2.1 数列的概念与简单表示 课件（35张PPT）

§2.1数列的概念
与简单表示法
3. ?1的正整数次幂：?1, 1, ?1, 1, …
2. 正整数的倒数





L
5
1
,
4
1
,
3
1
,
2
1
,
1
1. 由小到大的正偶数排成一列
2，4，6，8，?
观察
§2.1数列的概念与简单表示法
4.三角形的石子数









































1
3
6
10
15
§2.1数列的概念与简单表示法
5. 正方形的石子数























1
4
9
16
25


































§2.1数列的概念与简单表示法



















战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》引用过一句话:





， ， ， ， ， ，…
一尺之棰 日取其半 万世不竭















































7.如图表示堆放的钢管，共堆放了6层.自上而下各层的钢管数排列成一列数：
5，6，7，8，9，10
§2.1数列的概念与简单表示法
按照一定顺序排列的一列数称为数列. 数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第一项（或首项）， 第二项, … ，第n项， …..
定义
数列的第n项an叫做数列的通项（或一般项）.
数列的一般形式

或：a1，a2，a3，?
数列的定义
问：下面二个列数是否为同一数列？
1，2，3，4，5
2，1，3，4，5
结论：因其排列次序不同，故不是同一数列.
定义的辨析
1. 项数有限的数列叫做有穷数列.
2. 项数无限的数列叫做无穷数列.
（1）3，5， 7， 9，…
（2）2，8，13，27，40
（3）1，1， 1， 1，…
（4）24，19，17，8，5
例如 数列
其中：（2）（4）是有穷数列
（1）（3）是无穷数列
数列分类
3.递增数列: 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；
4.递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；
如：2，3，5，9，?
如：
an＋1＞an 对任意正整数n都成立
an＋1数列分类
5.常数数列：各项都相等的数列；
6.摆动数列：各从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列.
如：1，1，1，1，?（各项都是1）
如：
2，3，2，3，?
an＋1= an，对任意的正整数n都成立.
数列分类
观察
下面的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？
（1）全体自然数构成数列
0，1，2，3，?
（2）1996?2002年某市普通高中人数（单位：万人）构成数列
82，93，105，119，129，130，132
（3）无穷多个4构成数列
4，4，4，4，?
数列分类练习
（4）目前普通的人民币面额按从大到小的顺序构成数列（单位，元）
100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02,0.01
（5）-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂?构成数列
-1，1，-1，1，?
（6） 精确到1，0.1，0.01，0.001，?的不足近似值构成数列
1，1.4，1.41，1.414，?
?
数列分类练习
分析：数列 4，5，6，7，8，…
数列的项：4 5 6 7 8 …


序号: 1 2 3 4 5 …






y=x+3 定义域：N*
x
y
数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，?，n})为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值.
数列与函数
?
对于函数y=f(x),如果f(i)(i=1,2,3,?,n,? )有意义，那么我们可以得到一个数列
f(1),f(2),f(3),?f(n),? .
数列与函数
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 我们可以根据数列的通项公式写出数列.
n=1，2，3，?
思考？
通项公式可以看成数列的函数解析式，利用一个数列的通项公式，你能确定这个数列哪方面的性质?
数列通项公式
例1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）2，4，6，8，…
（3）1，2，4 ，8 ，…
（6）2，6，12，20，…
（2）1，3，5，7，…
（4）
（5）9，99，999，9999，…
?
?
?
?
?
?
归纳数列通项公式
（1）
（2）
练习1 根据数列{an}的通项公式，写出它的前5项：
解：（1）在通项公式中依次取n=1，2，3，4，5，得到数列 的前5项为
（2）在通项公式中依次取n=1，2，3，4，5，得么数列 的前5项为
－1，2，－3，4， －5.
课堂练习
练习2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4 项分别是下列各数：
（1） 1，0，1，0，…



