第十六章 二次根式解答题精选（含解析）

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第十六章二次根式解答题精选
题号 一 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
评卷人 得 分

解答题（共40小题）
1．已知长方形长a＝，宽b＝．
①求长方形的周长；
②求与长方形等面积的正方形的周长，并比较长方形周长与正方形周长大小关系．
2．阅读材料，然后作答：
在化简二次根式时，有时会碰到形如，这一类式子，通常进行这样的化简：＝＝；＝＝﹣1，这种把分母中的根号化去叫做分母有理化．还有一种方法也可以将进行分母有理化：
例如：＝＝＝﹣1
请仿照上述方法解决下面问题：
（1）化简；
（2）化简．
3．计算：
（1）﹣+
（2）（﹣）（+）+（﹣1）2
4．已知a＝，求的值．
5．在解决问题“已知a＝，求2a2﹣8a+1的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵a＝＝＝2
∴a﹣2＝﹣，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3
∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：
（2）若a＝，求3a2﹣6a﹣1的值．
6．设a，b，c为△ABC的三边，化简：
++﹣．
7．求值：
（1）已知a＝3+2，b＝3﹣2，求a2+ab+b2的值；
（2）已知：y＞++2，求+5﹣3x的值．
8．（1）9÷×
（2）﹣2﹣2÷2﹣2+﹣1﹣（﹣1）0
（3）（π﹣1）0+（）﹣1+|5﹣|﹣
（4）（2+3）2011（2﹣3）2012﹣4﹣
9．计算：
（1）（﹣1）2018+
（2）
10．已知x＝，y＝，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．
11．先化简，再求值：a+，其中a＝1007．
如图是小亮和小芳的解答过程．

（1）　 　的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：　 　；
（3）先化简，再求值：a+2，其中a＝﹣2007．
12．已知：2a+b+5＝4（+），先化简再求值﹣
13．已知：x＝，y＝．求下列代数式x2﹣3xy+y2的值．
14．先化简，再求值：已知x＝，求+的值．
15．在学习了二次根式的相关运算后，我们发现一些含有根号的式子可以表示成另一个式子的平方，如：
3+2＝2+2+1＝（）2+2+1＝（+1）2；
5+2＝2+2+3＝（）2+2××+（）2＝（+）2
（1）请仿照上面式子的变化过程，把下列各式化成另一个式子的平方的形式：
①4+2；②6+4
（2）若a+4＝（m+n）2，且a，m，n都是正整数，试求a的值．
16．观察、思考、解答：
（﹣1）2＝（）2﹣2×1×+12＝2﹣2+1＝3﹣2
反之3﹣2＝2﹣2+1＝（﹣1）2
∴3﹣2＝（﹣1）2
∴＝﹣1
（1）仿上例，化简：；
（2）若＝+，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由；
（3）已知x＝，求（+）?的值（结果保留根号）
17．观察下列各式：
＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1；
＝1+﹣＝1，…
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题
①猜想：＝　 　＝　 　；
②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式：　 　；
③应用：计算．
18．若要化简我们可以如下做：
∵3+2
∴＝+1
仿照上例化简下列各式：
（1）＝　 　
（2）＝　 　
19．像（+2）（﹣2）＝1、?＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
（1）化简：；
（2）计算：+；
（3）比较﹣与﹣的大小，并说明理由．
20．阅读下面的问题：
﹣1；
＝；
；
……
（1）求与的值．
（2）已知n是正整数，求与的值；
（3）计算+．
21．已知：a＝﹣1，求÷（2﹣）的值．
22．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn＝，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．
例如：化简
解：∵3+2＝1+2+2＝12+（）2+2×1×＝（1+）2
∴＝＝1+；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）；（2）．
23．已知a＝，b＝，求a2+3ab+b2﹣a+b的值
24．一个三角形的三边长分别为5，，．
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给出一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
25．计算：
（1）（++5）÷﹣×﹣；
（2）﹣﹣+（﹣2）0+．
26．已知x＝（+），y＝（﹣），求下列各式的值：
（1）x2﹣xy+y2；
（2）+．
27．探究过程：观察下列各式及其验证过程．
（1）2＝（2）3＝
验证：2＝×＝＝＝＝＝
验证：3＝×＝＝＝＝＝
（1）按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：4＝　 　；5＝　 　；
（2）通过上述探究你能猜测出：n＝　 　（n＞0），并验证你的结论．
28．已知 ＝，且x为奇数，求（1+x）?的值．
29．（1）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“＞”、“＜”或“＝”，并完成后面的问题．
×　 　，×　 　，×　 　，×　 　…
用，，表示上述规律为：　 　；
（2）利用（1）中的结论，求×的值
（3）设x＝，y＝试用含x，y的式子表示．
30．观察下列各式：①＝2，②＝3；③＝4，…
（1）请观察规律，并写出第④个等式：　 　；
（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：　 　；
（3）请证明（2）中的结论．
31．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：
OA1＝1；　　
OA2＝＝；　　 S1＝×1×1＝；
OA3＝＝；　　　　S2＝××1＝；
OA4＝＝；　　　　S3＝××1＝；
（1）推算出OA10＝　 　．
（2）若一个三角形的面积是．则它是第　 　个三角形．
（3）用含n（n是正整数）的等式表示上述面积变化规律；
（4）求出S12+S22+S23+…+S2100的值．

