第2章 四边形单元检测卷A（含解析）

2018-2019湘教版八年级下第2章四边形单元检测卷A
姓名：__________班级：__________考号：__________
、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1.一个多边形的外角和是内角和的，这个多边形的边数为（　　）
A．5 B． 6 C． 7 D． 8
2.如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（　　）
A．AO=OD B．AO⊥OD C．AO=OC D．AO⊥AB
3.下列图形中不是中心对称图形的是（　　）
A． B．C．D．
4.下列结论正确的是（　　）
A．平行四边形是轴对称图形 B．菱形的对角线互相垂直且相等
C．正方形的对称轴有4条 D．矩形的对角线互相垂直
5.矩形的对角线长为20，两邻边之比为3：4，则矩形的面积为（　　）
A．56 B．192 C．20 D．以上答案都不对
6.如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，DE是AC的垂直平分线，线段DE＝1cm，则BD的长为（　　）
A．6cm B．8cm C．3cm D．4cm
7.如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为（　　）cm2．
A．4 B．8 C．12 D．16
8.如图，在四边形ABCD中，，的平分线与的平分线交于点P，则　
A． B． C． D．
9.如图，E是正方形ABCD的边BC的延长线上一点，若CE=CA，AE交CD于F，则∠FAC的度数是（　　）
A．22.5° B．30° C．45° D．67.5°
10.如图所示，已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G，FG=3，则CF的长为（ ）
A． 4 B． 4.5 C． 6 D． 9
11.宽与长的比是（约为0．618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线与点G；作，交AD的延长线于点H．则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
12.如图所示，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1+S2的值为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13.命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是　 　 ．
14.如图所示，?ABCD的周长是10+6，AB的长是5，DE⊥AB于E，DF⊥CB交CB的延长线于点F，DE的长是3，则DF的长为　　　　　　．
15.若一个多边形的每个外角都等于30°，则这个多边形的边数为　 　．
16.如图，等边△ABE与正方形ABCD有一条共公边，点E在正方形外，连结DE，则∠BED=　　　　　　°．
17.把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF．若BF=4，FC=2，则∠DEF的度数是　　　　　　°．
18.如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，△A′B′C′的周长为_________．如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是__________________．
、解答题（本大题共8小题，共66分）
19.已知：如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别与AD、BC相交于点E、F．求证：AE=CF．
20.已知，如图在?ABC中，点D、E、F分别是BC、CA．AB边上的中点。
求证：⑴四边形AFDE是平行四边形；
⑵AFDE周长等于AB+AC。

21.已知平行四边形ABCD．
（1）尺规作图：作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，求证：CE=CF．
22.四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO．
23.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE．
（1）证明DE∥CB；
（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．
24.已知：如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若AB＝5，AC＝7，求ED．
25.已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A．C重合），分别过点A．C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．
（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）
（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．
26.类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度数．
（2）在探究“等对角四边形”性质时：
①小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论；
②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例．
（3）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求对角线AC的长．
答案解析
、选择题
1.【考点】多边形的内角和与外角和
【分析】利用多边形的内角和和外角和求解
解：∵一个多边形的外角和是内角和的，且外角和为360°，
∴这个多边形的内角和为900°，即（n﹣2）?180°=900°，
解得：n=7，
则这个多边形的边数是7，
故选C