（2）
?
?
课堂练习
关于通项公式
通项公式的优点：
①简明、全面地概括了项数与项的关系；
②可以通过通项公式求出任意项的值.
1.不是每一个数列都能写出其通项公式(如数列3）
2.数列的通项公式不唯一 如： ?1,1,?1,1,…
特别说明
数列的表示
1. 通项公式 an=f(n)
2. 列表
或写成{n2}
3. 图象
数列的图象是一系列孤立的点（n，an)
n 1 2 3 ?
an a1 a2 a3 ?
优点：不需要计算就可以直接看出与项相对应的关系
列表法：
图象法
优点：能直接形象地表示出随着项数的变化，相应项变化的趋势，直观明了.
数列的表示
例2. 如图三角形称为谢宾斯基（Sierpinski)三角形.在下图四个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象.












































谢宾斯基三角形
解: 如图，这四个三角形中着色三角形的个数依次为１，3，９，27．则所求数列的前４项都是３的指数幂，指数为序号减１．所以，这个数列的一个通项公式是
在直角坐标系中的图象见后图．
谢宾斯基三角形





谢宾斯基三角形
小 结
1.数列的定义；
2.数列的通项公式；
3.数列和函数的关系；
4.数列的表示
5.数列的递推公式
作业
练习P３１ ４
习题P３３ Ａ组：4、5、6 Ｂ组：1
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§2.1数列的概念与简单表示法
斐波那契数列简介
“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1250年.籍贯大概是比萨）.他被人称作“比萨的列昂纳多”.1202年，他撰写了《算盘全书》(Liber Abacci)一书.他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人.他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学.他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学.

斐波那契数列（又译作“斐波拉契数列”或“斐波那切数列”）是一个非常美丽、和谐的数列，它的形状可以用排成螺旋状的一系列正方形来说明（如上图），起始的正方形(图中用灰色表示)的边长为1，在它左边的那个正方形的边长也是1 ，在这两个正方形的上方再放一个正方形，其边长为2，以后顺次加上边长为3、5、8、13、21……等等的正方形.这些数字每一个都等于前面两个数之和，它们正好构成了斐波那契数列.
斐波那契数列
斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.
　　一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来.如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
　　我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：
　　第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对;
　　两个月后，生下一对小兔后，兔子数共有两对;
　　三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对;
“兔子数列”
　　依次类推可以列出下表：
　　经过月数：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
　　兔子对数：1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
　　表中数字1，1，2，3，5，8－－－构成了一个数列.这个数列有个十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项.
斐波那契（Fibonacci）数列的递推关系式：
　f(1)=1
　f(2)=1
　f(n)=f(n-1)+f(n-2),其中n?2
　　{f(n)}即为斐波那契数列.
斐波那契数列的特征：从第三项起每一项等于它相邻的前2项的和.
斐波那契数列
斐波那契数列举例
　　1．多米诺牌（可以看作一个2×1大小的方格）完全覆盖一个n×2的棋盘，覆盖的方案数等于斐波那契数列.
　　2.从蜜蜂的繁殖来看，雄蜂只有母亲，没有父亲，因为蜂后产的卵，受精的孵化为雌蜂，未受精的孵化为雄峰.人们在追溯雄峰的祖先时，发现一只雄峰的第n代祖先的数目刚好就是斐波那契数列的第n项F（n）.
　　3．钢琴的13个半音阶的排列完全与雄蜂第六代的排列情况类似，说明音调也与斐波那契数列有关.
　　5．自然界中一些花朵的花瓣数目符合于斐波那契数列，也就是说在大多数情况下，一朵花花瓣的数目都是3,5,8,13,21,34,……(有6枚是两套3枚;有4枚可能是基因突变).

　　4．如果一根树枝每年长出一根新枝，而长出的新枝两年以后，每年也长出一根新枝，那么历年的树枝数，也构成一个斐波拉契数列 ．
斐波那契数列举例