【备考2019中考数学学案】第四单元 图形的初步知识与三角形 第4讲 直角三角形与勾股定理
文档属性
| 名称 | 【备考2019中考数学学案】第四单元 图形的初步知识与三角形 第4讲 直角三角形与勾股定理 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-03-13 14:08:57 | ||
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文档简介
第四单元 图形的初步知识与三角形
第4讲 直角三角形与勾股定理
考 点 知 识 清 单
考点一 直角三角形的概念、性质与判定
定义
有一个角是①__________的三角形。
性质
直角三角形的两锐角②____________。
直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的③__________。
直角三角形斜边的中线等于斜边的④____________。
判定
有两个角⑤_________的三角形是直角三角形。
考点二 勾股定理与逆定理
勾股定理
如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么⑥_____________。
勾股定理
的逆定理
如果三角形三边a，b，c满足⑦__________那么这个三角形是直角三角形.
勾股数
能满足a2＋b2＝c2的三个⑧________，称为勾股数.
【温馨提示】
1.利用勾股定理:（1）已知直角三角形的两边求第三边；（2）已知直角三角形的一边求另两边的关系；（3）证明线段的平方关系。
2.利用勾股定理的逆定理:（1）判断某个三角形是否为直角三角形；（2）证明两条线段垂直；（3）解决生活中的实际问题.
考点三 命题、定理、证明
1.命题:⑨_____________一件事物的语句叫命题，一个命题由⑩__________和结论两部分构成，可分为真命题和假命题两类.
2.互逆命题:一个命题的题设和结论分别是另一个命题的?____________。
3.定理:经过推理和证明得到的真命题叫做定理.
【温馨提示】
1.真命题的判断，一是通过基本事实，二是通过证明；判断一个命题是假命题，只要举出一个反例即可。
2.证明的一般步骤:（1）根据题意，画出图形；（2）根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；（3）经过分析，写出由已知到结论的证明过程.
题 型 归 类 探 究
类型一 直角三角形的性质（重点）
【典例1】（2018·南充）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC＝2，则EF的长度为（ ）
A. B.1 C. D.
【思路导引】 根据含30°角的直角三角形的性质，得AB的长为4；根据直角三角形斜边中线的性质，得CD＝2；根据三角形中位线的性质得EF的长为1。
【自主解答】
【方法技巧】应用直角三角形性质解决问题的方法:直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是求线段长度和证明线段倍分关系的重要方法.遇直角三角形斜边的中点，常添加斜边上的中线为辅助线。
【变式训练】1.（2018·徐州）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，若∠C＝55°，则∠ABD＝__________。
类型二 勾股定理与逆定理（重难点）
【典例2】（2016·广州）如图，已知△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD等于（ ）
A.3 B.4 C.4.8 D.5
【思路导引】 根据△ABC的三边关系判断该三角形的形状为直角三角形；又因为DE为AC的垂直平分线，进而推得DE为△ABC的中位线，根据勾股定理求得CD的长。
【自主解答】
【方法技巧】应用勾股定理解决问题的方法:在直角三角形中，已知任意两边的长a，b，可直接利用勾股定理求出第三边c.勾股定理的常见变形为:c＝，a＝，b＝.
【变式训练】2.（2018·台州）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的长方形由两个这样的图形拼戈，若a＝3，b＝4，则该长方形的面积为（ ）
A.20 B.24 C. D.
类型三 命题、定理、证明（重点）
【典例3】（2018·徐州）已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，给出下列四个论断:
①OA＝OC，②AB＝CD，③∠BAD＝∠DCB，④AD∥BC.