【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和公式及外角和公式是解本题的关键．
2.【考点】平行四边形的性质
【分析】根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．
解：对角线不一定相等，A错误；、
对角线不一定互相垂直，B错误；
对角线互相平分，C正确；
对角线与边不一定垂直，D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
3.【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
解：A．是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项正确；
C、是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项错误；
故选：B．
【点评】题考查了中心对称图形的知识，要注意中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后重合．　
4.【考点】平行四边形，菱形，正方形，矩形的性质
【分析】根据平行四边形，菱形，正方形，矩形的性质，结合选项进行判断即可．
解：A．平行四边形是中心对称图形，原说法错误，故本选项错误；
B、菱形的对角线互相垂直，但不相等，原说法错误，故本选项错误；
C、正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称轴有4条，故本选项正确；
D、矩形的对角线相等，原说法错误，故本选项错误；
故选C．
【点评】本题考查了平行四边形、菱形、正方形、矩形，解决本题的关键是掌握几种特殊图形的特点及性质．　
5.【考点】矩形的性质．勾股定理
【分析】首先设矩形的两邻边长分别为：3x，4x，可得（3x）2+（4x）2=202，继而求得矩形的两邻边长，则可求得答案．
解：∵矩形的两邻边之比为3：4，
∴设矩形的两邻边长分别为：3x，4x，
∵对角线长为20，
∴（3x）2+（4x）2=202，
解得：x=2，
∴矩形的两邻边长分别为：12，16；
∴矩形的面积为：12×16=192．
故选：B．
【点评】此题考查了矩形的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握方程思想的应用．
6.【考点】线段垂直平分线的性质，三角形的中位线
【分析】过A作AF∥DE交BD于F，则DE是△CAF的中位线，根据线段垂直平分线的性质，即可解答．
解：过A作AF∥DE交BD于F，则DE是△CAF的中位线，
∴AF＝2DE＝2，
又∵DE⊥AC，∠C＝30°，
∴FD＝CD＝2DE＝2，
在△AFB中，∠1＝∠B＝30°，
∴BF＝AF＝2，
∴BD＝4．
故选：D．
【点睛】考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
7.【考点】轴对称的性质．正方形的性质
【分析】根据正方形的轴对称的性质可得阴影部分的面积等于正方形的面积的一半，然后列式进行计算即可得解．
解：根据正方形的轴对称性可得，阴影部分的面积=S正方形，
∵正方形ABCD的边长为4cm，
∴阴影部分的面积=×42=8cm2．
故选B．
【点评】本题考查了轴对称的性质，根据图形判断出阴影部分的面积等于正方形的面积的一半是解题的关键．
8.【考点】多边形的内角和外角，三角形的内角和定理
【分析】先求出∠ABC+∠BCD的度数,然后根据角平分线的性质以及三角形的内角和定理求解∠P的度数．
解：∵四边形ABCD中,∠ABC+∠BCD=360°-（∠A+∠D）=360°-α,
∵PB和PC分别为∠ABC,∠BCD的平分线,
∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠BCD）=（360°-α）=180°-α,
则∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（180°-α）=α.
故选C.
【点睛】本题主要考查多边形的内角和外角以及三角形的内角和定理,解决本题的关键是要熟练掌握多边形的内角和外角以及三角形的内角和定理.
9.【考点】正方形的性质．
【分析】由四边形ABCD是正方形，∠ACB=45°，然后由CE=CA，可得∠E=∠FAC，继而由三角形外角的性质，求得答案．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，
∴∠E+∠∠FAC=∠ACB=45°，
∵CE=CA，
∴∠E=∠FAC，
∴∠FAC=∠ACB=22.5°．
故选A．
【点评】此题考查了正方形的性质以及等腰三角形的性质．注意证得∠E=∠DAC=∠ACB是解此题的关键．
10.【考点】三角形重心的定义及性质
【分析】根据三角形重心的性质，求出FG=CG，然后即可求出CF的长．
解：∵点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G，
∴G为△ABC的重心，
∴2FG=GC，
∵FG=3，
∴GC=6，
∴CF=9．
故选D.
【点睛】本题主要考查了三角形重心的定义及性质，熟记三角形三边中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键.
11.【考点】定义新运算：黄金分割的识别
【分析】由作图方法可知DF=CF，所以CG=，且GH=CD=2CF
从而得出黄金矩形
解：CG=，GH=2CF
∴
∴矩形DCGH是黄金矩形
故选D．
【点评】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形．
12.【考点】正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质.
【分析】分析：由图可得，S1的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．
解：如图所示，∵ AC是正方形ABCD的一条对角线，
∴ ∠ACB=∠ACD=45°, △ABC是等腰直角三角形,
∴ AC= = .
又四边形EBFG和四边形PHQM均为正方形，
可得△CFG和△CPM均为等腰直角三角形,
则BF=FG=CF=BC=3, CM=PM=QM=HQ=AQ=AC=，
∴ 正方形EBFG的面积为9，正方形PHQM的面积为8,
∴ S1+S2=17.
