复习课
第9章 多边形
按边分
按角分
不等边三角形
等腰三角形
腰和底不等的等腰三角形
等边三角形
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
知识梳理
三角形的分类
1
注意：① 三角形的高是线段；
② 锐角三角形三条高全在三角形的内部；
直角三角形有两条高是直角边，另一条在内部；
钝角三角形有两条高在三角形外，另一条在内部.
③ 三角形三条高所在直线交于一点．
1.三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．
表示法：① AD是△ABC的边BC上的高；
② AD⊥BC于D；
③∠ADB=∠ADC=90°.
知识梳理
三角形的高、中线、角平分线
2
注意：①三角形的中线是线段；
②三角形三条中线全在三角形的内部；
③三角形三条中线交于三角形内部一点；
④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．
2.三角形的中线：连接一个顶点和它对边中点的线段．
表示法：
① AD是△ABC的边BC上的中线；
② BD=DC= BC.
知识梳理
注意：①三角形的角平分线是线段；
②三角形三条角平分线全在三角形的内部；
③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；
④用量角器画三角形的角平分线．
3.三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段.
表示法：
① AD是△ABC中∠BAC的平分线.
② ∠1=∠2= ∠BAC.
1
2
知识梳理
三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．
推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，并且大于和它不相邻的任何一个内角.
三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．
知识梳理
三角形的内角和与外角和
3
注意：
1.三边关系的依据是：两点之间线段最短.
2.判断三条线段能否构成三角形的方法：只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形.
3.三角形第三边的取值范围是:
两边之差<第三边<两边之和
三角形的任意两边之和大于第三边;
三角形的任意两边之差小于第三边.
知识梳理
三角形的三边关系
4
多边形的内角和定理：
多边形的内角和等于（n-2) ×180 °
多边形的外角和定理：多边形的外角和等于 360 °
正多边形的性质：各边都相等，各内角也都相等
正多边形每个内角的度数是
正多边形每个外角的度数是
知识梳理
多边形的性质
5
用相同正多边形可以铺满地面的条件：
正多边形的每个内角都能被360o 整除.
用多种正多边形可以拼成平面的条件：
围绕一点拼在一起的多种正多边形的内角之和为360?.
知识梳理
下列说法错误的是（ ）
A.三角形的三条中线都在三角形内，且平分三角形面积
B.直角三角形的高线只有一条
C.三角形的三条角平分线都在三角形内
D.钝角三角形内只有一条高线
B
分析：根据三角形的角平分线、中线和高的概念逐一进行判断.
考点讲练
三角形的角平分线、中线和高
考点1
例1
方法点拨：三角形的三条角平分线、三条中线、三条高（或延长线)分别相交于一点，其中中线平分三角形面积，直角三角形由两条高线在边上，钝角三角形由两条三角形在三角形外面.
练习1.如图所示，AD是△ABC的中线，已知△ABD比△ACD的周长大6cm,则AB与AC的差为（ ）
A
B
C
D
12cm B. 6cm
C. 3cm D. 2cm
B
考点讲练
练习2.如图，在△ABC 中，∠ABC ，∠ ACB 的平分线BD，CE 交于点O．
（1）若∠A =80°，则∠BOC = ．
（2）你能猜想出∠BOC 与∠A 之间的数量关系吗？
130°
∠BOC = 90°+ ∠A
A
B
C
O
E
D
考点讲练
已知两条线段的长分别是3cm、8cm ，要想拼成一个三角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多长？
解答：由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边，得 8-3
又∵第三边长为奇数,
∴ 第三条边长为 7cm或9cm.
分析：根据三角形的三边关系满足8-3例2
考点讲练
三角形的三边关系
考点2
方法点拨：三角形两边之和大于第三边，可以用来判断三条线段能否组成三角形，在运用中一定要注意检查是否任意两边的和都大于第三边，也可以直接检查较小两边之和是否大于第三边.三角形的三边关系在求线段的取值范围以及在证明线段的不等关系中有着重要的作用.
考点讲练
练习3.已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是( )
A．1，2，3 B．2，5，8
C．3，4，5 D．4，5，10
练习4.在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为8cm和3cm,则它的周长为________.
C
19cm
练习5.以线段3、4、x-5为边组成三角形，那么x的取值范围是 .
6考点讲练
下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是
（ ）
A．∠A=2∠B=3∠C B．∠A+∠B=2∠C
C．∠A=∠B=30° D．∠A= ???∠B= ???∠C
分析：根据“三角形内角和定理和为180°”求出各选项中△ABC的内角，然后根据直角三角形的判定方法进行判断．
D
例3
考点讲练
三角形的内角和与外角和
考点3
方法点拨： 三角形内角和定理：三角形内角和是180°．其推论为直角三角形两锐角互补及有两个角的和为90°的三角形是直角三角形．已知三角形中的三角形之间关系，可运用方程思想来求各角的度数.
