第1章 直角三角形单元检测卷A（含解析）

2018-2019湘教版八年级下第1章直角三角形单元检测卷A
姓名：__________班级：__________考号：__________
、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1.如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（ ）
A． 40° B． 50° C． 60° D． 75°
2.如图，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板的直角边的长为（　　）
A．3cm B．6cm C．8cm D．9cm
3.下列各组数据中，不是勾股数的是　　
A．3，4，5 B．7，24，25 C．8，15，17 D．5，7，9
4.下列说法中，正确的是（?? ）
A．直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5
B.三角形是直角三角形，三角形的三边为a，b，c则满足a2﹣b2=c2
C.以三个连续自然数为三边长不可能构成直角三角形
D.△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC是直角三角形
5.已知△ABC中，∠A=∠B=∠C，则它的三条边之比为（　　）
A．1：1： B．1：：2 C．1：： D．1：4：1
6.如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E，F分别是AC，BD的中点，EF＝2，则AC的长是(　　)
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
7.如图，OP平分∠BOA，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论中错误的是（　　）
A． PC=PD B． OC=OD C． OC=OP D． ∠CPO=∠DPO
8.如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1=60°，则∠2的度数是（　　）
A．50° B．45° C．35° D．30°
9.如图，线段OA＝2，OP＝1，将线段OP绕点O任意旋转时，线段AP的长度也随之改变，则下列结论：
①AP的最小值是1，最大值是4；
②当AP＝2时，△APO是等腰三角形；
③当AP＝1时，△APO是等腰三角形；
④当AP＝时，△APO是直角三角形；
⑤当AP＝时，△APO是直角三角形．
其中正确的是(　　)
A．①④⑤ B．②③⑤ C．②④⑤ D．③④⑤
10.在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：1：2，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，则有( )
A． B． C． D．
11.如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为5和12，则的面积为（　）
A．4 B．17 C．16 D．55
12.如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13.如图，已知∠BAC=∠DAE=90°，AB=AD，要使△ABC≌△ADE，还需要添加的条件是　　　　　　．
14.在△ABC中，AB=8，BC=2 ，AC=6，D是AB的中点，则CD=_____．
15.如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，垂足为A，交CD于D，若AD＝8，则点P到BC的距离是_____．
16.已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足（a﹣6）2++|c﹣10|=0，则三角形的形状是　　　　　　．
17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则DF的长为　　．
18.庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”．这句话（文字语言）表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图1，按此图分割的方法，可得到一个等式（符号语言）：1=+++…++…．
图2也是一种无限分割：在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，过点C作CC1⊥AB于点C1，再过点C1作C1C2⊥BC于点C2，又过点C2作C2C3⊥AB于点C3，如此无限继续下去，则可将利△ABC分割成△ACC1、△CC1C2、△C1C2C3、△C2C3C4、…、△Cn﹣2Cn﹣1Cn、…．假设AC=2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是　 　．
、解答题（本大题共8小题，共66分）
19.如图，已知：AB＝AC，BD＝CD，点P是AD延长线上的一点，且PB⊥AB，PC⊥AC．求证：PB＝PC．
20.在△ABC中，D为BC的中点，AB=5，AD=6，AC=13．试判断AD与AB的位置关系．
21.如图所示．以直角三角形的三条边为边长分别作正方形．依据图中所给条件，回答下列问题：
（1）正方形B的面积是多少？
（2）设正方形B的边长为b．则b满足什么条件？b是有理数吗？
（3）估计b的值（结果精确到十分位），并用计算器验证你的估计．
22.某研究性学习小组进行了探究活动.如图，已知一架竹梯AB斜靠在墙角MON处，竹梯AB=13m，梯子底端离墙角的距离BO=5m.
（1）求这个梯子顶端A距地面有多高；
（2）如果梯子的顶端A下滑4m到点C，那么梯子的底部B在水平方向上滑动的距离BD=4m吗？为什么？
（3）亮亮在活动中发现无论梯子怎么滑动，在滑动的过程中梯子上总有一个定点到墙角O的距离始终是不变的定值，会思考问题的你能说出这个点并说明其中的道理吗？
23.设，，．
（1）当x取什么实数时，a，b，c都有意义；
（2）若Rt△ABC三条边的长分别为a，b，c，求x的值．
24.如图，对角线AB把四边形ACBE分为△ABC和△ABE两部分，如果△ABC中BC边上的高和△ABE中BE边上的高相等，且AC＝AE.
