3.3.1 两条直线的交点
教学目标：
1.理解求两条直线交点的方法思想，
即解方程组的转化思想；
2.能正确地通过解方程组确定交点坐标；
3.通过求交点坐标判断两条直线的位置关系.
1.方程Ax+By+C=0.(A,B不全为0)
在平面直角坐标系上表示的图形
是:______________.
复习
一条直线
1)方程Ax+By+C=0的每一组解(x,y)
对应的点在这条直线上.
2)反过来也成立.
2. Ax+By+C=0.(A,B不全为0)表示的图形
是直线m，则：
对于两条直线
问题：
如何求出它们的交点？
y
O
x
分析：设P(x,y)是m和n的交点
所以P(x,y)同时在直线m和n上.
所以P(x,y)同时满足m,n的方程.
?
í
ì
=
=
?
?
í
ì
=
-
=
+
\
1
1
0
2
y
x
y
x
y
x
一般地,对于两条相交且不重合的直线:
归纳总结：
练习.观察下列两条直线方程的系数，并判断它们的交点情况
1)m:3x+2y-6=0
n:6x+4y-15=0
2)m:3x-2y-7=0
n:6x-4y-14=0
1)平行，无交点
2)重合，
有无数个交点
其它情形：
两条直线平行和重合时应满足的条件
设
此时，系数之间的关系是________
此时，系数之间的关系是________
结论：
直线位置关系与方程组的解个数
相交
位置关系
重合
平行
交点个数
解的个数
无
1
1
无
无数
无数
练习1.求下列两条直线的交点
2. 给出三条直线：
若三条直线交于一点，求k的值
0.
5
1)y
(k
x
=
-
+
-
0
3
y
x
=
+
-
0;
1
y
x
=
-
+
交点坐标是（1/2，-3/2）
K=-4
练习3.
求经过两条直线x+2y－1=0
和2x－y－7=0的交点，且垂于直线
x+3y－5=0的直线方程.
把直线方程方程联立成方程组
解方程组，求出交点坐标
归纳总结：
两条相交直线交点的主要步骤：
判断两条直线是否相交
探究：
当 变化时,方程
表示什么图形?图形有何特点?
图形是一条直线，
都经过两直线3x+4y-2=0,2x+y+2=0
的交点（-2，2）
练习
4.已知A(-2,1),B(4,3),
求经过两直线2x-3y+1=0和3x+2y-1=0的
交点,和线段AB的中点的直线方程
设所求的直线方程为：
补充练习：
1.直线x+y=1与y=-2x+1的交点坐标是( )
A. (1,0) B. (0,1) C(-1,0) D. (0,-1)
2.两条直线x+my+12=0与2x+3y+m=0的
交点在y轴上,则m=( )
A. -6 B. 6 C. 24 D. ±6
3.已知三条直线y=2x,x+y-3=0,mx+ny+5=0
相交于同一点,则坐标(m,n)可能是( )
A. (1,-3) B. (3,-1) C(-3,1) D. (-1,3)
B
D
A
4.已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线
2x+y-1=0平行,则m=( )
A. 0 B. -8 C.2 D. 10
5.三条直线x-y=0,x+y-2=0,5x-y-16=0
构成一个三角形,则其面积是：_______
B
6
6.直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0,
所经过的定点是( )
A. (5,2); B.(2,3);C. (-1/2,3);D.(5,9)
7.两直线ax+y-4=0,x-y-2=0相交于第一象限
则a的取值范围是_______
8.三条直线x-2y+1=0,x+3y-1=0，ax+2y-3=0
共有两个交点，则a=_____
B
（-1，2）
-1或2/3
10.已知 ，直线ax-2y-2a+4=0,
和直线
与两坐标轴围成一个四边形，求使此四边形
的面积最小时a的取值
K=5/3
a=1/2
§3.3.2 两点间的距离
两点间的距离
问题一:
3．连线在坐标轴上或连线与坐标轴平行的两点间的距离的坐标公式为 。
2．如图2，若它们的坐标为
，显然它们的
连线平行于y轴，则
1．如图1，在x轴上有两点
，则
如图3,已知平面上任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1,P2的距离| P1 P2 |呢?
Q
(x2,y1)
y
x
o
P1
P2
(x1,y1)
(x2,y2)
两点间的距离
问题二:
图3
探究:
练习
1、求下列两点间的距离：
(1)、A(6，0),B(-2，0)
(2)、C(0，-4),D(0，-1)
(3)、P(6，0),Q(0，-2)
(4)、M(2，1),N(5，-1)
解：设所求点为P(x,0)，于是有
解得x=1，所以所求点P(1,0)
问题三:
2、教材P116练习第2题 。
练习
例4、证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
y
x
o
(b,c)
(a+b,c)
(a,0)
(0,0)
解：如图，以顶点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则有A(0,0)
设B(a,0),D(b,c),由平行四边形的性质可得C(a+b,c)
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的 平方和
A
B
D
C
图4
问题四:
运用坐标法证明:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
如图５，已知:Rt△ABC中，D是斜边AB上的中点.
求证:CD= .
图５
练习
用坐标法证明简单的平面几何问题的步骤：
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量；
第二步：进行有关的代数运算；
第三步：把代数运算结果“翻译”所几何关系.
发展:
1.平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是
小结
3.用坐标法解决几何问题的基本步骤:
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量；
第二步：进行有关的代数运算；
第三步：把代数运算结果“翻译”所几何关系.