练习6.在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数为_____.
30°
考点讲练
练习7. △ABC中，∠B= ∠A= ∠C，求△ABC的三个内角度数.
解：设∠B=x° ，则∠A=3x°，∠C=4x°，
从而x+3x+4x=180?，
解得x=22.5°．
即∠B=22.5°，∠A=67.5°，∠C=90°．
考点讲练
已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的 ，求这个多边形的边数.
解： 设此多边形的外角的度数为x,则内
角的度数为4x，
则x+4x=180°,解得 x=36°.
∴边数n=360°÷36°=10.
例4
考点讲练
多边形的内角和与外角和
考点4
练习8.一个正多边形的每一个内角都等于120 °，则其边数是 .
6
解析： 因为该多边形的每一个内角都等于120度，所以它的每一个外角都等于60 °.所以边数是6.
方法点拨：在多边形的有关求边数或内角、外角度数的问题中，要注意内角与外角之间的转化，以及定理的运用.尤其在求边数的问题中，常常利用定理列出方程，进而再求得边数.
考点讲练
方程思想
如图，在△ABC中， ∠C=∠ABC,BE
⊥AC, △BDE是等边三角形，求∠C的度数.
A
B
C
E
D
解： 设∠C=x °,则∠ABC=x°,因为△BDE是等边三角形，所以∠ABE=60°,所以∠ EBC=x°-60°.在△BCE中，根据三角形内角和定理，
得90°+x°+x°-60°=180°,解得x=75°,所以∠C=75 °.
例5
考点讲练
本章中的思想方法
考点5
方法点拨：在角的求值问题中，常常利用图形关系或内角、外角之间的关系进行转化，然后通过三角形内角和定理列方程求解.
考点讲练
练习9. 如图，△ABC中，BD平分∠ABC, ∠1=∠2, ∠3= ∠C,求∠1的度数.
A
B
C
D
)
)
)
)
2
4
1
3
解： 设∠ 1=x,根据题意可得∠2=x.因为∠3= ∠1+ ∠2， ∠4= ∠2，所以∠3=2x, ∠4=x，又因为∠3= ∠C，所以∠C=2x.
在△ABC中，根据三角形内角和定理，得x+2x+2x=180 °,解得x=36°,所以∠1=36 °.
考点讲练
分类讨论思想
已知等腰三角形的两边长分别为10 和6 ，则三角形的周长是 ．
解析：由于没有指明等腰三角形的腰和底，所以要分两种情况讨论：第一种10为腰，则6为底，此时周长为26；第二种10为底，则6为腰，此时周长为22.
26或22
例6
考点讲练
练习10. 已知等腰三角形的两边长分别为10 和4 ，则三角形的周长是 ．
24
【易错提示】等腰三角形没有指明腰和底时要分类讨论，但也别忘了用三边关系检验能否组成三角形这一重要解题环节.
考点讲练
化归思想
A
B
C
D
O
如图，△AOC与△BOD是有一组对顶角的三角形，其形状像数字“8”，我们不难发现有一重要结论： ∠A+∠C=∠B+∠D.这一图形也是常见的基本图形模型，我们称它为“8字型”图.
考点讲练
如图所示：
求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数.
解析：所求问题不是常见的求多边形的内角和问题，我们发现，只要连结CD便转化为求五边形的内角和问题，由“8字型”模型图可知， ∠FCD+∠GDC=∠F+∠G,所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G=（5-2） ×180 ° = 540 °.
A
B
C
F
G
D
E
例7
考点讲练
三角形
与三角形有关的线段
三角形内角和：180°
三角形外角和：360°
三角形的边：三边关系定理
高线
中线：把三角形面积平分
角平分线
与三角形有关的角
内角与外角关系
三角形的分类
多边形
定义
多边形的内外角和
内角和：（n-2) ×180 °
外角和：360 °
对角线
多边形转化为三角形和
四边形的重要辅助线
正多边形
内角= ;外角=
知识网络
第9章 多边形
9.3 用正多边形铺设地面
9.3.1 用相同的正多边形
情境引入
学习目标
1.掌握和运用正多边形的内角和外角的计算.
2.运用正多边形的内角和外角解决问题.（重点）
好漂亮的地板!这是怎么铺设的?一点空隙也没有.
