?相交
设a，b是异面直线，AB是a，b的公垂线，过AB的中点O作平面α与a，b分别平行，M，N分别是a，b上的任意两点，MN与α交于点P。
求证：P是MN的中点。
4.
A
B
M
N
O
α
P
C
五、小结
线面平行性质定理，它还是一种思想
要证a//?，通过构造过直线 a 的平面?与平面?
相交于直线b，只要证得a // b即可。
线//线
线//面
面//面
(1)平行公理 (2) 中位线
(3)平行线分线段成比例
(4)相似三角形对应边成比例
(5)平行四边形对边平行
六、作业
1.若直线a不平行于平面?，下列结论成立的是
A) ?内的所有直线都与直线异面
B) ?内不存在与a平行的直线
C) ?内的直线都与a相交
D)直线与平面?有公共点
2.下列命题中正确的是
A)如果a、b是两条直线，且a∥b,那么a 平行于经过b的任何平面；
B）如果直线a、b和平面α 满足a ∥ α,b ∥ α,那么a ∥ b
C)如果直线a、b和平面α 满足a ∥ b,a ∥ α,b α, 那么 b ∥ α
D)过平面外一点和这个平面平行的直线只有一条
3．判断下列命题的真假
（1）过直线外一点只能引一条直线与
这条直线平行. （ ）
（2）过平面外一点只能引一条直线与
这个平面平行. （ ）
（3）若两条直线都和第三条直线垂直，
则这两条直线平行. （ ）
（4）若两条直线都和第三条直线平行，
则这两条直线平行. （ ）
真
假
真
假
4.如图：AB//?，AC//BD,C??,求证：AC=BD
A
B
C
D
ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH。
5.
求证：AP∥GH。
A
B
C
D
P
M
G
H
S是空间四边形ABCD对角线BD上任意一点，E、F分别是AD、CD上的点，且AE:AD=CF:CD,BE与AS交于R，BF与SC交于Q。
求证：EF∥RQ。
A
B
C
D
E
F
R
Q
S
6.
7.一要木块如图所示，点P在平面VAC内，过点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，应该怎样画线？
?
P
V
A
C
B
A
M
B
Q
C
P
D
N
A
A
2.2.4 平面与平面平行的性质
没有公共点
1）两平面平行
有一条公共直线
2）两平面相交
复习1：平面和平面的位置关系
1、平面和平面有哪几种位置关系？
线面平行 面面平行
面面平行的判定定理
线//线
线//面
面//面
复习2：面面平行的判定定理
思考
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，交线具有什么位置关系？
A
D
C
B
D1
A1
B1
C1
一、平面与平面平行的性质定理:
（面面平行
线线平行）
两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
b
a
例1 求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.
已知：如图，α∥β，AB∥CD，A∈α，
C∈α,B∈β，D∈β，
求证:AB=CD
讨论:解决这个问题的基本步骤是什么?
第一步:结合图形，将原题改写成数学符号语言;
第二步:分析,作出辅助线；
β
A
C
B
D
γ
β
A
C
B
D
γ
第三步:书写证明过程.
夹在两个平行平面间的所有平行线段相等.
证明：
A
C
B
D
γ
G
H
G
H
证明:
过A作直线AH//DF,
连结AD,GE,HF(如图).
课堂练习:
面面平行判定定理:
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
推论：
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行
面面平行性质定理:
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
线面平行 面面平行
面面平行 线线平行
反思~领悟：
例1.在四棱锥P－ABCD中，ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点．求证：MN∥平面PAD.
证明：
如图，取CD的中点E，连接NE、ME，
∵M、N分别是AB、PC的中点，
∴NE∥PD，ME∥AD
∴NE∥平面PAD，ME∥平面PAD
又NE∩ME＝E，
∴平面MNE∥平面PAD，
又MN?平面MNE，
∴MN∥平面PAD.
面面平行 线面平行
}
例2. 如图，设平面α∥平面β，AB、CD是两异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C∈α，B、D∈β. 求证：MN∥α.
证明：连接BC，取BC的中点E，分别连接ME、NE，
则ME∥AC，
∴ ME∥平面α，
又 NE∥BD， ∴ NE∥β，
又ME∩NE=E，
∴平面MEN∥平面α，
∵ MN平面MEN，
∴MN∥α.
b
a
E
N
M
D
B
C
A
面面平行判定定理:
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
推论：
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行
面面平行性质定理:
如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行. 。
线面平行 面面平行
面面平行 线面平行
反思~领悟：
R
Q
（1）如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么
它们的交线平行.
（2）如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直
线都与另一个平面平行.
（3）夹在两个平行平面间的所有平行线段相等.
两个平面平行具有如下的结论
(1)平行公理
(2)三角形中位线
(3)平行线分线段成比例
(4)相似三角形对应边成比例
(5)平行四边形对边平行
线//线
面//面
线//面
各种平行之间的转化关系
小结
空间线面间平行关系转化示意图
线线平行
面面平行
线面平行
判定
判定
判定
性质
性质
性质
课堂小结
三种平行关系的转化
线
线
平
行
线
面
平
行
面
面
平
行
线面平行判定
线面平行性质
面面平行判定
面面平行定义
面面平行性质
