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第二章推理与证明章末测试（学生版）
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( )
①y＝cos x(x∈R)是三角函数；
②三角函数是周期函数；
③y＝cos x(x∈R)是周期函数．
A．①②③ B．③②① C．②③① D．②①③
2．用反证法证明命题“＋是无理数”时，假设正确的是( )
A．假设是有理数B．假设是有理数C．假设或是有理数D．假设＋是有理数
3．下列推理过程属于演绎推理的为( )
A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验
B．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32……得出1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2
C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连线)交于一点
D．通项公式形如an＝cqn(cq≠0)的数列{an}为等比数列，则数列{－2n}为等比数列
4．求证：＋<2.
证明：因为＋和2都是正数，
所以为了证明＋<2，只需证明(＋)2<(2)2，展开得10＋2<20，即<5，
只需证明21<25.因为21<25成立，所以不等式＋<2成立．
上述证明过程应用了( )
A．综合法B．分析C．综合法、分析法配合使用D．间接证法
5.四个小动物换座位，开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在1,2,3,4号位置上，第1次前后排动物互换位置，第2次左右列互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2 014次互换座位后，小兔的位置对应的是( )
开始 第1次 第2次 第3次
A．编号1 B．编号2C．编号3 D．编号4
6．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且法向量为n＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1,2,3)，且法向量为m＝(－1，－2,1)的平面的方程为( )
A．x＋2y－z－2＝0 B．x－2y－z－2＝0C．x＋2y＋z－2＝0 D．x＋2y＋z＋2＝0
7．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a，b∈R)”，其反设正确的是( )
A．a，b至少有一个不为0B．a，b至少有一个为0C．a，b全不为0
D．a，b中只有一个为0
8．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( )
A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2
9．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则＝( )
A．2 B．4 C. D.
10．下列不等式中一定成立的是( )
A．lg>lg x(x>0)B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.>1(x∈R)
11.设f(x)＝，又记f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n＝1,2，…，则f2013(x)＝( )
A. B. C．x D．－
12．观察下表：
1 2 3 4…第一行
2 3 4 5…第二行
3 4 5 6…第三行
4 5 6 7…第四行
? ? ? ?
第一列 第二列 第三列 第四列
根据数表所反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为( )
A．2n－1 B．2n＋1 C．n2－1 D．n2
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上)
13．△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB>∠APC，求证：∠BAP<∠CAP，用反证法证明时的假设为________．
14. ＝2 ， ＝3 ， ＝4 ……若 ＝6 (a，b均为实数)，猜想，a＝________，b＝________.
15．观察下列等式
12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10……
照此规律，第n个等式可为____________．
16. 已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆＋＝1类似的性质为________．
17．若定义在区间D上的函数f(x)对于 D上的n个值x1，x2，…，xn，总满足[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤f，称函数f(x)为D上的凸函数；现已知f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函数，则△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．
三、解答题(本大题共有6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤)
18．(10分)(2016·高考全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；
(2)若S5＝，求λ.
19．(12分)已知函数f(x)＝(x＞0)．如下定义一列函数：f1(x)＝f(x)，f2(x)＝f(f1(x))，f3(x)＝f(f2(x))，…，fn(x)＝f(fn－1(x))，…，n∈N*，那么由归纳推理求函数fn(x)的解析式．
20．(12分)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若，，成等差数列．
(1)比较 与 的大小，并证明你的结论；
(2)求证：角B不可能是钝角．
21．(12分)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝a－4n－1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．
(1)证明：a2＝；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.
22．(12分)已知f(x)＝(x≠－，a>0)，且f(1)＝log162，f(－2)＝1.
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)已知数列{xn}的项满足xn＝[1－f(1)][1－f(2)]…[1－f(n)]，试求x1，x2，x3，x4；
(3) 猜想{xn}的通项公式．
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章末检测
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( )
①y＝cos x(x∈R)是三角函数；
②三角函数是周期函数；
③y＝cos x(x∈R)是周期函数．
A．①②③ B．③②①
C．②③① D．②①③
解析：显然②是大前提，①是小前提，③是结论．
答案：D
2．用反证法证明命题“＋是无理数”时，假设正确的是( )
A．假设是有理数
B．假设是有理数
C．假设或是有理数
D．假设＋是有理数
解析：假设应为“＋不是无理数”，即“＋是有理数”．
答案：D
3．下列推理过程属于演绎推理的为( )
A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验
B．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32……得出1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2
C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连线)交于一点
D．通项公式形如an＝cqn(cq≠0)的数列{an}为等比数列，则数列{－2n}为等比数列
解析：A是类比推理，B是归纳推理，C是类比推理，D为演绎推理．
答案：D
4．求证：＋<2.