(1)在原图上画出△ABC中BC边上的高AD与△ABE中BE边上的高AF；
(2)请你猜想BC与BE的数量关系并证明．
25.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．
26.数学活动课上，老师提出这样一个问题：如果AB=BC，∠ABC=60°，∠APC=30°，连接PB，那么PA．PB、PC之间会有怎样的等量关系呢？经过思考后，部分同学进行了如下的交流：
小蕾：我将图形进行了特殊化，让点P在BA延长线上（如图1），得到了一个猜想：PA2+PC2=PB2．
小东：我假设点P在∠ABC的内部，根据题目条件，这个图形具有“共端点等线段”的特点，可以利用旋转解决问题，旋转△PAB后得到△P′CB，并且可推出△PBP′，△PCP′分别是等边三角形、直角三角形，就能得到猜想和证明方法．
这时老师对同学们说，请大家完成以下问题：
（1）如图2，点P在∠ABC的内部，
①PA=4，PC=，PB=　　　　　　．
②用等式表示PA．PB、PC之间的数量关系，并证明．
（2）对于点P的其他位置，是否始终具有②中的结论？若是，请证明；若不是，请举例说明．
答案解析
、选择题
1.【考点】全等三角形的判定
【分析】本题要求∠2，先要证明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），则可求得∠2=∠ACB=90°-∠1的值．
解：∵∠B=∠D=90°
在Rt△ABC和Rt△ADC中
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）
∴∠2=∠ACB=90°-∠1=50°．
故选：B．
【点睛】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
2.【考点】含30度角的直角三角形．
【分析】过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半即可得出结论．
解：过点C作CD⊥AD，CD=3cm，
在直角三角形ADC中，
∵∠CAD=30°，
∴AC=2CD=2×3=6cm．
故选B．
【点评】此题考查的知识点是含30°角的直角三角形，根据题意作出辅助线，利用直角三角形的性质求解是解答此题的关键．　
3.【考点】勾股数
【分析】根据勾股数的定义（满足的三个正整数，称为勾股数）判定则可．
解：A．，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；
B、，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；
C、，能构成直角三角形，故是勾股数；
D、，不能构成直角三角形，是正整数，故不是勾股数；
故选D．
【点睛】本题考查的知识点是勾股数的定义，解题关键是注意勾股数不光要满足，还必须要是正整数。
4.【考点】勾股定理，直角三角形的判定
【分析】根据直角三角形的判定进行分析，从而得到答案．
解：A．应为“直角三角形中，已知两直角边的边长为3和4，则斜边的边长为5”，故错误；
B、应为“三角形是直角三角形，三角形的直角边分别为a，b，斜边为c则满足a2﹣b2=c2”，故错误；
C、比如：边长分别为3，4，5，有32+42=25=52 ， 能构成直角三角形，故错误；
D、根据三角形内角和定理可求出三个角分别为15°，75°，90°，因而是直角三角形，故正确．
故选D．
【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．但本题也用到了三角形的面积公式，和周长公式．
5.【考点】勾股定理．含30度角的直角三角形
【分析】根据给出的条件和三角形的内角和定理计算出三角形的角，再计算出它们的边的比．
解：∵∠A=∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，
∴c=2a，b=a，
∴三条边的比是1：：2．
故选：B．
6.【考点】直角三角形斜边上的中线
【分析】连结AF．由AB=AD，F是BD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出AF⊥BD．再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC=2EF=4.
解：如图，连结AF．
∵AB=AD，F是BD的中点，
∴AF⊥BD．
∵在Rt△ACF中，∠AFC=90°，E是AC的中点，EF=2，
∴AC=2EF=4．
故选：B.
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．利用等腰三角形三线合一的性质得出AF⊥BD是解题的关键.
7.【考点】角平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【分析】已知OP平分∠BOA，PC⊥OA，PD⊥OB，根据角平分线的性质定理可得PC=PD，在Rt△ODP和Rt△OCP中，利用HL定理判定Rt△ODP≌Rt△OCP，根据全等三角形的性质可得OC=OD，∠CPO=∠DPO，由此即可得结论.
