第25章 投影与视图
25.1 投 影
第1课时 平行投影与中心投影
知识点1
知识点2
平行投影
1.平行投影中的光线是( A )
A.平行的 B.聚成一点的
C.不平行的 D.向四面八方发散的
2.下列光线所形成的是平行投影的是( A )
A.太阳光线 B.台灯的光线
C.手电筒的光线 D.路灯的光线
知识点1
知识点2
3.如图所示,此时树的影子是在 太阳光 ( 填“太阳光”或“灯光” )下的影子.?
?
?
4.如图,AB和DE是直立在地面上的两根立柱,AB=5米,某一时刻AB在阳光下的投影BC=3米,在测量AB的投影时,同时测量出DE在阳光下的投影长为6米,则DE的长为10米.
知识点1
知识点2
中心投影
5.下列物体:①探照灯;②车灯;③太阳;④月亮;⑤台灯.其中所成的投影是中心投影的是( D )
A.①② B.①③ C.①②③ D.①②⑤
6.小红和小花在路灯下的影子一样长,则她们的身高关系是( D )
A.小红比小花高 B.小红比小花矮
C.小红和小花一样高 D.不确定
7.如图,在A时测得某树的影长为4 m,B时又测得该树的影长为16 m,若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为 8 m .?
8.小华在上午8时、上午9时、上午10时、上午12时四次到室外的阳光下观察向日葵影子的变化情况,他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同,那么影子最长的时刻为( A )
A.上午8时 B.上午9时
C.上午10时 D.上午12时
提示:在上午,时间越早,太阳光线与地平面的夹角越小,则物体的影长越长,所以这四个时刻中,上午8时向日葵的影子最长.
9.如图,箭头表示投影的方向,则图中圆柱体的投影是( B )
A.圆 B.矩形
C.梯形 D.圆柱
10.如图,当太阳光与地面上的树影成45°角时,树影投射在墙上的影高CD等于2米,若树根到墙的距离BC等于8米,则树高AB等于 10 米.?
11.如图,地面A处有一支燃烧的蜡烛( 长度不计 ),一个人在A与墙BC之间运动,则他在墙上的投影长度随着他离墙的距离变小而 变小 .( 填“变大”“变小”或“不变” )?
12.如图是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子.
( 1 )将它们按时间先后顺序进行排列,并说一说你的理由;
( 2 )一天当中,物体在太阳光下的影子的方向是如何变化的?
解:( 1 )顺序为C,D,A,B,理由略.
( 2 )一天当中物体在太阳光下的影子的方向是正西、北偏西、正北、北偏东、正东变化的.
13.晚上,小华在舞蹈室发现镜子反射灯光形成了教练的影子( 如图所示 ),小丽的影子是灯光下形成的,你能确定灯光的位置吗?你能画出小华的影子吗?
解:如图,M为灯泡的位置,小华的影子为AB.
14.如图,校园内有一棵与地面垂直的树,数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子,第一次是阳光与地面成60°角时,第二次是阳光与地面成30°角时,两次测量的影长相差8米,求树高AB.( 结果保留根号 )
15.如图,在路灯下,小明的身高如图中线段AB所示,他在地面上的影子如图中线段AC所示,小亮的身高如图中线段FG所示,路灯灯泡在线段DE上.
( 1 )请你确定灯泡所在的位置,并画出小亮在灯光下形成的影子.
( 2 )如果小明的身高AB=1.6 m,他的影子长AC=1.4 m,且他到路灯的距离AD=2.1 m,求灯泡的高.
解:( 1 )如图,点O为灯泡所在的位置,
线段FH为小亮在灯光下形成的影子.
∴OD=4 m.
答:灯泡的高为4 m.
16.为了利用太阳光线或其他方法测量一棵大树的高度,准备了如下测量工具:①镜子;②皮尺;③长为2 m的标杆;④高为1.5 m的测角仪.请你根据你所设计的测量方案,回答下列问题:
?
( 1 )在你的设计方案中,选用的测量工具是 ;( 填写工具序号 )?
( 2 )在图中画出你的方案示意图;
( 3 )你需要测量示意图中哪些数据,并用a,b,c表示测得的数据;
( 4 )写出求树高AB的算式.
解:答案不唯一,合理即可.
方案一:
( 1 )①②.
( 2 )测量方案示意图如图1.
( 3 )CA=a,CD=b,DE( 眼睛到地面的高度 )=c.
方案二:
( 1 )②③.
( 2 )测量方案示意图如图2( 其中BC为太阳光线 ).
( 3 )AC=a,CD=b,ED=c=2 m.
