2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定
线 面
位
置
关
系
线在面内
线面平行
线面相交
垂直
斜交
知识回顾
直线与平面的位置关系有哪几种？
观察图中立柱与地面,立柱与桥面之间是怎样
的位置关系?
旗杆与地面的位置关系，给人以直线与平面垂直
的形象.
思考1 阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位置关系.
A
B
α
1.旗杆所在的直线始终与
影子所在的直线垂直.
2.事实上，旗杆AB所在直线与
地面内任意一条不过点B的
直线也是垂直的.
A
B
α
C
B
B1
C1
?
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
?
l
平面α的垂线
直线l的垂面
A
垂足
深入理解“线面垂直定义”
判断下列语句是否正确：（若不正确请举反例）
1.如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内所有的直线都垂直. （ ）
2.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么它与平面垂直. （ ）
b
α
a
直线和平面垂直的画法
α
P
注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.
l
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直于平面吗？
不一定
如图：
B
C
B
C
l
①“任何”表示所有.
②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足.
③? 等价于对任意的直线 ，都有
利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质.
【提升总结】
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
直线和平面垂直的判定定理
m
n
P
符号表示：
“平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直 线面垂直
定理补充
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
是两条相交直线，
直线m，n．
证明：在平面 内作两条相交
因为直线
根据直线与平面垂直的定义知
又因为
所以
又因为
所以
结论：两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这一个平面.
探究：如何求直线与平面所成的角？
O
P
A
α
斜线
斜足
线面所成角
（锐角∠PAO）
射影
关键：过斜线上一点作平面的垂线
线面所成的角
一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角.
一条直线在平面内，或与平面平行，它们所成的角是0°的角.
【提升总结】
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
例2 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
分析:找出直线A1B在平面A1B1CD内的射影,就可以求出A1B和平面A1B1CD所成的角.
O
V
A
B
C
VA= VC，AB=BC,
ABC
V
-
求证: VB ⊥AC.
中，
在三棱锥
1. 如图，
提示：找AC中点D,连接VD,BD
【变式练习】
3．一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围
是 ( )
A．0°＜θ＜90° B．0°≤θ≤90°
C．0°≤θ＜90° D．0°≤θ≤180°
【解析】由线面角的定义知B正确．
B
90?
A
V
B
C
K
5、如图,在三棱锥V-ABC中 ,VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中点.求证：AC⊥平面VKB．
证明：因为VA=VC,K为AC中点，
所以VK ⊥AC.
因为AB=BC,K为AC中点，
所以BK⊥AC，
所以AC⊥平面VKB.
直线与平面垂直
判定定理及应用
定义
直线与平面所成的角
转化思想：线面垂直 线线垂直
定义
判定定理
平面与平面垂直的判定
1．直线与平面垂直的概念
（1）利用定义：
（2）利用判定定理．
4．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
3．直线与平面垂直的判定
线线垂直
线面垂直
垂直于平面内任意一条直线
2. 线面角的概念及范围
复习回顾
两直线所成角的取值范围：[ 0o, 90o ]．
A
B
?
?1
O
平面的斜线和平面所成的角的取值范围： (0o, 90o)．
直线和平面所成角的取值范围：[ 0o, 90o ]．
复习回顾
异面直线所成角的取值范围： (0o, 90o ] ．
问 题
1、在平面几何中“角”是怎样定义的？
答：从平面内一点出发的两条射
线所组成的图形叫做角。
2、等角定理？
o
答：如果一个角的两边和另一个
角的两边分别平行，并且方向相
同，那么这两个角相等。
A
B
想一想
?
?
?
?
?
?
A
O
B
B
B
B
B
B
B
?
角
两个面组成的图形
?
平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，每
一部分都叫做半平面。
从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做
二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平
面叫做二面角的面。
1、半平面：
2、二面角：
半平面及二面角的定义
棱
面
面
半平面
半平面
1、二面角的画法：
（1）、平卧式
（2）、直立式
二面角的 画法与记法
2、二面角的记法：
面1－棱－面2
（1）、以直线 为棱，以
为半平面的二面角记为：
（2）、以直线AB 为棱，以
为半平面的二面角记为：
A
B
二面角的 画法与记法
上述变化过程中图形在变化，形成的“角度”的大小如何来确定 ？
思考：
1、二面角的平面角：
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分别引垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
==
?