解：∵OP平分∠BOA，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD（选项A正确），
在Rt△ODP和Rt△OCP中，

∴Rt△ODP≌Rt△OCP，
∴OC=OD，∠CPO=∠DPO（选项B、D正确），
只有选项C无法证明其正确.
故选C.
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理及全等三角形的判定与性质，证明Rt△ODP≌Rt△OCP是解决本题的关键.
8.【考点】平行线的性质，直角三角形的性质
【分析】根据平行线的性质，可得∠3与∠1的关系，根据两直线垂直，可得所成的角是90°，根据角的和差，可得答案．
解：如图，
∵直线a∥b，
∴∠3=∠1=60°．
∵AC⊥AB，
∴∠3+∠2=90°，
∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣60°=30°，
故选：D．
【点评】本题主要考查平行线的性质，直角三角形的性质。掌握两直线平行同位角相等是解题的关键．
9.【考点】勾股定理的逆定理
【分析】①根据题意求出AP的最小值和最大值是，判断即可；
②根据等腰三角形的定义得到△APO是等腰三角形；
③根据三角形的三边关系得到△APO不存在；
④根据勾股定理的逆定理计算，得到△APO是直角三角形；
⑤根据勾股定理的逆定理计算，得到△APO是直角三角形．
解：①当点P在线段OA上时，AP最小，最小值为2-1=1，
当点P在线段AO的延长线上时，AP最大，最大值为2+1=3，①错误；
②当AP=2时，AP=AO，
则△APO是等腰三角形，②正确；
③当AP=1时，AP+OP=OA，△AOP不存在，
△APO是等腰三角形错误，③错误；
④当AP=时，AP2+OP2=3+1=4，OA2=4，
∴AP2+OP2=OA2，
∴△APO是直角三角形，④正确；
⑤当AP=时，AP2=5，OP2+OA2=1+4=5，
∴AO2+OP2=PA2，
∴△APO是直角三角形，⑤正确，
故选C．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定、直角三角形的判定，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
10.【考点】等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理
【分析】根据已知条件和三角形的内角和即可得到是等腰直角三角形，于是得到结论.
解： ，
设，，，
，
，
，，
，，
，
，
即：.
故选：.
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，熟练掌握其性质是解题的关键.
11.【考点】全等三角形的判定和性质，勾股定理
【分析】如图,利用正方形性质证明△ACB≌△DCE,再利用勾股定理得AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，即可解题.
解：如下图,
∵a、b、c都是正方形,所以AC=CD,∠ACD=90°,
∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°,
即∠BAC=∠DCE,∠ABC=∠CED=90°,AC=CD,
∴△ACB≌△DCE,
∴AB=CE,BC=DE,
在Rt△ABC中,由勾股定理得:AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，
即Sb=Sa+Sc=12+5=17,
故选B.
【点睛】此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用,中等难度,结合图形求解,对图形的理解能力要比较强,证明全等是解题关键.
12.【考点】角平分线的性质
【分析】作PE⊥OA于E，如图，先利用平行线的性质得∠ECP=∠AOB=30°，则PE=PC=2，然后根据角平分线的性质得到PD的长．
解：作PE⊥OA于E，如图，
∵CP∥OB，
∴∠ECP=∠AOB=30°，
在Rt△EPC中，PE=PC=×4=2，
∵P是∠AOB平分线上一点，PE⊥OA，PD⊥OB，
∴PD=PE=2．
故选B．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．解决本题的关键是把求P点到OB的距离转化为点P到OA的距离．　
、填空题
13.【考点】全等三角形的判定．
【分析】要使△ABC≌△ADE，已知有一对角与一对边相等，则可以根据三角形全等的判定方法添加合适的条件即可．
解：∵∠BAC=∠DAE=90°，AB=AD，
∴可添加AC=AE，利用SAS判定．
故填AC=AE（或BC=DE，∠E=∠C，∠B=∠D）．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA．AAS、HL．添加时注意：AAA．SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健．
【考点】勾股定理的逆定理, 直角三角形斜边上的中线
【分析】先运用勾股定理逆定理得出△ABC是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CD的长．
解：在△ABC中，AB=8，BC=2，AC=6，
82＝64＝(2)2+62，
所以AB2=BC2+AC2，
所以△ABC是直角三角形，
∵D是AB的中点，
∴CD=AB=4，
故答案为：4
【点睛】本题考查勾股定理逆定理，解题关键根据勾股定理逆定理及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质解答．
【考点】角平分线的性质
【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得PA=PE，PD=PE，那么PE=PA=PD，又AD=8，进而求出PE=4．
解：如图，过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA=PE，PD=PE，
∴PE=PA=PD，
∵PA+PD=AD=8，
∴PA=PD=4，
∴PE=4.