情境导入
请你欣赏
情境导入
问题 回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？
正多边形的性质：各边都相等、各内角也都相等
多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)· 180°.
多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°.
每个内角的度数是
每个外角的度数是
正多边形的内角和外角计算
1
新课讲解
(1)若一个正多边形的内角是120 °,那么这是正____
边形.
(2)已知多边形的每个外角都是45°,则这个多边形
是______边形.
六
正八
新课讲解
问题1 正三角形能否铺满地面？
60°
60°
60°
60°
60°
60°
由图可知，6个正三角形可以无缝拼接，所以正三角形能铺满地面.
新课讲解
用相同的正多边形铺设底面
2
问题2 正方形能否铺满地面？
90°
由图可知，4个正方形可以无缝拼接，所以正方形能铺满地面.
新课讲解
120 °
120 °
120 °
问题3 正六边形能否铺满地面？
由图可知，3个正六边形可以无缝拼接，所以正六边形能铺满地面.
新课讲解
1
2
3
思考1.∠1+∠2+∠3=?
问题4 正五边形能否铺满地面？
2.为什么正五边形不能铺满地面，而正六边形能呢？
由图可知，正五边形不能无缝拼接，所以正五边形不能铺满地面.
324°
新课讲解
使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面.
新课讲解
图形 一个顶点周围正多边形的个数
能
能
能
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
6
4
3
不能
能否铺
满平面
90°
一个内
角度数
108°
60°
120°
新课讲解
问题5 还能找到其他正多边形铺满地面吗？
分析：要用相同正多边形铺满地面的关键是看，这种正多边形的一个内角的倍数是否是360°，在正多边形里，正三角形的每个内角都是60°，正四边形的每个内角都是90°，正六边形的每个内角都是120°，这三种正多边形的一个内角的倍数都是360°，而其他的正多边形的每个内角的倍数都
不是360°.
解：在正多边形里，用相同正多边形铺满地面的只有正三角形、正四边形、正六边形，而其他的正多边形不可以．
新课讲解
用相同正多边形可以铺满地面的条件：
正多边形的每个内角都能被360o 整除.
新课讲解
1.用一种正多边形铺满地面的条件是（ ）
A. 内角是整数度数 B. 边数是3的倍数
C. 内角整除180° D. 内角整除360°
2. 一个用正六边形铺满地面是，它在一个顶点周围
的正六边形的个数为（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
D
B
随堂即练
相同正多边形铺设问题
正多边形内、外角计算公式
正多边形的每个内角都能被360o 整除.
相同正多
边形铺满地面条件
内角= ，外角=
课堂小结
第9章 多边形
9.3 用正多边形铺设地面
9.3.2 用多种正多边形
情境引入
学习目标
掌握用多种正多边形拼成平面的规律及其运用.（重点）
1.在正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中取一种，可以铺满地板的有哪些？
2.用同种正多边形瓷砖能不留空隙，不重叠地铺满地板的关键是什么？
正三角形、正方形、正六边形
围绕一点拼在一起的正多边形的内角之和为360?
复习导入
看一看
情境导入
情境导入
情境导入
情境导入
情境导入
问题 从正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形、正十二边形中任取两种进行组合是否能铺满地面呢？
用多种正多边形铺设地板
新课讲解
正方形、正三角形
新课讲解
正六边形、正三角形
新课讲解
正六边形、正方形、正三角形
新课讲解
正十二边形、正三角形
新课讲解
正八边形、正方形
新课讲解
正五边形、正十边形
围绕一点能拼成360?，但能扩展到整个平面，即铺满地面吗？
新课讲解
尽管能围绕一点拼成360?，但不能扩展到整个平面。
新课讲解
正十二边形、正方形、正六边形
新课讲解
正十二边形、正方形、正三角形
新课讲解
多种正多边形拼地板：
围绕一点拼在一起的多种正多边形的
内角之和为360?.
关键：
注：有时几种正多边形的组合能围绕一点拼成周角，但不能扩展到整个平面，即不能铺满平面.如：正五边形与正十边形的组合.
模型：
正多边形1的个数×正多边形1的内角度数 +
正多边形2的个数×正多边形2的内角度数+…=360 ?
新课讲解
1.用现要选用两种不同的正多边形地砖铺地板，若选
择了正四 边形，则可以再选择的正多边形是（ ）
A. 正七边形 B. 正五边形
C. 正六边形 D. 正八边形
2. 用正三角形和正六边形铺成平面，共有不同的拼
法是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
D
B
随堂即练
围绕一点拼在一起的多种正多边形的内角之和为360?。
多种正多边形拼成平面条件
课堂小结
第9章 多边形
9.2 多边形的内角和与外角和
第1课时 多边形的内角和
情境引入
学习目标
1.掌握多边形的相关概念.
