湘教版2018-2019学年度下学期第1学月考试八年级数学试卷（含解析）

2018-2019湘教版八年级下第1学月考试试卷
姓名：__________班级：__________考号：__________
、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
下列各组数中，可以构成勾股数的是（ ）
A．
在Rt△ABC中，若AC＝，BC＝，AB＝4，则下列结论中正确的是(　　)
A．∠C＝90° B．∠B＝90°
C．△ABC是锐角三角形 D．△ABC是钝角三角形
如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（　　）
A．90°﹣α B．90°+α C． D．360°﹣α
如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（　　）
A．6 B．6 C．6 D．12
小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（　　）
A．①，② B．①，④ C．③，④ D．②，③
如图，一个2.5米长的梯子，底端D放在距离墙根C点1.5米处，另一头E点靠墙，如果梯子的底部向墙移动0.8米，梯子的另一端向上移动（）米.
A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8
如图，?ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（　　）
A．15 B．18 C．21 D．24
如图，?ABCD的周长为20cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△CDE的周长为（　　）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，图中的全等三角形的对数（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（　　）
A．4S1 B．4S2 C．4S2+S3 D．3S1+4S3
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，若CD=m，AB=2n，则△ABD的面积是（　　）
A．mn B．5mn C．7mn D．6mn
如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，则下列结论不正确的是（　　）
A．∠ECD=112.5° B．DE平分∠FDC C．∠DEC=30° D．AB=CD
、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
在中，，比大则______．
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC＞AB，点D在BC上，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，DE的最小值是　　　　　　．
如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC=5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是_______________．
如图，在边长为4的等边中，，分别为，的中点，于点，为的中点，连接，则的长为__________．
如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H，若MH=8cm，则BG= cm.

在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=BC，则△ABC的顶角的度数为　 　．
、解答题（本大题共8小题，共66分）
在△ABC中，∠C＝90°，AB＝20，若∠A＝60°，求BC，AC的长．
如图，长7.5m的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙的底端4.5m.
（1）求梯子的顶端到地面的距离；
（2）由于地面有水，梯子底部向右滑动1.5m，则梯子顶端向下滑多少米？
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，以AC为边作等边△ACD，并作斜边AB的垂直平分线EH，且EB=AB，联结DE交AB于点F，求证：EF=DF．
如图，四边形ABCD是平行四边形．
（1）用尺规作图作∠ABC的平分线交AD于E（保留作图痕迹，不要求写作法，不要求证明）
（2）求证：AB=AE．
我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下两组勾股数：11、　　、 ； 13、　、　；
（2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别表示为　　和　　，请用所学知识说明它们是一组勾股数．
如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，点E，BE，CD相交于点O，连接AO.求证：
(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；
(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.
在解决线段数量关系问题中，如果条件中有角平分线，经常采用下面构造全等三角形的解决思路.如：在图1中，若C是∠MON的平分线OP上一点，点A在OM上，此时，在射线ON上截取OB=OA,连结BC，根据三角形全等的判定方法(SAS)，容易构造出全等三角形△OBC和△OAC，参考上面的方法，解答下列问题：
(1)如图2，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E，F分别为AB，AC上的点，且∠AED+∠AFD=180°．求证：DE=DF．
(2)如图3，在非等边△ABC中，∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，且AD，CE 交于点F，求证：AC=AE+CD．
已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10.
（1）求BC的长；
（2）有一动点P从点C开始沿C→B→A方向以1cm/s的速度运动到点A后停止运动，设运动时间为t秒；求：
①当t为几秒时，AP平分∠CAB；
②当t为几秒时，△ACP是等腰三角形（直接写答案）.