证明：因为＋和2都是正数，
所以为了证明＋<2，
只需证明(＋)2<(2)2，
展开得10＋2<20，即<5，
只需证明21<25.
因为21<25成立，
所以不等式＋<2成立．
上述证明过程应用了( )
A．综合法
B．分析法
C．综合法、分析法配合使用
D．间接证法
解析：结合证明特征可知，上述证明过程用了分析法，其属于直接证明法．
答案：B
5.四个小动物换座位，开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在1,2,3,4号位置上，第1次前后排动物互换位置，第2次左右列互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2 014次互换座位后，小兔的位置对应的是( )
开始 第1次 第2次 第3次
A．编号1 B．编号2
C．编号3 D．编号4
解析：由题意得第4次互换座位后，4个小动物又回到了原座位，即每经过4次互换座位后，小动物回到原座位，所以第2 012次互换座位后的结果与最初的位置相同，故小兔坐在第3号座位上．
答案：C
6．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且法向量为n＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1,2,3)，且法向量为m＝(－1，－2,1)的平面的方程为( )
A．x＋2y－z－2＝0 B．x－2y－z－2＝0
C．x＋2y＋z－2＝0 D．x＋2y＋z＋2＝0
解析：所求的平面方程为－1×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0.化简得x＋2y－z－2＝0.
答案：A
7．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a，b∈R)”，其反设正确的是( )
A．a，b至少有一个不为0
B．a，b至少有一个为0
C．a，b全不为0
D．a，b中只有一个为0
解析：“a，b全为0”的反设应为“a，b不全为0”，即“a，b至少有一个不为0”．
答案：A
8．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( )
A．6n－2 B．8n－2
C．6n＋2 D．8n＋2
解析：归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为an＝6n＋2.
答案：C
9．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则＝( )
A．2 B．4
C. D.
解析：在等比数列{an}中，q＝2≠1，
设首项为a1≠0，则S4＝＝15a1，
又a2＝a1q＝2a1，
故＝＝.
答案：C
10．下列不等式中一定成立的是( )
A．lg>lg x(x>0)
B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
解析：A项中，因为x2＋≥x，
所以lg≥lg x；
B项中sin x＋≥2只有在sin x>0时才成立；
C项中由不等式a2＋b2≥2ab可知成立；D项中因为x2＋1≥1，所以0<≤1.
答案：C
11.设f(x)＝，又记f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n＝1,2，…，则f2013(x)＝( )
A. B. C．x D．－
解析 f1(x)＝，f2(x)＝＝－，
f3(x)＝＝，f4(x)＝x，f5(x)＝，…，
fn＋4(x)＝fn(x)．∴f2013(x)＝f1(x)＝. 答案 A
12．观察下表：
1 2 3 4…第一行
2 3 4 5…第二行
3 4 5 6…第三行
4 5 6 7…第四行
? ? ? ?
第一列 第二列 第三列 第四列
根据数表所反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为( )
A．2n－1 B．2n＋1 C．n2－1 D．n2
解析 观察数表可知，第n行第n列交叉点上的数依次为1,3,5,7，…，2n－1.
答案 A
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上)
13．△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB>∠APC，求证：∠BAP<∠CAP，用反证法证明时的假设为________．
解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP<∠CAP的对立面是∠BAP＝∠CAP或∠BAP>∠CAP.
答案：∠BAP＝∠CAP或∠BAP>∠CAP
14. ＝2 ， ＝3 ， ＝4 ……若 ＝6 (a，b均为实数)，猜想，a＝________，b＝________.
解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关系，发现规律，由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 中：a＝6，b＝62－1＝35，即a＝6，b＝35.