2.会用分割法探索多边形的内角和计算公式.（难点）
3.运用多边形的内角和计算公式解决问题.（重点）
生活中的平面图形
三角形
长方形
四边形
六边形
八边形
情境导入
在平面内，由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做三角形.
在平面内，由四条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做四边形.
多边形的相关概念
1
新课讲解
2.在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾
顺次相连组成的封闭图形叫做多边形.
1.在平面内，由五条不在同一条直线上的线段首尾顺
次相连组成的封闭图形叫做五边形.
3.组成多边形的各条线段叫作多边形的边.
4.相邻两条边的公共端点叫作多边形的顶点.
6.连接不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线.
5.相邻两边组成的角叫作多边形的内角，简称多边形
的角.
新课讲解
顶点
内角
边
对角线
(连接不相邻两个顶点的线段)
多边形的相关元素
外角
表示：五边形ABCDE
A
C
B
D
E
新课讲解
2.如图1是凸多边形； 图2不是凸多边形，今后如果
不作说明，我们讲的多边形都是凸多边形.
图 2
1.如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长
所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形.
图 1
A
C
B
D
A
C
B
D
新课讲解
在平面内，边相等、角也都相等的多边形叫正多边形.
问题 观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？
特点：
各边相等，各内角都相等的多边形.
新课讲解
问题1 三角形的内角和等于180°，四边形的内角和是多少度呢？
如图，四边形ABCD的一条对
角线AC 把它分成两个三角形，因
此四边形的内角和等于这两个三角形的内角和， 即180°×2=360°.
新课讲解
多边形的内角和
2
在下列各个多边形中，任取一个顶点，通过该顶点画出所有对角线，完成下表.
五边形
六边形
七边形
八边形
新课讲解
五边形 5 3 （5-2） × 180°
六边形 6
七边形 7
图形 边数
可分成三角形的个数
多边形的内角和
五边形
六边形
八边形 8
… … … …
n边形 n
4
（6-2） × 180°
（7-2） × 180°
5
（8-2） × 180°
6
n-2
（n-2）×180°
五边形
六边形
七边形
八边形
新课讲解
n边形的内角和等于(n-2)· 180°.
新课讲解
（1）求八边形的内角和.
（2）一个多边形的内角和等于2160°，求这个多
边形的边数？
解： （1）八边形的内角和是
(8-2)×180°= 1080°.
（2）设这个多边形的边数为n，则
（n-2 )×180°= 2160°，
解得n = 14.
所以这是一个十四边形.
新课讲解
例1
1.判断．
（1）当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加．
( )
（2）从n边形一个顶点出发，可以引出（n-2）条对角
线，得到（n-2）个三角形． ( )
2.五边形的内角和为 ，它的对角线有 条．
540°
5
3.如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形
的内角和增加______,外角和增加_______.
180°
0°
随堂即练
4.一个多边形的内角和不可能是（ ）
A.1800° B.540 ° C.720 ° D.810 °
D
5.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形
内角和等于（ ）
A.360° B.540 ° C.720 ° D.900 °
C
随堂即练
多边形的内角和
内角和计算公式
（n-2) × 180 °(n ≥3的整数）
多边形的相关概念
课堂小结
第9章 多边形
9.2 多边形的内角和与外角和
第2课时 多边形的外角和
情境引入
学习目标
1.掌握多边形外角和的推导.
2.运用多边形的外角和解决问题.（重点）
清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步.他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少度？
情境导入
问题 如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．五边形的外角和等于多少？
1.任意一个外角和它相邻的
内角有什么关系？
2.五个外角加上它们分别相
邻的五个内角和是多少？
3.这五个平角和与五边形的
内角和、外角和有什么关
系？
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
互补
900°
五个平角和（900°）-五边形的内角和（540°）=外角和（360°）
多边形的外角和
1
新课讲解
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
五边形外角和
=360 °
=5个平角
－五边形内角和
=5×180°
－(5－2) × 180°
结论：五边形的外角和等于360°.
新课讲解
在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．
n边形外角和
－(n－2) × 180°
=360 °
=n个平角-n边形内角和
= n×180 °
E
B
C
D
1
2
3
4
n
A
新课讲解
任意多边形的外角和等于360°.
新课讲解
一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是几边形？
解：设这个多边形的边数为n,根据题意，得
n · 72°= 360°
解得 n=5.
答：这个多边形是五边形.
新课讲解
例1
已知一个多边形，它的内角和等于外角和的5倍，这个多边形是几边形？
解： 设多边形的边数为n.
