§3.2直线的方程
3.2.1直线的点斜式方程
直线方程的五种形式：
点斜式
y －y0 = k （x－x0）
斜截式
y = kx + b
两点式
截距式
Ax+By+C=0（A，B不同时为0）
一般式
复习回顾
1.倾斜角 的定义及其取值范围;
2.已知直线上两点 ,
则直线的斜率为k ，
0°≤α<1800
3.确定一条直线的几何要素？
在直角坐标系中，
(1)给定一个点和斜率；
(2)给定两点.
确定一条直线！
O
x
y
α
L
.
.
P1
p2
复习回顾
1.倾斜角α的定义及其取值范围;
K=tanα
(Ⅰ)点斜式方程
点斜式
x
y
l
P0(x0,y0)
O
P
说明：①斜率要存在！②方程(1)是有缺点的直线；
而方程(2)表示一条完整的直线.
解:设P(x,y)是直线L上不同于P0的任意一点.
学会自己探究
直角坐标系上任意直线都可以用直线的点斜式方程表示吗?
y-y0=0, 或 y=y0
x-x0=0,或x=x0
(1)当直线l的倾斜角为0°时, tan0 °=0,即k=0
这时直线l与x轴平行或重合,那么l的方程就是:
(2)当直线l的倾斜角为90°时, 斜率不存在
这时直线l与y轴平行或重合,那么l的方程就是:
所以:只要直线的斜率存在,直线就可以用点斜式方程来表示
小结:点斜式方程
x
y
l
x
y
l
x
y
l
O
①倾斜角α≠90°
②倾斜角α=0°
③倾斜角α=90°
y0
x0
例1：一条直线过点 ，斜率为2，求这条直线的方程。
解：
由直线的点斜式方程知
即
变式：
一条直线过点 ，倾斜角为 ，求这条直线的方程。
例题
(Ⅱ)斜截式方程
x
y
l
P0(0,b)
设直线经过点P0( 0,b)，其斜率为k，求直线方程.
斜截式
斜率
截距
说明:(1)当知道斜率和截距时用斜截式.
(2)斜率k要存在，纵截距b∈R.
解：代入点斜式方程，得，
思考
1.截距b是距离吗？
2.截距与距离有什么区别？
4.斜截式方程和点斜式方程的联系：
y=kx+b 是 y-y0=k(x-x0)的一种特殊形式
3.b的几何意义是什么？
不是，是数
截距为实数，可正，可负，可为零，而距离是大于等于零的实数.
与y轴交点的纵坐标
例题
形式 条件 直线方程 应用范围
点斜式 直线过点(x0, y0),
且斜率为k
斜截式 在y轴上的截距为b,且斜率为k
斜率存在
斜率存在
课时小结：
特殊情况：
直线的两点式方程
1.掌握直线方程的两点式与截距式的形式特点及适用范围.
2.能正确利用直线方程的两点式与截距式求直线方程.
1.直线的两点式与截距式方程
两点式 截距式
条件 过点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)
(其中x1≠x2且y1≠y2) 在x轴上的截距为a,
在y轴上的截距为
b(a≠0,b≠0)
图形
两点式 截距式
方程 _______________ _________
适用
范围 不表示平行于坐标轴的直线 不表示平行于坐标轴的直线及过原点的直线
2.线段的中点坐标公式
(1)条件：点 P(x,y)是线段P1P2的中点且P1(x1,y1),
P2(x2，y2).
(2)结论：x=_______，y=_______.
1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”，错误的打
“×”).
(1)过点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)的直线都可以用方程
表示.( )
(2)在x轴,y轴上的截距分别为a,b的直线方程为 .( )
(3)能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示.( )
(4)直线y=x在x轴和y轴上的截距均为0.( )
提示：(1)错误.当x1=x2或y1=y2时，直线不能用方程
表示.
(2)错误.当a=0或b=0时，在x轴,y轴上的截距分别为a,b的直
线不能用方程 表示.
(3)正确.直线的截距式就是直线过(a,0),(0,b)两点的直线
的两点式方程的简化形式.
(4)正确.直线y=x与坐标轴的交点为(0,0)，故在x轴和y轴上
的截距均为0.
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线
上).
(1)经过点(-1,2)与点(2,5)的直线方程为_______.
(2)直线 在y轴上的截距是_______.
