【备考2019中考数学学案】第四单元 图形的初步知识与三角形 第5讲 全等三角形

第四单元 图形的初步知识与三角形
第5讲 全等三角形
考 点 知 识 清 单
考点一 全等三角形的性质
1.全等三角形的对应边①____________；
2.全等三角形的对应角②____________。
考点二 全等三角形的判定
全
等
三角的判定
（1）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简记为“SAS”）
（2）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（简记为“③____”）
（3）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的形两个三角形全等（简写为“④_________”）
（4）三边分别相等的两个三角形全等（简记为“⑤_________”）
（5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简记为“
⑥________”）
【温馨提示】 1.边边角“SSA”和角角角“AAA”是错误的判定方法，特别是“边边角”一定要和“边角边”区分开来.
2.在书写三角形全等时，要把对应点字母写在对应的位置上，同时注意证明的基本格式规范.
考点三 角平分线的性质和判定
1.性质:角的平分线上的点到角的两边的距离⑦_________。
2.判定:角的内部到角的两边距离相等的点在⑧__________上.
3.三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离⑨_________。
题 型 归 类 探 究
类型一 全等三角形的判定（重点）
【典例1】（2018·桂林）如图，点 A，D，C，F在同一条直线上， AD＝CF，AB＝DE， BC＝EF. （1）求证:△ABC≌△DEF；
（2）若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数.
【思路导引】（1）先由AD＝CF，证得AC＝DF，再用“SSS”证得△ABC≌△DEF；（2）由△ABC≌△DEF得∠F＝∠BCA，在△ABC中，已知∠A＝55°，∠B＝88°，可求得∠BCA的度数。
【自主解答】
【方法技巧】证明两个三角形全等的思路:
（1）已知两边 （2）已知两角
（3）已知一边及其邻角（4）已知一边及其对角（只能找任意一角）.
【变式训练】1.（2017·广州）如图，点E，F在AB上，AD＝BC，∠A＝∠B，AE＝BF.
求证:△ADF≌△BCE.
类型二 全等三角形的判定与性质的综合运用（高频点）
【典例2】（2017·常州）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝900，∠BAC＝∠D，BC＝CE.
（1）求证:AC＝CD；
（2）若AC＝AE，求∠DEC的度数。
【思路导引】（1）通过证△BCA≌△ECD，得AC ＝CD；（2）由（1）可知△ACD是等腰直角三角形，故∠DAC＝45°，然后在等腰△ACE中求出∠AEC的大小，即可得∠DEC的度数.
【自主解答】
【方法技巧】应用全等三角形性质证明线段或角相等:
（1）在遇到证明线段或角相等时，常寻找线段或角是否在两个三角形中，若在两个三角形中，常证明线段或角所在的两个三角形全等，再利用全等三角形的性质解决问题；
（2）若题目出现证明对应边上的中线、高或对应角的角平分线相等，常利用全等三角形对应边上的中线、高线、对应角的角平分线相等，全等三角形的周长、面积也相等。
【变式训练】2.（2017·恩施）如图，△ABC，△CDE均为等边三角形，连接BD，AE交于点O，BC与AE交于点P.求证:∠AOB＝60°。
类型三角平分线的性质和判定（高频点）
【典例3】（2018·大庆）如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝（ ）
A.30° B.35° C.45° D.60°
【思路导引】作MN⊥AD于N，根据角平分线的性质可得MN＝MC＝MB，进而可知AM是∠BAD的平分线，最后结合平行线的性质得∠DAB＋∠ADC＝180°，易求∠MAB的大小。
【自主解答】
【方法技巧】应用角平分线的性质解决问题的方法:角平分线的性质是证明线段相等或角相等的重要的方法，当题目中出现角平分线的条件时，常考虑运用角平分线的性质，应用时注意两个垂直的条件，不要漏写。
【变式训练】3.（2018·广安）如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥ OB于C，若EC＝1，则OF＝___________。
中 考 真 题 回 放
考点一 全等三角形的判定与性质
1.（2018·临沂）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D，E.AD＝3，BE＝1.则DE的长是（ ）
A. B.2 C.2 D.
2.（2018·东营）如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC.给出下列结论:①BD＝CE；②∠ABD＋∠ECB＝45°；③BD⊥ CE；④BE2＝2(AB2＋AD2)-CD2.其中正确的是（ ）
A.①②③④ B.②④ C.①②③ D.①③④
3.（2018·济宁）在△ABC中，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在BC边上，连接DE，DF，EF，请你添加一个条件______________，使△BED与△FED全等。
4.（2018·菏泽）如图，AB∥CD，AB＝CD，CE＝BF.请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论。
5.（2018·滨州）已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点。
（1）如图①，若点E，F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF，求证:BE＝AF；
（2）若点E，F分别为AB，CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE＝AF吗？请利用图②说明理由.
考点二 角平分线的性质和判定
6.（2017·滨州）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M，N两点，则以下结论:（1）PM＝PN恒成立，（2）OM＋ON的值不变，（3）四边形PMON的面积不变，（4）MN的长不变，其中正确的个数为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
7.（2018·威海）如图，在△ABC中,∠ABC＝50°,∠ACB＝60°,点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD.下列结论不正确的是（ ）
A.∠BAC＝70° B.∠DOC＝90° C.∠BDC＝35° D.∠DAC＝55°
8.（2018·德州）如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4，则点C到射线OA的距离为__________。
9.（2018东营）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D.若BD＝3，AC＝10，则△ACD的面积是___________。
参考答案及解析
【题型归类探究】
【典例1】
【自主解答】（1）证明:∵AD＝CF，∴AD＋DC＝DC＋CF，即 AC＝DF.
在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（SSS）。
（2）解：∵∠A＝55°，∠B＝88°，∴∠ACB＝180°-∠A-∠B＝180°-55°-88°＝37° 。
∵△ABC≌△DEF，∴∠F＝∠ACB＝37°。
【变式训练】1.证明:∵AE＝BF，∴AE＋EF＝BF＋EF，即 AF＝BE.
在△ADF和△BCE中， ∴△ADF≌△BCE（SAS）。
【典例2】
【自主解答】（1）证明:∵∠BCE＝∠ACD＝90°，∴∠BCA＝∠ECD。
在△BCA和△ECD中，∵ ∴△BCA≌△ECD，∴AC＝CD。
（2）解:∵AC＝AE，∴∠AEC＝∠ACE.又∵∠ACD＝90°，AC＝CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠DAC＝45°，
∴∠AEC＝（180°-∠DAC）＝（180°-45°），
∴∠DEC＝180°-∠AEC＝180°-（180°-45°）＝112.50.
【变式训练】2.证明:∵△ABC，△CDE均为等边三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACE＝∠BCD。
在△ACE和△BCD中，∵AC＝BC，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CAE＝∠CBD。
在△APC和△BPO中，又∵∠APC＝∠BPO，∴△APC∽△BPO，∴∠AOB＝∠ACB＝60°。
【典例3】
【自主解答】B 解析:作MN⊥AD于N，∵∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD，
∴∠DAB＝180°-∠ADC＝70° ∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD。
∴MN＝MC，∵M是BC的中点，∴MC＝MB。
∴MN＝MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，
∴∠MAB＝∠DAB＝35°。
【变式训练】3. 2 解析:过点E作EH⊥OA于H，则由角平分线的性质得EH＝EC＝1.
∵OE平分∠AOB，EF∥OB，∴∠FEO＝∠BOE＝∠AOE＝15°，∴∠AFE＝30°，
∴OF＝EF＝2EH＝2.
【中考真题回放】
1.B 解析:∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠DAC＋∠DCA＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＋∠DCA＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，
∵AC＝CB，∴△ACD≌△CBE，∴AD＝CE＝3，CD＝BE＝1，
∴DE＝CE-CD＝3-1＝2。
A 解析:∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠DAB＝∠EAC，又∵AD＝AE，AB＝AC，
∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，故①正确
∵△DAB≌△EAC，∴∠DBA＝∠ECA，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACE＋∠ECB＝45°，∴∠ABD＋∠ECB＝45°，故②正确；
∵∠ABD＋∠ECB＝45°，∠ABC＝45°∴∠ABE＋∠ABC＋∠ECB＝90°，∴∠BEC＝90°，即BD⊥CE，故③正确；
BE2＝BC2-EC2＝2AB2-（CD2-DE2）＝2AB2-CD2＋2AD2＝2（AD2＋AB2）-CD2，故④正确.
3.答案不唯一，如:BD＝EF（或BD＝CD或DF∥AB或DE∥AC或∠BED＝∠EDF等）
4.解:DF＝AE.证明:∵AB∥CD，∴∠C＝∠B.∵CE＝BF，∴CE - EF＝BF - FE，
∴CF＝BE.又∵CD＝AB，∴△DCF≌△ABE（SAS），∴DF＝AE。
5.解:（1）如图①，连接AD，∵∠BDA＝∠EDF＝90°，∴∠BDE＋∠EDA＝∠EDA＋∠ADF。
∴∠BDE＝∠ADF.又∵D为BC中点，△ABC是等腰直角三角形，
∴BD＝AD，∠B＝∠DAC＝45°。
∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF.
（2）如图②，连接AD，∵∠BDA＝∠EDF＝90°，∴∠BDE＋∠BDF＝∠BDF＋∠ADF。
∴∠BDE＝∠ADF.又∵D为BC中点，△ABC是等腰直角三角形，
∴BD＝AD，∠ABC＝∠DAC＝45°∴∠EBD＝∠FAD＝180°-45°＝135°，
∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF。
6.B 7.B 8. 3 9. 15