第26章 概率初步
26.1 随机事件
知识点1
知识点2
事件类型
1.下列语句描述的事件中,是随机事件的为 ( D )
A.水能载舟,亦能覆舟 B.只手遮天,偷天换日
C.瓜熟蒂落,水到渠成 D.心想事成,万事如意
知识点1
知识点2
概率的意义与可能性的大小
2.小亮是一名职业足球队员,根据以往比赛数据统计,小亮进球率为10%,他明天将参加一场比赛,下面几种说法正确的是( C )
A.小亮明天的进球率为10%
B.小亮明天每射球10次必进球1次
C.小亮明天有可能进球
D.小亮明天肯定进球
3.一个布袋里装有2个红球、3个黑球、4个白球,它们除颜色外都相同,从中任意摸出1个球,则下列事件中,发生可能性最大的是( A )
A.摸出的是白球 B.摸出的是黑球
C.摸出的是红球 D.摸出的是绿球
4.投掷两枚质地均匀的骰子,骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,则下列事件为随机事件的是( D )
A.两枚骰子向上一面的点数之和大于1
B.两枚骰子向上一面的点数之和等于1
C.两枚骰子向上一面的点数之和大于12
D.两枚骰子向上一面的点数之和等于12
5.必然事件发生的可能性是100%,不可能事件发生的可能性是0,而随机事件发生的可能性介于0和100%之间.根据你的经验,把下列事件发生的可能性从小到大在如图所示的直线上排序.( 直接标出序号 )
( 1 )买一些彩票中100万;( 2 )抛一枚普通硬币,正面朝上;( 3 )掷两枚骰子,所得点数之和大于1;( 4 )下雨天行人打伞;( 5 )温度低于0 ℃,水会结冰.
解:如图所示.
6.抛掷一枚均匀的骰子一次,骰子各面上的点数分别是1,2,…,6.
( 1 )朝上的点数是奇数与朝上的点数是偶数,这两个事件发生的可能性大小相等吗?
( 2 )朝上的点数大于4与朝上的点数不大于4,这两个事件发生的可能性大小相等吗?如果不相等,那么哪一个可能性大一些?
7.如图,现有一个转盘被平均分成6等份,分别标有数字2,3,4,5,6,7这六个数字,转动转盘,当转盘停止时,指针指向的数字即为转出的数字,求:
( 1 )转到数字10是 不可能事件 ;( 填“不确定事件”“必然事件”或“不可能事件” )?
( 2 )转动转盘,转出的数字大于3的概率是? ;?
( 3 )现有两张分别写有3和4的卡片,要随机转动转盘,转盘停止后记下转出的数字,与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度.
?
①这三条线段能构成三角形的概率是多少?
②这三条线段能构成等腰三角形的概率是多少?
26.2 等可能情形下的概率计算
第1课时 简单随机事件的概率计算
知识点1
知识点2
概率的定义
1.一般地,对任何随机事件A,它的概率( A )满足 0<( A )<1 ,必然事件的概率为 1 ,不可能事件的概率为 0 .?
2.请举出一个概率是1的事件 太阳从东方升起( 开放题,合理即可 ) .?
3.抛掷一枚硬币,掷得“反面向上”的概率是______,这个概率表示的意思是 多次抛掷一枚硬币时,平均每2次可能出现一次反面向上 .?
4.甲产品的合格率为95%,乙产品的不合格率为3%,丙产品的不合格率比甲产品的不合格率高,你认为 乙 产品最可靠.?
知识点1
知识点2
简单的概率计算
5.盒子里有3支红色笔芯、2支黑色笔芯,每支笔芯除颜色外均相同.从中任意拿出一支笔芯,则拿出黑色笔芯的概率是( C )
6.在一个不透明的袋子中装有4个红球和3个黑球,它们除颜色外其他均相同,从中任意摸出一个球,则摸出黑球的概率是( B )
10.如图,共有12个大小相同的小正方形,其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分,现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影,能构成这个正方体的表面展开图的概率是( A )
11.如图,由6个小正方形组成的2×3网格中,任意选取5个小正方形并涂黑,则黑色部分的图形是轴对称图形的概率是? .?
12.从-1,2,3,-6这四个数中任选两个,分别记作m,n,那么点( m,n )在函数 图象上的概率是? .?
13.袋子里有2个黑球,3个白球,4个红球,它们只有颜色上的区别,从袋子中随机取出一个球,你认为取出哪种颜色球的概率最大?为什么?