32．观察下面的变形规律：
＝，＝，＝，＝，…
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想＝　 　；
（2）计算：
（++…+）×（）
33．阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　 　+　 　＝（　 　+　 　 ）2；
（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值？
34．阅读材料：像（+）（﹣）＝3、?＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：；＝．
解答下列问题：
（1）3﹣与　 　互为有理化因式，将分母有理化得　 　；
（2）计算：；
（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．
35．在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式．
比如：4﹣2＝3﹣2+1＝（）2﹣2××1+12＝（﹣1）2．善于动脑的小明继续探究：
当a，b，m，n为正整数时，若a+b＝（m+n）2，则有a+b＝（2m2+n2）+2mn，所以a＝2m2+n2，b＝2mn．
请模仿小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n为正整数时，若a+b＝（m+n）2，请用含有m，n的式子分别表示a，b，得：a＝　 　，b＝　 　；
（2）填空：13﹣4＝（　 　﹣　 　）2；
（3）若a+6＝（m+n）2，且a，m，n为正整数，求a的值．
36．阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数 m和n，使m2+n2＝a 且 mn＝，则a+2 可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得 化简．
例如：∵5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2＝（+）2
∴＝＝+
请你仿照上例将下列各式化简
（1）（2）．
37．已知a是非负数，且关于x的方程+＝仅有一个实数根，求实数a的取值范围．
38．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：
设x+y＝（a+b）2（其中x、y、a、b均为整数），则有x+y＝a2+2b2+2ab，
∴x＝a2+2b2，y＝2ab，这样小明就找到了一种把类似x+y的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当x、y、a、b均为正整数时，若x+y＝（a+b）2，用含a、b的式子分别表示x、y，得x＝　 　，y＝　 　；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数x、y、a、b填空：　 　+　 　＝（　 　+　 　）2；
（3）若x+8＝（a+b）2，且x、a、b均为正整数，求x的值．
39．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术，即已知三角形的三边长，求它的面积．用符号表示即为：S＝（其中a，b，c为三角形的三边长，S为面积）．请利用这个公式求a＝，b＝3，c＝2时的三角形的面积．
40．阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝；
＝＝＝﹣1．
以上这种化简过程叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
＝＝＝＝﹣1．
（1）请任用其中一种方法化简：
①；
②（n为正整数）；
（2）化简：+++…．



参考答案与试题解析
一．解答题（共40小题）
1．已知长方形长a＝，宽b＝．
①求长方形的周长；
②求与长方形等面积的正方形的周长，并比较长方形周长与正方形周长大小关系．
【分析】①根据周长公式列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；
②先求出正方形的边长，再由周长公式求解可得．
【解答】解：①长方形的周长为2×（+）＝2×（2+）＝6；

②长方形的面积为×＝2×＝6，
则正方形的边长为，
∴此正方形的周长为4，
∵6＝，4＝，且＜，
∴6＞4，
则长方形的周长大于正方形的周长．
【点评】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质．
2．阅读材料，然后作答：
在化简二次根式时，有时会碰到形如，这一类式子，通常进行这样的化简：＝＝；＝＝﹣1，这种把分母中的根号化去叫做分母有理化．还有一种方法也可以将进行分母有理化：
例如：＝＝＝﹣1
请仿照上述方法解决下面问题：
（1）化简；
（2）化简．
【分析】（1）将分子2变形为（）2﹣（）2，再将其因式分解，继而约分即可得；
（2）将分子a﹣b变形为（）2﹣（）2，再将其因式分解，继而约分即可得．
【解答】解：（1）原式＝＝＝﹣；