故答案为：4.
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.此类问题关键在于结合图形、已知条件及角平分线性质.
【考点】非负数的性质，勾股定理的逆定理
【分析】首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出a，b，c的值，在根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形．
解：∵（a﹣6）2≥0，≥0，|c﹣10|≥0，
又∵（a﹣b）2+=0，
∴a﹣6=0，b﹣8=0，c﹣10=0，
解得：a=6，b=8，c=10，
∵62+82=36+64=100=102，
∴是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【点评】本题主要考查了非负数的性质与勾股定理的逆定理，此类题目在考试中经常出现，是考试的重点．
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；等腰直角三角形．
【分析】首先根据折叠可得CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，然后求得△ECF是等腰直角三角形，进而求得∠B′FD=90°，CE=EF=，ED=AE=，从而求得B′D=1，DF=．
解：根据折叠的性质可知，CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，
∴B′D=4﹣3=1，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECF=45°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF=CE，∠EFC=45°，
∴∠BFC=∠B′FC=135°，
∴∠B′FD=90°，
∵S△ABC=AC?BC=AB?CE，
∴AC?BC=AB?CE，
∵根据勾股定理求得AB=5，
∴CE=，
∴EF=，ED=AE==，
∴DF=EF﹣ED=．
故答案为：
【点评】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是解决本题的关键．　
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】先根据AC=2，∠B=30°，CC1⊥AB，求得S△ACC1=；进而得到=×，=×（）2，=×（）3，根据规律可知=×（）n﹣1，再根据S△ABC=AC×BC=×2×2=2，即可得到等式．
解：如图2，∵AC=2，∠B=30°，CC1⊥AB，
∴Rt△ACC1中，∠ACC1=30°，且BC=2，
∴AC1=AC=1，CC1=AC1=，
∴S△ACC1=?AC1?CC1=×1×=；
∵C1C2⊥BC，
∴∠CC1C2=∠ACC1=30°，
∴CC2=CC1=，C1C2=CC2=，
∴=?CC2?C1C2=××=×，
同理可得，
=×（）2，
=×（）3，
…
∴=×（）n﹣1，
又∵S△ABC=AC×BC=×2×2=2，
∴2=+×+×（）2+×（）3+…+×（）n﹣1+…
∴2=．
故答案为：2=．
【点评】?本题主要考查了图形的变化类问题，解决问题的关键是找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
、解答题
【考点】角平分线的性质，全等三角形的判定和性质
【分析】根据SSS证明△ABD≌△ACD，推出∠BAP=∠CAP，利用角平分线的性质定理即可解决问题.
解：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠BAP＝∠CAP，
∵PB⊥AB，PC⊥AC，
∴PB＝PC．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【考点】勾股定理的逆定理；全等三角形的判定与性质．
【分析】延长AD至E，使得AD=DE，连接BE，可根据SAS证明△ADC≌△EDB，然后根据勾股定理，可以得出垂直．
解：延长AD至E，使得AD=DE，连接BE，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴EB=AC=13，
∵AD=6，
∴AE=12，
∵52+122=132，
∴AB2+AE2=EB2，
∴∠BAE=90°，
∴AD⊥AB．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
【考点】计算器—数的开方；无理数；估算无理数的大小；勾股定理
【分析】根据正方形的面积公式和勾股定理解答．
解：（1）由勾股定理得，正方形B的面积=169﹣25=144；
（2）∵正方形B的面积为144，
∴b==12，
∴b是有理数；
（3）估计b的值为12.0，
验证：122+52=132．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用、算术平方根的概念，掌握勾股定理是解题的关键．
【考点】直角三角形斜边上的中线，勾股定理的应用
【分析】(1)在中利用勾股定理求得AO的长即可;
(2)在梯子长度不变的情况下,求出DO的长后减去BO的长求得BD即可作出判断.
