第1章 直角三角形单元检测卷B（含解析）

2018-2019湘教版八年级下第1章直角三角形单元检测卷B
姓名：__________班级：__________考号：__________
、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数为（　　）
A．125° B．120° C．140° D．130°
下列各组线段能构成直角三角形的一组是（　　）
A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6
如图，若∠ABC=∠ACD=90°，AB=4，BC=3，CD=12，则AD=（　　）
A．5 B．13 C．17 D．18
有下列说法：①有理数与数轴上的点一一对应；②直角三角形的两边长是5和12，则第三边长是13；③近似数1.5万精确到十分位；④无理数是无限小数．其中错误说法的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠ACD=3∠BCD，E是斜边AB的中点，则下列结论不正确的是（?? ）
A．?AE=CE B．?CD=DE C．?∠DCA=60° D．?∠DEC=45°
△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要资金（ ）.
A．50a元 B．600a元 C．1200a元 D．1500a元
已知下列语句：
①有两个锐角相等的直角三角形全等；??
②一条斜边对应相等的两个直角三角形全等；
③三个角对应相等的两个三角形全等；
④两个直角三角形全等．
其中正确语句的个数为（?? ）
A． 0? ? ? B. 1 C． 2???? ?D. 3
如图，每个小正方形的边长都是1，图中A，B，C，D四个点分别为小正方形的顶点，下列说法：
①△ACD的面积是有理数；
②四边形ABCD的四条边的长度都是无理数；
③四边形ABCD的三条边的长度是无理数，一条边的长度是有理数．
其中说法正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于D，BC=BD，已知AC=3㎝，那么AE+DE等于（ ）
A．2㎝； B． 3㎝； C． 4㎝； D． 5㎝；
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（　　）
A．15 B．30 C．45 D．60
木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（　　）
A．B．C．D．
如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD的长为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
如图，已知四边形ABCD中，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，那么Rt△ABC≌Rt△ADC，根据是?________
?
等边三角形的边长为2，则该三角形的高为________．
直角三角形的一条直角边为，斜边上的高为，则另一条直角边为________．
为了比较+1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D在BC上且BD=AC=1．通过计算可得+1　 　．（填“＞”或“＜”或“=”）
如图,已知BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,且交BE于点E,∠BAC=30°,则∠CAE=__.?
如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PC＝4，点D是射线OA上的一个动点，则PD的最小值为_____．
、解答题（本大题共8小题，共66分）
如图，已知l1∥l2，Rt△ABC的两个顶点A，B分别在直线l1，l2上，，若l2平分∠ABC，交AC于点D，∠1=26°，求∠2的度数．
阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4A．
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2） B．
∴c2=a2+b2 C．
∴△ABC是直角三角形
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：　 　；
（2）错误的原因为：　 　；
（3）本题正确的结论为：　 　．
已知a、b、c为 ABC的三条边，且满足=10a+24b+26c－338。
（1）试判断三角形的形状；
（2）求三角形最长边上的高.
在△ABC中，AB=BC=26cm，∠ABC=84°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC；
求：（1）求∠EDB的度数；??（2）求DE的长．
如图，把一块等腰直角三角形零件(△ABC，其中∠ACB＝90°)，放置在一凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，已知∠ADE＝∠BED＝90°，测得AD＝5 cm，BE＝7 cm，求该三角形零件的面积．
阅读下面例题的解法，然后解答后面的问题：
例　如图，在等腰Rt△ABC中，∠CAB＝90°，P是△ABC内一点，且PA＝1，PB＝3，PC＝.求∠CPA的大小．
分析：已知条件中的PA．PB、PC过于分散，可将其集中到一个或两个三角形中，再应用三角形的有关知识解决问题．
解：在△ABC的外部作△AQC≌△APB，连接PQ，则AQ＝AP＝1，CQ＝PB＝3，∠QAC＝∠PAB.
因为∠PAB＋∠PAC＝90°，所以∠QAC＋∠PAC＝90°，即∠PAQ＝90°.
所以PQ2＝AQ2＋AP2＝12＋12＝2，∠QPA＝∠PQA＝45°.