故选B
【点评】本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了学生的读图能力．
、填空题
13.【考点】命题与定理
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
解：命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是菱形的四条边相等，
故答案为：菱形的四条边相等．
【点评】本题考查的是命题和定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
14.【考点】平行四边形的性质，平行四边形面积的计算
【分析】由平行四边形的性质和已知条件求出BC，再由平行四边形的面积得出关系式，即可求出DF的长．
解：∵?ABCD的周长是10+6，
∴CD=AB=5，AD=BC，
∴AD=BC=（10+6﹣2×5）=3，
∵S?ABCD=AB×DE=BC×DF，
即5×3=3×DF，
∴DF=；故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，由平行四边形的面积关系求出DF是解决问题的关键．
15.【考点】多边形内角与外角
【分析】根据已知和多边形的外角和求出边数即可．
解：∵一个多边形的每个外角都等于30°，
又∵多边形的外角和等于360°，
∴多边形的边数是=12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了多边形的内角和外角，能熟记多边形的外角和等于360°是解此题的关键．
16.【考点】正方形的性质，等边三角形的性质
【分析】根据正方形的性质，可得AB与AD的关系，∠BAD的度数，根据等边三角形的性质，可得AE与AB的关系，∠AEB的度数，根据等腰三角形的性质，可得∠AED与∠ADE的关系，根据三角形的内角和，可得∠AED的度数，根据角的和差，可得答案．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵等边三角形ABE，
∴AB=AE，∠BAE=∠AEB=60°，
∠DAE=∠BAD+∠BAE=90°+60°=150°，
AD=AE，
∴∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠DAB）÷2=15°，
∴∠BED=∠AEB﹣∠AED=60°﹣15°=45°，
故答案为：45°
【点评】此题考查了正方形的性质，以及等边三角形的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握性质是解本题的关键．
17.【考点】翻折变换（折叠问题）．矩形的性质，含30°的直角三角形
【分析】根据折叠的性质得到DF=BF=4，∠BFE=∠DFE，在Rt△DFC中，根据含30°的直角三角形三边的关系得到∠FDC=30°，则∠DFC=60°，所以有∠BFE=∠DFE=（180°﹣60°）÷2，然后利用两直线平行内错角相等得到∠DEF的度数．
解：∵矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF，
∴DF=BF=4，∠BFE=∠DFE，
在Rt△DFC中，FC=2，DF=4，
∴∠FDC=30°，
∴∠DFC=60°，
∴∠BFE=∠DFE=（180°﹣60°）÷2=60°，
∴∠DEF=∠BFE=60°．
故答案为：60．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后的两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了矩形的性质和含30°的直角三角形三边的关系．
18.【考点】三角形中位线定理
【分析】△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，所以EF、FG、EG为三角形中位线，即△EFG的周长是△ABC周长的一半，以此类推，第n个小三角形的周长是第一个三角形周长的64×（）n-
解：∵如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，
∴EF、FG、EG为三角形中位线，
∴EF=BC，EG=AC，FG=AB，
∴EF+FG+EG=（BC+AC+AB），即△EFG的周长是△ABC周长的一半，
同理，△A′B′C′的周长是△EFG的周长的一半，即△A′B′C′的周长为×64=16，
以此类推，第n个小三角形的周长是第一个三角形周长的64×（）n-1，
故答案为：16，64×（）n-1．
【点评】本题考查了三角形中位线定理.此题考查的是三角形中位线的性质,即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半
、解答题
19.【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质
【分析】利用平行四边形的性质得出AO=CO，AD∥BC，进而得出∠EAC=∠FCO，再利用ASA求出△AOE≌△COF，即可得出答案．
证明：∵?ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠EAC=∠FCO，
在△AOE和△COF中
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
20.【考点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【分析】（1）由中位线定理即可得出DE∥AB，DF∥AC，进而得出结论；（2）由平行四边形的性质可对线段进行转化，通过转化进行求解．
解：⑴D、E、F分别为BC、AC、AB中点，
,
四边形AFDE是平行四边形。⑵同⑴可证四边形BDEF，四边形CDFE都是平行四边形，
.
