【备考2019中考数学学案】第四单元 图形的初步知识与三角形 第6讲 相似三角形

第四单元 图形的初步知识与三角形
第6讲 相似三角形
考 点 知 识 清 单
考点一 成比例线段
1.比例的性质
（1）四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段。
（2）（a，b，c，d，都不为0）.
2.平行线分线段成比例
（1）基本事实:两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段①______________。
（2）推论:平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段②___________。3.黄金分割
一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，.【温馨提示】（1）如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们的长度的比，即AB:CD＝m:n，或写成。
（2）如果方，那么，。
（3）如果＝…＝（b＋d＋…＋n≠0），那么。
考点二 相似多边形
1.定义:两个边数相同的多边形，如果它们的角③_________，边成比例，那么这两个多边形叫做相
似多边形.
2.性质:相似多边形的对应角④________；对应边成比例、周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的⑤____________。
考点三相似三角形的判定
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形⑥________________。
（2）两角分别⑦_____________的两个三角形相似.
（3）两边成比例且⑧_____________相等的两个三角形相似.
（4）三边⑨______________的两个三角形相似.
【温馨提示】（1）斜边与直角边对应成比例的两个直角三角形相似；（2）射影定理:如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高.则有如下的结论:①CD2＝AD·DB，②BC2＝BD·BA，③AC2＝AD·AB；④AC·BC＝AB·CD（可用面积来证明）.（3）常见的相似图形.
考点四 相似三角形的性质
1.相似三角形的对应角⑩_____________，对应边成比例.
2.相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于?_____________.
3.相似三角形面积的比等于相似比的?________________.
考点五 位似图形
1.定义: 两个图形不仅相似，而且对应点的连线?__________，这样的两个图形叫做位似图形，这个
点叫做位似中心.
2.位似图形与坐标: 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为?_________或?__________.
题 型 归 类 探 究
类型一 平行线分线段成比例（重点）
【典例1】（2018·舟山）如图.直线l1∥l2∥l3.直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知 ，____________。
【思路导引】根据平行线分线段成比例定理可得 ，再根据线段的比求的值即可。
【自主解答】
【方法技巧】应用平行线分线段成比例解决问题的方法:（1）若已知条件中有平行，求两条线段的比，常考虑应用平行线分线段成比例性质求解；（2）应用时，看清平行线组，找准平行线组截得的对应线段和对应边.
【变式训练】1.（2018·哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE//BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
类型二 相似三角形的判定（重难点）
【典例2】（2018·杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.（1）求证:△BDE∽△CAD，
（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长.
【思路导引】（1）根据等腰三角形的性质，易知∠B＝∠C，∠BED＝∠CDA＝90°，从而可得两三角形相似；（2）先利用勾股定理求出AD的长，再利用（1）中结论，得 ，代数求值即可.
【自主解答】
【方法技巧】判断两个三角形相似，若已知一角对应相等，可先考虑另一角对应相等，注意公共角或对顶角或同角（等角）的余角（或补角）相等，若找不到第二对角相等，就考虑夹这个角的两对应边的比相等；若无法得到角相等，就考虑三组对应边的比相等.
【变式训练】2.（2018·白银）如图，已知EC∥AB，∠EDA＝∠ABF.
（1）求证:四边形ABCD为平行四边形；
（2）求证:OA2＝OE·OF.