请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论，完成下列各题:
（1）构造一个真命题，画图并给出证明；
（2）构造一个假命题，举反例加以说明。
【思路导引】根据平行四边形的判定条件选择题设条件并证明即可，反例一般考虑等腰梯形时的情形。【自主解答】
【方法规律】说明一个命题真假的方法:（1）要说明一个命题是真命题，需要证明，定义、定理等都是真命题；（2）要判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可。
【变式训练】 3.（2017·常德）命题:“如果m是整数，那么它是有理数”，则它的逆命题为:_____
___________________________________________________。
中 考 真 题 回 放
1.（2018·淄博）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB与点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且AN平分∠AMC.若AN＝1，则BC的长为（ ）
A.4 B.6 C.4 D.8
2.（2018·青岛）如图，三角形纸片ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E为AB中点.沿过点E的直线折B叠，使点B与点A重合，折痕EF交BC于点F.已知EF＝，则BC的长是（ ）
A. B. C.3 D.3
3.（2017·青岛）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若∠BAD＝58°，则∠EBD的度数为________度。
考点二 勾股定理与逆定理
4.（2018·滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ）
A.5 B.6 C.7 D. 8
5.（2018·东营）如图所示，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝3，现有一只蚂蚁想从A处沿圆柱表面爬到A对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（ ）
A.3 B.3 C. D.3
6.（2018·曲靖）如图:在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么△ACD的周长是_____________。
7.（2018·枣庄）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《教书九章》书甲，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式。即:如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S＝，已知△ABC的三边长分别为，2，1，则△ABC的面积为_______。
考点三 命题
8.（2017·无锡）对于命题“若a2＞b2，则a＞b.”下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A.a＝3，b＝2 B.a＝-3，b＝2 C.a＝3，b＝-1 D.a＝-1，b＝3
9.（2018·重庆）下列命题是真命题的是（ ）
A.如果一个数的相反数等于这个数的本身，那么这个数一定是0
B.如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1
C.如果一个数的平方等于这个数的本身，那么这个数一定是0
D.如果一个数的算术平方根等于这个数的本身，那么这个数一定是0
10.（2017·包头）已知下列命题:①若＞1，则a＞b；②若a＋b＝0，则｜a｜＝｜b｜；③等边三角形的三个内角都相等；④底角相等的两个等腰三角形全等.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.（2018·滨州）下列命题，其中是真命题的为（ ）
A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线相等的四边形是矩形
D.一组邻边相等的矩形是正方形
参考答案及解析
【题型归类探究】
【典例1】
【自主解答】B 解析:EF为△ACD的中位线，∴EF＝CD，
∵CD为Rt△ACB斜边上的中线，∴CD＝AB.∠A＝30°，
∴CB＝AB，∴EF＝BC＝1.
【变式训练】1. 35°
【典例2】
【自主解答】D 解析:∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴BC2＋AC2＝AB2。
∴△ABC是直角三角形，∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE＝EC＝4，DE∥BC，且线段DE是△ABC的中位线。
∴DE＝3.∴DC＝＝5
【变式训练】2.B 解析:由题意可知，设小正方形边长为c，则长方形的长为c＋4，宽为c＋3，长方形的对角线为a＋b＝3＋4＝7.根据勾股定理可得（c＋4）2＋（c＋3）2＝72，化简，得c2＋7c＝12，则长方形的面积为（c＋4）（c＋3）＝c2＋7c＋12＝12＋12＝24。
【典例3】
【自主解答】解:（1）①④论断作为条件，证明如下:如图，
∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∠ADB＝∠DBC，
又∵OA＝OC，∴△AOD≌△COB，∴AD＝BC.
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）②④论断为条件时，此时一组对边平行，另一组对边相等，可以构成等腰梯形，不是平行四边形。
【变式训练】3.如果m是有理数，则它是整数。
【中考真题回放】
1.B
2.B 解析:在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝45°由折叠的性质可得∠BAF＝∠B＝45°，
∴∠AFB＝180°-∠B - ∠BAF＝90°。
在Rt△ABF中，点E是AB的中点，∴EF是斜边AB上的中线，
∴AB＝2EF＝2×＝3.
在Rt△ABC中，AB＝AC＝3，根据勾股定理，得BC＝＝3.
32
4.A
5.C. 解析:把圆柱沿AB剪开并展开，如图所示，由题意得AB＝3，BC＝π，
蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点C的最短距离为线段AC的长，
AC＝＝，故选C.
6.18 解析:由于DE是△ABC的中位线所以AC＝5，由于AB＝13，BC＝12，52＋122＝132，
因此△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD是斜边AB的中线，因此CD＝AB÷2＝6.5，
而AD＝6.5，AC＝5，所以△ACD的周长是6.5＋6.5＋5＝18。
7.1 解析:可将三边长代入公式求解，也可根据勾股定理的逆定理可知这是一个直角三角形，故其面积为×2×1＝1.