（2）原式＝＝＝．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化的方法与平方差公式．
3．计算：
（1）﹣+
（2）（﹣）（+）+（﹣1）2
【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再计算加减可得．
【解答】解：（1）原式＝4﹣3+＝；

（2）原式＝5﹣2+4﹣2＝7﹣2．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
4．已知a＝，求的值．
【分析】先将a的值分母有理化，从而判断出a﹣2＜0，再根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，继而将a的值代入计算可得．
【解答】解：∵a＝＝＝2﹣，
∴a﹣2＝2﹣﹣2＝﹣＜0，
则原式＝﹣
＝a+3+
＝2﹣+3+2+
＝7．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
5．在解决问题“已知a＝，求2a2﹣8a+1的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵a＝＝＝2
∴a﹣2＝﹣，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3
∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：
（2）若a＝，求3a2﹣6a﹣1的值．
【分析】（1）将原式分母有理化后，得到规律，利用规律求解；
（2）将a分母有理化得a＝+1，移项并平方得到a2﹣2a＝1，变形后代入求值．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）∵a＝
＝+1，
∴a﹣1＝，
∴a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1
∴3a2﹣6a＝3
∴3a2﹣6a﹣1＝2．
【点评】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式以及代数式的变形，变形各式后利用a2﹣2a＝1，是解决本题的关键．
6．设a，b，c为△ABC的三边，化简：
++﹣．
【分析】根据三角形的三边关系判定出a+b﹣c，a+c﹣b，b+c﹣a的符号，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：根据a，b，c为△ABC的三边，得到a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，
则原式＝|a+b+c|+|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣b﹣a|＝a+b+c+b+c﹣a+a+c﹣b﹣a﹣b+c＝4c．
【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，以及三角形的三边关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．求值：
（1）已知a＝3+2，b＝3﹣2，求a2+ab+b2的值；
（2）已知：y＞++2，求+5﹣3x的值．
【分析】（1）根据a＝3+2，b＝3﹣2，代入（a+b）2﹣ab进行计算即可；
（2）依据被开方数为非负数，即可得到x＝，进而得出y＞2，据此可得+5﹣3x的值．
【解答】解：（1）∵a＝3+2，b＝3﹣2，
∴a2+ab+b2＝a2+2ab+b2﹣ab
＝（a+b）2﹣ab
＝36﹣1
＝35；
（2）∵，
∴，
∴x＝，
∴y＞2，
∴+5﹣3x
＝+5﹣3x
＝+5﹣3x
＝﹣1+5﹣3x
＝4﹣3x
＝4﹣3×
＝2．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
8．（1）9÷×
（2）﹣2﹣2÷2﹣2+﹣1﹣（﹣1）0
（3）（π﹣1）0+（）﹣1+|5﹣|﹣
（4）（2+3）2011（2﹣3）2012﹣4﹣
【分析】（1）根据二次根式的乘除法可以解答本题；
（2）根据二次根式的除法和加减法可以解答本题；
（3）根据零指数幂、绝对值和二次根式的加减法可以解答本题；
（4）根据积的乘方和二次根式的加减法可以解答本题．
【解答】解：（1）9÷×
＝
＝
＝54；
（2）﹣2﹣2÷2﹣2+﹣1﹣（﹣1）0
＝3﹣1+﹣1﹣1
＝4﹣3；
（3）（π﹣1）0+（）﹣1+|5﹣|﹣
＝1++3﹣5﹣8
＝﹣12+；
（4）（2+3）2011（2﹣3）2012﹣4﹣
＝[（2+3）（2﹣3）]2011×（2﹣3）﹣﹣（﹣1）
＝（8﹣9）2011×（2﹣3）﹣﹣+1
＝（﹣1）2011×（2﹣3）﹣﹣+1
＝﹣（2﹣3）﹣﹣+1
＝﹣2+3﹣﹣+1
＝﹣4+4．
【点评】本题考查二次根式的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、绝对值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
9．计算：
（1）（﹣1）2018+
（2）
【分析】（1）根据二次根式的混合运算顺序和运算法则及平方差公式计算可得；
（2）根据二次根式的混合运算顺序和运算法则及平方差公式计算可得．
【解答】解：（1）原式＝1+3﹣+4﹣3
＝4﹣3+1
＝2；