【点评】本题主要考查平行四边形的判定及性质问题,能够运用线段之间的内在关系通过转化解决一些简单的问题
21.【考点】作图—基本作图；平行四边形的性质．
【分析】（1）作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F即可；
（2）先根据平行四边形的性质得出AB∥DC，AD∥BC，故∠1=∠2，∠3=∠4．再由AF平分∠BAD得出∠1=∠3，故可得出∠2=∠4，据此可得出结论．
解：（1）如图所示，AF即为所求；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵AF平分∠BAD，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠4，
∴CE=CF．
【点评】本题考查的是作图-基本作图、平行四边形的性质，熟知角平分线的作法和性质是解答此题的关键．　
22.【分析】（1）根据已知条件得到BF=DE，由垂直的定义得到∠AED=∠CFB=90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）如图，连接AC交BD于O，根据全等三角形的性质得到∠ADE=∠CBF，由平行线的判定得到AD∥BC，根据平行四边形的性质即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵BE=DF，
∴BE﹣EF=DF﹣EF，
即BF=DE，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
在Rt△ADE与Rt△CBF中，，
∴Rt△ADE≌Rt△CBF；
（2）如图，连接AC交BD于O，
∵Rt△ADE≌Rt△CBF，
∴∠ADE=∠CBF，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
23.【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质，含300的直角三角形
【分析】（1）首先连接CE，根据直角三角形的性质可得CE=AB=AE，再根据等边三角形的性质可得AD=CD，然后证明△ADE≌△CDE，进而得到∠ADE=∠CDE=30°，再有∠DCB=150°可证明DE∥CB。
（2）当或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形。
（1）证明：连结CE．
∵点E为Rt△ACB的斜边AB的中点，
∴CE=AB=AE．
∵△ACD是等边三角形，
∴AD=CD．
在△ADE与△CDE中，，
∴△ADE≌△CDE（SSS），
∴∠ADE=∠CDE=30°．
∵∠DCB=150°，
∴∠EDC+∠DCB=180°．
∴DE∥CB．
（2）解：∵∠DCB=150°，若四边形DCBE是平行四边形，则DC∥BE，∠DCB+∠B=180°．
∴∠B=30°．
在Rt△ACB中， AC=或AB=2AC．
∴当AC=或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形．
【点评】此题主要考查了平行线的判定、全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的判定，关键是掌握直角三角形的性质，以及等边三角形的性质．
24.【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理
【分析】延长BE交AC于F，证明△ABE≌△AFE，得出AF＝AB，BE＝EF，DE是△BCF的中位线，求出答案
解：延长BE交AC于F，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵BE⊥AE，AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE，
∴AF＝AB，BE＝EF，
∵AB＝5，
∴AF＝5，
∵AC＝7，
∴CF＝AC-AF＝7-5＝2，
∵D为BC中点，
∴BD＝CD，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE＝CF＝1.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解题的关键是正确添加辅助线.
25.【考点】四边形综合题．
【分析】（1）由△AOE≌△COF即可得出结论．
（2）图2中的结论为：CF=OE+AE，延长EO交CF于点G，只要证明△EOA≌△GOC，△OFG是等边三角形，即可解决问题．
图3中的结论为：CF=OE﹣AE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似．
解：（1）∵AE⊥PB，CF⊥BP，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF．
（2）图2中的结论为：CF=OE+AE．
图3中的结论为：CF=OE﹣AE．
选图2中的结论证明如下：
延长EO交CF于点G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠EAO=∠GCO，
在△EOA和△GOC中，
，
∴△EOA≌△GOC，
∴EO=GO，AE=CG，
在RT△EFG中，∵EO=OG，
∴OE=OF=GO，
∵∠OFE=30°，
∴∠OFG=90°﹣30°=60°，
∴△OFG是等边三角形，
∴OF=GF，
∵OE=OF，
∴OE=FG，
∵CF=FG+CG，
∴CF=OE+AE．
选图3的结论证明如下：
延长EO交FC的延长线于点G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠AEO=∠G，
在△AOE和△COG中，
，
∴△AOE≌△COG，
∴OE=OG，AE=CG，
在RT△EFG中，∵OE=OG，
∴OE=OF=OG，
∵∠OFE=30°，
∴∠OFG=90°﹣30°=60°，
∴△OFG是等边三角形，
∴OF=FG，
∵OE=OF，
∴OE=FG，
∵CF=FG﹣CG，
∴CF=OE﹣AE．
【点评】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．　
26.【考点】四边形综合题．
【分析】（1）利用“等对角四边形”这个概念来计算．
（2）①利用等边对等角和等角对等边来证明；
②举例画图；
（3）（Ⅰ）当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，利用勾股定理求解；
（Ⅱ）当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，求出线段利用勾股定理求解．
解：（1）如图1
∵等对角四边形ABCD，∠A≠∠C，
∴∠D=∠B=80°，
∴∠C=360°﹣70°﹣80°﹣80°=130°；
（2）①如图2，连接BD，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD，
②不正确，
反例：如图3，∠A=∠C=90°，AB=AD，
但CB≠CD，
（3）（Ⅰ）如图4，当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，
∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，
∴AE=10，
∴DE=AE﹣AD=10﹣4=6，
∵∠EDC=90°，∠E=30°，
∴CD=2，
∴AC===2
（Ⅱ）如图5，当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
∵DE⊥AB，∠DAB=60°AD=4，
∴AE=2，DE=2，
∴BE=AB﹣AE=5﹣2=3，
∵四边形BFDE是矩形，
∴DF=BE=3，BF=DE=2，
∵∠BCD=60°，
∴CF=，
∴BC=CF+BF=+2=3，
∴AC===2．
【点评】本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是理解并能运用“等对角四边形”这个概念．