∵它的内角和等于 (n－2)?180°，
多边形外角和等于360°，
∴ (n－2)?180°=5× 360?.
解得 n=12.
∴这个多边形的边数为12.
【变式】 一个多边形的外角和是内角和的 ，则其边数n为 .
12
新课讲解
例2
1.判断．
（1）当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加．
( )
（2）三角形的外角和与八边形的外角和相等．
( )
随堂即练
2. 一个多边形所有内角与一个外角的和是2380°，
则这个多边形的边数为_ __.
15
解析：设这个多边形的边数为x(x为正整数)，则这个多边形的内角和为（x-2）×180°，由题意可得：
2380-180<（x-2）×180°<2380,
解得4.22因为x为正整数，所以x=15，即这个多边形的边数为15.
3. 如图，求图中x的值.
x =60.
随堂即练
多边形的外角和定理
多边形的外角和等于360°
特别注意：与边数无关。
课堂小结
第9章 多边形
9.1.1 认识三角形
第1课时 三角形的有关概念
情境引入
学习目标
1.认识三角形并会用几何语言表示三角形；
2.掌握三角形分类.
问题引入
埃及金字塔
问题引入
水分子结构示意图
飞机机翼
问题引入
（1）从古埃及的金字塔到现代的飞机，从宏伟的建
筑物到微小的分子结构，都有什么样的形象？
（2）在我们的生活中有没有这样的形象呢？试举例。
问题引入
想一想
问题1 观察下面三角形的形成过程，说一说什么叫
三角形?
定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接
所组成的图形叫做三角形.
A
B
C
1
新课讲解
三角形的概念
问题2 三角形中有几条线段?有几个角?
有三条线段，三个角
边：线段AB，BC，CA是三角形的边.
顶点：点A，B，C是三角形的顶点，
角：∠A，∠B，∠C叫做三角形的内角，简称三角形的角.
A
B
C
新课讲解
记法：三角形ABC用符号表示________.
边的表示：三角形ABC的边AB、AC和BC可用小写字母分别表示为________.
△ABC
c，b，a
边c
边b
边a
顶点C
角
角
角
顶点A
顶点B
新课讲解
下列图形符合三角形的定义吗？
不符合
不符合
不符合
新课讲解
①位置关系：不在同一直线上；②联接方式：首尾顺次.
三角形应满足以下两个条件：
表示方法：
三角形用符号“△”表示；记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，除此△ABC还可记作△BCA, △ CAB, △ ACB等.
新课讲解
基本要素：
三角形的边：边AB、BC、CA；
三角形的顶点：顶点A、B、C；
三角形的内角(简称为三角形的角）：∠ A、 ∠ B、
∠ C.
特别规定：
三角形ABC的三边,一般的顶点A所对的边记作a,顶点B所对的边记作b,顶点C所对的边记作c.
新课讲解
(1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形？
A
B
C
D
E
5个，它们分别是△ABE,△ABC, △BEC,△BCD,△ECD.
(2)以AB为边的三角形有哪些？
△ABC、△ABE.
（3）以E为顶点的三角形有哪些？
△ ABE 、△BCE、 △CDE.
（4）以∠D为角的三角形有哪些？
△ BCD、 △DEC.
（5）说出△BCD的三个角和三个顶点所对的边.
△BCD的三个角是∠BCD、∠BDC、∠CBD.顶点B所对应的边为DC，顶点C所对应的边为BD，顶点D所对应的边为BC.
新课讲解
问题3 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.它与 △ABC有和联系呢？
像这样，三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫作三角形的外角.
对外角∠ACD来说，∠ACB是与它相邻的内角，∠A，∠B是与它不相邻的内角.
D
新课讲解
问题1 按照三角形内角的大小，三角形可以分为哪几类？
由图可发现，三角形按角分类：
三个内角都是锐角——锐角三角形，
有一个内角是直角——直角三角形，
有一个内角是钝角——钝角三角形.
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
2
新课讲解
三角形的分类
(1)等腰三角形和等边三角形的区别是什么?
(2)从边上来说，除了等腰三角形和等边三角形还有
什么样 的三角形?
等腰三角形两边相等，等边三角形三边相等.
三边都不相等的三角形.