第2课时 正投影
知识点1
知识点2
正投影的概念
1.如图所示,水杯的杯口与投影面平行,投影线的方向如箭头所示,它的正投影图是( D )
2.在平行投影中,如果投影线 垂直 于投影面,那么这种投影称为正投影.?
3.下列投影是正投影的是 ③④ .( 填序号 )?
知识点1
知识点2
正投影的性质
4.一支铅笔 ( 记为线段AB ),它的正投影为线段CD,则下列各式中一定成立的是( D )
A.AB=CD B.AB≤CD
C.AB>CD D.AB≥CD
5.一块圆形铁片,它的正投影是( D )
A.圆 B.椭圆
C.线段 D.不能确定
【变式拓展】正方形在太阳光的投影下得到的几何图形一定是( B )
A.正方形
B.平行四边形或一条线段
C.矩形
D.菱形
知识点1
知识点2
6.( 绥化中考 )正方形的正投影不可能是( D )
A.线段 B.矩形
C.正方形 D.梯形
7.平行于投影面的平行四边形的面积 等于 它的正投影的面积.( 填“大于”“小于”或“等于” )?
8.如图所示的圆台的上下底面与投影线平行,圆台的正投影是( C )
A.矩形 B.两条线段
C.等腰梯形 D.圆环
9.下列说法正确的是( B )
A.正投影是中心投影的一种特例
B.正投影是平行投影的一种特例
C.正投影既不是平行投影也不是中心投影
D.平行投影就是正投影
10.一个圆柱形的茶叶盒在太阳光下旋转,其影子的变化过程可能是( D )
A.矩形、矩形、圆 B.正方形、圆、矩形
C.圆、矩形、矩形 D.无法确定
11.如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影,则该圆锥的侧面积是? .?
12.如图所示,地面上直立一根标杆AB,杆长为2 m.
( 1 )当阳光垂直照射地面时,标杆在地面上的投影是什么图形?
( 2 )当阳光与地面的倾斜角为60°时,标杆在地面上的投影是什么图形?并画出投影示意图.
13.指出如图所示的几何体各个面的正投影图形,并画出投影线的方向如箭头所示时该几何体的正投影.
解:立体图形除正面和后面的正投影为五边形外,其他的正投影为大小不同的矩形( 图略 ).
14.一个水平放在桌面上的圆柱,从前向后形成的正投影是一个边长为20 cm的正方形,求此圆柱的表面积.
解:依题意,该圆柱的高为20 cm,底面直径为20 cm.
则S=2· ·π+20π·20=600π cm2,
所以此圆柱的表面积为600π cm2.
15.如图,小明家窗外有一堵围墙AB,由于围墙的遮挡,清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处,中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处,小明测得窗子距地面的高度OD=0.8 m,窗高CD=1.2 m,并测得OE=0.8 m,OF=3 m,求围墙AB的高度.
解:延长OD,∵DO⊥BF,∴∠DOE=90°.
∵OD=0.8 m,OE=0.8 m,
∴∠DEB=45°.
∵AB⊥BF,
∴∠BAE=45°,∴AB=BE.
设AB=BE=x m,∵AB⊥BF,CO⊥BF,
∴AB∥CO,
解得x=4.4.
经检验:x=4.4是原方程的解.
答:围墙AB的高度是4.4 m.
16.一个圆柱的轴截面平行于投影面,圆柱的正投影是邻边长分别为4 cm,3 cm的矩形,求圆柱的表面积和体积.
解:由题可知,有两种情况:①当圆柱底面圆的半径为1.5 cm,高为4 cm时,
②当圆柱底面圆的半径为2 cm,高为3 cm时,
圆柱的表面积为2π×2×3+2π×22=12π+8π=20π cm2,
体积为π×22×3=12π cm3.
25.2 三视图
第1课时 三视图及其画法
知识点1
知识点2
三视图的概念
1.铅球的左视图是( A )
A.圆 B.长方形
C.正方形 D.三角形
2.( 广安中考 )下列图形中,主视图为图①的是( B )
【变式拓展】直角三角形的正投影可能是 三角形或线段 .?
知识点1
知识点2
3.如图所示的几何体是一个正三棱柱,以下不是其三视图的是( B )
知识点1
知识点2
三视图的画法
4.如图所示的圆柱,三视图画法正确的是( A )
知识点1
知识点2
5.( 成都中考 )如图所示的正六棱柱的主视图是( A )
6.画三视图的规律:长对正, 高平齐 ,宽相等.?