等角定理：如果一个角的两边和另
一个角的两边分别平行，并且方向相
同，那么这两个角相等。）
注:（1）二面角的平面角与点的位置
无关，只与二面角的张角大小有关。
（2）二面角是用它的平面角来度
量的，一个二面角的平面角多大，就
说这个二面角是多少度的二面角。
（3）平面角是直角的二面角叫做
直二面角。
（4）二面角的取值范围一般规定
为（0,π）。
二面角的 平面角的定义、范围及作法
2、二面角的平面角的作法：
1 .定义法：
根据定义作出来。
2 .作垂面：
作与棱垂直的平面与两半平面
的交线得到。
注意：二面角的平面角必须满足：
（1）、角的顶点在棱上。
（2）、角的两边分别在两个面内。
（3）、角的边都要垂直于二面角的棱。
o
A
B
o
A
o
A
B
B
二面角的 平面角的定义、范围及作法
⑴ 平卧式：
A
B
l
?
?
画二面角
⑴ 平卧式：
A
B
?
?
A
B
l
?
?
l
画二面角
⑴ 平卧式：
⑵ 直立式：
A
B
?
?
A
B
l
?
?
l
A
B
?
?
l
画二面角
(3)垂线法
(2)垂面法
作与棱垂直的平面与
两半平面的交线得到
二面角的平面角的作法
(1)定义法
根据定义作出来
?
?
l
?
A
B
O
?
?
l
O
A
B
A
O
?
?
l
D
1、定义法
根据定义作出来
2、垂面法
作与棱垂直的平面与
两半平面的交线得到
?
l
?
3、三垂线法
寻找二面角的平面角
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.
B
A
C
D
A’
B’
C’
D’
B
A
C
D
A’
B’
C’
D’
寻找二面角的平面角
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.
B
A
C
D
A’
B’
C’
D’
O
寻找二面角的平面角
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.
B
A
C
D
A’
B’
C’
D’
O
寻找二面角的平面角
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.
角
B
A
O
边
边
顶点
从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。
定义
构成
边—点—边
（顶点）
表示法
∠AOB
二面角
A
B
面
面
棱
a
?
?
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
面—直线—面
（棱）
二面角?—l—?
或二面角?—AB—?
图形
角与二面角的比较
例1、已知二面角?－ l － ? ，A为面?内一点，A到? 的距离为 ，到 l 的距离为 4.求二面角 ?－ l － ? 的大小.
D
?
l
A.
?
求解二面角
O
求解二面角
例1、已知二面角?－ l － ? ，A为面?内一点，A到? 的距离为 ，到 l 的距离为 4.求二面角 ?－ l － ? 的大小.
?
l
D
A.
?
B
O
A .
O
解：
则由三垂线定理得 AD⊥ .
∵sin∠ADO=
∴ ∠ADO=60°.
∴二面角 ?－ l－ ? 的大小为60 °.
在Rt△ADO中，
AO
AD
例1、已知二面角?－ l － ? ，A为面?内一点，A到? 的
距离为 2 ，到 l 的距离为 4。求二面角 ?－ l － ? 的大小。
?
?
l
D
过 A作 AO⊥?于O，过 O作 OD⊥ l 于D，连AD，
l
就是二面角
?－ l － ?
的平面角.
分析：首先应找到或作出二面角的平面角,然后证明这个
角就是所求的平面角, 最后求出这个角的大小。
二面角的应用举例1
二面角的应用举例2
例2、如图，山坡倾斜度是60度，
山坡上一条路CD和坡底线AB成30度角.
沿这条路向上走100米,升高了多少?
A
D
C
G
H
B
A
C
B
G
D
H
课堂练习
A
B
C
D
1、如图，将等腰直角三角形纸片沿
斜线BC上的高AD折成直二面角.
