周滚动练( 24.1~24.2 )
一、选择题( 每小题4分,共20分 )
1.下列说法错误的是( B )
A.直径是圆中最长的弦
B.长度相等的两条弧是等弧
C.面积相等的两个圆是等圆
D.半径相等的两个半圆是等弧
2.如图,☉M的半径为2,圆心M的坐标为( 3,4 ),P是☉M上的任意一点,PA⊥PB,且PA,PB与x轴分别交于A,B两点,若点A,B关于原点O对称,则AB的最小值为( C )
A.3 B.4
C.6 D.8
3.如图,在☉O中,A,C,D,B是☉O上四点,OC,OD交AB于点E,F,且AE=BF.下列结论不正确的是( C )
A.OE=OF
B.
C.AC=CD=DB
D.CD∥AB
4.如图,将边长为 的正方形绕点B逆时针旋转30°,那么图中阴影部分的面积为( C )
5.如图,已知☉O的直径AB=12,CD是☉O的弦,CD⊥AB,垂足为P,且BP∶AP=1∶5,则CD的长为( D )
二、填空题( 每小题5分,共20分 )
6.如图,△ABO中,AB⊥OB,OB= ,AB=1,把△ABO绕点O逆时针旋转120°后得到△A1B1O,则点B1的坐标为 .?
7.如图,在△AOB中,∠AOB=90°,AO=3 cm,BO=4 cm,将△AOB绕顶点O,按顺时针方向旋转到△A1OB1处,此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点,则线段B1D= 1.5 cm.
8.如图,圆弧形桥拱的半径为10米,拱高CD=4米,那么圆弧形桥拱的跨度AB= 16 米.?
三、解答题( 共60分 )
10.( 10分 )如图,在平面直角坐标系中,一段圆弧经过格点A,B,C.( 网格小正方形边长为1 )
( 1 )请写出该圆弧所在圆的圆心P的坐标 ( 2,-1 ) ,☉P的半径为 ;( 结果保留根号 )?
( 2 )判断点M( -1,1 )与☉P的位置关系.
解:( 2 )观察可知点M( -1,1 )在☉P内.
11.( 12分 )如图,隧道的截面由半圆和长方形构成,长方形的长BC为8 m,宽AB为1 m,该隧道内设双向行驶的车道( 共有2条车道 ),若现有一辆货运卡车高4 m,宽2.3 m.则这辆货运卡车能否通过该隧道?说明理由.
12.( 12分 )如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A( -4,3 ), B( -3,1 ),C( -1,3 ).
( 1 )请按下列要求画图:
①将△ABC先向右平移4个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;
②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称,画出△A2B2C2.
( 2 )在( 1 )中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称,请直接写出对称中心M的坐标.
解:( 1 )①△A1B1C1如图所示.
②△A2B2C2如图所示.
( 2 )连接B1B2,C1C2,得到对称中心M的坐标为( 2,1 ).
13.( 12分 )如图,在☉O中,弦AD,BC相交于点E,连接OE,已知AD=BC,AD⊥CB.
( 1 )求证:AB=CD;
( 2 )如果☉O的半径为5,DE=1,求AE的长.
∴Rt△AOF≌Rt△COG( HL ),∴OF=OG,
∴四边形OFEG是正方形,∴OF=EF.
设OF=EF=x,则AF=FD=EF+DE=x+1,
在Rt△OAF中.由勾股定理,得OF2+AF2=OA2,即x2+( x+1 )2=52,解得 x=3( 舍负 ).
则AF=3+1=4,即AE=AF+EF=4+3=7.
14.( 14分 )如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=2,∠A=30°,E,F分别是线段BC,AC的中点,连接EF.
( 1 )线段BE与AF的位置关系是 互相垂直 ,?
( 2 )如图2,当△CEF绕点C顺时针旋转α时( 0°
( 3 )如图3,当△CEF绕点C顺时针旋转α时( 0°
周滚动练( 24.3~24.4 )
一、选择题( 每小题4分,共28分 )
1.如图,点A,B,C都在☉O上,若∠AOC=140°,则∠B的度数是( C )
?
