【备考2019中考数学学案】第四单元 图形的初步知识与三角形 第7讲 锐角三角函数

第四单元 图形的初步知识与三角形
第7讲 锐角三角函数
考 点 知 识 清 单
考点一 锐角三角函数的概念
如图，在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c。
1.我们把锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA；
sinA＝＝①_________。
2.把锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA；cosA＝＝②___________。
3.把锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA；tanA＝＝③___________。
4.锐角三角函数的定义:锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数。
考点二 特殊角的三角函数值
0o
30o
45o
60o
90o
sinA
0
④_____
⑤______
1
cosA
1
⑥_____
⑦______
0
tanA
0
⑧_____
1
不存在
【温馨提示】 1.特殊值法记忆三角函数值:设30°角所对的直角边为1，可得三边长分别为1，，2；设45°角所对的直角边为1，可得三边长分别为1，1，；再根据锐角三角函数的定义推导即可（画出示意图更形象直观）。
2.根据特殊角的函数值，我们不难发现如下性质（可利用定义推理得到）:
（1）增减性:锐角的正弦值与正切值随角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小。
（2）互余两角的正、余弦关系:cosa＝sin（90°-a）；sina＝cos（90°-a）。
（3）互余两角的正切关系:tana·tan（90°-a）＝1。
（4）同角的正、余弦的关系:sin2a＋cos2a＝1。
（5）同角的三角函数值的商数关系: tan a。
考点三 解直角三角形
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则:
1.两锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90°；
2.三边之间的关系:⑨___________；
3.边与角之间的关系:sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝⑩________， tan A＝＝?_________。
考点四 解直角三角形的应用
实际问题中的常见术语:
1.仰角、俯角
在进行测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线?_________的是仰角，视线在水平线?________的是俯角.
2.方位角
指北或指南的方向线与目标方向所成的小于_______的角.如图，OA的方位角为北偏东50°.
3.坡度
坡面的铅直高度h和_________的比叫做坡度（或叫坡比），用字母i表示，即i＝。如果把坡面与水平面的夹角记作a（叫做坡角）那么i＝＝tan a。
题 型 归 类 探 究
类型三 角函数的概念（重点）
【典例1】（2018·眉山）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则tan∠AOD＝___________。
【思路导引】结合网格特征，把∠AOD转化或构造到一个合适的直角三角形中求正切值，会简捷获解.
【自主解答】
【方法技巧】求一个锐角的三角函数值，需要把该锐角放在或转化到一个直角三角形中求解，有时需要通过作辅助线构造直角三角形求解，注意特殊四边形与直角三角形、全等或相似三角形等知识的综合应用.
【变式训练】
1.（2018·常州）某数学研究性学习小组制作了如图的三角函数计算图尺:在半径为10的半圆形量角器中，画一个直径为10的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O转，从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是（ ）
A. B. C. D.
类型二 特殊角的三角函数值（重点）
【典例2】（2015·武威）已知a，β均为锐角，且满足＝0，则a＋β＝______。
【思路导引】由非负数的性质可得sina-＝0，tanβ-1＝0，即sina=，tanβ＝1，再求a＝30°，β＝45°，所以a＋β＝75°
【自主解答】
【方法技巧】三角函数值的记忆技巧:30°，45°，60°角的正弦值、余弦值可表示为的形式，正弦的m值顺口溜为1，2，3；余弦的m值顺口溜为3，2，1；正切值可表示为的形式，m值的顺口溜为3，9，27.
【变式训练】
2.（2018·黄冈）下列运算结果正确的是（ ）
A.3a3·2a2＝6a6 B.（-2a）2＝-4a2 C.tan45°＝ D.cos30°＝
类型三 解直角三角形（重难点）
【典例3】（2018·自贡）如图，在△ABC中，BC＝12，tanA＝，∠B＝30°，求AC和AB的长。
【思路导引】过点C作CD⊥AB于点D，通过解Rt△ADC和Rt△BDC，得AC和AB的长。
【自主解答】
【方法技巧】（1）解直角三角形四种基本类型和解法
已知条件
解法
一边
及一锐角
直角边a
及锐角A
B＝90°-A，b=,c=
斜边c及
锐角A
B＝90°-A，a＝c·sinA，b＝c·cosA
两边
两条直角
边a和b
,tanA=,B=90o-A
直角边a
和斜边c
sinA=,B=90o-A,b=
（2）解直角三角形时选择三角函数的方法:①三角函数的选择遵循“先求角后求边”“有斜用弦，无斜用切，宁乘不除”的原则；②遇到不是直角三角形的三角形时，可添加辅助线，将其转化为直角三角形.