类型三 相似三角形的性质（高频点）
【典例3】
（2018·贵港）如图，在△ABC中，EF∥BC，AB＝3AE，若S四边形BCFE=16，则S△ABC=（ ）
A.16 B.18 C.20 D.24
【思路导引】由EF∥BC，得△AEF∽△ABC，设△AEF的面积为S，则△ABC的面积为（16＋S），根据相似三角形的面积比等于相似比的平方构建方程求解。
【自主解答】
【方法技巧】应用相似三角形性质解决问题的方法:（1）已知相似三角形中一个三角形的面积，求另一个三角形的面积时，往往根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答；（2）运用相似求线段的长时，首先要根据相似三角形的判定条件找出相似三角形，再根据相似三角形对应边成比例的性质建立比例式，通过比例式沟通已知线段与要求线段之间的关系。
【变式训练】3.（2018·上海）如图，已知正方形DEFG的顶点D，E在△ABC的边BC上，顶点G，F分别在边AB，AC上.如果BC＝4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是__________。
类型四 位似（重点）
【典例4】（2018·抚顺）如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A（8，0），
O（0，0），B（8，-6），点M为OB的中点，以点O为位似中心，把△AOB缩小为原来的，得到△A′OB′，点M′为OB′的中点，则MM′的长为____________。
【思路导引】先判断△AOB为直角三角形，再根据勾股定理计算OB的长，最后利用位似性质分两种情形求解MM′的长。
【自主解答】
【方法技巧】利用位似比确定对应点的坐标的方法:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，此种类型的题目要注意有多种可能。
【变式训练】4.（2018·锦州）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，已知△AOB与△A1OB1位似，位似中心为原点O，且相似比为3:2，点A，B都在格点上，则点B1的坐标为___________。
中 考 真 题 回 放
考点一 平行线分线段成比例
1.（2018·酒泉）已知（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（ ）
A.＝ B.2a＝3b C.＝ D.3a＝2b
2.（2018·乐山）如图，DE∥FG∥BC，若DB＝4FB，则EG与GC的关系是（ ）
A.EG＝4GC B. EG＝3GC C.EG＝GC D.EG = 2GC
3.（2016·济宁）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么
的值等于____________。
4.（2017·临沂）已知AB∥CD，AD与BC相交于点O.若，AD＝10，则AO＝__________。考点二 相似三角形的判定
5.（2017·枣庄）如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原来三角形不相似的是（ ）
6.（2017·潍坊）如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E分别为边AB，AC上的点，AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：______________，可以使得△FDB与△ADE相似.（只需写出一个）
7.（2017·江西）如图，正方形 ABCD中,点E，F，G分别在边AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°，求证:△EBF∽△FCG.
考点三 相似三角形的判定与性质
8.（2018·临沂）如图，利用标杆测量建筑物的高度.已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m.则建筑物CD的高是（ ）
A.9.3m B.10.5m C.12.4m D.14m
9.（2017·永州）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
10.（2018·绥化）两个相似三角形的最短边分别为5cm和3cm，它们的周长之差为12cm，那么大三角形的周长为（ ）
A.14 cm B. 16 cm C.18 cm D. 30 cm
11.（2018·枣庄）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F.若AC＝3，AB＝5，则CE的长为（ ）
A. B. C. D.
12.（2018·泰安）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题:“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问:出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是:如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为___________步。
13.（2018·莱芜）如图，若△ABC内一点P满足∠PAC＝∠PCB＝∠PBA，则称点P为△ABC的布罗卡尔点.三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮.已知△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，P为△ABC的布罗卡尔点，若PA＝，则PB ＋PC=___________。
14.（2018·江西）如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E.求AE的长。
15.（2018·泰安）如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，E是BD上一点，EF∥AB，∠EAB＝∠EBA，过点B作DA的垂线，交DA的延长线于点G.
（1）∠DEF和∠AEF是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；
（2）找出图中与△AGB相似的三角形，并证明；
（3）BF的延长线交CD的延长线于点H，交AC于点M.求证:BM2＝MF· MH.
16.（2018·潍坊）在平面直角坐标系中，点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为（ ）
A.(2m，2n) B.(2m，2n)或(-2m，-2n) C. D.或
17.（2018·滨州）在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，8），B（10，2）.若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（ ）
A.（5，1） B.（4，3） C.（3，4） D.（1，5）
18.（2018·菏泽）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似A中心的位似图形，相似比为3:4，∠OCD＝90°，∠AOB＝60°，若点B的坐标是（6，0），则点C的坐标是___________。
19.（2017·枣庄）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2)，B(4,0)，C(4,-4).