A.70° B.80°
C.110° D.140°
2.如图,菱形ABCD的边AB=20,面积为320,∠BAD<90°,☉O与边AB,AD都相切,AO=10,则☉O的半径长等于( C )
3.下列关于圆的切线的说法正确的是( D )
A.垂直于圆的半径的直线是圆的切线
B.与圆只有一个公共点的射线是圆的切线
C.经过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线
D.如果圆心到一条直线的距离等于半径长,那么这条直线是圆的切线
4.如图,在☉O中,弦AB,CD相交于点P,若∠A=30°,∠APD=70°,则∠B等于( C )
A.30° B.35°
C.40° D.50°
5.已知☉O的半径为10,圆心O到弦AB的距离为5,则弦AB所对的圆周角的度数是( D )
A.30° B.60°
C.30°或150° D.60°或120°
6.如图,已知AD∥BC,AD⊥CD,以CD为直径的半圆O与AD,BC,AB均相切,切点分别是D,C,E.若半圆O的半径为2,梯形的腰AB为5,则该梯形的周长是( B )
A.12 B.14
C.17 D.18.5
7.如图,在等边△ABC中,点O在边AB上,☉O过点B且分别与边AB,BC相交于点D,E,F是AC上的点,判断下列说法错误的是( C )
A.若EF⊥AC,则EF是☉O的切线
B.若EF是☉O的切线,则EF⊥AC
C.若BE=EC,则AC是☉O的切线
D.若BE= EC,则AC是☉O的切线
二、填空题( 每小题5分,共20分 )
8.如图,AT切☉O于点A,AB是☉O的直径.若∠ABT=40°,则∠ATB= 50° .?
9.如图,线段AB与☉O相切于点B,线段AO与☉O相交于点C,AB=12,AC=8,则☉O的半径长为 5 .?
10.如图,四边形ABCD是菱形,☉O经过点A,C,D,与BC相交于点E,连接AC,AE.若∠D=78°,则∠EAC= 27 °.?
11.如图,已知Rt△ABC的斜边AB=8,AC=4.以点C为圆心作圆,当☉C与边AB只有一个交点时,则☉C的半径的取值范围是 .?
三、解答题( 共52分 )
12.( 8分 )如图,在☉O中,OA⊥OB,∠A=20°,求∠B的度数.
解:连接OC.∵OA⊥OB,∴∠AOB=90°,
∴∠ACB= ∠AOB=45°.又∵OA=OC,∠A=20°,∴∠ACO=∠A=20°,∴∠OCB=∠ACB-∠ACO=25°.
又∵OC=OB,∴∠B=∠OCB=25°.
13.( 10分 )如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,BD=DC,过点D作DE⊥AC,垂足为E, ☉O经过A,B,D三点.
?
( 1 )连接AD,求证:AB是☉O的直径;
( 2 )判断DE与☉O的位置关系,并加以证明.
解:( 1 )∵AB=AC,BD=DC,∴AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,∴AB是☉O的直径.
( 2 )DE与☉O相切.证明:连接OD.∵AO=BO,BD=DC,∴DO是△BAC的中位线,
∴DO∥AC,
∵DE⊥AC,∴DO⊥DE,∴DE为☉O的切线.
14.( 10分 )如图,AB是☉O的一条弦,E是AB的中点,过点E作EC⊥OA于点C,过点B作☉O的切线交CE的延长线于点D.
( 1 )求证:DB=DE;
( 2 )若AB=12,BD=5,求☉O的半径.
解:( 1 )∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA,∵BD是切线,∴OB⊥BD,∴∠OBD=90°,∴∠OBE+∠EBD=90°,
∵EC⊥OA,∴∠CAE+∠CEA=90°,∴∠EBD=∠CEA,∵∠CEA=∠BED,
∴∠EBD=∠BED,∴DB=DE.
15.( 12分 )如图,在☉O的内接四边形ABCD中,∠BCD=120°,AC平分∠BCD.
( 1 )求证:△ABD是等边三角形;
( 2 )若BD=6,求☉O的半径.
解:( 1 )∵AC平分∠BCD,∠BCD=120°,
∴∠ACD=∠ACB=60°,
∵∠ACD=∠ABD,∠ACB=∠ADB,∴∠ABD=∠ADB=60°,
∴△ABD是等边三角形.
( 2 )作直径DE,连接BE.∵△ABD是等边三角形,∴∠BAD=60°,∴∠BED=∠BAD=60°,
∵DE是直径,∴∠EBD=90°,∴∠EDB=30°,
∴DE=2BE.设EB=x,则ED=2x,在Rt△BDE中,DE2-BE2=BD2,∴( 2x )2-x2=62,
16.( 12分 )如图,C是以AB为直径的☉O上一点,CD是☉O的切线,点D在AB的延长线上,作AE⊥CD于点E.
?
( 1 )求证:AC平分∠BAE;
( 2 )若AC=2CE=6,求☉O的半径;
( 3 )请探索:线段AD,BD,CD之间有何数量关系?并证明你的结论.