14.现有10个大小、形状、质量完全相同的小球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,请你利用这10个小球,设计一个摸球游戏,并求出其相应的概率.
本题是开放题,合理即可.答案略.
15.在“妙手推推推”的游戏中,主持人出示了一个9位数,让参加者猜商品价格.被猜的价格是一个4位数,也就是这个9位数中从左到右连在一起的某4个数字.如果参与者不知道商品的价格,从这些连在一起的所有4位数中,任意猜一个,求他猜中该商品价格的概率.
16.四张扑克牌的牌面如图1所示,将扑克牌洗匀后,如图2背面朝上放置在桌面上.
( 1 )若随机抽取一张扑克牌,则牌面数字恰好为5的概率是? .?
( 2 )规定游戏规则如下:若同时随机抽取两张扑克牌,抽到两张牌的牌面数字之和是偶数,则甲胜;反之,则乙胜.你认为这个游戏是否公平?请说明理由.
18.如果任意选择一对有序整数( m,n ),其中|m|≤1,|n|≤3,每一对这样的有序整数对被选择的可能性是相等的,那么关于x的方程x2+nx+m=0有两个相等的实数根的概率是? .?
提示:由已知可得m的值为0,±1,n的值为0,±1,±2,±3,组成的有序整数( m,n )有21个.而满足条件的有序整数( m,n )的值为( 0,0 ),( 1,2 ),( 1,-2 ),即所求概率是
第2课时 列表法和画树状图法求概率
知识点1
知识点2
利用图形求概率
1.如图所示是一块黑白相间的正方形地板( 图中每块方砖除颜色外完全相同 ),一只小猫在上面自由地走来走去,并随意停留在某块方砖上,那么这只小猫停留在黑色方砖上的概率是( A )
知识点1
知识点2
知识点1
知识点2
知识点1
知识点2
5.甲、乙两人用如图所示的两个转盘( 每个转盘被分成面积相等的3个扇形 )做游戏,游戏规则:转动两个转盘各一次,当转盘停止后,指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜;数字之和为奇数时乙获胜.若指针落在分界线上,则需要重新转动转盘,则甲获胜的概率是( C )
6.“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形.如图,是一块“赵爽弦图”飞镖板,其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4.小明同学在距飞镖板一定距离处向飞镖板投掷飞镖( 假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上 ),则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域( 含边线 )的概率是( C )
7.某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人,则选出的恰为一男一女的概率是( B )
8.在一个不透明的袋子里,有2个黑球和1个白球,除了颜色外全部相同,任意摸两个球,摸到1黑1白的概率是? ? .
9.给甲、乙、丙三人打电话,若打电话的顺序是任意的,则第一个打电话给甲的概率为? .?
10.有四张背面相同的纸牌A,B,C,D,其正面分别画有四个不同的几何图形( 如图 ),小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张,放回洗匀后再摸出一张.
?
( 1 )用树状图( 或列表法 )表示两次摸牌所有可能出现的结果.( 纸牌可用A,B,C,D表示 )
( 2 )求摸出两张牌的牌面图形都是中心对称图形的概率.
11.小兰和小颖用下面两个可以自由转动的转盘做游戏,每个转盘被分成面积相等的几个扇形,转动两个转盘各一次,若两次指针所指数字之和小于4,则小兰胜,否则小颖胜( 指针指在分界线时重转 ).这个游戏对双方公平吗?请说明理由.
解:这个游戏对双方是公平的.画树状图如图:
∴一共有6种情况,和小于4的有3种,
∴这个游戏对双方是公平的.
12.小利参加某网店的“翻牌抽奖”活动,4张牌分别对应价值5,10,20,50( 单位:元 )的4件奖品.
( 1 )如果随机翻1张牌,那么抽中50元奖品的概率为? .?
( 2 )如果随机翻2张牌,且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌,请用列表或画树状图的方法求出小强所获奖品总值不低于30元的概率为多少?
13.如图①,②,③是三个可以自由转动的转盘.
( 1 )若同时转动①,②两个转盘,则两个转盘停下时指针所指的数字都是2的概率为? ;?
( 2 )甲、乙两人用三个转盘玩游戏,甲转动转盘,乙记录指针停下时所指的数字.游戏规定:当指针所指的三个数字中有数字相同时,就算甲赢,否则就算乙赢.请判断这个游戏是否公平,并说明你的理由.
第3课时 概率在实际生活中的应用
知识点 概率在实际生活中的应用
1.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中任想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙所猜数字记为b,且a,b分别取0,1,2,3,若a,b满足|a-b|≤1,则称甲、乙两人“心有灵犀”,现任意找两人玩这个游戏,得出“心有灵犀”的概率为? .?