8.B 9.A 10.A 11.D
第4讲 直角三角形与勾股定理
考 点 知 识 清 单
考点一 直角三角形的概念、性质与判定
定义
有一个角是①__________的三角形。
性质
直角三角形的两锐角②____________。
直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的③__________。
直角三角形斜边的中线等于斜边的④____________。
判定
有两个角⑤_________的三角形是直角三角形。
考点二 勾股定理与逆定理
勾股定理
如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么⑥_____________。
勾股定理
的逆定理
如果三角形三边a，b，c满足⑦__________那么这个三角形是直角三角形.
勾股数
能满足a2＋b2＝c2的三个⑧________，称为勾股数.
【温馨提示】
1.利用勾股定理:（1）已知直角三角形的两边求第三边；（2）已知直角三角形的一边求另两边的关系；（3）证明线段的平方关系。
2.利用勾股定理的逆定理:（1）判断某个三角形是否为直角三角形；（2）证明两条线段垂直；（3）解决生活中的实际问题.
考点三 命题、定理、证明
1.命题:⑨_____________一件事物的语句叫命题，一个命题由⑩__________和结论两部分构成，可分为真命题和假命题两类.
2.互逆命题:一个命题的题设和结论分别是另一个命题的?____________。
3.定理:经过推理和证明得到的真命题叫做定理.
【温馨提示】
1.真命题的判断，一是通过基本事实，二是通过证明；判断一个命题是假命题，只要举出一个反例即可。
2.证明的一般步骤:（1）根据题意，画出图形；（2）根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；（3）经过分析，写出由已知到结论的证明过程.
题 型 归 类 探 究
类型一 直角三角形的性质（重点）
【典例1】（2018·南充）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC＝2，则EF的长度为（ ）
A. B.1 C. D.
【思路导引】 根据含30°角的直角三角形的性质，得AB的长为4；根据直角三角形斜边中线的性质，得CD＝2；根据三角形中位线的性质得EF的长为1。
【自主解答】
【方法技巧】应用直角三角形性质解决问题的方法:直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是求线段长度和证明线段倍分关系的重要方法.遇直角三角形斜边的中点，常添加斜边上的中线为辅助线。
【变式训练】1.（2018·徐州）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，若∠C＝55°，则∠ABD＝__________。
类型二 勾股定理与逆定理（重难点）
【典例2】（2016·广州）如图，已知△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD等于（ ）
A.3 B.4 C.4.8 D.5
【思路导引】 根据△ABC的三边关系判断该三角形的形状为直角三角形；又因为DE为AC的垂直平分线，进而推得DE为△ABC的中位线，根据勾股定理求得CD的长。
【自主解答】
【方法技巧】应用勾股定理解决问题的方法:在直角三角形中，已知任意两边的长a，b，可直接利用勾股定理求出第三边c.勾股定理的常见变形为:c＝，a＝，b＝.
【变式训练】2.（2018·台州）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的长方形由两个这样的图形拼戈，若a＝3，b＝4，则该长方形的面积为（ ）
A.20 B.24 C. D.
类型三 命题、定理、证明（重点）
【典例3】（2018·徐州）已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，给出下列四个论断:
①OA＝OC，②AB＝CD，③∠BAD＝∠DCB，④AD∥BC.