(3)过点A(1,4)，且纵、横截距相等的直线有_______条.
(4)如果直线l过(-1,-1),(2,5)两点，点(2 013,m)在直线l
上，则m＝________.
【解析】(1)由直线的两点式方程可知，过点(-1,2)与点
(2,5)的直线方程为 化简得y=x+3.
答案：y=x+3
(2)令x=0，得y=-3，所以直线 在y轴上的截距是-3.
答案：-3
(３)由图可知，满足条件的直线共2条.
答案：2
(4)由直线的两点式方程可知，直线l的方程为
化简得y=2x+1.
又点(2 013,m)在直线l上，所以m=2×2 013+1，
所以m=4 027.
答案：4 027
一、直线的两点式方程
探究1：观察图象，思考下列问题：
(1)直线l经过点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2)两点,那么直
线l的点斜式方程是什么?
提示：由x1≠x2,所求直线的斜率为 则直线的点
斜式方程为y-y1= (x-x1).
(2)能否将所求的直线l的方程写成比例式，它们是否等价？
提示：当y1≠y2时，方程的两边同除以y2-y1，得
.在方程y-y1= 中，y1与y2可以相等，
在方程 中，y1≠y2，故两个方程不等价.其
中方程 称为直线的两点式方程.
探究2：根据直线l的两点式方程 (x1≠x2,
y1≠y2).思考下列问题：
(1)直线l过点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，方程
的解是否都在直线l上？直线l上的点是否都满足方程
？
提示：由直线的两点式方程的推导过程可知，方程
的解都在直线上；而直线l上的点P1(x1,y1)和
P2(x2,y2)不一定满足直线的方程 .
(2)直线的两点式方程能否写成 ？坐标平面内
的直线都能用直线方程的两点式表示吗？
提示：不能，因为此时直线不能通过点P(x1,y1).直线的两点
式方程必须注意坐标的对应关系.直线方程的两点式成立的
前提条件是x1≠x2,y1≠y2，所以直线的两点式方程不能表示
与坐标轴平行的直线，即它只能表示斜率存在且不为0的直
线.
(3)若直线l上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),满足x1=x2或y1=y2时,直线l的方程是什么?
提示：当x1=x2时,直线l平行于y轴,此时的直线方程为x-x1=0或x=x1;当y1=y2时,直线l平行于x轴,此时的直线方程为y-y1=0或y=y1.
【拓展延伸】方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)和原两点式方程的关系
(1)两点式方程只能表示x1≠x2且y1≠y2的直线,它不能表示倾斜角为0°或90°的直线的方程,但方程形式相对于变化后的方程式更对称、形式更美观、更整齐,便于记忆.
(2)如果把两点式变成(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1),那么就可以用它来表示平面上过任意两已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程.
【探究提升】解读直线的两点式方程
(1)方程 也可写成 ,两者形式有
异但实质相同.
(2)当直线斜率不存在(x1=x2)或斜率为零(y1=y2)时,不能用两
点式表示.
(3)直线的两点式方程的表示与两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的选
取及这两点的顺序无关.
二、直线的截距式方程
探究1：观察图象
思考下列问题：
(1)根据直线的两点式方程，过点(2,0),(0,3)的直线l的方
程为__________.
提示：由直线的两点式方程 ，得直线l的方程
为 化简得
答案：
(2)把直线l上的点“(2,0),(0,3)”改为“(a,0),(0,b)”，
能否用两点式写出直线l的方程？
提示：当a≠0且b≠0时，直线l的两点式方程为
化简得 称为方程的截距式方程.当a=0或b=0时，直
线l没有两点式方程.
探究2：根据探究1中截距式方程，思考下列问题：
(1)a,b的几何意义是什么？
提示：a与b的几何意义分别是直线在x轴,y轴上的截距，a是直线与x轴交点的横坐标，b是直线与y轴交点的纵坐标.
(2)过点(a,0),(0,-b)的直线的截距式方程是 吗?
提示：不是，直线截距式方程的特征是：x,y项的分母对应的
是直线的横、纵截距，中间以“＋”号连结，等号右边为
1，所以过点(a,0),(0,-b)的直线的截距式方程是
(3)直线方程的截距式与两点式的关系是什么？
提示：直线方程的截距式源于两点式，是两点式的特殊情
况，当直线l经过点(a,0)与(0,b)两点时，将这两点的坐标代
入两点式，得 化简得
【探究提升】直线截距式方程的关注点
(1)前提：截距式方程 应用的前提是a≠0且b≠0.