2.某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒,绿灯亮25秒,黄灯亮5秒,当你抬头看信号灯时,是红灯的概率为? .?
3.全面二孩政策实施后,甲、乙两个家庭有了各自的规划,假定生男生女的概率相同,回答下列问题:
( 1 )甲家庭已有一个男孩,准备再生一个孩子,则第二个孩子是女孩的概率是? ;?
( 2 )乙家庭没有孩子,准备生两个孩子,求至少有一个孩子是女孩的概率.
解:( 2 )根据题意,画树状图如图:
共有4种等可能的结果,其中至少有一个孩子是女孩的结果数为3,所以至少有一个孩子是女孩的概率为 .
4.端午节放假期间,小明和小华准备到宜宾的蜀南竹海( 记为A )、兴文石海( 记为B )、夕佳山民居( 记为C )、李庄古镇( 记为D )中的一个景点去游玩,他们各自在这四个景点中任选一个,每个景点被选中的可能性相同.
( 1 )小明选择去蜀南竹海旅游的概率为? .?
( 2 )求小明和小华都选择去兴文石海旅游的概率.
5.车辆经过润扬大桥收费站时,4个收费通道A,B,C,D中,可随机选择其中的一个通过.
( 1 )一辆车经过此收费站时,选择A通道通过的概率是? ;?
( 2 )求两辆车经过此收费站时,选择不同通道通过的概率.
解:( 2 )设两辆车为甲、乙,画树状图如图:
两辆车经过此收费站时,会有16种等可能的结果,其中选择不同通道通过的有12种,
∴选择不同通道通过的概率为
6.在一次数学兴趣小组活动中,李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏( 每个转盘被分成面积相等的几个扇形,并在每个扇形区域内标上数字 ).游戏规则如下:
两人分别同时转动甲、乙转盘,转盘停止后,若指针所指区域内两数之和小于12,则李燕获胜;若指针所指区域内两数之和等于12,则为平局;若指针所指区域内两数和之大于12,则刘凯获胜( 若指针停在等分线上,重转一次,直到指针指向某一区域内为止 ).
( 1 )请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数之和的所有可能的结果;
( 2 )分别求出李燕和刘凯获胜的概率.
7.为落实“垃圾分类”,环卫部门要求垃圾要按A,B,C三类分别装袋,投放,其中A类指废电池,过期药品等有毒垃圾,B类指剩余食品等厨余垃圾,C类指塑料,废纸等可回收垃圾.甲投放了一袋垃圾,乙投放了两袋垃圾,这两袋垃圾不同类.
( 1 )直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率;
( 2 )求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率.
8.小王、小李和小林三人准备打乒乓球,他们约定用“抛硬币”的方式来确定哪两个人先上场,三人手中各持有一枚质地均匀的硬币,同时将手中的硬币抛落到水平地面为一个回合.落地后,三枚硬币中,恰有两枚正面向上或反面向上的这两枚硬币持有人先上场;若三枚硬币均为正面向上或反面向上,属于不能确定.
( 1 )请用树状图表示“抛硬币”一个回合所有可能出现的结果;
( 2 )求一个回合能确定两人先上场的概率.
9.A,B,C三人玩篮球传球游戏,游戏规则是:第一次传球由A将球随机地传给B,C两人中的某一人,以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人.
( 1 )求两次传球后,球恰在B手中的概率;
( 2 )求三次传球后,球恰在A手中的概率.
26.3 用频率估计概率
知识点1
知识点2
用频率估计概率
1.在一次质检抽测中,随机抽取某摊位20袋食盐,测得各袋的质量分别为( 单位:g ):
根据以上抽测结果,任买一袋该摊位的食盐,质量在497.5 g~501.5 g的概率为( B )
【变式拓展】在做种子发芽实验时,10000颗种子中有9801颗发芽,据此估计,该种子发芽的概率约为 0.98 .( 精确到0.01 )?
2.一个不透明的盒子里有9个黄球和若干个红球,红球和黄球除颜色外其他完全相同,每次摸球前先将盒子里的球摇匀,任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子,通过大量重复摸球试验后发现,摸到黄球的频率稳定在30%,那么估计盒子中红球的个数为( D )
A.11 B.15 C.19 D.21
知识点1
知识点2
模拟实验
3.在“抛一枚均匀硬币”的试验中,如果没有硬币,下面各试验不能作为替代的是( B )
A.2张扑克,“黑桃”代表“正面”,“红桃”代表“反面”
B.掷1枚图钉
C.2个形状大小完全相同,但1红1白的两个乒乓球
D.人数均等的男生、女生,以抽签的方式随机抽取一人
4.投骰子时,用计算器模拟实验.若研究恰好出现6的机会,则要在 1 到 6 范围中产生随机数,若产生的随机数是 6 ,则代表“出现6”,否则就不是.?