7.一个由圆柱和圆锥组成的几何体如图水平放置,其主( 正 )视图为( A )
8.( 阜新中考 )如图所示,是一个空心正方体,它的左视图是( C )
9.如图是由若干个小正方体搭成的几何体的俯视图,小方块中的数字表示在该位置的小正方体的个数,那么这个几何体的主视图是( B )
10.指出下列立体图形对应的俯视图,在括号里填上对应的字母.
11.如图,在四个小正方体搭成的几何体中,每个小正方体的棱长都是1,则该几何体的三视图的面积之和是 9 .?
12.添线补全图中所示物体的三视图.
( 1 )
( 2 )
略
13.分别画出从正面、左面、上面看如图所示的四棱锥得到的平面图形.
解:如图所示:
14.由一些大小相同,棱长为1的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示,数字表示该位置的正方体个数.
?
( 1 )请画出它的主视图和左视图;
( 2 )给这个几何体喷上颜色( 底面不喷色 ),需要喷色的面积为 32 ;?
( 3 )在不改变主视图和俯视图的情况下,最多可添加 1 块小正方体.?
解:( 1 )它的主视图和左视图如图所示:
第2课时 棱柱与三视图
知识点1
知识点2
棱柱的概念
1.下面四个图形中,是三棱柱的平面展开图的是( A )
知识点1
知识点2
2.直四棱柱、长方体和正方体之间的包含关系( A )
知识点1
知识点2
3.下列几何体中,棱柱有( C )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
4. 在棱柱中,任何相邻两个面的交线叫做棱,相邻侧面的交线叫做侧棱.棱柱的所有侧棱长都 相等 .棱柱的上、下两个底面是相同的多边形,直棱柱的侧面都是 矩形 .?
知识点1
知识点2
与三视图有关的计算
5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( D )
?
A.4π B.3π C.2π+4 D.3π+4
知识点1
知识点2
知识点1
知识点2
7.如图是一个几何体的三视图.
( 1 )写出这个几何体的名称;
( 2 )根据所示数据计算这个几何体的表面积.
解:( 1 )由三视图得该几何体为圆锥.
( 2 )圆锥的表面积为π×22+ ×2π×2×6=16π.
8.( 贵阳中考 )如图是一个几何体的主视图和俯视图,则这个几何体是( A )
?
A.三棱柱 B.正方体
C.三棱锥 D.长方体
9.一个几何体及它的主视图和俯视图如图所示,那么它的左视图正确的是( B )
10.( 武汉中考 )一个几何体由若干个相同的正方体组成,其主视图和俯视图如图所示,则这个几何体中正方体的个数最多是( C )
A.3 B.4
C.5 D.6
提示:结合主视图和俯视图可知,左边上层最多有2个,左边下层最多有2个,右边只有一层,且只有1个,所以图中的小正方体的个数最多为5.
11.三棱柱的三视图如图所示,已知△EFG中,EF=8 cm,EG=12 cm,∠EFG=45°.则AB的长为 cm.?
12.如图,正三棱柱的底面周长为15,截去一个底面周长为6的正三棱柱,所得几何体的俯视图的周长是 13 ,面积是? .?
13.( 滨州中考 )如图,一个几何体的三视图分别是两个矩形、一个扇形,则这个几何体表面积的大小为 12+15π .?
14.一个直四棱柱的三视图如图所示,俯视图是一个菱形,求这个直四棱柱的表面积.
解:∵俯视图是菱形,
∴可求得底面菱形边长为2.5 cm,上、下底面积之和为 ×3×4×2=12 cm2,侧面积为2.5×4×8=80 cm2,∴这个直四棱柱的表面积为92 cm2.
15.如图是一个密封纸盒的三视图,请你根据图中数据计算这个密封纸盒的表面积.( 结果保留根号 )
?
解:根据该密封纸盒的三视图知它是一个六棱柱,
∵其高为12 cm,底面边长为5 cm,
∴其侧面积为6×5×12=360 cm2,
16.如图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图,根据图中所示尺寸( 单位:mm ),计算出这个立体图形的表面积.
解:根据三视图可得:上面的长方体长4 mm,高4 mm,宽2 mm,下面的长方体长6 mm,宽8 mm,高2 mm,
∴这个立体图形的表面积为4×4×2+4×2×2+4×2+6×2×2+8×2×2+6×8×2-4×2=200( mm2 ).
25.投影与视图章末小结与提升
投影与视图
类型1
类型2
类型3
投影在生活中的应用
典例1 如图所示,太阳光与水平面成60°角,岸边一棵倾斜的垂柳在水面上所成的角为30°,这时测得垂柳在水面上的影长约为10 m,试求此垂柳的长约为多少?( 结果保留整数 )
类型1
类型2
类型3
【针对训练】
1.如图,一位同学想利用树影测量树高( AB ),他在某一时刻测得高为1 m的竹竿影长为0.9 m,但当他马上测量树影时,因树靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上,有一部分影子在墙上( CD ),他先测得留在墙上的影高( CD )为1.2 m,又测得地面部分的影长( BC )为2.7 m,求树高.