(2)特征：直线的截距式方程 ，x,y项的分母对应的是
直线的横、纵截距，中间以“＋”号连结，等号右边为1.
(3)适用范围：不能表示与坐标轴平行的直线，也不能表示过
原点的直线.
类型 一 直线的两点式方程
尝试完成下列题目,体会利用两点式求直线方程的步骤,能根据题目中的条件写出直线的两点式方程.
1.经过(-3,5),(8,7)两点的直线方程是 .
2.已知直线l与x轴,y轴分别交于A,B两点,且线段AB的中点为P(4,1),求直线l的方程.
【解题指南】1.利用直线方程的两点式,直接写出直线的方程.
2.设出A,B两点的坐标,根据中点坐标公式,找到有关未知数的方程,解得A,B两点的坐标,从而利用两点式得到直线方程.
【解析】1.由两点式方程得： 化简得：
答案：
2.设点A的坐标为(x,0)，点B的坐标为(0,y)，由线段AB的
中点为P(4,1)，所以 所以 所以点A的坐标
为(8,0)，点B的坐标为(0,2)，由直线方程的两点式可得
整理得直线l的方程为
【技法点拨】由两点式求直线方程的步骤
(1)设出直线所经过点的坐标.
(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标.
(3)由直线的两点式方程写出直线的方程.
【变式训练】已知△ABC的顶点坐标为A(-1,5),B(-2,-1),
C(4,3),M是BC边上的中点.(1)求AB边所在的直线方程.(2)求中线AM的直线方程.
【解题指南】根据要求直线的特征,(1)用两点式.(2)先求中点坐标,再用两点式.
【解析】(1)由两点式写方程,得
即6x-y+11=0.
(2)设M的坐标为(x0,y0)，则由中点坐标公式,
得
故M(1，1)，所以AM的方程为
即2x+y-3=0.
类型 二 直线的截距式方程
尝试完成下列题目,总结解决截距式问题时需注意的问题,能根据题目中的条件写出直线的截距式方程.
1.直线l过点(1,2),且x轴,y轴上的截距相等,则直线l的方程为 .
2.直线l过点(-3,3),且在两坐标轴上的截距之和为12,求直线l的方程.
【解题指南】1.当直线l在x轴,y轴上的截距为0时，设直
线方程为y=kx；当直线l在x轴,y轴上的截距不为0时，设直
线方程为 .然后由题中的条件得出参数的值从而得
出直线的方程.
2.由题意可知，直线l在坐标轴上的截距都不为0，可设直
线方程为 ，根据题中的条件得出关于a,b的方程组，
从而得出直线方程.
【解析】1.当直线过原点时，设直线的方程为y=kx，由直线
过点(1,2)，可得2=1·k，即k=2，所以直线l的方程为y=2x；
当直线不过原点时，设直线的方程为 ，由题意可知
所以直线l的方程为 即y=-x+3.
答案：y=2x或y=-x+3
2.由题意设直线l的方程为 ，则a+b=12, ①
又直线l过点(-3,3)，所以 ②
由①②解得
故所求的直线方程为
【互动探究】若将题2中的“截距之和”改为“截距之积”，
求直线l的方程.
【解析】由题意设直线l的方程为 ，
可知
故所求的直线方程为 或
即y=-3x-6或y=- x+2.
【技法点拨】解决截距式问题时的关注点
(1)直线在两坐标轴上的截距相等，一般有两种情况：直线过原点和直线的斜率是-1.
(2)直线在两坐标轴上截距的绝对值相等，一般有三种情况：直线过原点、直线的斜率为1、直线的斜率为-1.
(3)解决截距问题也可设直线的点斜式方程，利用求直线与坐标轴的交点，得出直线在坐标轴上的截距，要注意截距不等同于距离.
提醒：在解决直线的截距问题时，注意考虑直线与坐标轴交于原点，即在坐标轴上的截距为0这一情况.
类型 三 直线方程的综合应用
尝试完成下列题目，体会求直线方程的方法，能根据题目中的条件灵活应用直线的两点式与截距式解决一些综合性问题.