周滚动练( 24.5~24.6 )
一、选择题( 每小题4分,共20分 )
1.如图,△ABC是一块三边长均不相等的薄板,要在△ABC薄板中裁剪出一个面积最大的圆形薄板,则圆形薄板的圆心应是△ABC的( D )
A.三条高的交点
B.三条中线的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三个内角角平分线的交点
2.正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是( B )
A.互余 B.互补
C.互余或互补 D.不能确定
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,△ABC内切圆与外接圆面积之比为( C )
A.2∶5 B.3∶4 C.4∶25 D.9∶61
4.如图,F是△ABC的内心,∠A=50°,则∠BFC=( C )
?
A.100° B.110° C.115° D.135°
二、填空题( 每小题5分,共20分 )
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,CA=8,CB=6,则△ABC内切圆的周长为 4π .?
7.如图,在△ABC中,∠A=50°,内切圆I与边BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,则∠EDF的度数为 65 °.?
8.如图,☉O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G,AE=2,则EG的长是? .?
提示:在☉O的内接正五边形ABCDE中,
设EG=x,易知∠AEB=∠ABE=∠EAG=36°,∠BAG=∠AGB=72°,
∴AB=BG=AE=2,∵∠AEG=∠AEB,∠EAG=∠EBA,∴△AEG∽△BEA,
9.如图,正三角形的边长为12 cm,剪去三个角后成为一个正六边形,则这个正六边形的内部任意一点到正六边形各边的距离和为 cm.?
三、解答题( 共60分 )
10.( 12分 )如图,已知等边△ABC内接于☉O,BD为内接正十二边形的一边,CD= cm,求☉O的半径R.
11.( 12分 )作图与证明.
?
如图,已知☉O和☉O上的一点A,请完成下列任务:
( 1 )作☉O的内接正六边形ABCDEF;( 保留作图痕迹,不写作法 )
( 2 )连接BF,CE,判断四边形BCEF的形状并加以证明.
解:( 1 )如图1,正六边形ABCDEF即为所求.
12.( 12分 )如图,点G,H分别是正六边形ABCDEF的边BC,CD上的点,且BG=CH,AG交BH于点P.
( 1 )求证:△ABG≌△BCH;
( 2 )求∠APH的度数.
解:( 1 )在正六边形ABCDEF中,AB=BC,∠ABC=∠C=120°,
( 2 )由( 1 )知△ABG≌△BCH,
∴∠BAG=∠HBC,∴∠BPG=∠ABG=120°,
∴∠APH=∠BPG=120°.
13.( 12分 )如图1,正方形ABCD内接于☉O,E为 上任意一点,连接DE,AE.
( 1 )求∠AED的度数.
( 2 )如图2,过点B作BF∥DE交☉O于点F,连接AF,AF=1,AE=4,求DE的长度.
14.( 12分 )如图,正五边形ABCDE中.
?
( 1 )如图1,AC与BE相交于点P,求证:四边形PEDC为菱形;
( 2 )如图2,延长CD,AE交于点M,连接BM交CE于点N,求证:CN=EP;
( 3 )若正五边形边长为2,直接写出AD的长为? .?
解:( 1 )如题图1,
∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠BCD=∠BAE=108°,∵AB=AE,∴∠ABE=∠AEB=36°,
∴∠CBE=72°,∴∠DCB+∠CBE=180°,∴CD∥BE,同理AC∥DE,
∴四边形PEDC是平行四边形,
∵CD=DE,∴四边形PEDC是菱形.
( 2 )如题图2,连接AN.根据正五边形的性质,易证∠MCA=∠MAC=72°,∴MC=MA,∵BC=BA,∴BM垂直平分线段AC,∴NC=NA,∴∠NCA=∠NAC=∠CEP=36°,∵∠PAE=∠NEA=72°,
∴∠PEA=∠NAE=36°,∵AE=EA,∴△PAE≌△NEA,∴AN=PE,∴CN=PE.