在△PQC中，
PQ2＝2，PC2＝()2＝7，QC2＝PB2＝9，所以PQ2＋PC2＝QC2.
所以∠QPC＝90°.所以∠CPA＝∠CPQ＋QPA＝90°＋45°＝135°.
说明：本例通过在三角形外作△APB的全等三角形，从而将已知的PA．PB、PC集中到一起，为进一步解题创造了条件．
需解答的问题：
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，求∠BPC的度数．
已知：如图△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，DE⊥AC．
（1）求证：AE=EC；
（2）若DE=2，求BC的长．
如图，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个60°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA．OB相交于点D、E．
（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；
（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；
（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
答案解析
、选择题
【考点】平行线的性质；直角三角形的性质．
【分析】根据矩形性质得出EF∥GH，推出∠FCD=∠2，代入∠FCD=∠1+∠A求出即可．
解：∵EF∥GH，
∴∠FCD=∠2，
∵∠FCD=∠1+∠A，∠1=40°，∠A=90°，
∴∠2=∠FCD=130°，
故选D．
【点评】本题考查了平行线性质，矩形性质，三角形外角性质的应用，关键是求出∠2=∠FCD和得出∠FCD=∠1+∠A．
【考点】勾股定理的逆定理
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
解：A．∵302+402=502，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；
B、∵72+122≠132，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
C、∵52+92≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
D、∵32+42≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
故选A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
【考点】勾股定理．
【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC，在Rt△ACD中，根据勾股定理求出AD即可．
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，由勾股定理得：AC==5，
在Rt△ACD中，∠ACD=90°，AC=5，CD=12，由勾股定理得：AD==13，
故选B．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，注意：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
【考点】有理数；近似数和有效数字；无理数；勾股定理
【分析】分别根据实数与数轴的关系、勾股定理、近似数和有效数字、无理数的概念对各小题进行逐一判断．
解：：①实数与数轴上的点一一对应，故本小题错误；
②直角三角形的两直角边长是5和12，则斜边长是13，故本小题错误；
③近似数1.5万精确到千位，故本小题错误；
④无理数是无限小数，符合无理数的性质，故本小题正确．
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
【考点】直角三角形斜边上的中线
【分析】根据直角三角形的性质得到EC= AB=EA，判断①；根据题意求出∠BCD和∠ACD，根据三角形的外角的性质、等腰直角三角形的性质判断②，根据①、②的结论判断③④．
解：∵∠ACB=90°，E是斜边AB的中点，
∴EC= AB=EA，①正确，不符合题意；
∵∠ACB=90°，∠ACD=3∠BCD，
∴∠BCD=22.5°，∠ACD=67.5°，
∴∠B=67.5°，
∴∠A=22.5°，
∴∠DEC=45°，
∴CD=DE，②正确，不符合题意；
∠ACD=67.5°，③错误，符合题意；
∠DEC=45°，④正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的外角的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
【考点】勾股定理的应用
【分析】由已知△ABC中，∠C=90°，AC=30米，AB=50米，根据勾股定理求出另一条直角边BC，再求出面积，从而得出答案．
解：在△ABC中，∠C=90°，AC=30米，AB=50米，
∴BC==40米，
共需要资金为：×40×30?a=600a元．
故选：B．
【点睛】考查的知识点是勾股定理的应用，解题的关键是先由已知结合勾股定理求出另一条直角边，再求出面积即得答案．
【考点】直角三角形全等的判定
【分析】根据全等三角形的判定定理HL、SAS、AAS、ASA分别进行分析即可．
解：①有两个锐角相等的直角三角形全等，说法错误；②一条斜边对应相等的两个直角三角形全等，说法错误；③三个角对应相等的两个三角形全等，说法错误； ④两个直角三角形全等，说法错误．故选：A．
【考点】无理数；勾股定理
【分析】由三角形面积公式和勾股定理即可得出答案．
解：①∵△ACD的面积=×2×3=3，
∴①说法正确；
②∵CD=2，
∴说法②错误；
③由勾股定理得：AB==2，BC==，CD=2，AD==，
∴说法③正确；
正确的说法有2个，故选C．
【点评】本题看成了勾股定理以及三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】根据“HL”证明Rt△BDE≌Rt△BCE，推出DE=CE，从而AE+DE=AE+CE=AC,．
解：∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠C=∠BDE=90°，
在Rt△BDE和Rt△BCE中，
∵BE=BE，
BD=BC，
∴Rt△BDE≌Rt△BCE(HL)，
∴DE=CE，
∴AE+DE=AE+CE=AC，
∵AC=3，
∴AE+DE=3，
故选：B.