（2）原式＝4﹣2+3﹣4+
＝2﹣1+2
＝4﹣1．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
10．已知x＝，y＝，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．
【分析】先将x和y的值分母有理化后，计算xy和x+y的值，再分别代入（1）和（2）问代入计算即可．
【解答】解：∵x＝＝＝3+2，y＝＝＝3﹣2，
∴xy＝＝1，x+y＝3+2+3﹣2＝6，
∴（1）x2y﹣xy2，
＝xy（x﹣y），
＝1×，
＝4；
（2）x2﹣xy+y2，
＝（x+y）2﹣3xy，
＝62﹣3×1，
＝36﹣3，
＝33．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，在解答时应先化简x和y的值，并利用提公因式法和完全平方公式将所求式子进行变形是关键．
11．先化简，再求值：a+，其中a＝1007．
如图是小亮和小芳的解答过程．

（1）　小亮　的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：　＝﹣a（a＜0）　；
（3）先化简，再求值：a+2，其中a＝﹣2007．
【分析】（1）由a＝1007知1﹣a＝﹣1006＜0，从而由＝|1﹣a|＝a﹣1可得答案；
（2）根据二次根式的性质＝|a|可得答案；
（3）先根据二次根式的性质化简原式，再代入计算可得．
【解答】解：（1）小亮的解法是错误的，
故答案为：小亮；

（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质＝﹣a（a＜0），
故答案为：＝﹣a（a＜0）；

（3）∵a＝﹣2007，
∴a﹣3＝﹣2010＜0，
则原式＝a+2
＝a+2|a﹣3|
＝a﹣2（a﹣3）
＝a﹣2a+6
＝﹣a+6
＝2007+6
＝2013．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质＝|a|．
12．已知：2a+b+5＝4（+），先化简再求值﹣
【分析】由已知等式得出（﹣2）2+（﹣2）2＝0，由非负数的性质得出a，b的值，再代入计算可得．
【解答】解：2a+b+5＝4（+），
2a﹣2﹣4+4+b﹣1﹣4+4＝0，
则（﹣2）2+（﹣2）2＝0，
∴＝2，＝2，
解得：a＝3，b＝5，
原式＝﹣
＝﹣
＝
＝，
当a＝3，b＝5时，
原式＝．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及非负数的性质．
13．已知：x＝，y＝．求下列代数式x2﹣3xy+y2的值．
【分析】先将x，y分母有理化，再将其代入到原式＝（x﹣y）2﹣xy，计算可得．
【解答】解：x＝＝＝＝11+2，
y＝＝＝＝11﹣2，
∴原式＝（x﹣y）2﹣xy
＝（11+2﹣11+2）2﹣（11+2）×（11﹣2）
＝（4）2﹣（121﹣120）
＝480﹣1
＝479．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
14．先化简，再求值：已知x＝，求+的值．
【分析】先将x的值分母有理化，再根据二次根式的性质和运算法则化简原式，从而得出答案．
【解答】解：∵x＝＝3﹣2，
∴x﹣2＝1﹣2＜0，
则原式＝x﹣1+
＝x﹣1﹣1
＝x﹣2
＝1﹣2．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握分母有理化与分式的混合运算顺序与运算法则、二次根式的性质．
15．在学习了二次根式的相关运算后，我们发现一些含有根号的式子可以表示成另一个式子的平方，如：
3+2＝2+2+1＝（）2+2+1＝（+1）2；
5+2＝2+2+3＝（）2+2××+（）2＝（+）2
（1）请仿照上面式子的变化过程，把下列各式化成另一个式子的平方的形式：
①4+2；②6+4
（2）若a+4＝（m+n）2，且a，m，n都是正整数，试求a的值．
【分析】（1）根据完全平方公式求出即可；
（2）先根据完全平方公式展开，再求出m、n的值，再求出a即可．
【解答】解：（1）4+2＝3+2+1
＝（）2+2×+12
＝（+1）2；
6+4
＝4+4+2
＝22+2×2×+（）2
＝（2+）2；

（2）∵a+4＝（m+n）2，
∴a+4＝m2+2mn+3n2，
∴a＝m2+3n2，2mn＝4，
∴mn＝2，
∵m，n都是正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2；
当m＝2，n＝1时，a＝22+3×12＝7；
当m＝1，n＝2时，a＝12+3×22＝13；
即a的值是7或13．
【点评】本题考查了完全平方公式和求代数式的值、二次根式的混合运算，能熟记完全平方公式是解此题的关键，还培养了学生的阅读能力和计算能力．
16．观察、思考、解答：
（﹣1）2＝（）2﹣2×1×+12＝2﹣2+1＝3﹣2
反之3﹣2＝2﹣2+1＝（﹣1）2
∴3﹣2＝（﹣1）2
∴＝﹣1
（1）仿上例，化简：；
（2）若＝+，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由；
（3）已知x＝，求（+）?的值（结果保留根号）
【分析】（1）根据题目中的例题可以解答本题；
（2）根据题目中的例题，可以将＝+变形，从而可以得到m、n、a、b的关系；
（3）先化简x，然后再化简所求的式子，再将x的值代入即可解答本题．
【解答】解：（1）＝；