答案解析
、选择题
【考点】勾股数
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
解：A．32+42=52，能构成直角三角形，是整数．故选项正确；
B．不是正整数．故选项错误；
C．不是正整数．故选项错误；
D．，不能构成直角三角形．故选项错误．
故选A．
【点睛】本题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
【考点】勾股定理的逆定理
【分析】根据勾股定理的逆定理即可解答．
解：∵AC＝，BC＝，AB＝4，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠C=90°，
故选：A．
【点睛】此题主要是对勾股定理逆定理的应用，确定谁是直角很关键．
【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理．
【分析】先求出∠ABC+∠BCD的度数，然后根据角平分线的性质以及三角形的内角和定理求解∠P的度数．
解：∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D）=360°﹣α，
∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，
∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠BCD）=（360°﹣α）=180°﹣α，
则∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（180°﹣α）=α．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角和外角以及三角形的内角和定理，属于基础题．
【考点】含30度角的直角三角形．
【分析】根据30°所对的直角边等于斜边的一半求解．
解：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=12，
∴BC=AB=12×=6，
故答选A．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形性质，注意：在直角三角形中，如果有一个角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【考点】平行四边形的判定．
【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．
解：∵只有②③两块角的两边互相平行，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选D．
【点评】本题考查平行四边形的定义以及性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了，属于中考常考题型．
【考点】勾股定理的应用
【分析】首先在直角三角形CDE中计算出CE长，再在直角三角形ABC中计算出BC的长，从而可得BE的长度．
解：∵DE=2.5米，CD=1.5米，
∴CE=（米），
∵梯子的底部向墙移动0.8米，
∴AD=0.8米，
∴AC=1.5-0.8=0.7米，
∴BC=米．
∴梯子的底部向外滑出BE=2.4-2=0.4（米）．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，关键是掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
【考点】平行四边形的性质，三角形中位线定理
【分析】利用平行四边形的性质，三角形中位线定理即可解决问题；
解：∵平行四边形ABCD的周长为36，
∴BC+CD=18，
∵OD=OB，DE=EC，
∴OE+DE=（BC+CD）=9，
∵BD=12，
∴OD=BD=6，
∴△DOE的周长为9+6=15，
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理，属于中考常考题型．
【考点】平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算
【分析】先由平行四边形的性质和周长求出AD+DC=10，再根据线段垂直平分线的性质得出AE=CE，即可得出△CDE的周长=AD+DC．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD=BC，OA=OC，
∵?ABCD的周长为20cm，
∴AD+DC=10cm，
又∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=10cm；
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，运用线段垂直平分线的性质得出AE=CE是解决问题的关键．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定．
【分析】平行四边形的性质是：对边相互平行且相等，对角线互相平分．这样不难得出：AD=BC，AB=CD，AO=CO，DO=BO，再利用“对顶角相等”就很容易找到全等的三角形：△ACD≌△CAB（SSS），△ABD≌△CDB（SSS），△AOD≌△COB（SAS），△AOB≌△COD（SAS）．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC；OD=OB，OA=OC；
∵在△AOD和△COB中
∴△AOD≌△COB（SAS）；
同理可得出△AOB≌△COD（SAS）；
∵在△ABD和△DCB中，
∴△ABD≌△CDB（SSS）；
同理可得：△ACD≌△CAB（SSS）．
共有4对全等三角形．
故选D．
【点评】考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定，三角形全等的条件有时候是直接给的，有时候是根据已知条件推出的，还有时是由已知图形的性质得出的，做题时要全面考虑．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，求出S2（用a、c表示），得出S1，S2，S3之间的关系，由此即可解决问题．
解：设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，