1.过点(-1,1),(2,3)的直线在x轴上的截距为_______；在y轴上的截距为_______.
2.已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点(6,-2)，求直线l的方程.
【解题指南】1.由直线过点(-1,1),(2,3)，根据两点式写出直线的方程，从而得出直线在x轴,y轴上的截距.
2.可利用直线的四种形式之一，设出直线的方程，根据题中的条件找到含有参数的方程，求出参数，从而得出直线的方程.
【解析】1.因为直线过点(-1,1),(2，3)，由直线的两点式
得 整理得 令x=0，得y= ，故直线
在y轴上的截距为 ，令y=0，得x=- ，故直线在x轴上的截
距为- .
答案：
2.方法一：设直线l的点斜式方程为y+2=k(x-6)，其中
k≠0，令x=0，得y=-6k-2；令y=0，得x= +6，( +6)-
(-6k-2)=1，解得k1 或k2=- .所以直线l的方程为y+2=
- (x-6)或y+2=- (x-6)，即y=- x+2或y=- x+1.
方法二：设直线l的斜截式方程为y=kx+b，令y=0，
则x=- ，由题意得
所以直线l的方程为y=- x+1或y=- x+2.
方法三：设直线l与y轴的交点为(0,b)，则直线l的两点式方
程为 令y=0，得x= ， 所以 =1+b,解得
b1=2或b2=1，所以直线l的方程为y=- x+2或y=- x+1.
方法四：设直线l的截距式方程为 又直线l过点
(6,-2)，所以 解得a1=1，a2=2，所以 +y=1,或
【技法点拨】求直线方程的方法和注意事项
(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率.
(2)已知直线的斜率，一般选取直线的斜截式方程，再由其他条件确定直线的截距.
(3)已知两点坐标，一般选取直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程.
(4)在选用每一种直线方程时，需要注意各自的适用范围，同时对特殊情况下的直线要单独讨论解决.
【变式训练】一条光线从点A(3,2)发出，经x轴反射，通过点
B(-1,6)，求入射光线和反射光线所在的直线的方程.
【解析】因为点A(3,2)关于x轴的对称点A′(3,-2)，所以由
两点式可得直线A′B的方程为 即y=-2x+4，所以
反射光线所在的直线的方程为y=-2x+4，同理可得入射光线所
在的直线的方程为y=2x-4.
1.过(x1,y1)和(x2,y2)两点的直线方程是( )
C.(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0
D.(x2-x1)(x-x1)-(y2-y1)(y-y1)=0
【解析】选C.当x1=x2或y1=y2时,A,B错,根据直线的点斜式可
知D错,故选C.
2.直线 在y轴上的截距是( )
A.|b| B.－b2 C.b2 D.±b
【解析】选C.根据直线截距式的特点可得.
3.直线 过一、二、三象限，则( )
A.a>0，b>0 B.a>0，b<0
C.a<0，b>0 D.a<0，b<0
【解析】选C.结合图象过一、二、三象限，所以直线在x轴
上的截距小于0，在y轴上的截距大于0，即a<0，b>0.
4.过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为( )
【解析】选A.直线方程为 化为截距式为
则在x轴上的截距为 .
5.若两点A(x1,y1)和B(x2,y2)的坐标分别满足3x1-5y1+6=0和3x2-5y2+6=0,则经过这两点的直线方程是 .
【解析】两点确定一条直线,点A,B均满足方程3x-5y+6=0.
答案：3x-5y+6=0
6.已知三角形的顶点是A(8,5),B(4，－2),C(－6,3)，求经过每两边中点的三条直线的方程.
【解析】设AB,BC,CA的中点分别为D,E,F，根据中点坐标公式
得 由两点式得直线DE的方程为
整理得 由两点式得直线EF的方程
为 整理得 由两点式得直线DF的方
程为 整理得
§3.2.3 直线的一般式方程
复习回顾
1.直线方程有几种形式？指明它们的条件及应用范围.
点斜式
y－y0 = k（x－x0）
斜截式
y = kx + b
两点式
截距式
适合斜率存在
适合斜率存在
适合与坐标轴不垂直
适合与坐标轴不垂直，且不过原点
2. 几种特殊的直线的方程
①过点P1(x1, y1)，垂直于x轴的直线的方程：
②过点P1(x1, y1)，垂直于y轴的直线的方程：
③x轴：
④y轴：
x= x1
y= y1
x= 0
y= 0
复习回顾
问题一：
平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？
问题探究
探究1：已知直线 过点A(0，2)，__________，(请你添加条件)，求出直线 的方程.