（2）a＝m+n，b＝mn，
理由：∵＝+，
∴，
∴a＝m+n，b＝mn；

（3）∵x＝＝，
∴（+）?
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝﹣1﹣．
【点评】本题考查二次根式的化简求值、分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的例题解答问题．
17．观察下列各式：
＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1；
＝1+﹣＝1，…
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题
①猜想：＝　1+﹣　＝　1　；
②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式：　＝1+﹣＝　；
③应用：计算．
【分析】①直接利用利用已知条件才想得出答案；
②直接利用已知条件规律用n（n为正整数）表示的等式即可；
③利用发现的规律将原式变形得出答案．
【解答】解：①猜想：＝1+﹣＝1；
故答案为：1+﹣，1；

②归纳：根据你的观察，猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：
＝1+﹣＝；

③应用：
＝
＝
＝1+﹣
＝1．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确发现数字变化规律是解题关键．
18．若要化简我们可以如下做：
∵3+2
∴＝+1
仿照上例化简下列各式：
（1）＝　+1　
（2）＝　﹣　
【分析】（1）直接利用二次根式的性质结合完全平方公式进而开平方得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质结合完全平方公式进而开平方得出答案．
【解答】解：（1）∵4+2＝3+1+2＝（）2+2××1+12＝（+1）2，
∴＝＝+1；
故答案为：+1；

（2）∵13﹣2＝7+6﹣2＝（）2﹣2××+（）2
＝（﹣）2，
∴＝＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键．
19．像（+2）（﹣2）＝1、?＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
（1）化简：；
（2）计算：+；
（3）比较﹣与﹣的大小，并说明理由．
【分析】（1）根据题意可以解答本题；
（2）根据题意可以解答本题；
（3）根据题意可以将题目中的式子变形再比较大小，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）＝＝；
（2）+
＝2++
＝2+2+；
（3）﹣＜﹣，
理由：∵﹣＝，
﹣＝，
，
∴＜，
∴﹣＜﹣．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．
20．阅读下面的问题：
﹣1；
＝；
；
……
（1）求与的值．
（2）已知n是正整数，求与的值；
（3）计算+．
【分析】（1）根据分母有理化可以解答本题；
（2）根据分母有理化可以解答本题；
（3）根据（2）中的结果可以解答本题．
【解答】解：（1）＝＝，
＝＝；
（2）＝＝，
＝＝；
（3）+
＝
＝﹣1+
＝﹣1+10
＝9．
【点评】本题考查二次根式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
21．已知：a＝﹣1，求÷（2﹣）的值．
【分析】首先计算分式的混合运算，化简后再代入a的值即可得答案．
【解答】解：原式＝÷（﹣），
＝÷，
＝?，
＝a（a+2），
当a＝﹣1时，
原式＝（﹣1）（﹣1+2）＝（﹣1）（1）＝2﹣1＝1．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值和二次根式的化简求值，关键是正确掌握分式的计算顺序．
22．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn＝，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．
例如：化简
解：∵3+2＝1+2+2＝12+（）2+2×1×＝（1+）2
∴＝＝1+；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）；（2）．
【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
【解答】解：（1）∵5+2＝3+2+2
＝（）2+（）2+2××
＝（+）2，
∴＝＝+；