问题2 如果以三角形边的元素的不同，三角形该如何
分类呢？
新课讲解
根据上面的内容思考：怎样对三角形进行分类？
等边三角形
等腰三角形
不等边三角形
（
顶角
（
底角
（
底角
按是否有边相等分
三角形
不等边三角形
等腰
三角形
底和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
按内角大小分
三角形
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
腰
底边
新课讲解
1.三角形是指（ ）
A. 由三条线段所组成的封闭图形
B. 由不在同一直线上的三条直线相接组成的图形
C. 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组
成的图形
D. 由三条线段首尾顺次相接组成的图形
C
随堂即练
2.判断：
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形.（ ）
（1）一个钝角三角形一定不是等腰三角形.（ ）
√
×
（3）等腰三角形的腰和底一定不相等.（ ）
×
（4）等边三角形是锐角三角形.（ ）
（5）直角三角形一定不是等腰三角形.（ ）
×
√
随堂即练
3.如图，在△ACE中，∠CEA的对是 ．
A
B
F
E
D
C
AC
随堂即练
三角形
定义及其基本要素
顶点、角、边
分类
按角分类
按边分类分类
不重不漏
课堂小结
第9章 多边形
9.1.1 认识三角形
第2课时 三角形中的重要线段
学习目标
1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.（重点）
2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法.
3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.（难点）
1.过直线外一点，画已知直线的垂线，能画几条，
怎么画？
只能画一条.
2.已知△ABC中，BC=5cm,高AD=4cm,求△ABC的
面积.
复习引入
问题1 什么是三角形的高？
问题2 怎样画三角形的高？
定义 如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.
A
B
C
D
垂直符号
垂足
由三角形的高你能得到什么结论？
∠ADB= ∠ADC=90 °
1
新课讲解
三角形的高
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
画图发现
三角形的三条高交于一点.
（1）锐角三角形的高交于三角形内一点；
（2）直角三角形的高交于直角的顶点；
（3）钝角三角形的高交于三角形外一点.
O
(E,F)
O
如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，并观察高的交点有什么规律？
新课讲解
问题1 如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？
A
C
B
AC=BC= AB
2
新课讲解
三角形的中线
问题2 如图，如果点D是线段BC的中点，那么线段AD就称为△ABC的中线．类比三角形的高的概念，试说明什么叫三角形的中线？
A
B
C
定义：
如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线.
由三角形的中线能得到什么结论？
BD=CD= BC
D
新课讲解
如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？
画图发现
三角形的三条中线交于三角形内部一点.这一点我们称为三角形的重心.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
D
E
F
D
D
E
F
E
F
O
O
O
新课讲解
问题3 如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？为什么？
B
C
D
E
A
相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.
问题4 通过问题3你能发现什么规律？
三角形的中线能将三角形的面积平分.
新课讲解
问题1 如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？
A
C
B
O
∠AOC= ∠BOC
新课讲解
3
三角形的角平分线
问题2 如图，在△ABC中，如果∠BAC的平分线AD交BC边于点D，我们就称AD是△ABC的角平分线．类比探索三角形的高和中线的过程，你能得到哪些结论？
B
C
D
A
(
(
三角形的三条角平分线交于三角形内一点.
三角形的角平分线与角的角平分线相同吗？为什么？
相同点是： ∠ BAD= ∠ CAD;不同点是：前者是线段，后者是射线.
新课讲解
如图，已知AD,AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm,BC=10cm， ∠CAB=90 °,试求：
（1）△ABE的面积；
（2）△ACE和△ABE的周长的差.
A
B
C
D
E
解：（1）
即AD=4.8.
新课讲解
例1
（2） ∵AE是△ABC的中线，
∴BE=CE.
∴△ACE和△ABE的周长的差
=（AC+AE+CE)-(AB+AE+BE)
=AC+AE+CE-AB-AE-BE
=AC-AB =8-6 =2(cm)
重要发现 三角形中线AE把原三角形分成的两个三角形的周长差就是AC与AB的差.
A
B
C
D
E
新课讲解
如图，在△ABC中，请作图
（1）画出△ABC的∠C的平分线；
（2）画出△ABC的边AC上的中线；
（3）画出△ABC的边BC上的高
A
B
C
D
E
F
如图，CF是一条角平分线；BE是AC边上的中线；AD是边BC上的高.
注意：画高要标明垂直符号.三角形的角平分线，中线及高都要画成线段.
新课讲解
例2
1.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的
BC边上的高( )
A
D
C
B
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
D
随堂即练
2.在△ABC中,CD是中线,已知BC-AC=5cm, △DBC
的周长为25cm,求△ADC的周长.
A
D
B
C
解： ∵CD是△ABC的中线，
∴BD=AD .
∵BC-AC=5cm,
∴ △DBC与△ADC的周长差是5cm,
又∵ △DBC的周长为25cm，
∴ △ADC的周长=25-5=20(cm).