2.已知△ABC中，D是BC边上的中点.
求证:
课后作业：
1、P120 7、8
§ 3.3.3点到直线的距离
点到直线的距离
1、平面上两点间的距离公式:
复习提问：
连线在坐标轴上或连线与坐标轴平行时,两点间的距离等于相应坐标差的绝对值,如①②;若是任意两点,其距离公式为③; ①②是③的特殊情形,与公式③并不矛盾.
①
②
③
从P点作直线的垂线， 点P到垂足Q的线段长.
2、何谓点到直线的距离？
复习提问：
P(x0,y0)
Q(x1,y1)
L
L1
Q
P(x0,y0)
L:Ax+By+C=0
已知：点P(x0,y0)和直l :Ax+By+C=0，怎样求点P到直线L的距离呢？
根据点到直线的距离的定义进行思考
过点P作直线l1⊥l于Q,
怎么能够得到线段PQ的长?
利用两点间的距离公式求出|PQ|.
则线段PQ的长就是点P到直线L的距离.
解题思路：
步 骤
(1)求直线L1的斜率；
(2)用点斜式写出L1的方程；
(3)求出Q点的坐标；
(4)由两点间距离公式d=|PQ|.
新知探究：
方案1:
解:设A≠0,B≠0,过点P作L的垂线L1,垂足为Q,
L
L1
Q
P(x0,y0)
L:Ax+By+C=0
由点斜式得L1的方程
一般情况 A≠0，B≠0时
把（3）代入（2）得
设Q点的坐标为(x1,y1).又Q(x1,y1)是L1与L的交点，则
把（4）代入（2）得
当AB=0（A，B不全为0）
（1）Ax+C=0
X
Y
O
用公式验证结果相同
（2）By+C=0
用公式验证结果相同
O
X
Y
O
y
x
l：Ax+By+C=0
P(x0，y0)
R(x1，y0)
S (x0，y2)
d
方案2:
运用在平面几何中,求点到线的距离的常用作法思考
O
y
x
l:Ax+By+C=0
P(x0,y0)
1.此公式的作用是求点到直线的距离；
2.此公式是在A ≠0 、B≠0的前提下推导的；
3.如果A=0或B=0，此公式也成立；
4.用此公式时直线方程要先化成一般式。
思考题:点到直线的距离公式还有其它的推导方法吗?你还能想出几种?(有兴趣的同学课后去探究)
例5 求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0； ②3x=2的距离。
解： ①根据点到直线的距离公式，得
②如图，直线3x=2平行于y轴，
O
y
x
l:3x=2
P(-1,2)
用公式验证，结果怎样？
1.三角形三个顶点的坐标知道,则三角形的形状与大小完全确定,所以三角形的面积确定;
3.依据已知条件,可求出这些量.故可求解.(学生自已完成解答过程)
例6．已知点
求
的面积。
2.如何求三角形的面积呢?要求面积就要用到三角形的面积公
式,最基本的面积公式是
,而底是一边的长,
三个顶点到底的距离;
高是第
解题分析：
巩固练习:
1.求坐标原点到下列直线的距离：
(1) 3x+2y-26=0; (2) x=y
2.求下列点到直线的距离：
(1) A(-2,3)， 3x+4y+3=0
(2) B(1,0)， x + y - =0
(3) A(1,-2)， 4x+3y=0
解:设所求直线的方程为y-2=k(x+1) 即 kx-y+2+k=0
由题意得
∴k2+8k+7=0
∴所求直线的方程为x+y-1=0
或7x+y+5=0.
2
-1
拓展与提高:
小结:
(3) 熟练掌握数形结合、转化的数学思想．
(1) 通过学习点到直线距离公式的推导过程，深刻理解和体会依据条件和要达成的结果,如何从不同的角度去分析和沟通题设和结论,从而解决问题提高分析问题和解决问题的能力；
(2) 熟练掌握并应用点到直线距离公式；
作业布置:
课本P120：
A组第9题,B组第2题,第4题
3.3.4 两条平行直线间的距离
1.会求两条平行线之间的距离.
1.两条平行直线间的距离
（1）两条平行直线间的距离
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长.
（2）探究：如果直线 如何求 与 间的距离？
l1与l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离.
例1 已知直线
解：因为l1，l2的斜率分别为
所以l1，l2平行.
先求l1与x轴的交点A的坐标，易得A（4,0），
点A到直线l2的距离为
所以l1，l2间的距离为
P110,3、求证：平行直线两条平行线
与 间的距离为
证：已知两条平行直线
设 是直线 上的任意一点，则点 到直线 的距离为
因为 在直线 上
即 为直线 和 间的距离 （这种方法称为公式法）
所以 代回上式
注意：
（1）两条平行直线的方程必须化为一般式，即为
（２）Ａ与Ｂ不会为０
（３）两方程中 的系数一样。
练习１：
求两条平行直线 与
间的距离。
解：直接应用公式
即
求两条平行直线 与
间的距离 。
解：先求 与y轴的交点A的坐标，易得A（0,2），点A到直线 的距离为
练习２：
即两直线的距离为2
练习3.直线 过点A(0,1),与直线 ： 平
行，求直线 的方程。
解：因为
所以设 的方程为
直线 过点A(0,1),即
所以
即直线 的方程为
1.能求有关平行线间的距离.
2.两种方法都会应用
作业：P109的练习