请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论，完成下列各题:
（1）构造一个真命题，画图并给出证明；
（2）构造一个假命题，举反例加以说明。
【思路导引】根据平行四边形的判定条件选择题设条件并证明即可，反例一般考虑等腰梯形时的情形。【自主解答】
【方法规律】说明一个命题真假的方法:（1）要说明一个命题是真命题，需要证明，定义、定理等都是真命题；（2）要判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可。
【变式训练】 3.（2017·常德）命题:“如果m是整数，那么它是有理数”，则它的逆命题为:_____
___________________________________________________。
中 考 真 题 回 放
1.（2018·淄博）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB与点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且AN平分∠AMC.若AN＝1，则BC的长为（ ）
A.4 B.6 C.4 D.8
2.（2018·青岛）如图，三角形纸片ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E为AB中点.沿过点E的直线折B叠，使点B与点A重合，折痕EF交BC于点F.已知EF＝，则BC的长是（ ）
A. B. C.3 D.3
3.（2017·青岛）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若∠BAD＝58°，则∠EBD的度数为________度。
考点二 勾股定理与逆定理
4.（2018·滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ）
A.5 B.6 C.7 D. 8
5.（2018·东营）如图所示，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝3，现有一只蚂蚁想从A处沿圆柱表面爬到A对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（ ）
A.3 B.3 C. D.3
6.（2018·曲靖）如图:在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么△ACD的周长是_____________。
7.（2018·枣庄）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《教书九章》书甲，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式。即:如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S＝，已知△ABC的三边长分别为，2，1，则△ABC的面积为_______。
考点三 命题
8.（2017·无锡）对于命题“若a2＞b2，则a＞b.”下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A.a＝3，b＝2 B.a＝-3，b＝2 C.a＝3，b＝-1 D.a＝-1，b＝3
9.（2018·重庆）下列命题是真命题的是（ ）
A.如果一个数的相反数等于这个数的本身，那么这个数一定是0
B.如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1
C.如果一个数的平方等于这个数的本身，那么这个数一定是0
D.如果一个数的算术平方根等于这个数的本身，那么这个数一定是0
10.（2017·包头）已知下列命题:①若＞1，则a＞b；②若a＋b＝0，则｜a｜＝｜b｜；③等边三角形的三个内角都相等；④底角相等的两个等腰三角形全等.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.（2018·滨州）下列命题，其中是真命题的为（ ）
A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线相等的四边形是矩形
D.一组邻边相等的矩形是正方形
参考答案及解析
【题型归类探究】
【典例1】
【自主解答】B 解析:EF为△ACD的中位线，∴EF＝CD，
∵CD为Rt△ACB斜边上的中线，∴CD＝AB.∠A＝30°，
∴CB＝AB，∴EF＝BC＝1.
【变式训练】1. 35°
【典例2】
【自主解答】D 解析:∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴BC2＋AC2＝AB2。
∴△ABC是直角三角形，∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE＝EC＝4，DE∥BC，且线段DE是△ABC的中位线。
∴DE＝3.∴DC＝＝5
【变式训练】2.B 解析:由题意可知，设小正方形边长为c，则长方形的长为c＋4，宽为c＋3，长方形的对角线为a＋b＝3＋4＝7.根据勾股定理可得（c＋4）2＋（c＋3）2＝72，化简，得c2＋7c＝12，则长方形的面积为（c＋4）（c＋3）＝c2＋7c＋12＝12＋12＝24。
【典例3】
【自主解答】解:（1）①④论断作为条件，证明如下:如图，
∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∠ADB＝∠DBC，
又∵OA＝OC，∴△AOD≌△COB，∴AD＝BC.
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）②④论断为条件时，此时一组对边平行，另一组对边相等，可以构成等腰梯形，不是平行四边形。
【变式训练】3.如果m是有理数，则它是整数。
【中考真题回放】
1.B
2.B 解析:在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝45°由折叠的性质可得∠BAF＝∠B＝45°，
∴∠AFB＝180°-∠B - ∠BAF＝90°。
在Rt△ABF中，点E是AB的中点，∴EF是斜边AB上的中线，
∴AB＝2EF＝2×＝3.
在Rt△ABC中，AB＝AC＝3，根据勾股定理，得BC＝＝3.
32
4.A
5.C. 解析:把圆柱沿AB剪开并展开，如图所示，由题意得AB＝3，BC＝π，
蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点C的最短距离为线段AC的长，
AC＝＝，故选C.
6.18 解析:由于DE是△ABC的中位线所以AC＝5，由于AB＝13，BC＝12，52＋122＝132，
因此△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD是斜边AB的中线，因此CD＝AB÷2＝6.5，
而AD＝6.5，AC＝5，所以△ACD的周长是6.5＋6.5＋5＝18。
7.1 解析:可将三边长代入公式求解，也可根据勾股定理的逆定理可知这是一个直角三角形，故其面积为×2×1＝1.
8.B 9.A 10.A 11.D
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