知识点1
知识点2
5.阅读下面的解题过程:妈妈给小明一串钥匙,共有4把,小明决定先试试哪把是防盗门的钥匙.如果不开门,你能说明他第一次试开就成功的概率有多大吗?写出用计算器或其他替代物模拟试验的方法.
解:方法( 1 ):可以用一枚正四面体骰子,掷得4点为试开成功;
方法( 2 ):可以用4张扑克,红桃、黑桃、方块、梅花各一张,摸到红桃为试开成功;
方法( 3 ):可用计算器模拟,在1~4之间产生一个随机数,若产生的是1,则表示试开成功.
你认为上述解法正确的有 ( 1 )( 2 )( 3 ) ,其原因是 模拟实验没有改变实验结果 .
6.做重复实验:抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次,经过统计得“凸面向上”的频率约为0.44,则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为( A )
A.0.56 B.0.44 C.0.50 D.0.22
7.一个口袋中有3个黑球和若干个白球,在不允许将球倒出来数的前提下,小明为估计其中的白球数,采用了如下的方法:从口袋中随机摸出一球,记下颜色,然后把它放回口袋中,摇匀后再随机摸出一球,记下颜色,…,不断重复上述过程.小明共摸了100次,其中20次摸到黑球.根据上述数据,小明可估计口袋中的白球大约有( C )
A.18个 B.15个 C.12个 D.10个
8.大课间活动在我市各校开展.某班大课间活动抽查了20名学生每分钟跳绳的次数,获得如下数据( 单位:次 ):50,63,77,83,87,88,89,91,93,100,102,111,117,121,130,133,146,158, 177,188.则跳绳次数在90~110这一组的频率是( B )
A.0.1 B.0.2
C.0.3 D.0.7
9.( 淮安中考 )某射手在相同条件下进行射击训练,结果如下:
该射手击中靶心的概率的估计值是 0.90 .( 精确到0.01 )?
10.林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率,如图是这种幼树在移植过程中幼树成活率的统计图:
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为 0.88 .( 结果精确到0.01 )?
11.( 宿迁中考 )如图,为了测量平地上一块不规则区域( 图中的阴影部分 )的面积,画一个边长为2 m的正方形,使不规则区域落在正方形内,现向正方形内随机投掷小石子( 假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的 ),经过大量重复投掷试验,发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近,由此可估计不规则区域的面积是 1 m2.
12.某位篮球运动员在同样的条件下进行投篮练习,结果如下表:
( 1 )计算并填写进球频率.
( 2 )这位运动员投篮一次,进球的概率约是多少?
( 3 )这位运动员投篮十次,必定会投进八球吗?为什么?
解:( 2 )0.8.
( 3 )不一定.投10次相当于做10次实验,每次实验的结果都是随机的,所以投10次的结果也是随机的.
13.一粒木质中国象棋棋子“兵”,它的正面雕刻了一个“兵”字,它的反面是平的.将它从一定高度下掷,落地反弹后可能是“兵”字面朝上,也可能是“兵”字面朝下.由于棋子的两面不均匀,为了估计“兵”字面朝上的概率,某实验小组做了棋子下掷实验,实验数据如下表:
( 1 )请将表格补充完整;
( 2 )在图中画出“兵”字面朝上的频率分布折线图;
( 3 )如果实验继续进行下去,根据表格中的数据,这个实验的频率将稳定在它的概率附近,请你估计这个概率.
解:( 2 )略.
( 3 )0.55.( 合理即可 )
14.在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个,某学习小组做摸球实验,将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回袋中,不断重复,下表是活动进行中的一组统计数据:
( 1 )请估计:当n很大时,摸到白球的频率将会接近 0.5 ;( 精确到0.1 )?
( 2 )试估算口袋中白球有多少个?
( 3 )若从中先摸出一球,放回后再摸出一球,请用列表或树状图的方法( 只选其中一种 ),求两次摸到的球颜色相同的概率.
解:( 2 )由( 1 )知,摸到白球的概率为0.5,所以可估计口袋中白球的个数为4×0.5=2( 个 ).
( 3 )列表得:
