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1.5 定积分的概念（解析版）
1.5.1 曲边梯形的面积
1.5.2 汽车行驶的路程
考 点 考纲要求 要求 题型
求曲边梯形的面积 会求曲边梯形的面积，了解“以直代曲”“以不变代变”的思想方法. ii 填空，选择。
求变速直线运动物体的路程 求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程. ii 填空，选择。
知识梳理
一、连续函数
一般地，如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数．
二、曲边梯形的面积
(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．
(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：
①分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)；
②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；
③求和：以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；
④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．
三、变速直线运动的位移(路程)
一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a≤t≤b内的位移s.
典例解析
考向一 求曲边梯形的面积
[典例1] 求由直线x＝0，x＝1，y＝0及曲线y＝x2＋2x所围成的图形的面积S.
[解析] (1)分割
在区间[0,1]上等间隔地插入n－1个点，将它等分为n个小区间：，，，…，，记第i个区间为(i＝1,2，…，n)，其长度为Δx＝－＝.
分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，则小曲边梯形面积的和为S＝ΔSi.
(2)近似代替
记f(x)＝x2＋2x，当n很大，即Δx很小时，在区间上，可以认为f(x)的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于右端点处的函数值f.从图形上看就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边，这样在区间上，用小矩形的面积ΔS′i近似地代替ΔSi，则有ΔSi≈ΔS′i＝f·Δx＝.
(3)求和
小曲边梯形的面积和Sn＝ΔSi≈ΔS′i
＝
＝
＝＋
＝＋.
(4)取极限
分别将区间[0,1]等分成8,16,20，…等份时，可以看到，当n趋向于无穷大，即Δx趋向于0时，Sn越来越趋向于S，
从而有S＝Sn
＝ ＝.
即由直线x＝0，x＝1，y＝0及曲线y＝x2＋2x所围成的图形的面积等于.
1．求曲边梯形的面积时要按照分割—近似代替—求和—取极限这四个步骤进行．
2．近似代替时，可以用每个区间的右端点的函数值代替，也可用每个区间的左端点的函数值代替．
3．求和时要用到一些常见的求和公式，例如：1＋2＋3＋…＋n＝，12＋22＋…＋n2＝等．
1．求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形的面积．
解析：(1)分割
将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，
在区间[0,1]上等间隔地插入n－1个点，将区间[0,1]等分成n个小区间：[0，]，[，]，…，[，1]，
记第i个区间为[，](i＝1,2，…，n)，其长度为
Δx＝－＝.
把每个小曲边梯形的面积记为ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.
(2)近似代替
根据题意可得第i个小曲边梯形的面积
ΔSi＝|f()·Δx|＝|[·(－1)]·|
＝·(1－)(i＝1,2，…，n)．
(3)求和
把每个小曲边梯形近似地看作矩形，求出这n个小矩形的面积的和
S′＝|f()·Δx|＝[·(1－)]
＝·(1－)，
从而得到所求图形面积的近似值S≈·(1－)．
(4)取极限
当n→∞时，上述和式的极限就是所求图形的面积，
即S＝ ·(1－)＝，
得到由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形的面积为.
考向二 求变速直线运动物体的路程
[典例2] 一辆汽车做变速直线运动，设汽车在时刻t的速度v(t)＝，求汽车在t＝1到t＝2这段时间内运动的路程s.
[解析] (1)分割．
把区间[1,2]等分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，每个区间的长度Δt＝，每个时间段行驶的路程记为Δsi(i＝1,2，…，n)．
故路程和sn＝Δsi.
(2)近似代替．
ξi＝(i＝1,2，…，n)．
Δsi≈v·Δt＝6·2·
＝·＝
≈(i＝1,2,3，…，n)．
(3)求和．
sn＝
＝6n
＝6n.
(4)取极限．
s＝sn＝6n＝3.
所以这段时间内运动的路程s为3.
求变速直线运动物体行驶的路程的问题：
把变速直线运动的路程问题．化为求匀速直线运动的问题，采用方法仍然是分割、近似代替、求和、取极限，求变速直线运动的路程和曲边梯形的面积，虽然它们的意义不同，但都可以归纳为求一个特定形式和的极限，通过这样的背景问题，能更好地体会后面所要学习的定积分的概念．
2．有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)＝3t2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？
解析：(1)分割
在时间区间[0,2]上等间隔地插入n－1个分点，将它等分成n个小区间．
记第i个小区间为[，](i＝1,2，…，n)，其长度为Δt＝－＝.每个时间段上行驶的路程记为Δsi(i＝1,2，…，n)，则显然有s＝Δsi.
(2)近似代替
取ξi＝(i＝1,2，…，n)．
于是Δsi≈Δsi′＝v()·Δt＝[3()2＋2]·
＝＋(i＝1,2，…，n)．
(3)求和
sn＝Δsi′＝ (＋)＝(12＋22＋…＋n2)＋4＝·＋4＝8(1＋)(1＋)＋4.
从而得到s的近似值s≈sn.
(4)取极限
s＝sn＝[8(1＋)(1＋)＋4]＝8＋4＝12.
所以这段时间内行驶的路程为12 km.
过关检测
1．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值( )
A．只能是左端点的函数值f(xi)
B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)
C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])
D．以上答案均正确
解析：作近似计算时，Δx＝xi＋1－xi很小，误差可忽略，所以f(x)可以是[xi，xi＋1]上任一值f(ξi)．
答案：C
2．在求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边三角形的面积时，把区间[0,2]等分成n个小区间，则第i个小区间是( )
A．[，] B．[，]
C．[，] D．[，]
解析：将区间[0,2]等分为n个小区间后，每个小区间的长度为，第i个小区间为[，]．
答案：C
3.把区间[1,3]n等分，所得n个小区间的长度均为( )
A. B.
C. D.
解析：把区间[1,3]n等分，所得n个小区间的长度均为＝.
答案：B
4．在求由x＝a，x＝b(a①n个小曲边梯形的面积和等于S；
②n个小曲边梯形的面积和小于S；
③n个小曲边梯形的面积和大于S；
④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：n个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S.∴①正确，②③④错误，故应选A.
答案：A
5．把区间[a，b](aA．[，]
B．[(b－a)，(b－a)]
C．[a＋，a＋]
D．[a＋(b－a)，a＋(b－a)]
解析：区间[a，b](a答案：D
6．对于由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形，把区间3等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )
A. B.
C. D.
解析：将区间[0,1]三等分为[0，]，[，]，[，1]，各小矩形的面积和为S1＝03·＋()3·＋()3·＝＝.
答案：A
7．在等分区间的情况下，f(x)＝(x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积的和式的极限形式正确的是( )
A.[·] B.[·]
C. (·) D.[·n]
解析：将区间n等分后，每个小区间的长度为Δx＝，第i个小区间为[，](i＝1,2，…，n)，则由求曲边梯形的面积的步骤可得，所求曲边梯形面积的和式的极限形式应为[·]．
答案：B
8.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( )
A．在t1时刻，甲车在乙车前面
B．t1时刻后，甲车在乙车后面
C．在t0时刻，两车的位置相同
D．t0时刻后，乙车在甲车前面
解析：由图象可知，曲线v甲比v乙在0～t0、0～t1与t轴所围成图形的面积大，则在t0、t1时刻，甲车均在乙车的前面．
答案：A
9.. ＝________.
解析： ＝(1＋2＋3＋…＋n)＝·＝.
答案：
10．直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1围成的曲边梯形，将区间[0,2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为________、________.
解析：将区间[0,2]5等分为，，，，，以小区间左端点对应的函数值为高，得S1＝
×＝3.92，同理S2＝
×＝5.52.
答案：3.92 5.52
11．汽车以v＝(3t＋2) m/s做变速直线运动时，在第1 s到第2 s间的1 s内经过的路程是________．
解析：将[1,2]n等分，并取每个小区间左端点的速度近似代替，则
Δt＝，v(ξi)＝v(1＋)＝3(1＋)＋2
＝(i－1)＋5.
∴sn＝[(i－1)＋5]·
＝·
＝·＋5＝(1－)＋5.
∴s＝sn＝＋5＝6.5.
答案：6.5 m
12.已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．
解析：把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1，所以物体运动的路程近似值为s＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.
答案：55
13．如图，某施工队在修建公路时要在小山坡边切去一个几何体．已知该几何体每隔10 m的直截面面积分别为3.4,5.6,6.3,4.8,3.5(单位：m2)，计算大约需移动的土方数为________ m3.
解析：整个几何体需移动的土方数V＝()×10＋()×10＋()×10＋()×10＋()×10＋()×10＝236 m3，
所以大约需移动的土方数为236 m3.
答案：236
14..汽车行驶的速度为v＝t2，求汽车在0≤t≤1这段时间内行驶的路程s.
解析：(1)分割
将区间[0,1]等分为n个小区间
[0，]，[，]，…，[，]，…，[，1]，
每个小区间的长度为Δt＝－＝.
(2)近似代替
在区间[，](i＝1,2，…，n)上，汽车近似地看作以时刻处的速度v()＝()2作匀速行驶，则在此区间上汽车行驶的路程为()2·.
(3)求和
在所有小区间上，汽车行驶的路程和为
sn＝02×＋()2×＋()2×＋…＋()2×＝[12＋22＋…＋(n－1)2]＝×＝(1－)(1－)．
(4)取极限
汽车行驶的路程s＝sn＝ (1－)(1－)＝.
15.如图所示，求直线x＝0，x＝3，y＝0与二次函数f(x)＝－x2＋2x＋3所围成的曲边梯形的面积．
解析：如图，
(1)分割
将区间[0,3]n等分，则每个小区间[，](i＝1,2，…，n)的长度为Δx＝.分别过各分点作x轴的垂线，把原曲边梯形分成n个小曲边梯形．
(2)近似代替
以每个小区间的左端点函数值为高作n个小矩形．
则当n很大时，用n个小矩形的面积之和Sn近似代替曲边梯形的面积S.
(3)求和
Sn＝f()Δx
＝[－＋2×＋3]×
＝－[12＋22＋…＋(n－1)2]＋[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋9
＝－×(n－1)n(2n－1)＋×＋9
＝－9(1－)(1－)＋9(1－)＋9.
∴S≈Sn＝－9(1－)(1－)＋9(1－)＋9.
(4)取极限
S＝Sn
＝[－9(1－)(1－)＋9(1－)＋9]
＝－9×(1－0)×(1－0)＋9×(1－0)＋9＝9，
即所求曲边梯形的面积为S＝9.
16．火箭发射后t s的速度为v(t)(单位：m/s)，假定0≤t≤10，对函数v(t)，按v(t1)Δt＋v(t2)Δt＋…＋v(tn)Δt所作的和具有怎样的实际意义．
解析：将区间[0,10]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δt，在每个小区间上取一点，依次为：t1，t2，t3，…，ti，…，tn，虽然火箭的速度不是常数，但在一个小区间内其变化很小，所以用v(ti)代替第i个区间上的速度，这样v(ti)Δt≈火箭在第i个时间段内运行的路程．
从而Sn＝v(t1)Δt＋…＋v(ti)Δt＋…＋v(tn)Δt≈S(火箭在10 s内运行的路程)，
这就是函数v(t)在时间区间[0,10]上按v(t1)Δt＋v(t2)·Δt＋…＋v(tn)Δt所作的和的实际背景．
当分割无限变细(Δt无限趋近于0)时，Sn就无限趋近于火箭在10 s内运行的总路程．
17．求由直线x＝1，x＝3，y＝0和抛物线y＝3x2所围成的图形的面积．
解析：(1)分割
把区间[1,3]n等分，每个小区间的长度为.
(2)近似代替
取第i个区间的左端点的函数值f[1＋]
＝3[1＋＋]为小矩形的高，
可得第i个小曲边梯形的面积的近似值为
ΔSi＝[1＋＋]．
(3)求和
把这n个小曲边梯形的面积求和得Sn＝6＋＋.
(4)取极限
对(3)中的和式取极限，得所求图形的面积为
S＝[6＋＋]＝26.
即由直线x＝1，x＝3，y＝0和抛物线y＝3x2所围成的图形的面积为26.
18．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)＝kx(k为常数，x是伸长量)，求将弹簧从平衡位置拉长b所做的功．
解析：将物体用常力F沿力的方向拖动距离x，则所做的功W＝F·x.
(1)分割
在区间[0，b]上等间隔地插入n－1个点，将区间[0，b]等分成n个小区间：
，，…，记第i个区间为(i＝1,2，…，n)，其长度为Δx＝－＝.
把在分段，，…，上所做的功分别记作：
ΔW1，ΔW2，…，ΔWn.
(2)近似代替
取各小区间的左端点函数值作为小矩形的高，由条件知：
ΔWi≈F·Δx
＝k··(i＝1,2，…，n)．
(3)求和
Wn＝ΔWii≈k··
＝[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝×＝.
从而得到W的近似值
W＝Wn≈.
(4)取极限
W＝Wn＝ΔWi
＝ ＝.
所以将弹簧从平衡位置拉长b所做的功为.
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1.5 定积分的概念（学生版）
1.5.1 曲边梯形的面积
1.5.2 汽车行驶的路程
考 点 考纲要求 要求 题型
求曲边梯形的面积 会求曲边梯形的面积，了解“以直代曲”“以不变代变”的思想方法. i'i 填空，选择。
求变速直线运动物体的路程 求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程. i'i 填空，选择。
知识梳理
一、连续函数
一般地，如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数．
二、曲边梯形的面积
(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．
(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：
①分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)；
②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；
③求和：以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；
④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．
三、变速直线运动的位移(路程)
一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a≤t≤b内的位移s.
典例解析
考向一 求曲边梯形的面积
[典例1] 求由直线x＝0，x＝1，y＝0及曲线y＝x2＋2x所围成的图形的面积S.
1．求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形的面积．
考向二 求变速直线运动物体的路程
[典例2] 一辆汽车做变速直线运动，设汽车在时刻t的速度v(t)＝，求汽车在t＝1到t＝2这段时间内运动的路程s.
2．有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)＝3t2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？
过关检测
1．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值( )
A．只能是左端点的函数值f(xi) B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)
C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])
D．以上答案均正确
2．在求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边三角形的面积时，把区间[0,2]等分成n个小区间，则第i个小区间是( )
A．[，] B．[，]C．[，] D．[，]
3.把区间[1,3]n等分，所得n个小区间的长度均为( )
A. B. C. D.
4．在求由x＝a，x＝b(a①n个小曲边梯形的面积和等于S；
②n个小曲边梯形的面积和小于S；
③n个小曲边梯形的面积和大于S；
④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定
A．1个 B．2个C．3个 D．4个
5．把区间[a，b](aA．[，]B．[(b－a)，(b－a)]C．[a＋，a＋]D．[a＋(b－a)，a＋(b－a)]
6．对于由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形，把区间3等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )
A. B.C. D.
7．在等分区间的情况下，f(x)＝(x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积的和式的极限形式正确的是( )
A.[·] B.[·]C. (·) D.[·n]
8.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( )
A．在t1时刻，甲车在乙车前面
B．t1时刻后，甲车在乙车后面
C．在t0时刻，两车的位置相同
D．t0时刻后，乙车在甲车前面
9.. ＝________.
10．直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1围成的曲边梯形，将区间[0,2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为________、________.
11．汽车以v＝(3t＋2) m/s做变速直线运动时，在第1 s到第2 s间的1 s内经过的路程是________．
12.已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．
13．如图，某施工队在修建公路时要在小山坡边切去一个几何体．已知该几何体每隔10 m的直截面面积分别为3.4,5.6,6.3,4.8,3.5(单位：m2)，计算大约需移动的土方数为________ m3.
14..汽车行驶的速度为v＝t2，求汽车在0≤t≤1这段时间内行驶的路程s.
15.如图所示，求直线x＝0，x＝3，y＝0与二次函数f(x)＝－x2＋2x＋3所围成的曲边梯形的面积．
16．火箭发射后t s的速度为v(t)(单位：m/s)，假定0≤t≤10，对函数v(t)，按v(t1)Δt＋v(t2)Δt＋…＋v(tn)Δt所作的和具有怎样的实际意义．
17．求由直线x＝1，x＝3，y＝0和抛物线y＝3x2所围成的图形的面积．
18．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)＝kx(k为常数，x是伸长量)，求将弹簧从平衡位置拉长b所做的功．
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