随堂即练
3.如图是一张三角形纸片，请你动手画出它的BC边
上的中线，BC边上的高， ∠A的平分线.
A
B
C
D
AD为中线（BD=DC）
E
AE为高（AE⊥BC）
)
)
AF 为∠A的平分线（∠BAF=∠CAF）
F
随堂即练
王大爷有一块三角形的菜地,现在要将它们平均分给四个儿子,在菜地的一角A处有一口池塘,为了使分开后的四块菜地都就近取水,王大爷为此很伤脑筋.你能想出什么办法帮帮王大爷吗？
如果不考虑水源,你认为还可以怎样分?
A
（思路提示：想到三角形的中线能把三角形分成面积相等的两部分.）
随堂即练
三角形重要线段
高
钝角三角形两短边上的高的画法
中线
会把原三角形面积平分
一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差
角平分线
课堂小结
第9章 多边形
9.1.2 三角形的内角和与外角和
1.通过操作活动，使学生发现三角形的内角和是
180°;
2.会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数;
（重点、 难点）
3.掌握三角形的外角的性质及外角和.（重点、难点）
学习目标
将三角形纸片分别按下面两种方法进行折叠、剪拼等操作，你能发现什么？
折叠三角形纸板，可以把它的三个角拼成一个角.
可以将∠A，∠B 剪下并移至顶点C处拼接成一个角.
A
B
C
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
复习引入
因为直线在平移下的像是与它
平行的直线，
如图，将△ABC的边BC所在的直线
平移，使其经过点A，得到直线B'C' .
所以 B'C'∥BC.
则 ，
所以∠B+∠BAC+∠C=180°.
又
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.
1
新课讲解
三角形的内角和
由此得到：
三角形的内角和等于180°.
你还能想出其它的方法推出这个结论吗？
新课讲解
多种方法证明的核心是什么？
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.
C
A
B
1
2
3
4
5
l
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
A
B
C
D
E
新课讲解
如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °, AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
A
B
C
D
解: 由∠BAC=40 °，AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD= ∠BAC=20 °.
在△ABD中，
∠ADB=180°－∠B－∠BAD
=180°－75°－20°
=85°.
例1
新课讲解
问题1 在△ABC 中，若∠C =90°，你能求出∠A，∠B 的度数吗？为什么？你能求出∠A +∠B 的度数吗？利用上面的结果，你能得出什么结论？
A
B
C
直角三角形的两个锐角互余．
应用格式：
在直角△ABC 中，
∵ ∠C =90°，
∴ ∠A +∠B =90°．
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC
2
新课讲解
直角三角形的内角性质
如图， ∠C=∠D=90 °,AD,BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
A
B
C
D
E
解：在Rt△ACE中，
∠CAE=90 °－∠AEC.
在Rt△BDE中，
∠DBE=90 °－∠BED.
∵ ∠AEC= ∠BED，
∴ ∠CAE= ∠DBE.
例2
新课讲解
问题1 在图中，外角∠ACD与它不相邻的内角∠A，∠B之间有什么大小关系？
我觉得可以利用“三角形的内角和等于180°”的结论.
3
新课讲解
三角形的外角的性质
因为∠ACD+∠ACB = 180°，
∠A +∠B +∠ACB = 180°，
所以∠ACD -∠A -∠B = 0（等量减等量，差相等）
于是∠ACD =∠A +∠B.
1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
由此得到：
2.三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角.
新课讲解
如图，∠CAD=100°，∠B=30°，求∠C 的度数.
解：因为∠B+∠C=∠CAD，
所以∠C=∠CAD－∠B，
所以∠C=100°－30°=70°.
练一练
新课讲解
问题2 如图， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE= ∠2+ ∠3，
∠CBF= ∠1+ ∠3,
∠ACD= ∠1+ ∠2.
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
你还有其他解法吗？
新课讲解
方法二：如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ，
∠CBF +∠2=180 ° ②，
∠ACD +∠3=180 ° ③，
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
①+ ②+ ③得
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °－180°=360°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
新课讲解
三角形的外角和等于360°.
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
(一题多解）如图，计算∠BDC.
A
B
C
D
(
(
(
51 °
20 °
30 °
A
B
D
E
A
C
D
E
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
例3
新课讲解
A
B
C
D
(
(
(
51 °
20 °
30 °
解：（解法一）连接AD并延长于点E.
在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.
因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
E
)
)
1
2
)
3
)
4
新课讲解
A
B
C
D
(
(
(
51 °
20 °
30 °
E
)
1
（解法二）延长BD交AC于点E.
在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，
在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°
=101°.