本章中考演练
1.( 衡阳中考 )下列生态环保标志中,是中心对称图形的是( B )
2.( 金华中考 )如图,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.若点A,D,E在同一条直线上,∠ACB=20°,则∠ADC的度数是( C )
A.55° B.60°
C.65° D.70°
3.( 巴中中考 )如图,☉O中,半径OC⊥弦AB于点D,点E在☉O上,∠E=22.5°,AB=4,则半径OB等于( C )
4.( 日照中考 )如图,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的☉O的圆心O在格点上,则∠BED的正切值等于( D )
6. ( 常州中考 )某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺:在半径为1的半圆形量角器中,画一个直径为1的圆,把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处,刻度尺可以绕点O旋转.从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是( D )
7.( 锦州中考 )如图,在△ABC中,∠ACB=90°,过B,C两点的☉O交AC于点D,交AB于点E,连接EO并延长交☉O于点F,连接BF,CF,若∠EDC=135°,CF= ,则AE2+BE2的值为( C )
A.8 B.12
C.16 D.20
8.( 台州中考 )如图,等边三角形ABC边长是定值,点O是它的外心,过点O任意作一条直线分别交AB,BC于点D,E.将△BDE沿直线DE折叠,得到△B'DE,若B'D,B'E分别交AC于点F,G,连接OF,OG,则下列判断错误的是( D )
A.△ADF≌△CGE
B.△B'FG的周长是一个定值
C.四边形FOEC的面积是一个定值
D.四边形OGB'F的面积是一个定值
9.( 大连中考 )一个扇形的圆心角为120°,它所对的弧长为6π cm,则此扇形的半径为 9 cm.?
10. ( 宜宾中考 )刘徽是中国古代卓越的数学家之一,他在《九章算术》中提出了“割圆术”,即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积.如图,设圆O的半径为1,若用圆O的外切正六边形的面积S来近似估计圆O的面积,则S= .( 结果保留根号 )?
11.( 郴州中考 )如图,圆锥的母线长为10 cm,高为8 cm,则该圆锥的侧面展开图( 扇形 )的弧长为 12π cm.( 结果用π表示 )?
?
12. ( 南京中考 )如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=4,以CD为直径作☉O.将矩形ABCD绕点C旋转,使所得矩形A'B'CD'的边A'B'与☉O相切,切点为E,边CD'与☉O相交于点F,则CF的长为 4 .?
13.( 湖州中考 )如图,已知AB是☉O的直径,C,D是☉O上的点,OC∥BD,交AD于点E,连接BC.
( 1 )求证:AE=ED;
( 2 )若AB=10,∠CBD=36°,求 的长.
14. ( 毕节中考 )如图,在△ABC中,以BC为直径的☉O交AC于点E,过点E作AB的垂线交AB于点F,交CB的延长线于点G,且∠ABG=2∠C.
( 1 )求证:EG是☉O的切线;
( 2 )若tan C= ,AC=8,求☉O的半径.
解:( 1 )连接OE,BE,∵∠ABG=2∠C,∠ABG=∠C+∠A,
∴∠C=∠A,∴BC=AB,∵BC是直径,∴∠CEB=90°,∴CE=AE,
又∵CO=OB,∴OE∥AB,∵GE⊥AB,∴EG⊥OE,
∵OE是半径,∴EG是☉O的切线.
16.( 上海中考 )已知☉O的直径AB=2,弦AC与弦BD交于点E.且OD⊥AC,垂足为F.
?
( 1 )如图1,如果AC=BD,求弦AC的长;
( 2 )如图2,如果E为弦BD的中点,求∠ABD的余切值;
( 3 )连接BC,CD,DA,如果BC是☉O的内接正n边形的一边,CD是☉O的内接正( n+4 )边形的一边,求△ACD的面积.
章末小结与提升
类型1
类型2
类型3
类型4
类型5
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旋转的性质及应用
1.如图,△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°后到达了△CDE的位置,下列说法中不正确的是( C )
A.线段AB与线段CD互相垂直
B.线段AC与线段CE互相垂直
C.点A与点E是两个三角形的对应点
D.线段BC与线段DE互相垂直
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2.如图所示,已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形,∠BAD=∠BCE=90°,M为DE的中点.过点E与AD平行的直线交射线AM于点N.
?
( 1 )当A,B,C三点在同一直线上时( 如图1 ),求证:M为AN的中点;
( 2 )将图1中△BCE绕点B旋转,当A,B,E三点在同一直线上时( 如图2 ),求证:△CAN为等腰直角三角形;
( 3 )将图1中△BCE绕点B旋转到图3的位置时,那么( 2 )中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
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解:( 1 )∵M为DE的中点,∴DM=EM.
∵AD∥EN,∴∠ADM=∠NEM,
又∵∠DMA=∠EMN,∴△DMA≌△EMN,
∴AM=MN,即M为AN的中点.
( 2 )由( 1 )中△DMA≌△EMN可知DA=EN,
又∵DA=AB,∴AB=NE.