则S2=（a+c）（a﹣c）=a2﹣c2，
∴S2=S1﹣S3，
∴S3=2S1﹣2S2，
∴平行四边形面积=2S1+2S2+S3=2S1+2S2+2S1﹣2S2=4S1．
故选A．
【点评】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出S1，S2，S3之间的关系，属于中考常考题型．
【考点】角平分线的性质
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，
∴DE=CD=m，
∴△ABD的面积=×2n×m=mn，
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．　
【考点】 三角形中位线定理； 等腰三角形的性质，勾股定理
【分析】由AB=AC，∠CAB=45°，根据等边对等角及三角形内角和定理求出∠B=∠ACB=67.5°．由Rt△ADC中，∠CAD=45°，∠ADC=90°，根据三角形内角和定理求出∠ACD=45°，根据等角对等边得出AD=DC，那么∠ECD=∠ACB+∠ACD=112.5°，从而判断A正确；
根据三角形的中位线定理得到FE=AB，FE∥AB，根据平行线的性质得出∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°．根据直角三角形的性质以及等腰三角形的性质得到FD=AC，DF⊥AC，∠FDC=45°，等量代换得到FE=FD，再求出∠FDE=∠FED=22.5°，进而判断B正确；
由∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，求出∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，从而判断C错误；
在等腰Rt△ADC中利用勾股定理求出AC=CD，又AB=AC，等量代换得到AB=CD，从而判断D正确．
解：∵AB=AC，∠CAB=45°，
∴∠B=∠ACB=67.5°．
∵Rt△ADC中，∠CAD=45°，∠ADC=90°，
∴∠ACD=45°，AD=DC，
∴∠ECD=∠ACB+∠ACD=112.5°，故A正确，不符合题意；
∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴FE=AB，FE∥AB，
∴∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°．
∵F是AC的中点，∠ADC=90°，AD=DC，
∴FD=AC，DF⊥AC，∠FDC=45°，
∵AB=AC，
∴FE=FD，
∴∠FDE=∠FED=（180°﹣∠EFD）=（180°﹣135°）=22.5°，
∴∠FDE=∠FDC，
∴DE平分∠FDC，故B正确，不符合题意；
∵∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，
∴∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，故C错误，符合题意；
∵Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=DC，
∴AC=CD，
∵AB=AC，
∴AB=CD，故D正确，不符合题意．
故选C．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识．掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
、填空题
【考点】三角形的内角和，直角三角形两锐角互余
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得，然后解方程组即可．
解：，
，
比大，
，
得，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的内角和，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并列出关于的两个方程是解题的关键．
【考点】平行四边形的性质；垂线段最短；三角形中位线定理．
【分析】首先证明BC∥AE，当DE⊥BC时，DE最短，只要证明四边形ABDE是矩形即可解决问题．
解：∵四边形ADCE是平行四边形，
∴BC∥AE，
∴当DE⊥BC时，DE最短，
此时∵∠B=90°，
∴AB⊥BC，
∴DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠B=90°，
∴四边形ABDE是矩形，
∴DE=AB=4，
∴DE的最小值为4．
故答案为4．
【点评】本题考查平行四边形的性质、垂线段最短等知识，解题的关键是找到DE的位置，学会利用垂线段最短解决问题，属于中考常考题型．　
【考点】勾股定理的应用．
【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．
解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，AC=y，则
x2=4y2+52，
∵△BCD的周长是30，
∴x+2y+5=30
则x=13，y=6．
∴这个风车的外围周长是：4（x+y）=4×19=76．
故答案是：76．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中正确的计算BD是解题的关键．
【考点】等边三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理
【分析】连接DE，根据题意可得ΔDEG是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解DG的长.
解：连接DE，
∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE∥AC，DE=AC
∵ΔABC是等边三角形，且BC=4
∴∠DEB=60°,DE=2
∵EF⊥AC，∠C=60°,EC=2
∴∠FEC=30°，EF=
∴∠DEG=180°-60°-30°=90°
∵G是EF的中点，
∴EG=.
在RtΔDEG中，DG=
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和熟练运用性质是解题的关键.
