4.2.1直线与圆的位置关系
把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线,注意观察直线与圆的公共点的个数
a(地平线)
a(地平线)
●O
●O
●O
三
这个自然现象反映出直线和圆的公共点个数有 种情况
观察探究
●
●
●
1.从直线与圆公共点的个数，直线和圆的位置关系有
2.用图形表示如下:
.o
.o
l
l
相切
相交
.
.
.
没有公共点
有一个公共点
有两个公共点
.o
l
相离
三种
判断直线与圆的位置关系——代数法
判断直线与圆有几个公共点
能不能消去x
还有其他方法吗？
想一想：
如图,圆心O到直线的距离d与⊙O的半径r的大小有什么关系?
●O
●O
相交
●O
相切
相离
直线与圆的位置关系
r
r
r
┐d
d
┐
d
┐
1)直线和圆相交
d r;
d r;
2) 直线和圆相切
3) 直线和圆相离
d r;
<
=
>
如果
直线与圆相交;
直线与圆相切;
直线与圆相离.
如果
如果
圆心到直线的距离d与半径r的关系
判断直线与圆的位置关系——几何法
判断直线与圆的位置关系有两种方法
1.代数法
判断直线与圆有几个公共点
课堂小结
2.几何法
圆心到直线的距离d与半径r的关系
（1）如果
直线与圆相交;
直线与圆相切;
直线与圆相离.
（2）如果
（3）如果
1、圆的直径是13cm ,如果直线与圆心的距离分别是
(1) 4.5cm ; (2) 6.5cm ; (3) 8cm.
那么直线和圆分别是什么位置关系?有几个公共点?
小试牛刀
(3) 当 d = 8cm时, 有 d > r,因此圆与直线相离,没有公共点
当 d = 6.5cm时, 有 d = r,因此圆与直线相切,
有一个公共点
当 d = 4.5cm时, 有 d < r, 因此圆与直线相交,
有两个公共点
解: 由题意 r = 6.5cm，设直线与圆心的距离为d
2．⊙O的半径为3 ,圆心O到直线l的距离为d,若直线l
与⊙O没有公共点，则d为（ ）
A．d ＞3 B．d<3 C．d ≤3 D．d =3
3．圆心O到直线的距离等于⊙O的半径，则直线
和⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B.相交 C.相切 D.相切或相交
A
C
例1、如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标。
探究一
.
x
y
O
C
A
B
l
解法一（代数法）：
由直线与圆的方程，得
消去 ，得
因为
所以直线与圆相交，有两个公共点．
由
解得
将
分别代入（１）得
直线与圆有两个交点，坐标分别为A（2,0）,B（1,3）
解法二（几何法）：
其圆心坐标为（0,1），半径长为
点C（0,1）到直线的距离为
所以直线与圆相交，有两个公共点．
由
解得
将
分别代入（１）得
直线与圆有两个交点，坐标分别为A（2,0）,B（1,3）
练习1：判断直线 与圆 的位置关系．
1、解：由方程 得
因为d=r，所以直线3x＋4y＋2＝０与圆相切．
圆心坐标是（１，０），半径长r=1．
圆心到直线３x＋４y＋２＝０的距离
探究二
练习2：已知直线 ,圆Ｃ: 试判断直线与圆Ｃ有无公共点，有几个公共点．
练习2：已知直线 ,圆Ｃ: 试判断直线与圆Ｃ有无公共点，有几个公共点．
?所以直线l与圆Ｃ无公共点．
2、解：圆Ｃ的圆心坐标是（０，１），半径长
圆心到直线y＝x+6的距离
判定直线 与圆的位置关系的方法有____种：
（1）代数法
根据定义，由________________
的个数来判断；
（2）几何法
由_________________
的大小关系来判断。
在实际应用中，常采用第二种方法判定。
两
直线 与圆的公共点
圆心到直线的距离d与半径r
归纳：
思考1：直线 与圆心在原点的圆C相切，求圆C的方程。
由题意圆心 到直线 的距离
所以圆的半径长 ，
解：
设圆C的方程为
圆方程为
拓展探究
思考2 已知过点M(-3,-3)的直线 l 被圆x2+y2+4y-21=0
所截得的弦长为 ，求直线l的方程.