（2）∵7﹣4＝4+3﹣4＝22+（）2﹣2×2×
＝（2﹣）2，
∴＝＝2﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键．
23．已知a＝，b＝，求a2+3ab+b2﹣a+b的值
【分析】先由a、b的值计算出a+b、a﹣b、ab的值，再代入到原式＝a2+3ab+b2﹣a+b＝（a+b）2﹣（a﹣b）+ab．
【解答】解：∵a＝，b＝，
∴a+b＝2，a﹣b＝﹣2，ab＝1，
∴原式＝a2+3ab+b2﹣a+b
＝a2+2ab+b2﹣a+b+ab，
＝（a+b）2﹣（a﹣b）+ab
＝（2）2﹣（﹣2）+1
＝13+2．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，在解答此题类目时要根据各题的特点灵活解答．
24．一个三角形的三边长分别为5，，．
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给出一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
【分析】（1）根据题目中的数据可以求得该三角形的周长；
（2）根据（1）中的结果，选择一个符合题意的x的值即可解答本题．
【解答】解：（1）∵一个三角形的三边长分别为5，，，
∴这个三角形的周长是：
5++
＝
＝；
（2）当x＝20时，这个三角形的周长是：．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解答本题的关键是明确二次根式的意义．
25．计算：
（1）（++5）÷﹣×﹣；
（2）﹣﹣+（﹣2）0+．
【分析】（1）原式利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果；
（2）原式各项后，计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝（+1+）﹣﹣＝3+﹣2﹣＝3﹣2；
（2）原式＝3﹣﹣（1+）+1+（﹣1）＝﹣1﹣+1+﹣1＝﹣1．
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，以及零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
26．已知x＝（+），y＝（﹣），求下列各式的值：
（1）x2﹣xy+y2；
（2）+．
【分析】（1）先求出x+y和xy的值，再根据完全平方公式进行变形，最后代入求出即可；
（2）先通分，再根据完全平方公式进行变形，最后代入求出即可．
【解答】解：x＝（+），y＝（﹣），
x+y＝（+）+（﹣）＝，xy＝（+）×（﹣）＝，
（1）x2﹣xy+y2；
＝（x+y）2﹣3xy
＝（）2﹣3×
＝；

（2）+
＝
＝
＝
＝12．
【点评】本题考查了二次根式的加减和完全平方公式，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．
27．探究过程：观察下列各式及其验证过程．
（1）2＝（2）3＝
验证：2＝×＝＝＝＝＝
验证：3＝×＝＝＝＝＝
（1）按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：4＝　　；5＝　　；
（2）通过上述探究你能猜测出：n＝　　（n＞0），并验证你的结论．
【分析】（1）利用所给等式的规律求解；
（2）先利用题中规律得到n＝（n＞0），然后根据二次根式的性质和乘法法则进行验证．
【解答】解：（1）4＝；5＝；
（2）n＝（n＞0），
验证：n＝?＝＝＝＝（n＞0）．
故答案为；；．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
28．已知 ＝，且x为奇数，求（1+x）?的值．
【分析】先根据二次根式的乘除法则求出x的值，再把原式进行化简，把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：∵＝，
∴，
解得6≤x＜9．
又∵x是奇数，∴x＝7．
∴（1+x）?
＝（1+x）
＝（1+x）
∴当x＝7时，
原式＝（1+7）
＝2．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
29．（1）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“＞”、“＜”或“＝”，并完成后面的问题．
×　＝　，×　＝　，×　＝　，×　＝　…
用，，表示上述规律为：　?＝（a≥0，b≥0）　；
（2）利用（1）中的结论，求×的值
（3）设x＝，y＝试用含x，y的式子表示．
【分析】（1）先求出每个式子的值，再比较即可；
（2）根据规律，把被开方数相乘，根指数不变，即可求出答案；
（3）先分解质因数，再根据规律得出，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵×＝2×4＝8，＝＝8，
∴×＝，
×＝，
×＝
×＝，
故答案为：＝，＝，＝，＝，?＝（a≥0，b≥0）；

（2）×
＝
＝
＝2；

（3）∵x＝，y＝，
∴＝
＝
＝x?x?y
＝x2y．
【点评】本题考查了二次根式的乘除，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．
30．观察下列各式：①＝2，②＝3；③＝4，…
（1）请观察规律，并写出第④个等式：　＝5　；
（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：　＝（n+1）　；
（3）请证明（2）中的结论．
【分析】（1）认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律写出第④个等式；
（2）根据规律写出含n的式子即可；
（3）结合二次根式的性质进行化简求解验证即可．
【解答】解：（1）＝5；
（2）＝（n+1）；
（3）
＝
＝
＝
＝（n+1）．
故答案为：（1）＝5；
（2））＝（n+1）．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解答本题的关键在于认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律进行求解即可．
31．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：
OA1＝1；　　
OA2＝＝；　　 S1＝×1×1＝；
OA3＝＝；　　　　S2＝××1＝；
OA4＝＝；　　　　S3＝××1＝；
（1）推算出OA10＝　　．
（2）若一个三角形的面积是．则它是第　20　个三角形．
（3）用含n（n是正整数）的等式表示上述面积变化规律；
（4）求出S12+S22+S23+…+S2100的值．

