2.3 等差数列及其前n项和 课件（22张PPT）
文档属性
| 名称 | 2.3 等差数列及其前n项和 课件（22张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-03-13 16:56:33 | ||
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文档简介
2.3 等差数列的
前n项和
高斯（Gauss,1777—1855），德国著名数学家，他研究的内容涉及数学的各个领域，是历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”.
有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发
现了一个堆放铅笔的V形架，
V形架的最下面一层放
一支铅笔，往上每一层
都比它下面一层多放一
支，最上面一层放100支.
老师问：高斯，你知道这
个V形架上共放着多少支铅笔吗？
创设情景
问题就是：
计算1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100
高斯的算法
计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100
高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组：
第一个数与最后一个数一组；
第二个数与倒数第二个数一组；
第三个数与倒数第三个数一组，……
每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.
首尾配对相加法
中间的一组数是什么呢？
若V形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层
多放一支，最上面
一层有很多支铅笔，
老师说有n支。问：
这个V形架上共放
着多少支铅笔？
创设情景
问题就是：
1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ (n-1) ＋ n
若用首尾配对相加法，需要分类讨论.
三角形
平行四边形
n ＋ (n-1) ＋ (n-2) ＋…＋ 2 ＋1
倒序相加法
那么，对一般的等差数列，如何求它的
前n项和呢？
前n项和
分析：这其实是求一个具体的等差数列前n项和.
①
②
问题分析
已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn .
如何才能将等式的右边化简？
①
②
已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn .
＋
＋
＋… ＋
各项组成新的等差数列
①
②
倒序相加法
求和公式
等差数列的前n项和的公式：
思考：（1）公式的文字语言；
（2）公式的特点；
不含d
可知三求一
公式的记忆
我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式.
n
a1
an
公式的记忆
我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式.
a1
(n-1)d
n
a1
an
将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.
公式应用
根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn ：
（1）a1=5，an=95，n=10
（2）a1=100，d=－2，n=50
练一练
500
2550
例1、计算
（1） 5+6+7+…+79+80
（2） 1+3+5+…+（2n-1）
（3）1-2+3-4+5-6+…+（2n-1）-2n
-n
例题讲解
n2
3230
提示：n=76
法二：
例题讲解
例2、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》，某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么，从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
分析：①找关键句；
②求什么，如何求；
解：由题意，该市在“校校通”工程中每年投入的资金构成等差数列{an}，且a1=500,d=50,n=10.
故，该市在未来10年内的总投入为：
答
变式练习
一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺瓦片21块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了19层，共铺瓦片多少块？
解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦片数构成等差数列{an}，且a1=21，d=1，n=19.
于是，屋顶斜面共铺瓦片：
答：屋顶斜面共铺瓦片570块.
例题讲解
例3、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？
解：由于S10＝310，S20＝1220，将它们代入公式
可得
所以
例题讲解
例3、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？
另解：
两式相减得
课堂练习
答案: 27
练习1、
练习2、等差数列－10，－6，－2，2，
…的前______项的和为54？
答案: n=9，或n=-3（舍去）
仍是知三求一
课堂小结
1．等差数列前n项和的公式；
2．等差数列前n项和公式的推导方法——倒序相加法；
3.公式的应用(知三求一)；
上页
下页
（两个）
上页
下页
教材P46 A组2、5
到网上查找有关数学家高斯的故事，你能从这些故事中得到什么启示呢？
到网上查找等差数列前n项和公式的应用，“发现”生活中的数学。
推荐网址：
http://www.cas.cn/html/Dir/2001/11/23/4362.htm中国科学院网站
http://news.juren.com/200711/20531.html巨人奥数网
课后作业
趣味数学
在右图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？
请多指教！
真诚地感谢各位评委！
前n项和
高斯（Gauss,1777—1855），德国著名数学家，他研究的内容涉及数学的各个领域，是历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”.
有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发
现了一个堆放铅笔的V形架，
V形架的最下面一层放
一支铅笔，往上每一层
都比它下面一层多放一
支，最上面一层放100支.
老师问：高斯，你知道这
个V形架上共放着多少支铅笔吗？
创设情景
问题就是：
计算1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100
高斯的算法
计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100
高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组：
第一个数与最后一个数一组；
第二个数与倒数第二个数一组；
第三个数与倒数第三个数一组，……
每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.
首尾配对相加法
中间的一组数是什么呢？
若V形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层
多放一支，最上面
一层有很多支铅笔，
老师说有n支。问：
这个V形架上共放
着多少支铅笔？
创设情景
问题就是：
1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ (n-1) ＋ n
若用首尾配对相加法，需要分类讨论.
三角形
平行四边形
n ＋ (n-1) ＋ (n-2) ＋…＋ 2 ＋1
倒序相加法
那么，对一般的等差数列，如何求它的
前n项和呢？
前n项和
分析：这其实是求一个具体的等差数列前n项和.
①
②
问题分析
已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn .
如何才能将等式的右边化简？
①
②
已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn .
＋
＋
＋… ＋
各项组成新的等差数列
①
②
倒序相加法
求和公式
等差数列的前n项和的公式：
思考：（1）公式的文字语言；
（2）公式的特点；
不含d
可知三求一
公式的记忆
我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式.
n
a1
an
公式的记忆
我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式.
a1
(n-1)d
n
a1
an
将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.
公式应用
根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn ：
（1）a1=5，an=95，n=10
（2）a1=100，d=－2，n=50
练一练
500
2550
例1、计算
（1） 5+6+7+…+79+80
（2） 1+3+5+…+（2n-1）
（3）1-2+3-4+5-6+…+（2n-1）-2n
-n
例题讲解
n2
3230
提示：n=76
法二：
例题讲解
例2、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》，某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么，从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
分析：①找关键句；
②求什么，如何求；
解：由题意，该市在“校校通”工程中每年投入的资金构成等差数列{an}，且a1=500,d=50,n=10.
故，该市在未来10年内的总投入为：
答
变式练习
一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺瓦片21块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了19层，共铺瓦片多少块？
解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦片数构成等差数列{an}，且a1=21，d=1，n=19.
于是，屋顶斜面共铺瓦片：
答：屋顶斜面共铺瓦片570块.
例题讲解
例3、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？
解：由于S10＝310，S20＝1220，将它们代入公式
可得
所以
例题讲解
例3、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？
另解：
两式相减得
课堂练习
答案: 27
练习1、
练习2、等差数列－10，－6，－2，2，
…的前______项的和为54？
答案: n=9，或n=-3（舍去）
仍是知三求一
课堂小结
1．等差数列前n项和的公式；
2．等差数列前n项和公式的推导方法——倒序相加法；
3.公式的应用(知三求一)；
上页
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（两个）
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教材P46 A组2、5
到网上查找有关数学家高斯的故事，你能从这些故事中得到什么启示呢？
到网上查找等差数列前n项和公式的应用，“发现”生活中的数学。
推荐网址：
http://www.cas.cn/html/Dir/2001/11/23/4362.htm中国科学院网站
http://news.juren.com/200711/20531.html巨人奥数网
课后作业
趣味数学
在右图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？
请多指教！
真诚地感谢各位评委！