答案：6 35
15．观察下列等式
12＝1，
12－22＝－3，
12－22＋32＝6，
12－22＋32－42＝－10，
……
照此规律，第n个等式可为____________．
解析：观察等号左边可知，左边的项数依次加1，故第n个等式左边有n项，每项所含的底数也增加1，依次为1,2,3，…，n，指数都是2，符号正负交替出现，可以用(－1)n＋1表示；等号的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为(－1)n＋1·，所以第n个式子可为：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·.
答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·
16. 已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆＋＝1类似的性质为________．
解析：圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆＋＝1类似的性质为：过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1.
答案：经过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1
17．若定义在区间D上的函数f(x)对于 D上的n个值x1，x2，…，xn，总满足[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤f，称函数f(x)为D上的凸函数；现已知f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函数，则△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．
解析：因为f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函数(小前提)，
所以(sin A＋sin B＋sin C)≤sin(结论)，
即sin A＋sin B＋sin C≤3sin＝.
因此，sin A＋sin B＋sin C的最大值是.
答案：
三、解答题(本大题共有6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤)
18．(12分)(2016·高考全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；
(2)若S5＝，求λ.
(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，
故λ≠1，a1＝，故a1≠0.
由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.
由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.
因此{an}是首项为，公比为的等比数列，
于是an＝n－1.
(2)解：由(1)得Sn＝1－n.
由S5＝得1－5＝，
即5＝.
解得λ＝－1.
19．(12分)已知函数f(x)＝(x＞0)．如下定义一列函数：f1(x)＝f(x)，f2(x)＝f(f1(x))，f3(x)＝f(f2(x))，…，fn(x)＝f(fn－1(x))，…，n∈N*，那么由归纳推理求函数fn(x)的解析式．
解析：依题意得，f1(x)＝，
f2(x)＝＝＝，
f3(x)＝＝＝，…，由此归纳可得fn(x)＝(x＞0)．
20．(12分)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若，，成等差数列．
(1)比较 与 的大小，并证明你的结论；
(2)求证：角B不可能是钝角．
解析：(1) < .证明如下：
要证 < ，只需证<.
∵a，b，c>0，∴只需证b2
∵，，成等差数列，
∴＝＋≥2 ，∴b2≤ac.
又a，b，c均不相等，∴b2故所得大小关系正确．
(2)证明：解法一：假设角B是钝角，则cos B<0.
由余弦定理得，
cos B＝≥>>0，
这与cos B<0矛盾，故假设不成立．
所以角B不可能是钝角．
解法二：假设角B是钝角，则角B的对边b为最大边，即b>a，b>c，所以>>0，>>0，则＋>＋＝，这与＋＝矛盾，故假设不成立．
所以角B不可能是钝角．
21．(14分)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝a－4n－1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．
(1)证明：a2＝；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.
解析：(1)证明：当n＝1时，4a1＝a－5，a＝4a1＋5，
又an>0，∴a2＝.
(2)当n≥2时，4Sn－1＝a－4(n－1)－1，
∴4an＝4Sn－4Sn－1＝a－a－4，
即a＝a＋4an＋4＝(an＋2)2，
又an>0，∴an＋1＝an＋2，
∴当n≥2时，{an}是公差为2的等差数列．
又a2，a5，a14成等比数列．
∴a＝a2·a14，即(a2＋6)2＝a2·(a2＋24)，解得a2＝3.
由(1)知a1＝1.又a2－a1＝3－1＝2，
∴数列{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列．
∴an＝2n－1.
(3)证明：＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝
＝<.
22．(12分)已知f(x)＝(x≠－，a>0)，且f(1)＝log162，f(－2)＝1.
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)已知数列{xn}的项满足xn＝[1－f(1)][1－f(2)]…[1－f(n)]，试求x1，x2，x3，x4；
(3) 猜想{xn}的通项公式．
解 (1) 把f(1)＝log162＝，f(－2)＝1，代入函数表达式得
即
解得(舍去a＝－<0)，
∴f(x)＝(x≠－1)．
(2) x1＝1－f(1)＝1－＝
x2＝[1－f(1)][1－f(2)]＝×(1－)＝
x3＝[1－f(3)]＝×(1－)＝，
x4＝×(1－)＝.
(3) 由(2)知，x1＝，x2＝＝，x3＝，x4＝＝，…，由此可以猜想xn＝.
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