∵∠ABC=∠NEC=135°,BC=EC,
∴△ABC≌△NEC,∴AC=CN,∠ACB=∠NCE,
∵∠BCE=∠BCN+∠NCE=90°,
∴∠BCN+∠ACB=90°,
∴∠ACN=90°,∴△CAN为等腰直角三角形.
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( 3 )成立.
证明:由( 2 )可知AB=NE,BC=CE,
∠ABC=360°-45°-45°-∠DBE=270°-∠DBE.
∵AD∥EN,∴∠ADM=∠NEM,
又∵∠NEC=∠CEB+∠BEN=45°+∠BED+∠NEM
=45°+45°+∠BDE+∠BED=90°+( 180°-∠DBE )=270°-∠DBE,∴∠ABC=∠NEC.
∴△ABC≌△NEC,再同( 2 )可证△CAN为等腰直角三角形,
∴( 2 )中的结论仍然成立.
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垂径定理及推论
1.如图所示,在☉O中,半径OD⊥弦AB于点C,连接AO并延长交☉O于点E,连接EC,若AB=8,CD=2,则EC的长度为( D )
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2.人工浮床又称人工浮岛,自20年前人类开发出第一个人工浮床之后,就将人工浮床应用于地表水体的污染治理和生态修复.近年来,我国的人工浮床技术开发及应用正好处于快速发展时期.如图所示,是我市在某湖面上为净化水质而搭建的一个水上圆形人工浮床示意图,其中圆和三块边长为16米的正方形是浮岛框架部分,被分割成的7部分将运用无土技术分别栽培7种不同的水生植物,正方形的顶点A,B,C,D都在圆上,且整个浮床成轴对称图形,求这个圆形人工浮床的半径.
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圆周角定理及推论
典例1 如图,A,B,C是圆O上的三点,且四边形ABCO是平行四边形,OF⊥OC交圆O于点F,则∠BAF等于 ( )
A.12.5° B.15°
C.20° D.22.5°
【解析】连接OB.∵四边形ABCO是平行四边形,∴OC AB,
又∵OA=OB=OC,∴OA=OB=OC=AB,∴△AOB为等边三角形,
∵OF⊥OC,OC∥AB,∴OF⊥AB,∴∠BOF=∠AOF=30°,
由圆周角定理得∠BAF= ∠BOF=15°.
【答案】 B
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A.1 B.2 C.3 D.4
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切线的性质与判定
典例2 如图,△ABC内接于☉O,AC为☉O的直径,PB是☉O的切线,B为切点,OP⊥BC,垂足为E,交☉O于点D,连接BD.
( 1 )求证:BD平分∠PBC;
( 2 )若☉O的半径为1,PD=3DE,求OE及AB的长.
【解析】( 1 )连接OB.∵PB是☉O的切线,
∴OB⊥PB,∴∠PBO=90°,∴∠PBD+∠OBD=90°,
∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB,
∵OP⊥BC,∴∠BED=90°,
∴∠DBE+∠BDE=90°,∴∠PBD=∠EBD,
∴BD平分∠PBC.
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类型6
【针对训练】1.( 日照中考 )如图,AB是☉O的直径,PA切☉O于点A,连接PO并延长交☉O于点C,连接AC,AB=10,∠P=30°,则AC的长度是( A )
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正多边形与圆的有关计算
1.如图,将正六边形ABCDEF放在平面直角坐标系中,中心与坐标原点重合,若点A的坐标为( -1,0 ),则点C的坐标为? .?
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2.如图,O是正六边形ABCDEF的中心,连接BD,DF,FB.
( 1 )设△BDF的面积为S1,正六边形ABCDEF的面积为S2,则S1与S2的数量关系是 S2=2S1 ;?
( 2 )△ABF通过旋转可与△CDB重合,请指出旋转中心和最小旋转角的度数.
解:( 1 )S2=2S1.
提示:连接OD,OF,OB.
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴△BDF是正三角形,
易知△ABF,△BDC,△DEF,△DOF,△BOF,△BOD都是全等的,∴S2=2S1.
( 2 )旋转中心是O,最小旋转角是120°.
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弧长、扇形面积及圆锥侧面积
典例3 如图,AB是☉O的直径,E为BC的中点,AB=4,∠BED=120°,则图中阴影部分的面积之和为( )
类型5
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【答案】 A
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【针对训练】
1.如图,半径为1的圆O与正五边形ABCDE相切于点A,C,则劣弧AC的长度为( B )
2.( 长春中考 )如图,在△ABC中,∠BAC=100°,AB=AC=4,以点B为圆心,BA长为半径作圆弧,交BC于点D,则 的长为? .( 结果保留π )?