（解法三）连接延长CD交AB于点F.（解题过程同解法二）
)
2
新课讲解
A
B
C
D
(
(
(
1
3
2
(
重要发现：
∠BDC= ∠1+ ∠2+ ∠3.
新课讲解
新课讲解
如图，D是△ABC的BC边上的一点，∠B=∠BAD，∠ADC=80°，∠BAC=70°．求：
（1）∠B的度数． （2）∠C的度数．
解：（1）∵∠ADC是△ABD的一个外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD，
又∵∠ADC=80°，∠B=∠BAD，
∴∠B=∠ADC= ×80°= 40°；
（2）在△ABC中，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°－∠B－∠BAC=180°－40°－70°=70°．
例4
1.已知△ABC中，∠A＝ 70°，∠C＝30°，∠B＝
______.
2.直角三角形一个锐角为70°，另一个锐角是_______.
3.在△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠C=_______.
80°
20°
50°
4.如图，AD是△ABC的角平分线，∠B= 36°，
∠C= 76°，则∠DAC的度数为________.
34°
随堂即练
5 .如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD, ∠ADC=80°，∠BAC=70°，求：（1）∠B 的度数； （2）∠C的度数.
在△ABC中：
∠B+∠BAC+∠C=180°，
∠C=180?-40?-70?=70°.
解：因为∠ADC是△ABD的外角.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又因为∠B=∠BAD，
40°
A
B
70°
80°
C
D
随堂即练
三角形的内角
三角形的
内角和定理
证明
了解添加辅助线的方法及其目的
内容
三角形内角和等于180 °
直角三角形的两锐角互余
课堂小结
三角形的外角
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于360 °
课堂小结
9.1 三角形
9.1.3 三角形的三边关系
第9章 多边形
1.掌握“三角形的任意两边之和大于第三边”的性
质并能初步运用;（重点、难点）
2.了解三角形的稳定性及应用.
学习目标
小明
我要到学校怎么走呀？哪一条路最近呀？
为什么？
邮局
学校
商店
小明家
复习引入
A
B
C
路线1：从A到C再到B的路线走；
路线2：沿线段AB走.
请问：路线1、路线2哪条路程较短，你能说出根据吗？
解：路线2较短；两点之间线段最短.
由此可以得到：
1
新课讲解
三角形的三边关系
三角形任意两边的和大于第三边
想一想：由不等式的变形，三角形的两边之差与第
三边有何关系？
三角形任意两边的差小于第三边
三角形三边的关系定理的理论根据是？
三角形的三边关系定理
两点之间，线段最短.
新课讲解
已知等腰三角形的周长为18cm，如果一边长等于4cm，求另两边的长？
解：若底边长为4cm，设腰长为x cm，
则2x+4=18，解得x=7.
若一条腰长为4cm，设底边长为x cm，则
2×4+x=18，解得x=10.
因为4+4<10，所以4cm为腰不能构成三角形.
所以三角形另外两个边长都是7cm
例1
新课讲解
问题：
如图，盖房子时，在木框未安装好之前，木工师傅常常先在木框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？
三角形形状不会改变，四边形形状会改变，这就是说，三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。
2
新课讲解
三角形的稳定性
理解“稳定性”
“只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做“三角形的稳定性”.
这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题，其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”.
新课讲解
要使四边形木架不变形,至少要钉上一根木条,把它分成两个三角形使它保持形状,那么要使五边形,六边形木架,七边形木架保持稳定该怎么办呢?
例2
新课讲解
1.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
（1） 3，4，8 （ ）
（2） 2，5，6 （ ）
（3） 5，6，10 （ ）
（4） 3，5，8 （ ）
不能
能
能
不能
随堂即练
4.如果等腰三角形的一边长是4cm,另一边长是9cm,
则这个等腰三角形的周长为______________.
3.如果等腰三角形的一边长是5cm,另一边长是8cm,
则这个等腰三角形的周长为______________.
2.五条线段的长分别为1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,以其中
三条线段为边长可以构成________个三角形.
3
22cm
18cm或21cm
随堂即练
5.小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为8cm
和5cm的木棒，如果要求第三根木棒的长度是偶数，
小颖有几种选法？第三根的长度可以是多少？
∵x为偶数，∴小颖有5种选法
第三根木棒的长度可以是：4cm，6cm，8cm，10cm，12cm.
解：设第三根木棒长为xcm，有
8-5＜x＜8+5
3＜x＜13
随堂即练
三角形的三边关系
三角形的三边关系：任何两边的和大于第三边，任何两边的差小于第三边.
应用
稳定性
三角形
独有性质
应用
课堂小结