解：（1）∵AO⊥DO，∴AO=12m，
∴梯子顶端距地面12m高；
（2）滑动不等于4m，
∵AC=4m，
∴OC=AO-AC=8m，
∴OD=m，
∴BD=OD-OB=?5＞4，
∴滑动不等于4m；
（3）AB上的中点O到墙角O的距离总是定值，因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用,解题的关键是在直角三角形中弄清直角边和斜边.
【考点】二次根式的性质，勾股定理的运用
【分析】（1）根据二次根式的被开方数为非负数，列不等式组求解；
（2）根据a、b、c分别作直角三角形的斜边，由勾股定理分别求解．
解：（1）由二次根式的性质，得 ,
解得；
（2）当c为斜边时，由a2+b2=c2，
即8-x+3x+4=x+2，
解得x=-10，
当b为斜边时，a2+c2=b2，
即8-x+x+2=3x+4，
解得x=2，
当a为斜边时，b2+c2=a2，
即3x+4+x+2=8-x，
解得x=
∵
∴x=或2．
【点睛】本题考查二次根式的性质及勾股定理的运用．在没有指定直角三角形的斜边的情况下，注意分类讨论．
【考点】全等三角形的性质和判定
【分析】（1）根据作三角形的高的方法，作出AD、AF;
（2）根据HL证明Rt△ACD≌Rt△AEF，从而得出CD＝EF，再根据HL证明Rt△ABD≌Rt△ABF，从而得出BD＝BF，再利用等式的性质得出：BD－CD＝BF－EF，即BC＝BE.
解：(1)画出高AD，AF，如图所示．
(2)猜想：BC＝BE.证明如下：
∵AD⊥BC，AF⊥BE，
∴△ACD，△AEF，△ABD，△ABF都是直角三角形．
在Rt△ACD和Rt△AEF中，
∴Rt△ACD≌Rt△AEF(HL)．
∴CD＝EF(全等三角形的对应边相等)．
在Rt△ABD和Rt△ABF中，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．
∴BD＝BF(全等三角形的对应边相等)．
∴BD－CD＝BF－EF(等式的性质)，即BC＝BE.
【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，解题关键是运用HL证明Rt△ACD≌Rt△AEF和Rt△ABD≌Rt△ABF得出CD＝EF和BD＝BF.
【考点】全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、含30度角的直角三角形,
【分析】（1）利用角平分线的性质求出CD=ED，再利用HL定理
(2)求出∠DEB=90°再利用含30度角的直角三角形的性质求出
（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，
∵在Rt△ACD和Rt△AED中
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；
（2）解：∵DC=DE=1，DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，角平分线性质，含30度角的直角三角形性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
【考点】几何变换综合题．
【分析】（1）根据结论代入即可填写；
（2）根据△ABP≌△CBP′得出PA=P′C，∠A=∠BCP′，即可得出PA．PB、PC之间的数量关系；
（3）当点P在CB的延长线上时，得出PA2+PB2=PC2．
解：（1）①PB==．
故答案为：；
②PA2+PC2=PB2，
证明：作∠PBP′=∠ABC=60°，且使BP′=BP，连接P′C、P′P，如图1：
∴∠1=∠2，
∵AB=CB，
在△ABP与△CBP′中，
，
∴△ABP≌△CBP′，
∴PA=P′C，∠A=∠BCP′，
在四边形ABCP中，
∵∠ABC=60°，∠APC=30°，
∴∠A+∠BCP=270°，
∴∠BCP′+∠BCP=270°，
∴∠PCP′=360°﹣（∠BCP′+∠BCP）=90°，
∵△PBP′是等边三角形，
∴PP′=PB，
在Rt△PCP′中，P'C2+PC2=P'P2，
∴PA2+PC2=PB2；
（2）点P在其他位置时，不是始终具有②中猜想的结论，举例：
如图2，当点P在CB的延长线上时，
结论为PA2+PB2=PC2．
【点评】本题考查了几何变换问题，本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理以及三角形全等的性质．