3.2 一元二次不等式及其解法 课件（32张PPT）

一元二次不等式及其解法
1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，称为____________不等式．
自学导引
一元二次
2．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或＜0)的解集.
没有实数根
?
{x|xx2}
1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)具备哪些条件时，解集为R或?？
【答案】当a>0，Δ<0时，解集为R.当a<0，Δ≤0时，解集为?.
2．ax2＋5x＋1>0是关于“x”的二次不等式吗？
【答案】ax2＋5x＋1>0不一定是一元二次不等式，当a＝0时它是一元一次不等式．若题目中给出的条件是“一元二次不等式ax2＋5x＋1>0”，则隐含的条件是a≠0.
自主探究
1．不等式－x2－x＋2≥0的解集是(　　)
A．{x|x≤－2，或x≥1}
B. {x|－2C．{x|－2≤x≤1}
D．?
【答案】C
【解析】原不等式可化为(x＋2)(x－1)≤0，∴－2≤x≤1.
预习测评
2．下面四个不等式解集为R的是(　　)
A．－x2＋x＋1≥0 B. x2－2x＋5>0
C．x2＋6x＋10>0 D．2x2－3x＋4<0
【答案】C
【解析】利用“Δ”判断，在不等式x2＋6x＋10>0中，Δ＝62－40<0，∴不等式x2＋6x＋10＝0的解集为R.选C.
3．不等式x2＋px＋q<0的解集为{x|－3【答案】－5
【解析】依题意，x1＝－3和x2＝2是方程x2＋px＋q＝0的根，∴x1＋x2＝－p，即p＝1，x1x2＝q＝－6，∴p＋q＝－5.
4．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集是全体实数的条件是________________．
【答案】a>0且Δ＝b2－4ac<0
【解析】利用三个“二次”关系及二次函数图象推导.
1．一元二次不等式
通过同解变形，一元二次不等式可化为：ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a>0)．
不妨设方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1 、x2且x1 要点阐释
课堂讲练互动
从函数观点来看，一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)在x轴上方部分的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)在x轴下方部分的点的横坐标x的集合．
2．解一元二次不等式的常见思考步骤和解题程序
由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般思考步骤：
(1)化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)，或ax2＋bx＋c<0(a>0)；
(2)求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；
(3)由图象得出不等式的解集．
3. 含参数的一元二次型的不等式
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：二根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1题型一　求一元二次不等式的解集
【例1】 求下列一元二次不等式的解集：
(1)x2－5x>14；(2)－x2＋7x>6.
思路点拨：先化为标准形式，再求相应方程的根，最后结合图象得出解集．
典例剖析
解：(1)先将14移到左边化为x2－5x－14>0.因为方程x2－5x－14＝0的两根分别为－2,7.结合二次函数图象易得不等式解集为{x|x<－2或x>7}．
(2)先将不等式化为x2－7x＋6<0，因为方程x2－7x＋6＝0的两根为1,6.所以利用图象可得不等式解集为{x|1方法点评：当所给不等式是非标准形式时，应先化为标准形式，在具体求解一个标准形式的一元二次不等式的过程中，要根据一元二次方程的根的情况以及二次函数的图象求解．这种方法体现了“化归”的数学思想方法的运用，要注意体会．

1．解下列不等式：
(1)x(3－x)≤x(x＋2)－1；
(2)x2－2x＋3>0.

题型二　含参数的一元二次不等式的解法
【例2】 设m∈R，解关于x的不等式m2x2＋2mx－3<0.
思路点拨：按m＝0，m＞0，m＜0进行分类讨论．
方法点评：解不等式时，由于m∈R，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解．因为当m＝0时，原不等式化为－3<0，此时不等式的解集为R，所以解题时应分m＝0与m≠0两种情况来讨论．
2．解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2<0.
解：(1)当a＝0时，原不等式可化为－x＋2<0，
解集为{x|x>2}．
思路点拨：一元二次不等式的解集区间的端点就是相应方程的根，可求出p，q的值．
方法点评：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0的解集的端点就是对应的一元二次方程的解．
3．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|α误区解密　忽略二次项系数为零而出错
【例4】 若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，求实数a的取值范围．
错因分析：当a－2＝0时，原不等式不是一元二次不等式，不能应用根的判别式，应当单独检验不等式是否成立．
　解一元二次不等式主要采用图象法和代数法，解决问题的基础是不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集与对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根以及二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象之间的关系，求解时明确具体的解题步骤．对于应用问题，要先确定其中的不等式关系，进而用相应的不等式表示出来，再解出不等式获得问题的答案．
课堂总结