【变式训练】
3.（2018·上海）如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC=。
（1）求边AC的长；
（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值。
类型四 解直角三角形的应用（高频点）
【典例4】（2018·菏泽）2018年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播，如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园A处的俯角为30°，B处的俯角为45°，如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A，B，D在同一条直线上，则A，B两点间的距离为多少米？（结果保留根号）
【思路导引】在Rt△ADC中，根据tanA＝，可求得AD的值；在Rt△BCD中，BD＝CD＝200米，AD与BD之差即为AB的长.
【自主解答】
【方法技巧】直角三角形的应用的解题策略:（1）弄清题意，建立符合题意的数学模型是解题的关键所在；（2）在利用直角三角形中的边角关系求线段的长度时，如果涉及两个或者两个以上的三角形时，可以通过设未知数，利用线段之间的等量关系列出方程，从而求解。
【变式训练】
4.（2018·连云港）如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC＝37°，坝顶DC＝3m，背水坡AD的坡度i（即tan∠DAB）为1:0.5，坝底AB＝14m.
（1）求坝高；
（2）如图2，为了提高坝堤的防洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE＝2DF，EF⊥BF，求DF的长.
（参考数据:sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）
中 考 真 题 回 放
考点一 三角函数的概念
1.（2017·日照）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sinA的值为（ ）
A. B. C. D.
2.（2018·日照）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则
∠BED的正切值等于（ ）
A. B. C.2 D.
3.（2016·乐山）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（ ）
A sin B B sin B＝
C. sin B D. sin B
4.（2018·滨州）在△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则sinB=__________。
5.（2018·德州）如图，在4×4的正方形方格中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是__________。
6.（2018·泰安）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A′处，若EA′的延长线恰好过点C，则sin∠ABE的值为___________。
考点二 特殊角的三角函数值
7.（2018·日照）计算:＋tan30°·sin60°＝（ ）
A. B.2 C. D.
8.（2017·烟台）在RtABC中，∠C=900，AB=2，BC＝，则sin=___________。
9.（2018·莱芜）计算:（π-3.14）0＋2cos60°=____________。
考点三 解直角三角形及其应用
10.（2018·枣庄）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度约为_________米。［参考数据:sin31°≈0.515，cos31°≈0.857，tan31°≈0.601］
11.（2018·济宁）如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线的距离是________km.
12.（2017·广州）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝，则AB＝___________。
13.（2018·潍坊）如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向.为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行___________小时即可到达.（结果保留根号）
14.（2016·济宁）某地一人行天桥如图所示，天桥高6米，坡面BC的坡度为1:1.为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC的坡度为1:3.
（1）求新坡面的坡角a.
（2）原天桥底部正前方8米处（PB的长）的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由.
15.（2018·青岛）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路.甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC＝840m，BC＝500m.请求出点O到BC的距离。
参考数据:sin73.7o≈，cos73.7o≈，tan73.7°≈
16.（2018·德州）如图，两座建筑物的水平距离BC为60m，从C点测得A点的仰角a为53°，从A点测得D点的俯角β为37°求两座建筑物的高度。
（参考数据:sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈ ，sin53°≈，cos53o≈，tan53°≈）
参 考 答 案 及 解 析
【题型归类探究】
【典例1】
【自主解答】2 解析:如图所示，连接AE，BE，则有CD∥BE，∴∠AOD＝∠ABE，
显然△ABE是直角三角形，∴tan∠AOD＝tan∠ABE＝==2。
另外，如下图，可连接EB交OC于点F在Rt△BOF中求解；或连接MN交AB于点H，在Rt△HON中求解；或连接AP并延长交CD于点Q，在Rt△AOQ中求解。
【变式训练】1.D 解析:如图，连接EF，由题意可知OF＝8，OE＝OH＝10.
∵∠OeF＋∠EOF＝∠EOF＋∠BOF，∴∠OEF＝∠AOB.∵OE是直径，∴∠EFO＝90° ，
∴sin∠AOB＝.
【典例2】
【自主解答】75°解
【变式训练】2.D
【典例3】
【自主解答】解:过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，BC＝12，
∴CD＝BC×sin30°＝6，BD＝BC×cos30°＝6.
在Rt△ACD中，∵tanA＝, ∴AD＝8，∴AC＝10，
∴AB＝AD＋BD＝8＋6.
