3.1.1 倾斜角与斜率
预习评价
优秀学生:
优秀小组:
预习中存在的问题
一点能确定一条直线的位置吗？
一、新课导入
我们知道，两点确定一条直线.
P
过一点可以确定无数条直线l1,l2,l3......它们都经过点P（组成一个直线束），这些直线区别在哪里？
已知直线l经过点P，直线l的位置能确定吗?
倾斜程度不同
思考：怎样描述直线的倾斜程度呢？
二、讲授新课
当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.
注意：
(1)直线向上方向；
(2)x轴的正方向；
(3)小于平角的正角
1.直线倾斜角的定义
二、讲授新课
【例】下列各图中标出的角α是直线的倾斜角吗？
x
o
y
α
x
o
y
α
x
o
y
α
x
o
y
α
二、讲授新课
观察下列直线的变化，说出直线的倾斜角大致是一个什么范围内的角？
x
y
o
2.直线倾斜角的范围：
零度角
锐角
直角
钝角
按倾斜角去分类，直线可分几类？
当直线 与 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为 ,因此，直线的倾斜角的取值范围为：
二、讲授新课
3、直线倾斜角的意义：
反映直线对x轴正方向的倾斜程度.
?倾斜角相同能确定一条直线吗？
?相同倾斜角可作无数互相平行的直线
二、讲授新课
4、如何才能确定直线位置？
一点+倾斜角 确定一条直线
过一点且倾斜角为 能不能确定一条直线？
（两者缺一不可）
能
二、讲授新课
初中学过的“坡度（比）”是什么含义？它能否表示直线的倾斜程度？它与这条直线的倾斜角之间有什么关系？
前进量
升高量
α
“坡度”实际就是“倾斜角a的正切”
二、讲授新课
我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.常用小写字母k表示，即k=tanα，那么任何一条直线都有斜率吗？
特别：倾斜角是90°的直线（垂直于x轴的直线）没有斜率.
二、讲授新课
【例】当倾斜角α=0°，30°，45°，60°时，这条直线的斜率分别等于多少？
【例】当α是锐角时，有tan（180°-α）=-tanα. 那么当倾斜角α=120°，135°，150°时，这条直线的斜率分别等于多少？
二、讲授新课
倾斜角为锐角、钝角的直线的斜率的取值范围分别是什么？一般地，直线的斜率的取值范围是什么？
倾斜角为锐角时,k＞0;倾斜角为钝角时,k＜0;倾斜角为0°时,k=0.
3、探究：由两点确定的直线的斜率
如图，当α为锐角时，
能不能构造一个直角三角形去求？
锐角
如图，当α为钝角是，
钝角
4、直线的斜率公式：
综上所述，我们得到经过两点
的直线的斜率公式：
斜率与两点的顺序无关
二、讲授新课
思考？
1、当直线平行于x轴，或与x轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？
成立，因为分子为0，分母不为0，k=0
二、讲授新课
2、当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？
思考？
不成立，因为分母为0.
三、例题精讲
【例1】已知点A(3,2),B(-4,1),C(0,-1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
三、例题精讲
【例3】已知三点A(a，２)，Ｂ(５，１)，
Ｃ(-４，２a)在同一直线上，求a的值
【变式】证明A（2，-3），B（4，3），
C（5，6）三点共线
四、当堂检测
1. 若经过两点P(-2,m)、Q(m,4)的直线的
斜率为1,则m=( )
A.1 B.4 C.1或3 D.1或4
四、当堂检测
2.直线 经过原点和(-1,1),则它的倾斜角为( )
A. B. C. 或 D.
五、课堂小结
1. 倾斜角、斜率的概念；
2. 斜率的计算公式.
人教版A版 高中数学必修2 第三章《直线与方程》
3.1.2两条直线平行
与垂直的判定
1.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件；
（重点）
2.会运用条件判断两直线是否平行或垂直.
（难点）
1、直线倾斜角的定义:
当直线与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴 与直线 方向之间所成的角α叫做直线的倾斜角。
直线倾斜角的取值范围： ；
2、直线斜率的定义：
已知直线的倾斜角 ，则直线的斜率k= ；
3、直线的斜率公式：
已知直线上两点 ，且 ，
则直线的斜率k= .
一、复习回顾
正 向
向上
思考：平面内两条直线有哪些位置关系？
平行或相交
二、引入新课
能否通过斜率来判断两条直线的位置关系呢？
x
y
O
.
为了在平面直角坐标系内表示直线的倾斜程度，我们引入倾斜角的概念，进而又引入了直线的斜率.