【考点】全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质
【分析】作MD⊥BC于D，延长DE交BG的延长线于E，构建等腰直角三角形△BDM，证明△BED和△MHD全等，
解：如图，作MD⊥BC于D，延长DE交BG的延长线于E，
∵△ABC中，∠C=90°，CA=CB，
∴∠ABC=∠A=45°，
∵∠GMB=∠A，
∴∠GMB=∠A=22.5°，
∵BG⊥MG，
∴∠BGM=90°，
∴∠GBM=90°﹣22.5°=67.5°，
∴∠GBH=∠EBM﹣∠ABC=22.5°．
∵MD∥AC，
∴∠BMD=∠A=45°，
∴△BDM为等腰直角三角形
∴BD=DM，
而∠GBH=22.5°，
∴GM平分∠BMD，
而BG⊥MG，
∴BG=EG，即BG=BE，
∵∠MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90°，
∴∠MHD=∠E，
∵∠GBD=90°﹣∠E，∠HMD=90°﹣∠E，
∴∠GBD=∠HMD，
∴在△BED和△MHD中，
，
∴△BED≌△MHD（AAS），
∴BE=MH，
∴BG=MH=4．
故答案是：4．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质。作辅助线是解题的关键。
【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．
【分析】分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．
解：①BC为腰，
∵AD⊥BC于点D，AD=BC，
∴∠ACD=30°，
如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，
如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，
②BC为底，如图3，
∵AD⊥BC于点D，AD=BC，
∴AD=BD=CD，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，
∴∠BAD+∠CAD=×180°=90°，
∴顶角∠BAC=90°，
综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．
故答案为：30°或150°或90°．
【点评】本题考查了含30°交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．　
、解答题
【考点】勾股定理
【分析】由已知可得，∠B＝30°，根据30°角直角三角形的性质可得AC=10，再由勾股定理即可求得BC的长.
解：∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝180°－∠C－∠A＝180°－90°－60°＝30°.
∴AC＝AB＝×20＝10.
在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝＝＝10.
故答案为10.
【点睛】本题考查勾股定理.
【考点】勾股定理的应用
【分析】首先在Rt△ABC中利用勾股定理计算出AC长，再在直角三角形ECF中，计算出EC长，利用AC减去EC即可．
解：（1）如图，
在中，,
∵
∴.
答：梯子的顶端到地面的距离为.
（2）如图，，
，
∴，
∴.答：梯子顶端向下滑米.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是掌握勾股定理在直角三角形中的表达式．
【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．
【分析】根据直角三角形性质和线段垂直平分线求出BC=AB，BH=AB，推出BC=BH，推出Rt△ACB≌Rt△EHB，根据全等得出EH=AC，求出EH=AD，∠CAD=60°，∠BAD=90°，根据AAS推出△EHF≌△DAF，根据全等三角形的性质得出即可．
证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴BC=AB，
∵EH垂直平分AB，
∴BH=AB，
∴BC=BH，
在Rt△ACB和Rt△EHB中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△EHB（HL），
∴EH=AC，
∵等边△ACD中，AC=AD，
∴EH=AD，∠CAD=60°，∠BAD=60°+30°=90°，
在△EHF和△DAF中，
，
∴△EHF≌△DAF （AAS）
∴EF=DF．
【点评】 本题考查了线段垂直平分线性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，难度适中．
【考点】作图—复杂作图；平行四边形的性质．
【分析】（1）以点B为圆心，任意长为半径画弧，交AB，BC于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点的距离为半径画弧，在△ABC内交于一点O，作射线BO，交AD于点E即可；
（2）利用角平分线的性质以及平行线的性质求出∠ABE=∠AEB即可得出答案．
（1）解：如图所示：
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE．
【点评】本题考查了三角形的角平分线的画法以及角平分线的性质以及平行线的性质等知识，利用角平分线的性质得出解题关键．
【考点】勾股数
【分析】（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61，进而得出答案；
（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一．
解：（1）∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，
∴4=，12=，24=…
∴11，60，61；13，84，85；????????
故答案为：60，61；84，85；
（2）后两个数表示为和，
∵a2+()2=a2+ ==()2
()2=，
∴a2+()2=()2，
又∵a?3，且a为奇数，
∴由a， ， 三个数组成的数是勾股数.???
故答案为： ， .
【点评】本题考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数记忆关系式进行猜想、证明即可.