解：将圆的方程写成标准形式，得x2+(y+2)2=25,
所以，圆心的坐标是（0，-2）半径长r=5.
如图，因为直线l被圆所截得
的弦长是 ，所以弦心距为
即圆心到所求直线l的距离为 .
因为直线l过点M（-3，-3），所以可设所求直线l的
方程为y+3=k(x+3)
即kx-y+3k-3=0.
根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l的距离
因此，
即
两边平方，并整理得到 2k2-3k-2=0,
解得k= ，或k=2.
所以，所求直线l有两条，它们的方程分别为
y+3= (x+3),或 y+3=2(x+3).
即x+2y+9=0,或2x-y+3=0.
作业布置：
P132习题4.2
1、2、3、5
谢 谢！
《直线与圆的方程的应用》
教学目标
1、知识与技能
（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；
（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题．
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
3、情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力．
教学重点、难点：
重点与难点：直线与圆的方程的应用．
问题提出
通过直线与圆的方程，可以确定直线与圆、圆和圆的位置关系，对于生产、生活实践以及平面几何中与直线和圆有关的问题，我们可以建立直角坐标系，通过直线与圆的方程，将其转化为代数问题来解决.对此，我们必须掌握解决问题的基本思想和方法.
直线与圆
的方程的应用
知识探究：
直线与圆的方程在实际生活中的应用
问题Ⅰ:一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处， 受影响的范围是半径长为30km的圆形区域. 已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
轮船
港口
台风
思考1:解决这个问题的本质是什么？
思考2:你有什么办法判断轮船航线是否经过台风圆域？
轮船
港口
台风
x
y
o
思考3:如图所示建立直角坐标系，取10km为长度单位，那么轮船航线所在直线和台风圆域边界所在圆的方程分别是什么？
思考4:
直线4x＋7y－28＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系如何？对问题Ⅰ应作怎样的回答？
轮船
港口
台风
问题Ⅱ：如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 这个圆的圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01m）
A
B
A1
A2
A3
A4
O
P
P2
思考1:你能用几何法求支柱A2P2的高度吗？
思考2:如图所示建立直角坐标系，那么求支柱A2P2的高度，化归为求一个什么问题？
A
B
A1
A2
A3
A4
O
P
P2
x
y
思考4:利用这个圆的方程可求得点P2的纵坐标是多少？问题Ⅱ的答案如何？
思考3:
取1m为长度单位，如何求圆拱所在圆的方程？
x2+(y+10.5)2=14.52
A
B
A1
A2
A3
A4
O
P
P2
x
y
知识探究：直线与圆的方程在平面几何中的应用
问题III:已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半。
思考1:许多平面几何问题常利用“坐标法”来解决，首先要做的工作是建立适当的直角坐标系，在本题中应如何选取坐标系？
X
y
o
思考2：如图所示建立直角坐标系，设四边形的四个顶点分别为点 A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)， D(0，d)，那么BC边的长为多少？
A
B
C
D
M
x
y
o
N
思考3:四边形ABCD的外接圆圆心M的坐标如何？
思考4:如何计算圆心M到直线AD的距离|MN|？
A
B
C
D
M
x
y
o
N
思考5:由上述计算可得|BC|=2|MN|，从而命题成立.你能用平面几何知识证明这个命题吗？
A
B
C
D
M
N
E
理论迁移
例1 如图，在Rt△AOB中，|OA|=4，|OB|=3，∠AOB=90°，点P是△AOB内切圆上任意一点，求点P到顶点A、O、B的距离的平方和的最大值和最小值。
O
A
B
P
C
X
y
O1
M
O2
P
N
o
y
x
例2 如图，圆O1和圆O2的半径都等于1，圆心距为4，过动点P分别作圆O1和圆O2的切线，切点为M、N，且使得|PM|= |PN|，试求点P的运动轨迹是什么曲线？