（1）请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴的右侧画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值。
参考答案及解析
【题型归类探究】
【典例1】
【自主解答】2 解析:∵，∴.∵l1∥l2∥l3， ∴.
【变式训练】1.D
【典例2】
【自主解答】解:（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC。
∵DE⊥AB，∴∠BED＝∠ADC＝90°， ∴△BDE∽△CAD.
（2）∵BC＝10，AD为BC边上的中线∴BD＝CD＝5，
又AC＝13，根据勾股定理，得AD＝＝12。
由△BDE∽△CAD，得，即，故DE＝。
【变式训练】2.证明:（1）∵EC∥AB，∴∠C=∠ABF，又∵∠EDA＝∠ABF，
∴∠C＝∠EDA.∴AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形。
（2）∵EC∥AB，∴，又∵AD∥BC，∴.
∴ ,∴OA2＝OE·OF。
【典例3】
【自主解答】B 解析:设△AEF的面积为S，则△ABC的面积为（16＋s），
由于在△ABC中，EF∥BC，AB＝3AE，所以，
解得S＝2，所以S△ABC＝16＋2＝18.
【变式训练】3. 解析:作AH⊥BC于点H，交GF于点I.设正方形的边长是x。因为△ABC的面积是6，所以×BC×AH＝6.又因为BC＝4，所以AH＝3，AI＝3-x.因为正方形DEFG，所以GF∥BC，所以 ，，解得x＝，所以正方形的边长是。
【典例4】
【自主解答】或 解析:由A，B两点横坐标相同，得AB∥y轴，故BA⊥x轴如图，
在Rt△AOB中，OB＝＝10.
①当△A'OB'在第四象限时，MM'＝。
②当△A''OB''在第二象限时，MM''＝。
【变式训练】4.（-2，-）
【中考真题回放】
1.B 2.B 3. 4.4 5.C
6.∠A＝∠BDF（∠A＝∠BFD，∠ADE＝∠BFD，∠ADE＝∠BDF，DF∥AC，,)
7.证明:∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠EFG＝90°，
∴∠BFE＋∠CFG＝90° ∵∠CGF＋∠CFG＝90°，
∴∠BFE＝∠CGF，∴△EBF∽△FCG。
8.B 9.C 10.D 11.A
12.
13.1＋
14.解:∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，又∵AB∥CD，
∴∠D＝∠ABD，∴∠D＝∠CBD，∴BC＝CD，
∵BC＝4，∴CD＝4，∵AB∥CD，∴△ABE△CDE，
∴，∴，∴AE＝2CE，
∵AC＝AE＋CE＝6，∴AE＝4.
15.（1）解:∠DEF＝∠AEF，理由如下:
∵EF∥AB，∴∠DEF＝∠EBA，∠AEF＝∠EAB.
又∵∠EAB∠EBA，∴∠DEF＝∠AEF。
（2）解:△EOA∽△AGB，证明如下:
∵四边形ABCD是菱形，AB＝AD，AC⊥BD，
∴∠GAB＝∠ABE＋∠ADB＝2∠ABE.
又∵∠AEO＝∠ABE＋∠BAE＝2∠ABE，
∴∠GAB＝∠AEO又∠AGB＝∠AOE＝90°，
∴△EOAC△AGB。
（3）证明:连接DM.∵四边形ABCD是菱形，由对称性可知BM＝DM，∠ADM＝∠ABM.
∵AB∥CH，∴∠ABM＝∠H，∴∠ADM＝∠H.又∵∠DMH＝∠FMD，
∴△MFD∽△MDH，∴ ，∴BM2＝MF·MH.
16.B 17.C 18.（2，2）
19.解:（1）△A1B1C1如图所示：
（2）△A2B2C2如图所示:
∵A（2，2），C（4，-4），B（4，0），
∴直线AC解析式为y＝-3x＋8，与轴交于点D（，0），
∵∠CBD＝90°，∴CD＝＝，
∴sin∠DCB＝。
∵∠A2C2B2＝∠ACB，∴sin∠A2C2B2＝sin∠DCB＝。