【分析】（1）根据题中给出的规律即可得出结论；
（2）若一个三角形的面积是，利用前面公式可以得到它是第几个三角形；
（3）利用已知可得OAn2，注意观察数据的变化；
（4）将前10个三角形面积相加，利用数据的特殊性即可求出．
【解答】解：（1））∵OAn2＝n，
∴OA10＝．
故答案为：；

（2）若一个三角形的面积是，
∵Sn＝＝，
∴＝2＝，
∴它是第20个三角形．
故答案为：20；

（3）结合已知数据，可得：OAn2＝n；Sn＝；

（4）S12+S22+S23+…+S2100
＝++++…+
＝
＝
【点评】本题考查了二次根式的应用以及勾股定理的应用，涉及到数据的规律性，综合性较强，希望同学们能认真的分析总结数据的特点．
32．观察下面的变形规律：
＝，＝，＝，＝，…
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想＝　﹣　；
（2）计算：
（++…+）×（）
【分析】（1）根据题意确定出一般性规律，写出即可；
（2）原式分母有理化后，计算即可得到结果．
【解答】解：（1）＝﹣；
故答案为：﹣；
（2）原式＝[（﹣1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]（+1）
＝（﹣1）（+1）
＝（）2﹣12
＝2016﹣1
＝2015．
【点评】此题考查了分母有理化，弄清题中分母有理化规律是解本题的关键．
33．阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　m2+3n2　，b＝　2mn　；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　7　+　4　＝（　2　+　1　 ）2；
（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值？
【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m+n）2＝m2+3n2+2mn，从而可用m、n表示a、b；
（2）先取m＝2，n＝1，则计算对应的a、b的值，然后填空即可；
（3）利用a＝m2+3n2，2mn＝6和a、m、n均为正整数可先确定m、n的值，然后计算对应的a的值．
【解答】解：（1）（m+n）2＝m2+3n2+2mn，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn；
（2）m＝2，n＝1，则a＝7，b＝4，
∴7+4＝（2+）2，
（3）a＝m2+3n2，2mn＝6，
∵a、m、n均为正整数，
∴m＝3，n＝1或m＝1，n＝3，
当m＝3，n＝1时，a＝9+3＝12，
当m＝1，n＝3时，a＝1+3×9＝28，
∴a的值为12或28．
故答案为m2+3n2，2mn；7，4，2，1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
34．阅读材料：像（+）（﹣）＝3、?＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：；＝．
解答下列问题：
（1）3﹣与　3+　互为有理化因式，将分母有理化得　　；
（2）计算：；
（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．
【分析】（1）根据题意可以得到所求式子的分母有理化因式，并将题目中的二次根式化简；
（2）根据分母有理化的方法可以化简题目中的式子；
（3）根据题意，对所求式子变形即可求得a、b的值．
【解答】解：（1）3﹣与3+互为有理化因式，＝，
故答案为：3，；
（2）
＝﹣2
＝2﹣；
（3）∵，
∴a（﹣1）+b＝﹣1+2，
∴﹣a+（a+）＝﹣1+2，
∴﹣a＝﹣1，a+＝2，
解得，a＝1，b＝2．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．
35．在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式．
比如：4﹣2＝3﹣2+1＝（）2﹣2××1+12＝（﹣1）2．善于动脑的小明继续探究：
当a，b，m，n为正整数时，若a+b＝（m+n）2，则有a+b＝（2m2+n2）+2mn，所以a＝2m2+n2，b＝2mn．
请模仿小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n为正整数时，若a+b＝（m+n）2，请用含有m，n的式子分别表示a，b，得：a＝　3m2+n2　，b＝　2mn　；
（2）填空：13﹣4＝（　1　﹣　2　）2；
（3）若a+6＝（m+n）2，且a，m，n为正整数，求a的值．
【分析】（1）利用完全平方公式把（m+n）2展开可得到用m，n的式子表示a，b；
（2）利用完全平方公式得到13﹣4＝（1﹣2）2；
（3）利用完全平方公式得到a＝m2+5n2，6＝2mn，则mn＝3，再根据整数的整除性得到m、n的值，然后计算对应的a的值．
【解答】解：（1）（m+n）2＝3m2+n2+2mn，
∴a＝3m2+n2，b＝2mn；
（2）13﹣4＝12﹣2?1?2+（2）2＝（1﹣2）2；
（3）a＝m2+5n2，6＝2mn，
∴mn＝3，
∵m，n为正整数，
∴m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，