【变式训练】3.解:（1）过点A作AE⊥BC于点E.
在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，tan∠ABC＝,
设AE＝3x，BE＝4x，根据勾股定理，AB＝5x＝5，则x＝1，
∴AE＝3，BE＝4，∴CE＝BC-BE＝5-4＝1.
在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∴AC＝＝.
（2）如图，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于F，则BF＝CF＝BC＝2.5，
∴EF＝FC-EC＝2.5-1＝1.5.∠AEC＝∠DFC＝90°，∴DF∥AE，
∴.
【典例4】
【自主解答】解:依题意，得∠A＝30°，∠CBD＝45°，∠CDA＝90°
在Rt△ADC中，CD＝200（米），∠A＝30°.
∴AD＝（米）。
在Rt△BCD中，CD＝200（米），∠CBD＝45°，∴BD＝200（米）
∴AB＝AD-BD＝（200-200）（米）.［或200（-1）米也可以。
【变式训练】4.解:（1）过点D作DM⊥AB，垂足为M，过点C作CN⊥AB，垂足为N.
因背水坡AD的坡度i为1:0.5，所以tan∠DAB＝2，设AM＝x，则DM＝2x.
又四边形DMNC是矩形，所以DM＝NC＝2x。
在Rt△BNC中，tan∠ABC＝tan37°＝，
所以BN＝，由x＋3＋＝14，得x＝3，所以DM＝6.即坝高为6m.
（2）过点F作FH⊥AB，垂足为H设DF＝y，则AE＝2y。
EH＝3＋2y-y＝3＋y，BH＝14-3＋y＝11＋y.由FH⊥BE，EF⊥BF，得△EFH∽△FBH。
所以，即。
62＝（3＋y）（11＋y），解得y＝-7＋2或y＝-7-2（舍）.所以DF＝2-7（米）。
答:DF的长为（2-7）米。
【中考真题回放】
1.B 2.D 3.C 4. 5.
6. 解析:由折叠知∠BA′E＝∠A＝90°，AE＝A'E，A'B＝AB＝6，
故在Rt△A′BC中，由勾股定理，得A'C=＝＝8，
设AE＝A′E＝x，则CE＝x＋8，DE＝10-x，
在Rt△CDE中，由勾股定理，得（x＋8）2＝62＋（10-x）2，解得x＝2.（或由Rt△CDE∽Rt△BCA'求得DE长，进而得AE的长.）
在Rt△ABE中，BE＝＝2.所以sin∠ABE＝.
7.C 8. 9.2 10.6.18 11. 12.17
13. 解析:作PC⊥AB的延长线于点C，MD⊥AB的延长线于点D.
由题意，得∠PAB＝45°，∠PBC＝60°，∠PBM＝60°－30°＝30°，
∴∠MBD＝30°，AB＝1.5×60＝90（海里）.
设AC＝PC＝MD＝x海里，则BC＝（x-90）海里，在Rt△BPC中，
tan60°，则，解得x＝45（＋1），
∴BM＝2MD＝90（＋1）海里.90（＋1）÷75＝（小时）
14.解:（1）由题意，得tana＝.∴a＝30°
（2）文化墙不需要拆除，理由:
如图，作CD⊥AB.∴CD＝6米∴AD＝6米.
∵tan∠CBD＝＝1，∴BD＝CD＝6米.
∴AB＝AD-BD＝6（-1）（米）.∵AB＝6（-1）＜8＝PB，
∴文化墙PM不需要拆除.
15.解:如图，作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，则四边形ONCM为矩形，
∴ON＝MC，OM＝NC.设OM＝x，则NC＝x，AN＝840-x.
在Rt△ANO中，∠OAN＝45°∴ON＝AN＝840-x，则 MC＝ON＝840-x.
在Rt△BOM中，BM＝=.
由题意得840-x＋＝500，解得x＝480.
答:点O到BC的距离为480m.
16.解:在Rt△ABC中，∵∠ACB＝a＝53°，BC＝60m，
∴AB＝BC·tana＝60×tan53°≈60×＝80（m）；
过点D作DE⊥AB，垂足为E.由平行线性质，得∠ADE＝∠B＝37°，
易得，四边形BCDE是矩形，∴DE＝BC＝60m，
∴AE＝BC·tanβ＝60×tan37°≈60×＝45（m），
∴CD＝BE＝AB-AE≈80-45＝35（m）
答:两座建筑物AB与CD的高度分别是80m，35m。