【考点】角平分线的性质定理以及逆定理，全等三角形的判定和性质
【分析】(1)、根据角平分线的性质得出OD=OE，然后证明△BOD和△COE全等，从而得出答案；(2)、根据题意得出△BOD和△COE全等，从而得出OD=OE，然后根据角平分线性质定理的逆定理得出答案．　
解：(1)、∵∠1=∠2
∴AO平分∠BAC，
∴OD=OE，
又∵∠BDO=∠CEO=90°，∠BOD=∠COE，
∴△BOD≌△COE(ASA)，
∴OB＝OC；
(2)、 ∵∠BDO=∠CEO=90°，∠BOD=∠COE，OB=OC，
∴△BOD≌△COE(AAS)，
∴OD＝OE，
又∵CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，
∴OA平分∠BAC，即∠1＝∠2．
【点睛】本题主要考查的就是角平分线的性质定理以及逆定理的应用，三角形全等的证明，属于简单题型．定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，逆定理：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上．同学们在解答这种问题的时候，如果看到角平分线，除了想到角相等之外，还要考虑到线段相等，这个是一个非常重要的条件．
【考点】角平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【分析】（1）在AB上截取AK=AF,连结KD，利用角平分线的定义，可证得∠BAD=∠CAD.，再证明△AKD≌△AFD，利用全等三角形的性质，可证得DK=DF,∠AKD=∠AFD，然后证明DE=DK，就可证得结论
（2）在AC上截取AG=AE,连接FG，易证△AEF≌△AGF，可证得∠AFE=∠AFG，再根据已知去证明∠CFD=∠CFG。然后利用ASA证明△CFG≌△CFD，利用全等三角形的性质证得CG=CD，从而就可证得结论
（1）证明：如图1,在AB上截取AK=AF,连结KD
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠CAD.
在△AKD和△AFD中,
∴△AKD≌△AFD(SAS)
∴DK=DF,∠AKD=∠AFD
∵∠AED+∠AFD=180°
∠EKD+∠AKD=180°
∵,∠AED=∠EKD
∴DE=DK
∴DE=DF
（2）证明：如图2,在AC上截取AG=AE,连接FG
∵AD是∠BAC的平分线,CE是∠BCA的平分线
∴∠1=∠2,∠3=∠4
在△AEF和△AGF中,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴∠AFE=∠AFG
∵∠B=60°
∵.∠BAC+∠ACB=120°
∵.∠2+∠3= (∠BAC+∠ACB)=60°,
∵∠AFE=∠2+∠3,
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°,
∴∠CFG=180°-∠CFD-∠AFG=60°
∴∠CFD=∠CFG,
在△CFG和△CFD中
∴△CFG≌△CFD(ASA)
∴CG=CD,
∴AC=AG+CG=AE+CD
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质.
【考点】勾股定理，角平分线的性质，等腰三角形的判定
【分析】（1）直接根据勾股定理求出BC的长即可；
（2）①过点P作PD⊥AB于点D，根据角平分线的性质可得出PD=PC，由HL定理可得出Rt△APD≌Rt△APC，故AD=AC，设PC=x，则PB=8-x，在Rt△BPD中根据勾股定理求出x的值即可得出结论；
②当点P在BC上时，只有AC=PC一种情况；当点P在AB上时，分AP=AC，PC=AC，PC =AP三种情况进行讨论．
解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，
∴BC===8；
（2）①如图1所示，过点P作PD⊥AB于点D，
∵AP平分∠CAB，∴PD=PC．
在Rt△APD与Rt△APC中，
，
∴Rt△APD≌Rt△APC（HL），
∴AD=AC=6，∴BD=10－6=4．
设PC=x，则PB=8－x，
在Rt△BPD中，PD2+BD2=PB2，即x2+42=（8－x）2， 解得x=3，
∴当t=3秒时，AP平分∠CAB；
② 如图2所示,
当点P在BC上时，
∵AC=C=6，
∴t=6秒；
当点P在AB上,AC=A时，
∵AC=A=6，
∴BC+B=8+4=12，
∴t=12秒；
当AC=C时，如图3所示，
过点D作CD⊥AB于点D,则AD=D，
∴ =,即=，解得AD=3.6，
∴A=7.2，
∴BC+B=8+(10?7.2)=10.8，
∴t=10.8秒；
当C=A时,如图4所示,过点作E⊥AC于点E，
∵C=A，AC=6，
∴AE=AC=3，
∴ =,即 =,解得A=5，
∴BC+B=8+(10?5)=13，
∴t=13秒。
综上所述，t=6或t=10.8或t=12或t=13秒时，△ACP是等腰三角形.
【点睛】本题考查勾股定理，角平分线的性质，等腰三角形的判定.