第2章 整式的乘法单元检测卷B（含解析）
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文档简介
2018-2019湘教版八年级下第2章整式的乘法单元检测卷B
姓名：__________班级：__________考号：__________
、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
下列运算正确的是（ ）
A．a+2a=2a2 B．（﹣2ab2）2=4a2b4 C．a6÷a3=a2 D．（a﹣3）2=a2﹣9
在2004，2005，2006，2007这四个数中，不能表示为两个整数平方差的数是（ ）
A．2004 B．2005 C．2006 D．2007
若（ax+3y）2=4x2﹣12xy+by2，则a，b的值分别为（ ）
A． 2，9 B．2，﹣9 C． ﹣2，9 D． ﹣4，9
计算（a3b）2的结果是（ ）
A．a6b B．a6b2 C．a5b2 D．a3b2
下列各式是完全平方式的是（ ）
A． x2+2x﹣1 B． x2+1 C． x2+2xy+1 D． x2﹣x+
如图所示的图形面积最适合表示一个公式，这个公式是（ ）
A． a2﹣b2=a（a﹣b）+b（a﹣b） B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
如果x2+mx+1恰好是一个整式的平方，那么常数m的值是（ ）
A．?1 B．?2 C．±1? D．±2?
若（x+3）（x﹣1）=x2﹣mx+n，则m+n的值为（ ）
A．﹣5 B．2 C．1 D．﹣1
已知多项式x2+bx+c分解因式为（x﹣3）（x+1），则b、c的值为（ ）
A．b=2，c=3 B．b=﹣4，c=3 C．b=﹣2，c=﹣3 D．b=﹣4，c=﹣3
计算3n·(－9)·3n＋2的结果是( )
A． －33n－2 B． －3n＋4 C． －32n＋4 D． －3n＋6
已知x3=m,x5=n，用含有m， n的代数式表示x14结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．
根据“杨辉三角”请计算（a+b）20的展开式中第三项的系数为（ ）
A．2017 B．2016 C．191 D．190
、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
计算的结果是 ________________________。
下图是一个长方形，请你仔细观察图形，写出图中所表示的整式的乘法关系式为__________.
如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩下部分沿图中虚线剪开后拼成如图②所示的梯形、通过计算图①、图②中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式为 ．
若a2+a+1=3，则（5﹣a）（6+a）= ．
已知（x+y）2﹣2x﹣2y+1=0，则x+y= ．
定义为二阶行列式，规定它的运算法则为，则二阶行列式的值为__________．
、解答题（本大题共8小题，共66分）
计算：
（1）（ab2c）2÷（ab3c2）；
（2）（﹣x﹣y）（x﹣y）+（x+y）2．
先化简，再求值：（a+b）2+b（a﹣b）﹣4ab，其中a=2，b=﹣．
观察下列算式：
①1×3﹣22=﹣1；②2×4﹣32=﹣1；③3×5﹣42=﹣1；④ ；
（1）请你按以上规律写出第4个算式；
（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；
（3）你认为第（2）小题中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．
（1）实验与观察：（用“＞”、“=”或“＜”填空）
当x=﹣5时，代数式x2﹣2x+2 1；
当x=1时，代数式x2﹣2x+2 1；…
（2）归纳与证明：
换几个数再试试，根据前面的实验观察你能发现怎样的规律？请写出来，并说明它是正确的；
（3）拓展与应用：
求代数式a2+b2﹣6a﹣8b+30的最小值．
我们规定： ．
（）试求和的值．
（）与相等吗？如果相等，请验证你的结论；如果不相等，请说明理由．
观察下表：
我们把某格中各字母的和所得多项式称为“特征多项式”．例如，第1格的“特征多项式”为4a＋b.回答下列问题：
(1)第3格的“特征多项式”为________，第4格的“特征多项式”为________，第n格的“特征多项式”为________；
(2)若第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为－16，求a，b的值．
观察下面的几个算式，你发现了什么规律？
①16×14=224=1×（1+1）+100+6×4
②23×27=621=2×（2+1）×100+3×7
③32×38=1216=3×（3+1）×100+2×8
（1）按照上面的规律，依照上面的书写格式，迅速写出81×89的结果；
（2）用公式（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab证明上面所发现的规律[提示：可设这个两位数分别是（10n+a）、（10n+b），其中a+b=10]；
（3）简单叙述以上所发现的规律．
小明在做一道计算题目（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）的时候是这样分析的：这个算式里面每个括号内都是两数和的形式，跟最近学的两大公式作对比，发现跟平方差公式很类似，但是需要添加两数的差，于是添了（2﹣1），并做了如下的计算：
（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）
=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）
=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）
=（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）
=（28﹣1）（28+1）（216+1）
=（216﹣1）（216+1）
=232﹣1
请按照小明的方法：
（1）计算（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）
（2）直接写出（5+1）（52+1）（54+1）…（52016+1）﹣的值．
答案解析
、选择题
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
【分析】根据合并同类项系数相加字母及指数不变，积的乘方等于乘方的积，同底数幂的除法底数不变指数相减，差的平方等余平方和减积的二倍，可得答案．
【解答】解：A．合并同类项系数相加字母及指数不变，故A错误；
B、积的乘方等于乘方的积，故B正确；
C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C错误；
D、差的平方等余平方和减积的二倍，故D错误；
故选：B．
【考点】平方差公式
【分析】由a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）可知，两个整数平方差可分解为两个整数的积，且两个因数同为奇数或者偶数，由此进行逐一判断．
解：由于a2﹣b2=（a﹣b）（a+b），
2004=5022﹣5002，
2005=10032﹣10022，
2007=10042﹣10032，
而2006=2×1003，
a﹣b与a+b的奇偶性相同，2×1003一奇、一偶，
故2006不能表示为两个整数平方差．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平方差公式的运用，使学生体会到平方差公式中的两个因数同为奇数或者偶数．
【考点】完全平方公式．
【分析】根据完全平方公式把（ax+3y）2展开，再根据对应项系数相等列出方程求解即可．
解：∵（ax+3y）2=a2x2+6axy+9y2，
∴a2x2+6axy+9y2=4x2﹣12xy+by2，
∴6a=﹣12，b=9，
解得a=﹣2，b=9．
故选C．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，利用完全平方公式展开，根据对应项系数列出等式是解题的关键．
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可．
解：原式=a6b2．
故选B．
【点评】本题考查的是幂的乘方与积的乘方法则，熟知幂的乘方法则是底数不变，指数相乘是解答此题的关键．
【考点】完全平方式．
【分析】完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．最后一项为乘积项除以2，除以第一个底数的结果的平方．
解：A．两平方项符号错误，故本选项错误；
B、缺少中间项±2x，不是完全平方式，故本选项错误；
C、1应该是y2，故本选项错误；
D、原式=（x﹣）2，是完全平方式，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题是完全平方公式的应用，熟记公式结构：两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，是解题的关键．
【考点】 完全平方公式的几何背景．
【分析】大正方形的面积是由边长为a，边长为b的两个小正方形，长为a宽为b的两个长方形组成．所以用边长为a+b的正方形面积的两种求法作为相等关系，即可表示出完全平方和公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．
解：根据面积公式得：（a+b）2=a2+2ab+b2．
故选B．
【点评】本题考查了完全平方公式几何意义，关键是能看出大正方形的面积是由边长为a，边长为b的两个小正方形，长为a宽为b的两个长方形组成，找出相等关系并表示出来．
【考点】完全平方式
【分析】完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2，这里首末两项是x和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和1积的2倍，故m=±2．
解：∵（x±1）2=x2±2x+1，
∴在x2+mx+1中，±2x=mx，
解得m=±2．
故选：D．
【点评】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
【考点】多项式乘多项式
【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案．
解：∵（x+3）（x﹣1）=x2﹣mx+n，
∴x2+2x﹣3=x2﹣mx+n，
解得：m=﹣2，n=﹣3，
故选：A．
【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式运算，正确掌握运算法则是解题关键．
【考点】多项式乘法
【分析】直接利用多项式乘法去括号，再得出a，b的值．
解：∵x2+bx+c=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3，
∴b=﹣2，c=﹣3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了多项式乘法，正确运用乘法法则是解题关键．
【考点】同底数幂的乘法
【分式】利用同底数幂的乘法法则解答即可
解：3n·(－9)·3n＋2=-3n·22·3n＋2=-32n+4，
故选C.
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，关键是要灵活运用。
【考点】幂的乘方，同底数幂的乘法
【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法的性质可得出m、n的代数式． 解：根据题意可把14次方分为9次方加5次方， ∵x3=m，x5=n， ∴x14=x9?x5=（x3）3?x5=m3n．
故选C.
【点评】本题考查幂的乘方和同底数幂的乘法，属于基础题，关键在于掌握幂的乘方的运用．
【考点】完全平方公式．
【分析】根据图形中的规律即可求出（a+b）20的展开式中第三项的系数；
解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3=1+2；
（a+b）4的第三项系数为6=1+2+3；
（a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4；
不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），
∴（a+b）20第三项系数为1+2+3+…+20=190，
故选 D．
【点评】此题考查了通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．
、填空题
【考点】单项式乘单项式
【分析】根据单项式乘单项式的运算法则进行计算，选择正确答案即可．
解：原式＝(－1)3(x2)3(y3)3·(－x2y2)
＝－x6y9·(－x2y2)
＝x8y11．
故答案为：x8y11．
【点评】本题考查的是单项式乘单项式，单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式．
【考点】完全平方公式的几何背景
【分析】根据图形,有直接求和间接求两种方法表示长方形的面积,列出等式即可
解:∵大长方形的面积=(a+b)(a+2b)
大长方形的面积=a2+3ab+2b2
(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2
故答案为:(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2
【点评】此题考查了多项式乘多项式的几何背景,注意仔细观察图形,表示出
各图形的面积是关键
【考点】平方差公式的几何背景
【分析】分别计算这两个图形阴影部分面积，根据面积相等即可得到．
解：第一个图形的阴影部分的面积=a2﹣b2；
第二个图形是梯形，其面积是：（2a+2b）?（a﹣b）=（a+b）（a﹣b）．
则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键．
【考点】多项式乘多项式
【分析】由已知等式得出a2+a=2，再整体代入到原式=30+5a﹣6a﹣a2=﹣a2﹣a+30=﹣（a2+a）+30计算可得．
解：∵a2+a+1=3，
∴a2+a=2，
则原式=30+5a﹣6a﹣a2
=﹣a2﹣a+30
=﹣（a2+a）+30
=﹣2+30
=28，
故答案为：28．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
【考点】完全平方公式．
【分析】首先提取公因式，把方程整理为（x+y）2﹣2（x+y）+1=0，然后把x+y看做一个整体，利用完全平方公式进行因式分解，然后解方程即可．
解：∵（x+y）2﹣2x﹣2y+1=0，
∴（x+y）2﹣2（x+y）+1=0，
∴（x+y﹣1）2=0
∴x+y=1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查利用完全平方公式解整式方程，关键在于把x+y看做一个整体，利用完全平方公式进行因式分解．
【考点】完全平方公式，多项式乘以多项式
【分析】根据题中的新定义将所求式子化为普通运算，计算即可得到结果．
解：根据新定义的运算法则
=（x-3）（x-3）-（x-2）（x-4）
=x2-6x+9-(x2-6x+8)
= x2-6x+9-x2+6x-8
=1.
故答案为:1.
【点评】此题考查了完全平方公式，多项式乘以多项式。弄清题中的新定义是解本题的关键．
、解答题
【考点】整式的混合运算．
【分析】按照先乘方，再乘除，最后算加减的顺序直接进行计算．
解：（1）（ab2c）2÷（ab3c2），
=a2b4c2÷（ab3c2），
=ab；
（2）（﹣x﹣y）（x﹣y）+（x+y）2，
=y2﹣x2+x2+2xy+y2，
=2y2+2xy．
【点评】主要考查积的乘方，单项式的除法，平方差公式，完全平方公式，熟练掌握运算性质和公式是解题关键．
【考点】整式的混合运算—化简求值
【分析】首先计算完全平方，计算单项式乘以多项式，然后再合并同类项，化简后，再代入a、b的值，进而可得答案．
解：原式=a2+2ab+b2+ab﹣b2﹣4ab=a2﹣ab，
当a=2，b=﹣时，原式=4+1=5．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算﹣﹣化简求值，关键是先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
【考点】规律型：数字的变化类．单项式乘多项式，完全平方公式
【分析】（1）按照前3个算式的规律写出即可；
（2）观察发现，算式序号与比序号大2的数的积减去比序号大1的数的平方，等于﹣1，根据此规律写出即可；
（3）先利用单项式乘多项式的法则与完全平方公式分别计算第n个式子左边的第一项与第二项，再去括号、合并同类项，所得结果与﹣1比较即可．
解：（1）∵①1×3﹣22=﹣1，
②2×4﹣32=﹣1，
③3×5﹣42=﹣1，
∴第4个算式为：④4×6﹣52=﹣1；
故答案为：4×6﹣52=﹣1；
（2）第n个式子是：n×（n+2）﹣（n+1）2=﹣1；
（3）第（2）小题中所写出的式子一定成立．理由如下：
∵左边=n×（n+2）﹣（n+1）2=n2+2n﹣（n2+2n+1）=n2+2n﹣n2﹣2n﹣1=﹣1，右边=﹣1，
∴左边=右边，
∴n×（n+2）﹣（n+1）2=﹣1．
【点评】此题主要考查了规律型：数字的变化类，观察出算式中的数字与算式的序号之间的关系是解题的关键．