求证:
解:(略)
课堂小结
1、二面角的定义
2、二面角的平面角
3、二面角的平面角的作法
4、数学思想
*转化思想
—降维
*类比思想
角与二面角的比较
角
B
A
O
边
边
顶点
从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。
定义
构成
边—顶点—边
表示法
∠AOB
二面角
A
B
面
面
棱
l
?
?
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
面—棱—面
二面角?—l—?
图形
二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分别引垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的平面角的常用作法
1、定义法：
2、应用三垂
线定理：
O
B
A
O
A
B
1、二面角的定义：
2、二面角的画法和记法：
3、二面角的平面角：
4、二面角的平面角的作法：
画法：直立式和平卧式
记法：二面角 ?－AB－ ?
二面角 ?－ l－ ?
1、根据定义作出来
2、利用直线和平面垂
直作出来
从一条直线出发的两个半
平面所组成的图形叫做二
面角。这条直线叫做二面
角的棱。这两个半平面叫
做二面角的面。
1、二面角的平面角
的大小与 其顶点
在棱上的位置无关
2、二面角的大小用
它的平面角的大
小来度量
课堂小结
2.3.3 直线与平面垂直的性质
直线与平面垂直的性质
（第一课时）
(二) 线面垂直性质定理的探究
1、直观感知—猜想定理
(二) 线面垂直性质定理的探究
c
β
·
o
⑩
?
?
?
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
(二) 线面垂直性质定理的探究
思考：通过上题的证明你能得出什么结论？
c
o.
β
(二) 线面垂直性质定理
4、归纳：
√
×
１、判断下列命题的正误。
（2）垂直于同一直线的两条直线互相平行（ ）
（3）平行于同一平面的两条直线互相平行（ ）
（4）垂直于同一平面的两条直线互相平行（ ）
×
（1）平行于同一直线的两条直线互相平行（ ）
√
(三) 线面垂直性质定理的应用
小试牛刀
(三) 线面垂直性质定理的应用
火眼金睛
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
C
o
m
n
1
2
(三) 线面垂直性质定理的应用
o
m
n
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
乘胜追击
o
m
n
1
2
(三) 线面垂直性质定理的应用
o
m
n
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(线面垂直性质定理)
乘胜追击
A
B
C
α
β
l
a
(三) 线面垂直性质定理的应用
挑战自我
一、直线与平面垂直的性质定理：
二、反证法的证明思路：反设→归谬→结论
(四) 本节课我的收获
三、思想方法：空间问题平面化（转化）
垂直于同一直线的两直线平行
欢迎大家提出宝贵意见！
平面与平面垂直的性质
一、复习引入
1、平面与平面垂直的定义
2、平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
符号表示：
b
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
提出问题：
该命题正确吗？
二、探索研究
Ⅰ. 观察实验
观察两垂直平面中,一个平面内的直线与另一个平面的有哪些位置关系?
Ⅱ.概括结论
平面与平面垂直的性质定理
b
简述为：
面面垂直
线面垂直
该命题正确吗？
符号表示：
Ⅲ.知识应用
练习1：判断正误。
已知平面α⊥平面β,α∩ β＝l下列命题
(2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β （ ）
(3)过平面α内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面β（ ）
(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β（ ）
√
×
×
探究：已知平面α，β，直线a，且α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，试判断直线a与平面β的位置关系？
巩固练习：
下列命题中，正确的是（ ）
A、过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直
B、过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直
C、若a,b异面，过a一定可作一个平面与b垂直
D、a,b异面，过不在a,b上的点M，一定可以作一个平面和a,b都垂直.?