解:设墙上的影高CD落在地面上时的长度为x m,树高为h m,
∵某一时刻测得长为1 m的竹竿影长为0.9 m,墙上的影高CD为1.2 m,
类型1
类型2
类型3
2.如图,路灯( P点 )距地面9米,身高1.5米的小田从距路灯的底部( O点 )20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,小田身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?
解:∵∠MAC=∠MOP=90°,∠AMC=∠OMP,
同理,由△NBD∽△NOP,可求得NB=1.2米,
则小田身影的长度变短了4-1.2=2.8米.
答:小田身影的长度变短了,短了2.8米.
类型1
类型2
类型3
3.在一个阳光明媚的上午,王老师组织学生测量小山坡上的一棵大树CD的高度,山坡OM与地面ON的夹角为30°( ∠MON=30° ),站立在水平地面上身高1.7 m的小明AB在地面的影长BP为1.2 m,此刻大树CD在斜坡的影长DQ为5 m,求大树的高度.
类型1
类型2
类型3
类型1
类型2
类型3
由几何体确定三视图
典例2 分别画出图中几何体的主视图、左视图、俯视图.
类型1
类型2
类型3
【解析】如图所示.
类型1
类型2
类型3
【针对训练】
1.如图是一个小正方体所搭几何体从上面看得到的平面图形,正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数,请你画出它从正面和从左面看得到的平面图形.
解:如图所示.
类型1
类型2
类型3
2.已知如图1所示的几何体.
( 1 )图2中所画的此几何体的三视图错了吗?如果错了,错在哪里?并画出正确的视图.
( 2 )根据图中尺寸,求出几何体的表面积.( 注:长方体的底面为正方形 )
类型1
类型2
类型3
解:( 1 )左视图错误,正确的左视图如图所示.
类型1
类型2
类型3
由三视图确定几何体
1.已知某物体的三视图如图所示,那么与它对应的物体是( B )
类型1
类型2
类型3
2.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( D )
?
A.4π B.2π
C.16π D.8π
25.投影与视图 本章中考演练
1.( 永州中考 )如图,几何体的主视图是( B )
2.( 菏泽中考 )如图是两个等直径圆柱构成的“T”形管道,其左视图是( B )
3.( 眉山中考 )下列立体图形中,主视图是三角形的是( B )
4.( 泰安中考 )下面四个几何体:
其中俯视图是四边形的几何体的个数是( B )
A.1 B.2
C.3 D.4
5.( 锦州中考 )如图,这是由5个大小相同的正方体搭成的几何体,该几何体的左视图是( A )
6.( 包头中考 )如图是由几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图,其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数,则这个几何体的主视图是( C )
7.( 潍坊中考 )如图所示的几何体的左视图是( D )
8.( 赤峰中考 )如图是一个空心圆柱体,其俯视图是( D )
9.( 宜宾中考 )一个立体图形的三视图如图所示,则该立体图形是( A )
?
A.圆柱 B.圆锥
C.长方体 D.球
10.( 荆门中考 )某几何体由若干个大小相同的小正方体搭成,其主视图与左视图如图所示,则搭成这个几何体的小正方体最少有( B )
?
A.4个 B.5个
C.6个 D.7个
11.( 威海中考 )如图是某圆锥的主视图和左视图,该圆锥的侧面积是( C )
?
A.25π B.24π
C.20π D.15π
12.( 柳州中考 )如图,这是一个机械模具,则它的主视图是( C )
13.( 常德中考 )把图1中的正方体的一角切下后摆在图2所示的位置,则图2中的几何体的主视图( D )
14.( 乌鲁木齐中考 )如图是某个几何体的三视图,该几何体是( C )
?
A.长方体 B.正方体
C.三棱柱 D.圆柱
15.( 荆州中考 )如图是某几何体的三视图,根据图中的数据,求得该几何体的体积为( D )
?
?
A.800π+1200 B.160π+1700
C.3200π+1200 D.800π+3000
16.( 日照中考 )如图是一个几何体的三视图( 图中尺寸单位: cm ),根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是 4π cm2 .?
17.( 陇南中考 )已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为正六边形,则该几何体的侧面积为 108 .?
18.( 朝阳中考 )如图是某物体的三视图,则此物体的体积为? .( 结果保留π )?