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．
【分析】（1）利用代入法把x的值代入代数式可得答案；
（2）首先把代数式变形为（x﹣1）2+1，根据非负数的性质可得，（x﹣1）2≥0，进而得到（x﹣1）2+1≥1；
（3）首先把代数式化为（a﹣3）2+（b﹣4）2+5，根据偶次幂具有非负性可得（a﹣3）2≥0，（b﹣4）2≥0，进而得到（a﹣3）2+（b﹣4）2+5≥5．
解：（1）把x=﹣5代入x2﹣2x+2中得：25+10﹣2=33＞1；
把x=1代入x2﹣2x+2中得：1﹣2+1=1；
（2）∵x2﹣2x+2=x2﹣2x+1+1=（x﹣1）2+1，
X为任何实数时，（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+1≥1；
（3）a2+b2﹣6a﹣8b+30=（a﹣3）2+（b﹣4）2+5．
∵（a﹣3）2≥0，（b﹣4）2≥0，
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+5≥5，
∴代数式a2+b2﹣6a﹣8b+30的最小值是5．
【点评】此题主要考查了配方法的运用，非负数的性质，关键是掌握偶次幂具有非负性．
【考点】同底数幂的乘法
【分析】按照运算法则进行运算即可.
解：（）， ．
（）相等，理由见解析.
因为，
，
所以．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法法则，题目比较新颖，解答本题的关键是掌握“*”所代表的运算法则．
【考点】规律型:图形的变化类
【分析】(1)仔细观察每格的特征多项式的特点,找到規律,利用规律求得答案即可
(2)根据题意列出二元一次方程组,求得a、b的值即可
解 (1)观察图形发现：
第1格的“特征多项式”为 4a＋b，
第2格的“特征多项式”为 8a＋4b，
第3格的“特征多项式”为 12a＋9b，
第4格的“特征多项式”为16a＋16b，
…
第n格的“特征多项式”为4na＋n2b；
故填12a＋9b 16a＋16b 4na＋n2b.
(2)∵第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为－16，∴解得：a＝－3；
b＝2，
∴a，b的值分别为－3和2.
【点评】本题考查了图形的变化类问题,解题的关键是仔细观察图形的变化,发现图形变化的规律,难度不大
【考点】多项式乘多项式
【分析】（1）观察上面几个式子，发现：左边两个因数的十位数字相同，个位数字和是10；则右边的结果是一个四位数，其中个位和十位上的数是左边两个因数的个位相乘，百位和千位上的数是左边十位上的数字和大于十位数字1的数相乘．根据这一规律即可写出81×89=7209；
（2）根据（1）发现的两个数的特点，用字母表示出来，然后运用公式展开进行证明；
（3）既要叙述等式左边的规律，还要叙述等式右边的规律，即（1）中的叙述．
解：（1）81×89=8×（8+1）×100+1×9=7209；
（2）设这两个两位数分别是10n+a和10n+b，其中a+b=10，
（10n+a）（10n+b）=100n2+（a+b）×10n+ab
=100n2+100n+ab
=100n（n+1）+ab；
（3）两个十位数字相同，个位数字和是10的两个两位数相乘，等于它们的十位数字与十位数字加1的数相乘的100倍，再加上两个数的个位数字的积．
【点评】此题主要考查了整式混合运算的应用，找出题中的规律是解本题的关键．
【考点】平方差公式．
【分析】根据题意以及平方差公式即可求出答案．
解：（1）原式=（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）
=（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）
=（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）
=（38﹣1）（38+1）（316+1）
=（316﹣1）（316+1）
=（332﹣1）
（2）原式=（5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）…（52016+1）﹣
=（54032﹣1）﹣
=﹣
【点评】本题考查平方差公式的应用，注意平方差公式的结构．
姓名：__________班级：__________考号：__________
、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
下列运算正确的是（ ）
A．a+2a=2a2 B．（﹣2ab2）2=4a2b4 C．a6÷a3=a2 D．（a﹣3）2=a2﹣9
在2004，2005，2006，2007这四个数中，不能表示为两个整数平方差的数是（ ）
A．2004 B．2005 C．2006 D．2007
若（ax+3y）2=4x2﹣12xy+by2，则a，b的值分别为（ ）
A． 2，9 B．2，﹣9 C． ﹣2，9 D． ﹣4，9
计算（a3b）2的结果是（ ）
A．a6b B．a6b2 C．a5b2 D．a3b2
下列各式是完全平方式的是（ ）
A． x2+2x﹣1 B． x2+1 C． x2+2xy+1 D． x2﹣x+
如图所示的图形面积最适合表示一个公式，这个公式是（ ）
A． a2﹣b2=a（a﹣b）+b（a﹣b） B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
如果x2+mx+1恰好是一个整式的平方，那么常数m的值是（ ）
A．?1 B．?2 C．±1? D．±2?
若（x+3）（x﹣1）=x2﹣mx+n，则m+n的值为（ ）
A．﹣5 B．2 C．1 D．﹣1
已知多项式x2+bx+c分解因式为（x﹣3）（x+1），则b、c的值为（ ）
A．b=2，c=3 B．b=﹣4，c=3 C．b=﹣2，c=﹣3 D．b=﹣4，c=﹣3
计算3n·(－9)·3n＋2的结果是( )
A． －33n－2 B． －3n＋4 C． －32n＋4 D． －3n＋6
已知x3=m,x5=n，用含有m， n的代数式表示x14结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．
根据“杨辉三角”请计算（a+b）20的展开式中第三项的系数为（ ）
A．2017 B．2016 C．191 D．190
、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
计算的结果是 ________________________。
下图是一个长方形，请你仔细观察图形，写出图中所表示的整式的乘法关系式为__________.
如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩下部分沿图中虚线剪开后拼成如图②所示的梯形、通过计算图①、图②中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式为 ．
若a2+a+1=3，则（5﹣a）（6+a）= ．
已知（x+y）2﹣2x﹣2y+1=0，则x+y= ．
定义为二阶行列式，规定它的运算法则为，则二阶行列式的值为__________．
、解答题（本大题共8小题，共66分）
计算：
（1）（ab2c）2÷（ab3c2）；
（2）（﹣x﹣y）（x﹣y）+（x+y）2．
先化简，再求值：（a+b）2+b（a﹣b）﹣4ab，其中a=2，b=﹣．
观察下列算式：
①1×3﹣22=﹣1；②2×4﹣32=﹣1；③3×5﹣42=﹣1；④ ；
（1）请你按以上规律写出第4个算式；
（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；
（3）你认为第（2）小题中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．
（1）实验与观察：（用“＞”、“=”或“＜”填空）
当x=﹣5时，代数式x2﹣2x+2 1；
当x=1时，代数式x2﹣2x+2 1；…
（2）归纳与证明：
换几个数再试试，根据前面的实验观察你能发现怎样的规律？请写出来，并说明它是正确的；
（3）拓展与应用：
求代数式a2+b2﹣6a﹣8b+30的最小值．
我们规定： ．
（）试求和的值．
（）与相等吗？如果相等，请验证你的结论；如果不相等，请说明理由．
观察下表：
我们把某格中各字母的和所得多项式称为“特征多项式”．例如，第1格的“特征多项式”为4a＋b.回答下列问题：
(1)第3格的“特征多项式”为________，第4格的“特征多项式”为________，第n格的“特征多项式”为________；
(2)若第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为－16，求a，b的值．
观察下面的几个算式，你发现了什么规律？
①16×14=224=1×（1+1）+100+6×4
②23×27=621=2×（2+1）×100+3×7
③32×38=1216=3×（3+1）×100+2×8
（1）按照上面的规律，依照上面的书写格式，迅速写出81×89的结果；
（2）用公式（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab证明上面所发现的规律[提示：可设这个两位数分别是（10n+a）、（10n+b），其中a+b=10]；
（3）简单叙述以上所发现的规律．
小明在做一道计算题目（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）的时候是这样分析的：这个算式里面每个括号内都是两数和的形式，跟最近学的两大公式作对比，发现跟平方差公式很类似，但是需要添加两数的差，于是添了（2﹣1），并做了如下的计算：
（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）
=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）
=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）
=（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）
=（28﹣1）（28+1）（216+1）
=（216﹣1）（216+1）
=232﹣1
请按照小明的方法：
（1）计算（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）
（2）直接写出（5+1）（52+1）（54+1）…（52016+1）﹣的值．
答案解析
、选择题
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
【分析】根据合并同类项系数相加字母及指数不变，积的乘方等于乘方的积，同底数幂的除法底数不变指数相减，差的平方等余平方和减积的二倍，可得答案．
【解答】解：A．合并同类项系数相加字母及指数不变，故A错误；
B、积的乘方等于乘方的积，故B正确；
C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C错误；
D、差的平方等余平方和减积的二倍，故D错误；
故选：B．
【考点】平方差公式
【分析】由a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）可知，两个整数平方差可分解为两个整数的积，且两个因数同为奇数或者偶数，由此进行逐一判断．
解：由于a2﹣b2=（a﹣b）（a+b），
2004=5022﹣5002，
2005=10032﹣10022，
2007=10042﹣10032，
而2006=2×1003，
a﹣b与a+b的奇偶性相同，2×1003一奇、一偶，
故2006不能表示为两个整数平方差．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平方差公式的运用，使学生体会到平方差公式中的两个因数同为奇数或者偶数．
【考点】完全平方公式．
【分析】根据完全平方公式把（ax+3y）2展开，再根据对应项系数相等列出方程求解即可．
解：∵（ax+3y）2=a2x2+6axy+9y2，
∴a2x2+6axy+9y2=4x2﹣12xy+by2，
∴6a=﹣12，b=9，
解得a=﹣2，b=9．
故选C．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，利用完全平方公式展开，根据对应项系数列出等式是解题的关键．
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可．
解：原式=a6b2．
故选B．
【点评】本题考查的是幂的乘方与积的乘方法则，熟知幂的乘方法则是底数不变，指数相乘是解答此题的关键．
【考点】完全平方式．
【分析】完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．最后一项为乘积项除以2，除以第一个底数的结果的平方．
解：A．两平方项符号错误，故本选项错误；
B、缺少中间项±2x，不是完全平方式，故本选项错误；
C、1应该是y2，故本选项错误；
D、原式=（x﹣）2，是完全平方式，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题是完全平方公式的应用，熟记公式结构：两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，是解题的关键．
【考点】 完全平方公式的几何背景．
【分析】大正方形的面积是由边长为a，边长为b的两个小正方形，长为a宽为b的两个长方形组成．所以用边长为a+b的正方形面积的两种求法作为相等关系，即可表示出完全平方和公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．
解：根据面积公式得：（a+b）2=a2+2ab+b2．
故选B．
【点评】本题考查了完全平方公式几何意义，关键是能看出大正方形的面积是由边长为a，边长为b的两个小正方形，长为a宽为b的两个长方形组成，找出相等关系并表示出来．
【考点】完全平方式
【分析】完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2，这里首末两项是x和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和1积的2倍，故m=±2．
解：∵（x±1）2=x2±2x+1，
∴在x2+mx+1中，±2x=mx，
解得m=±2．
故选：D．
【点评】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
【考点】多项式乘多项式
【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案．
解：∵（x+3）（x﹣1）=x2﹣mx+n，
∴x2+2x﹣3=x2﹣mx+n，
解得：m=﹣2，n=﹣3，
故选：A．
【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式运算，正确掌握运算法则是解题关键．
【考点】多项式乘法
【分析】直接利用多项式乘法去括号，再得出a，b的值．
解：∵x2+bx+c=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3，
∴b=﹣2，c=﹣3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了多项式乘法，正确运用乘法法则是解题关键．
【考点】同底数幂的乘法
【分式】利用同底数幂的乘法法则解答即可
解：3n·(－9)·3n＋2=-3n·22·3n＋2=-32n+4，
故选C.
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，关键是要灵活运用。
【考点】幂的乘方，同底数幂的乘法
【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法的性质可得出m、n的代数式． 解：根据题意可把14次方分为9次方加5次方， ∵x3=m，x5=n， ∴x14=x9?x5=（x3）3?x5=m3n．
故选C.
【点评】本题考查幂的乘方和同底数幂的乘法，属于基础题，关键在于掌握幂的乘方的运用．
【考点】完全平方公式．
【分析】根据图形中的规律即可求出（a+b）20的展开式中第三项的系数；
解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3=1+2；
（a+b）4的第三项系数为6=1+2+3；
（a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4；
不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），
∴（a+b）20第三项系数为1+2+3+…+20=190，
故选 D．
【点评】此题考查了通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．
、填空题
【考点】单项式乘单项式
【分析】根据单项式乘单项式的运算法则进行计算，选择正确答案即可．
解：原式＝(－1)3(x2)3(y3)3·(－x2y2)
＝－x6y9·(－x2y2)
＝x8y11．
故答案为：x8y11．
【点评】本题考查的是单项式乘单项式，单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式．
【考点】完全平方公式的几何背景
【分析】根据图形,有直接求和间接求两种方法表示长方形的面积,列出等式即可
解:∵大长方形的面积=(a+b)(a+2b)
大长方形的面积=a2+3ab+2b2
(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2
故答案为:(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2
【点评】此题考查了多项式乘多项式的几何背景,注意仔细观察图形,表示出
各图形的面积是关键
【考点】平方差公式的几何背景
【分析】分别计算这两个图形阴影部分面积，根据面积相等即可得到．
解：第一个图形的阴影部分的面积=a2﹣b2；
第二个图形是梯形，其面积是：（2a+2b）?（a﹣b）=（a+b）（a﹣b）．
则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键．
【考点】多项式乘多项式
【分析】由已知等式得出a2+a=2，再整体代入到原式=30+5a﹣6a﹣a2=﹣a2﹣a+30=﹣（a2+a）+30计算可得．
解：∵a2+a+1=3，
∴a2+a=2，
则原式=30+5a﹣6a﹣a2
=﹣a2﹣a+30
=﹣（a2+a）+30
=﹣2+30
=28，
故答案为：28．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
【考点】完全平方公式．
【分析】首先提取公因式，把方程整理为（x+y）2﹣2（x+y）+1=0，然后把x+y看做一个整体，利用完全平方公式进行因式分解，然后解方程即可．
解：∵（x+y）2﹣2x﹣2y+1=0，
∴（x+y）2﹣2（x+y）+1=0，
∴（x+y﹣1）2=0
∴x+y=1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查利用完全平方公式解整式方程，关键在于把x+y看做一个整体，利用完全平方公式进行因式分解．
【考点】完全平方公式，多项式乘以多项式
【分析】根据题中的新定义将所求式子化为普通运算，计算即可得到结果．
解：根据新定义的运算法则
=（x-3）（x-3）-（x-2）（x-4）
=x2-6x+9-(x2-6x+8)
= x2-6x+9-x2+6x-8
=1.
故答案为:1.
【点评】此题考查了完全平方公式，多项式乘以多项式。弄清题中的新定义是解本题的关键．
、解答题
【考点】整式的混合运算．
【分析】按照先乘方，再乘除，最后算加减的顺序直接进行计算．
解：（1）（ab2c）2÷（ab3c2），
=a2b4c2÷（ab3c2），
=ab；
（2）（﹣x﹣y）（x﹣y）+（x+y）2，
=y2﹣x2+x2+2xy+y2，
=2y2+2xy．
【点评】主要考查积的乘方，单项式的除法，平方差公式，完全平方公式，熟练掌握运算性质和公式是解题关键．
【考点】整式的混合运算—化简求值
【分析】首先计算完全平方，计算单项式乘以多项式，然后再合并同类项，化简后，再代入a、b的值，进而可得答案．
解：原式=a2+2ab+b2+ab﹣b2﹣4ab=a2﹣ab，
当a=2，b=﹣时，原式=4+1=5．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算﹣﹣化简求值，关键是先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
【考点】规律型：数字的变化类．单项式乘多项式，完全平方公式
【分析】（1）按照前3个算式的规律写出即可；
（2）观察发现，算式序号与比序号大2的数的积减去比序号大1的数的平方，等于﹣1，根据此规律写出即可；
（3）先利用单项式乘多项式的法则与完全平方公式分别计算第n个式子左边的第一项与第二项，再去括号、合并同类项，所得结果与﹣1比较即可．
解：（1）∵①1×3﹣22=﹣1，
②2×4﹣32=﹣1，
③3×5﹣42=﹣1，
∴第4个算式为：④4×6﹣52=﹣1；
故答案为：4×6﹣52=﹣1；
（2）第n个式子是：n×（n+2）﹣（n+1）2=﹣1；
（3）第（2）小题中所写出的式子一定成立．理由如下：
∵左边=n×（n+2）﹣（n+1）2=n2+2n﹣（n2+2n+1）=n2+2n﹣n2﹣2n﹣1=﹣1，右边=﹣1，
∴左边=右边，
∴n×（n+2）﹣（n+1）2=﹣1．
【点评】此题主要考查了规律型：数字的变化类，观察出算式中的数字与算式的序号之间的关系是解题的关键．
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．
【分析】（1）利用代入法把x的值代入代数式可得答案；
（2）首先把代数式变形为（x﹣1）2+1，根据非负数的性质可得，（x﹣1）2≥0，进而得到（x﹣1）2+1≥1；
（3）首先把代数式化为（a﹣3）2+（b﹣4）2+5，根据偶次幂具有非负性可得（a﹣3）2≥0，（b﹣4）2≥0，进而得到（a﹣3）2+（b﹣4）2+5≥5．
解：（1）把x=﹣5代入x2﹣2x+2中得：25+10﹣2=33＞1；
把x=1代入x2﹣2x+2中得：1﹣2+1=1；
（2）∵x2﹣2x+2=x2﹣2x+1+1=（x﹣1）2+1，
X为任何实数时，（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+1≥1；
（3）a2+b2﹣6a﹣8b+30=（a﹣3）2+（b﹣4）2+5．
∵（a﹣3）2≥0，（b﹣4）2≥0，
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+5≥5，
∴代数式a2+b2﹣6a﹣8b+30的最小值是5．
【点评】此题主要考查了配方法的运用，非负数的性质，关键是掌握偶次幂具有非负性．
【考点】同底数幂的乘法
【分析】按照运算法则进行运算即可.
解：（）， ．
（）相等，理由见解析.
因为，
，
所以．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法法则，题目比较新颖，解答本题的关键是掌握“*”所代表的运算法则．
【考点】规律型:图形的变化类
【分析】(1)仔细观察每格的特征多项式的特点,找到規律,利用规律求得答案即可
(2)根据题意列出二元一次方程组,求得a、b的值即可
解 (1)观察图形发现：
第1格的“特征多项式”为 4a＋b，
第2格的“特征多项式”为 8a＋4b，
第3格的“特征多项式”为 12a＋9b，
第4格的“特征多项式”为16a＋16b，
…
第n格的“特征多项式”为4na＋n2b；
故填12a＋9b 16a＋16b 4na＋n2b.
(2)∵第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为－16，∴解得：a＝－3；
b＝2，
∴a，b的值分别为－3和2.
【点评】本题考查了图形的变化类问题,解题的关键是仔细观察图形的变化,发现图形变化的规律,难度不大
【考点】多项式乘多项式
【分析】（1）观察上面几个式子，发现：左边两个因数的十位数字相同，个位数字和是10；则右边的结果是一个四位数，其中个位和十位上的数是左边两个因数的个位相乘，百位和千位上的数是左边十位上的数字和大于十位数字1的数相乘．根据这一规律即可写出81×89=7209；
（2）根据（1）发现的两个数的特点，用字母表示出来，然后运用公式展开进行证明；
（3）既要叙述等式左边的规律，还要叙述等式右边的规律，即（1）中的叙述．
解：（1）81×89=8×（8+1）×100+1×9=7209；
（2）设这两个两位数分别是10n+a和10n+b，其中a+b=10，
（10n+a）（10n+b）=100n2+（a+b）×10n+ab
=100n2+100n+ab
=100n（n+1）+ab；
（3）两个十位数字相同，个位数字和是10的两个两位数相乘，等于它们的十位数字与十位数字加1的数相乘的100倍，再加上两个数的个位数字的积．
【点评】此题主要考查了整式混合运算的应用，找出题中的规律是解本题的关键．
【考点】平方差公式．
【分析】根据题意以及平方差公式即可求出答案．
解：（1）原式=（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）
=（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）
=（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）
=（38﹣1）（38+1）（316+1）
=（316﹣1）（316+1）
=（332﹣1）
（2）原式=（5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）…（52016+1）﹣
=（54032﹣1）﹣
=﹣
【点评】本题考查平方差公式的应用，注意平方差公式的结构．