例1：如图，在长方体ABCD-A’B’C’D’中，
（1）判断平面ACC’A’与平面ABCD的位置关系
（2）MN在平面ACC’A’内，MN⊥AC于M，判断MN与AB的位置关系。
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
M
N
例2：如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC，
B
O
P
A
C
(2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系。
(1)判断BC与平面PAC的位置关系，并证明。
(1)证明：∵ AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点 ∴∠ACB=90°∴BC⊥AC 又∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC, BC 平面ABC ∴BC⊥平面PAC
(2)又∵ BC 平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC
解题反思
2、本题充分地体现了面面垂直与 线面垂直之间的相互转化关系。
1、面面垂直的性质定理给我们提供了一种证明线面垂直的方法
面面垂直
线面垂直
性质定理
判定定理
例 垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面。
已知：α⊥γ，β⊥γ,α∩β=а,求证：a⊥γ.
证法一：
γ
α
β
a
b
c
P
M
N
设α∩γ=b, β∩γ=c,在γ内任取一点P，作PM⊥b于M，PN⊥C于N.
因为α⊥γ，β⊥γ，
所以PM⊥α，PN⊥β.
因为α∩β=a，
所以PM⊥a，PN⊥a，
所以 a⊥γ.
线线垂直
线面垂直
γ
α
β
a
已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а,求证： a⊥γ.
证法二：
P
b
任取P∈a，过点P作b⊥γ.
∩
∩
因为α ⊥γ，
所以b α，
因为β ⊥γ，
因此b β，
故α ∩ β= b.
由已知 α∩ β= a，
所以a与 b重合，
所以a ⊥γ.
同一法
γ
α
β
a
已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а,求证： a⊥γ.
证法三：
b
c
b′
c′
设α⊥γ于b，β ⊥γ于c.
在α内作 b′ ⊥ b, 所以 b′ ⊥ γ.
同理在β内作c′ ⊥ c,有c ′ ⊥ γ,
所以 b′ ‖c′,
∩
∩
∩
又b′ β, c′ β, 所以 b′ ‖ β.
又 b′ α, α ∩ β=a,
所以 b′ ‖ a,
故 a ⊥ γ.
线线平行
线面垂直
练习1：如图，已知PA⊥平面ABC，
平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
P
A
B
C
E
证明：过点A作AE⊥PB，垂足为E，
∵平面PAB⊥平面PBC，
平面PAB∩平面PBC=PB，
∴AE⊥平面PBC
∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC
∴PA⊥BC
∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB
练习2：如图，以正方形ABCD的对角线AC为折痕，使△ADC和△ABC折成相垂直的两个面，求BD与平面ABC所成的角。
A
B
C
D
D
A
B
C
O
O
折成
1、平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
2、证明线面垂直的两种方法：
线线垂直→线面垂直；面面垂直→线面垂直
3、线线、线面、面面之间的关系的转化是解决空间图形问题的重要思想方法。
三、小结反思
1、如图,α⊥β,α∩β=l，AB α，AB⊥l， BC β，DE β，BC⊥DE.
求证：AC⊥DE.
A
B
C
D
E
四、作业布置
2.如图，平面AED ⊥平面ABCD，△AED是等边三角形，四边形ABCD是矩形，
（1）求证：EA⊥CD
M
D
E
C
A
B
（2）若AD＝1，AB＝ ，求EC与平面ABCD所成的角。
小结
线线垂直
线面垂直
面面垂直
α
β
a
A
B
线线平行
面面平行
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
符号表示:
简述为：
面面垂直
线面垂直
A
A1
B1
C1
B
C
E
思考题：如图，在正三棱柱ABC-A1 B1C1 中，（正三棱柱指底面是正三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱），E为B B1 的中点，
求证：截面A1 EC⊥侧面AC1 。
α
β
练习：
1、下列命题中错误的是（ ）
A 如果平面 ⊥平面 ,那么平面 内一定存在直线平行于平面
B如果平面 ⊥平面 ,那么平面 内所有直线都垂直于平面
C如果平面 不垂直于平面 ，则平面 内一定不存在直线垂直于平面
D如果平面 、 都垂直于平面M，且 与 交于直线 a，则 a ⊥平面M
α
β
α
β
β
β
β
α
α
α
β
β
α
α
B
2、已知两个平面垂直，下列命题中正确的有（ ）个
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内的任意一点做交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面。
A 3 B 2 C 1 D 0
B