【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，解答本题的关键是证明Rt△BDE≌Rt△BCE，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA．AAS、HL．
【考点】角平分线的性质．
【分析】判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，
又∵∠C=90°，
∴DE=CD，
∴△ABD的面积=AB?DE=×15×4=30．
故选B．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及角平分线的画法，熟记性质是解题的关键．
【考点】轨迹；直角三角形斜边上的中线．
【分析】先连接OP，易知OP是Rt△AOB斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得OP=AB，由于木杆不管如何滑动，长度都不变，那么OP就是一个定值，那么P点就在以O为圆心的圆弧上．
解：如右图，
连接OP，由于OP是Rt△AOB斜边上的中线，
所以OP=AB，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是OP是一个定值，点P就在以O为圆心的圆弧上，那么中点P下落的路线是一段弧线．
故选D．
【点评】本题考查了轨迹，直角三角形斜边上的中线，解题的关键是知道直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．　
【考点】含30度角的直角三角形．角平分线定理，平行线的性质，三角形的外角性质
【分析】过P作PE垂直与OB，由∠AOP=∠BOP，PD垂直于OA，利用角平分线定理得到PE=PD，由PC与OA平行，根据两直线平行得到一对内错角相等，又OP为角平分线得到一对角相等，等量代换可得∠COP=∠CPO，又∠ECP为三角形COP的外角，利用三角形外角的性质求出∠ECP=30°，在直角三角形ECP中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半，由斜边PC的长求出PE的长，即为PD的长．
解：过P作PE⊥OB，交OB与点E，
∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE，
∵PC∥OA，
∴∠CPO=∠POD，
又∠AOP=∠BOP=15°，
∴∠CPO=∠BOP=15°，
又∠ECP为△OCP的外角，
∴∠ECP=∠COP+∠CPO=30°，
在直角三角形CEP中，∠ECP=30°，PC=4，
∴PE=PC=2，
则PD=PE=2．
故选 A．
【点评】此题考查了含30°角直角三角形的性质，角平分线定理，平行线的性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．同时注意辅助线的作法．
、填空题
【考点】直角三角形全等的判定
【分析】因为∠ABC=∠ADC=90°，所以△ABC和△ADC为直角三角形，又因为CB=CD，CA=CA，故可根据HL判定Rt△ABC≌Rt△ADC．
解：∵∠ABC=∠ADC=90°，CB=CD，CA=CA
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．
故填HL．
【考点】等边三角形的性质 ，勾股定理
【分析】作出一边上的高，利用勾股定理和等边三角形的性质可求得高．
解：如图，△ABC为等边三角形，过A作AD⊥BC，交BC于点D， 则BD= AB=1，AB=2，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：AD= = = ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了等边三角形的性质 ，勾股定理．熟练运用勾股定理是解题的关键．
【考点】二次根式的应用，勾股定理的应用
【分析】设另一直角边为a，斜边为b，则由面积公式和勾股定理进行解答．
解：设另一直角边为a，斜边为b，则：
，解得：．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次根式的应用．熟记直角三角形的面积公式和勾股定理是解题的关键．
【考点】三角形三边关系；勾股定理
【分析】依据勾股定理即可得到AD==，AB==，BD+AD=+1，再根据△ABD中，AD+BD＞AB，即可得到+1＞．
解：∵∠C=90°，BC=3，BD=AC=1，
∴CD=2，AD==，AB==，
∴BD+AD=+1，
又∵△ABD中，AD+BD＞AB，
∴+1＞，
故答案为：＞．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系以及勾股定理的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边．
【考点】角平分线的性质及其逆定理
【分析】如图过点E分别作EG⊥BD、EH⊥BA．EI⊥AC，垂足分别为G、H、I，根据角平分线的性质可得EH=EG，EI=EG，再根据角平分线的性质的逆定理可证AE平分∠FAC，再根据∠FAC与∠BAC互补即可．
证明：如图所示：过点E分别作EG⊥BD、EH⊥BA．EI⊥AC，垂足分别为G、H、I，
∵BE平分∠ABC，EG⊥BD，EH⊥BA，
∴EH=EG．
∵CE平分∠ACD，EG⊥BD，EI⊥AC，
∴EI=EG，
∴EI=EH，
∵EH⊥BA，EI⊥AC，
∴AE平分∠FAC
∵∠BAC=30°
∴∠FAC=180°-∠BAC=150°
∴∠CAE=∠FAC=75°
故答案为：75°
【点睛】本题主要考查角平分线的性质及其逆定理；准确作出辅助线是解答本题的关键．
【考点】角平分线的性质，含30°角的直角三角形
【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质可得PE＝PD，根据平行线的性质可得∠ACP＝∠AOB＝30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．
解：当PD⊥OA时，PD有最小值，作PE⊥OA于E，
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE＝PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵∠BOP＝∠AOP＝15°，
∴∠AOB＝30°，
∵PC∥OB，
∴∠ACP＝∠AOB＝30°，
∴在Rt△PCE中，PE＝PC＝×4＝2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴PD＝PE＝2，
故答案是：2．
【点睛】此题主要考查角平分线的性质和平行线的性质，难度一般，作辅助线是关键．
、解答题
【考点】直角三角形的性质，平行线的性质
【分析】根据平行线的性质先求得∠ABD=26°，再根据角平分线的定义求得∠ABC=52°，再根据直角三角形两锐角互余即可得.
解：∵l1∥l2，∠1=26°，
∴∠ABD=∠1=26°，
又∵l2平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD=52°，
∵∠C=90°，
∴Rt△ABC中，∠2=90°﹣∠ABC=38°．
【考点】因式分解的应用；勾股定理的逆定理
【分析】（1）根据题目中的书写步骤可以解答本题；
（2）根据题目中B到C可知没有考虑a=b的情况；
（3）根据题意可以写出正确的结论．
解：（1）由题目中的解答步骤可得，
错误步骤的代号为：C，
故答案为：C；
（2）错误的原因为：没有考虑a=b的情况，
故答案为：没有考虑a=b的情况；
（3）本题正确的结论为：△ABC是等腰三角形或直角三角形，
故答案为：△ABC是等腰三角形或直角三角形．
【点评】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结论，注意考虑问题要全面．
【考点】勾股定理的逆定理
【分析】（1）先将式子进行化简，配方成完全平方的形式，求得a，b，c，根据勾股定理的逆定理进行判断即可；（2）根据（1）求出三角形的面积，再由最长边乘以最长边上的高除以2也等于这个三角形的面积，求出最长边上的高．
解：∵ =10a+24b+26c－338
∴

∴=0，=0，
∴a=5,b=12,c=13
∴
∴ABC是直角三角形．
（2）ABC最长边为c,设c上的高为h.
SABC== 512 =30
又∵SABC==30
=30
∴h=．
【点睛】勾股定理的逆定理，三角形的面积．
【考点】等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线
【分析】（1）由BD为角平分线，利用角平分线定义得到一对角相等，由∠ABC=84°求出∠ABD与∠CBD的度数，再由DE与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，利用等量代换可得出∠EDB的度数；（2）由第一问∠ABD=∠CBD，∠EDB=∠CBD，等量代换得到∠ABD=∠EDB，利用等角对等边得到DE=BE，由三角形的内角和定理及等腰三角形的顶角求出底角的度数，再利用两直线平行同位角相等，得到∠A=∠ADE，利用等角对等边得到AE=DE，即E为AB的中点，由等腰三角形的三线合一得到BD垂直于AC，在直角三角形ABD中，由斜边上的中线等于斜边的一半，由AB的长求出DE的长．
解：（1）∵BD为∠ABC的平分线，且∠ABC=84°，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=42°，又DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD=42°；（2）∵∠ABD=∠CBD，∠EDB=∠CBD，∴∠ABD=∠EDB，∴EB=ED，又DE∥BC，∴∠ADE=∠C=48°，又∠A=48°，∴∠ADE=∠A，∴AE=ED，∴AE=EB，∵AB=BC=26cm，BD是∠ABC的平分线，∴BD⊥AC，在Rt△ABD中，DE为斜边AB的一半，则DE=AB=13cm．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
【考点】全等三角形的应用，勾股定理的应用
【分析】首先证明△ADC≌△CEB，根据全等三角形的性质可得DC=BE=7cm，再利用勾股定理计算出AC长，然后利用三角形的面积公式计算出该零件的面积即可．
解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠ACD＋∠BCE＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ACD＋∠DAC＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴DC＝BE＝7 cm，
∴AC＝＝＝(cm)，
∴BC＝，
∴该零件的面积为××＝37(cm2)．
【点睛】本题考查全等三角形的应用，以及勾股定理的应用，解题关键是掌握全等三角形的判定方法和勾股定理．
【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理
【分析】将△APC绕点C旋转，使CA与CB重合，根据全等三角形性质和勾股定理逆定理即可求出
解：如图，将△APC绕点C旋转，使CA与CB重合，即△APC≌△BEC，
∴△PCE为等腰Rt△，
∴∠CPE＝45°，PE2＝PC2＋CE2＝8.
又∵PB2＝1，BE2＝9，
∴PE2＋PB2＝BE2，则∠BPE＝90°，
∴∠BPC＝135°.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键
【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理证明；
（2）根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
（1）证明：∵AB=AC，∠C=30°，
∴∠B=30°，∠BAC=120°，
∵AB⊥AD，
∴∠DAC=30°，
∴∠DAC=∠C，
∴DA=DC，
∵DE⊥AC，
∴AE=EC；
（2）∵∠C=30°，DE⊥AC，
∴DC=2DE=4，
∵AB⊥AD，∠B=30°，
∴BD=2DC=8，
∴BC=12．
【点评】主要考查：等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质，含30度角的直角三角形．　
【考点】角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质
【分析】(1)根据OM是∠AOB的角平分线，可得∠AOB=60°，则∠OCE=30°，再根据30°所对直角边是斜边的一半，得出OD=OC，同理：OE=OC，即可得出结论；(2)同(1)的方法得到OF+OG=OC，再根据AAS证明△CFD≌△CGE，得出DF=EG，则OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，OF+OG=OD+OE，即可得出结论.(3)同(2)的方法得到DF=EG，根据等量代换可得OE﹣OD=OC.
证明：(1)∵OM是∠AOB的角平分线，
∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°，
∵CD⊥OA，
∴∠ODC=90°，
∴∠OCD=30°，
∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=30°，
在Rt△OCD中，OD=OC，同理：OE=OC，
∴OD+OE=OC，
(2)(1)中结论仍然成立，理由：
过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如图，
∴∠OFC=∠OGC=90°，
∵∠AOB=120°，
∴∠FCG=60°，
同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，
∴OF+OG=OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，
∴CF=CG，
∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，
∴∠DCF=∠ECG，
∴△CFD≌△CGE，
∴DF=EG，
∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，
∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，
∴OD+OE=OC；
(3)(1)中结论不成立，结论为：OE﹣OD=OC，
理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如图，
∴∠OFC=∠OGC=90°，
∵∠AOB=120°，
∴∠FCG=60°，
同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，
∴OF+OG=OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，
∴CF=CG，
∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，
∴∠DCF=∠ECG，
∴△CFD≌△CGE，
∴DF=EG，
∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，
OG=OE﹣EG，
∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，
∴OE﹣OD=OC．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质.正确作辅助线是解题的关键.