当m＝1，n＝3，则a＝1+5×9＝46；
当m＝3，n＝1时．n＝9+5×1＝14，
即a的值为14或46．
故答案为3m2+n2，b＝2mn；1，2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
36．阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数 m和n，使m2+n2＝a 且 mn＝，则a+2 可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得 化简．
例如：∵5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2＝（+）2
∴＝＝+
请你仿照上例将下列各式化简
（1）（2）．
【分析】（1）利用完全平方公式把4+2化为（1+）2，然后利用二次根式的性质化简即可．
（2）利用完全平方公式把7﹣2化为（﹣）2然后利用二次根式的性质化简即可．
【解答】解：（1）∵4+2＝1+3+2＝12++2＝（1+）2，
∴＝＝1+；
（2）＝＝＝﹣．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是熟记掌握完全平方公式．
37．已知a是非负数，且关于x的方程+＝仅有一个实数根，求实数a的取值范围．
【分析】结合分式方程的解法以及根的判别式和增根的定义，进而分析得出答案．
【解答】解：原方程等价于x﹣1+x﹣2＝，
平方，得
4x2﹣12x+9＝ax，
4x2﹣（12+a）x+9＝0
∵方程仅有一个实数根，得：
∴有可能：（12+a）2﹣4×4×9＝0，
则12+a＝±12，
解得：a＝0或﹣24（不合题意舍去）．
当方程有增根1时，
则4x2﹣12x+9＝ax，
故4﹣12+9＝a，
解得：a＝1，
当方程有增根2时，
则4x2﹣12x+9＝ax，
故16﹣24+9＝2a，
解得：a＝0.5，
综上所述：a的值为：0或0.5或1．
【点评】此题主要考查了分式方程的解以及二次根式有意义的条件，正确解分式方程是解题关键．
38．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：
设x+y＝（a+b）2（其中x、y、a、b均为整数），则有x+y＝a2+2b2+2ab，
∴x＝a2+2b2，y＝2ab，这样小明就找到了一种把类似x+y的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当x、y、a、b均为正整数时，若x+y＝（a+b）2，用含a、b的式子分别表示x、y，得x＝　a2+3b2　，y＝　2ab　；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数x、y、a、b填空：　4　+　2　＝（　1　+　1　）2；
（3）若x+8＝（a+b）2，且x、a、b均为正整数，求x的值．
【分析】（1）利用完全平方公式把（a+b）2展开后合并即可得到x、y的值；
（2）先取a、b的值，再计算x和y的值；
（3）把右边展开得到a2+3b2＝8，2ab＝8，再利用整除性求出a、b，然后计算x、y的值．
【解答】解：（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2＝（a2+3b2）+2ab，
所以x＝a2+3b2，y＝2ab；
（2）x、y、a、b的值分别取4，2，1，1；
故答案为a2+3b2，2ab；4，2，1，1；
（3）由题意得 a2+3b2＝8，2ab＝8，
∵ab＝4，且a、b为正整数，
∴a＝2，b＝2或a＝1，b＝4或a＝4，b＝1，
∴当a＝2，b＝2时，x＝22+3×22＝16
当a＝1，b＝4时，x＝12+3×42＝49
当a＝4，b＝1时，x＝42+3×12＝19．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
39．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术，即已知三角形的三边长，求它的面积．用符号表示即为：S＝（其中a，b，c为三角形的三边长，S为面积）．请利用这个公式求a＝，b＝3，c＝2时的三角形的面积．
【分析】由a＝，b＝3，c＝2得出a2＝5，b2＝9，c2＝12，进一步代入计算公式化简得出答案即可．
【解答】解：∵a＝，b＝3，c＝2，
∴a2＝5，b2＝9，c2＝12，
∴三角形的面积S＝
＝
＝．
【点评】此题考查二次根式的实际运用，掌握二次根式的混合运算的方法以及化简的方法是解决问题的关键．
40．阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝；
＝＝＝﹣1．
以上这种化简过程叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
＝＝＝＝﹣1．
（1）请任用其中一种方法化简：
①；
②（n为正整数）；
（2）化简：+++…．
【分析】（1）根据阅读材料中的方法将各式化简即可；
（2）原式分母有理化后，合并即可得到结果．
【解答】解：（1）①原式＝＝＝＝+；
②原式＝＝＝＝﹣；
（2）原式＝++…+＝﹣1+﹣+…+﹣＝﹣1．
【点评】此题考查了分母有理化，弄清阅读材料中的解题方法是解本题的关键．
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