问题探究
x
y
O
A
.
问题探究
这是关于x，y的二元一次方程.
x
y
o
.
A(x0，y0)
探究2：直线 过点A(x0，y0)，当倾斜角 时，直线 的方程如何？
问题探究
探究3：直线 过点A(x0，y0)，当倾斜角 时 ，直线 的方程如何？
x
y
o
A(x0，y0)
.
该方程也是关于x,y的二元一次方程,
此时方程中y的系数为0
结论一：
平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示.
问题探究
问题二：
每一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0 (其中A,B不同时为零)都表示一条直线吗？
问题探究
对于任意一个二元一次方程:Ax+By+C=0(A,B不同时为零)
1)当B ≠0时,方程可变形为:
它表示过点 ,斜率为 的直线.
2)当B=0时,由于 A,B不同时为零,必有A ≠0,方程可化为:
它表示一条与x轴垂直的直线.
所以任意一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)都表示一条直线.
问题探究
问题探究
结论一：
平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0 (其中A,B不同时为0)表示.
结论二：
任意一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0 (其中A,B不同时为0)都表示一条直线.
我们把关于x，y的二元一次方程
Ax+By+C=0
(其中A,B不同时为零)叫做直线的一般式方程,
简称一般式.
概念生成
问题1：直线方程的一般式Ax+By+C=0与 其他几种特殊形式相比，它有什么优点？
问题2：一般式Ax+By+C=0中系数A,B,C几何意义？
问题3：直线Ax+By+C=0，当AB<0,BC<0时，此直线不通过的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
D
例1 . 已知直线过点A(6,-4),斜率为 ,求直线的点斜式、斜截式、一般式和截距式方程.
解：经过A(6,-4),并且斜率为 直线的点斜式方程为：
化为斜截式，得到:
化为一般式，得到:
化为截距式，得到:
范例分析
3.对于直线方程的一般式（如： ），
一般作如下约定：
①x的系数为正，
②x,y的系数及常数项一般不出现分数，
③一般按含x项，含y项、常数项顺序排列.
注意 ：
1.表示同一条直线的方程的形式是不唯一的。
2.同一条直线的不同方程之间是可以通过同解变形互化的。
x
y
o
3
-6
例2 把直线 的一般式方程x –2y+6= 0化成斜截式，求出直线 的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画图.
解：将原方程移项，得2y = x+6，
两边除以2，得斜截式
因此,直线 的斜率k= ，它在y轴上的截距是3 ，
令y=0，可得x= -6即直线 在x轴上的截距是- 6
1.由下列条件写出直线的方程，并化为一般式．
（1）过点（8，1），倾斜角是450；
（2）y轴上的截距是-7，倾斜角是450；
（3）经过点（5，-2）、（3，-4）；
（4）在x轴和y轴上的截距分别是7、-7．
2.已知直线Ax+By+6=0在x、y轴上的截距分别是-2和3，求A和B的值.
课堂练习
3.在方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)中,
A, B,C为何值时,方程表示如下的直线：
①平行于x轴
②平行于y轴
③与x轴重合
④与y轴重合
⑤过原点
A=0,C≠0
B=0,C≠0
A=0,C=0
B=0,C=0
C=0
课堂练习
4.设直线L的方程为（m2-2m-3）x+（2m2+m-1)y=2m-6
根据下列条件确定m的值
(1)L在x轴上的截距为-3；(2)L的斜率为1.
课堂练习
2. 本节课主要用了哪些数学思想方法？
小 结
1.本节课都学了哪些知识点？
①二元一次方程与直线的一一对应关系；
②直线的一般式方程的概念；
③ 直线方程的一般式Ax+By+C=0系数A、B、C的几何意义；
④直线方程的各种特殊形式和一般式之间在一定条件下可以互相转化。
分类讨论、转化
已知直线 的方程分别为:
如何用系数表示两条直线的平行与垂直的位置关系?
思考题:
布置作业：
P99(练习)1,2；
p100（习题）A组 2,10,11； B组2
谢谢！