新课
x
y
O
反之，
结论：斜率均不存在的两条 直线平行或重合.
x
y
O
一、两条直线平行的判定
两直线的斜率不存在时，它们互相平行或重合.
公式成立的条件：
①两直线不重合；
②两直线的斜率均存在.
x
y
O
设两条直线 与 的斜率分别为 ，
结论
特别地，
例1 已知A(2，3)，B(-4，0)，P(-3，1)，Q(-1，2)，试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论.
解:直线BA的斜率
直线PQ的斜率
x
y
0
P
Q
B
A
例题
分析：分别求出两直线的斜率，观察斜率之间的关系.
思考3 当L1// L2时，有k1=k2。
那么当L1⊥ L2时，k1与k2满足什么关系？
y
x
思考3 当L1⊥ L2时，k1k2= -1?
y
x
反之，也成立，所以
x
y
o
不一定.
若一条直线的斜率不存在,
另一条直线的斜率为0,
则两直线互相垂直.
思考4 两条直线垂直，一定是它们
的斜率乘积为-1这种情况吗？
二、两条直线垂直的判定
特别地，
一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率
为0，则两直线互相垂直.
y
l1
O
x
l2
条件：两直线的斜率均存在.
结论
例2 已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3），
Q（6，-6），试判断直线AB与PQ的位置关系。
解：直线AB的斜率
直线PQ的斜率
分析：分别求出两直线的斜率，观察斜率之间的关系.
例题
例3 已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三点，试判断△ABC的形状.
分析：结合图形可猜想AB⊥BC，
△ABC为直角三角形.
C
O
y
A
B
x
例题
解：（1）平行；
（2）垂直.
1.判断下列各对直线平行还是垂直：
（1）经过两点A(2,3),B(-1,0)的直线l1，与经过点P(1,0)
且斜率为1的直线l2；
（2）经过两点C（3,1），D（-2,0）的直线l3，与经过点
M（1，-4）且斜率为-5的直线l4.
练习
练习
学完一节课或一个内容，
应当及时小结，梳理知识
学习必杀技:
L1// L2? k1=k2
（前提:两条直线不重合，斜率都存在）
L1⊥ L2? k1k2= -1
（前提：两条直线斜率都存在，并且都不等于零）
1.两条直线平行的判定：
2.两条直线垂直的判定：
小结
若l1、l2可能重合，则k1=k2
l1//l2或
l1与l2重合
课后作业：
1、A组：教材P89 习题3.1第2、4、6、7题；
B组：教材P89 练习1、2题.
2、课时训练3.1完成.
Good bye !
魔术师的地毯
探究与发现
一、创设情境、开设迷局
一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是13分米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成宽8分米、长21分米的矩形．敬师傅对秋先生说：“你这位鼎鼎大名的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长13分米的正方形面积为169平方分米，而宽8分米、长21分米的矩形面积只有168平方分米，两者并不相等啊！除非裁去1平方
分米，不然没法做．”
一、创设情境、开设迷局
秋先生拿出他事先画好的两张设计图，对敬师傅说：“你先照第一张图的尺寸把地毯裁成四块，然后照第二张图的样子把这四块拼在一起缝好就行了．魔术大师是从来不会错的，你只管放心做吧！”
敬师傅照着做了，缝好一量，果真是宽8分米、长21分米．魔术师拿着改好的地毯得意洋洋地走了，而敬师傅却还在纳闷儿：这
是怎么回事呢？那1平方分米的地毯到
什么地方去了呢？
你能帮敬师傅解开这个谜吗？
一、创设情境、开设迷局
二、共同探究、寻找谜底
8
8
13
5
（1）建立适当的平面直角坐标系，用坐标或
方程表示问题中的几何元素；
三、科学依据、揭示谜底
几何问题代数化的基本步骤 ：
（2）通过坐标进行代数运算，解决代数问题；
（3）把代数运算结果“翻译”为几何
问题的结论。
数缺形时少直观，
形少数时难入微 。
——华罗庚
四、总结归纳、拓展延伸
（1）如果我们把上述分割正方形和构成矩
形所涉及的四个数，从小到大排列起来，即
5，8，13，21，这列数有什么规律呢？
（2）在整数范围内，边长为哪些数字的正方形按上述方式进行切割、重拼后相差的面积最小？
四、总结归纳、拓展延伸
a
a
b
a
b
b
四、总结归纳、拓展延伸
（3）斐波那契数列:
http://baike.haosou.com/doc/5389470-5626050.html
五、大胆尝试、自编魔术
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五、大胆尝试、自编魔术
五、大胆尝试、自编魔术
x
o
y
五、大胆尝试、自编魔术
谢谢！
