第18章平行四边形
18. 1 平行四边形的性质
第1课时平行四边形的性质定理1,2
1．如图，在ABCD中，M是BC延长线上的一点．若∠A＝135°，则∠MCD的度数是( )
A．45° B．55° C．65° D．75°
2．[2018·宜宾]在ABCD中，若∠BAD与∠CDA的角平分线交于点E，则△AED的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
3．[2018·黔东南州]如图，在ABCD中，已知AC＝4 cm.若△ACD的周长为13 cm，则ABCD的周长为( )
A．26 cm B．24 cm
C．20 cm D．18 cm
4．如图，在ABCD中，BE⊥AB，交对角线AC于点E.若∠1＝20°，则∠2的度数为______．
5．如图，在ABCD中，若AB＝2x＋1，BC＝3x，CD＝x＋4，则ABCD的周长是______．
6．[巴中]如图，E是ABCD边BC上一点，且AB＝BE，连结AE，并延长AE与DC的延长线交于点F，∠F＝70°，则∠D＝______度．
7．[成都]如图，在ABCD中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AD于点M、N；②分别以点M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线AP交边CD于点Q.若DQ＝2QC，BC＝3，则ABCD的周长为________．
8．[2018·无锡]如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，求证：∠ABF＝∠CDE.
9．[2018·宿迁]如图，在ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE＝DF，EF分别与AB、CD交于点G、H.求证：AG＝CH.
10．如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA.
(1)求∠APB的度数；
(2)如果AD＝5 cm，AP＝8 cm，求△APB的周长．
参考答案
1．A
2．B
3．D
4．110°
5．32
6．40
7．15
8．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB＝CD，AD＝BC.
∵E、F分别是边BC、AD的中点，
∴AF＝CE.
在△ABF和△CDE中，
∴△ABF≌△CDE(SAS)，
∴∠ABF＝∠CDE.
9．证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠E＝∠F.
又∵BE＝DF，
∴AD＋DF＝BC＋BE，
即AF＝CE.
∴△AGF≌△CHE(ASA)．
∴AG＝CH.
10．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠DAB＋∠CBA＝180°.
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB＋∠PBA＝(∠DAB＋∠CBA)＝90°，
∴∠APB＝180°－(∠PAB＋∠PBA)＝90°.
(2)∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP＝∠PAB.
∵AB∥CD，
∴∠PAB＝∠DPA，
∴∠DAP＝∠DPA，
∴AD＝DP＝5 cm.
同理：PC＝CB＝5 cm，
∴AB＝DC＝DP＋PC＝10 cm.
在Rt△APB中，AB＝10 cm，AP＝8 cm，
∴BP＝＝6(cm)，
∴△APB的周长是6＋8＋10＝24(cm)．
1
第18章平行四边形
18. 1 平行四边形的性质
第2课时平行四边形的性质定理1,2的综合
1．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能是( )
A．AE＝CF
B．BE＝DF
C．BF＝DE
D．∠1＝∠2
2．[丽水]如图，在ABCD中，连结AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，则BC的长是( )
A.
B．2
C．2
D．4
3．已知直角坐标系内有四个点O(0，0)、A(3，0)、B(1，1)、C(x，1)，若以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝____________．
4．[大连]如图，在ABCD中，BE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，DF⊥AC，垂足F在AC的延长线上．求证：AE＝CF.
5．[2018·曲靖]如图，在平行四边形ABCD的边AB、CD上截取AF、CE使得AF＝CE，连结EF，点M、N是线段上的两点，且EM＝FN，连结AN、CM.
(1)求证：△AFN≌△CEM；
(2)若∠CMF＝107°，∠CEM＝72°，求∠NAF的度数．
6．如图，在ABCD中，∠ABC的平分线BG交AD于点G，∠BCD的平分线CE交BG于点F，交AD于点E.
(1)求证：BG⊥CE；
(2)若AB＝3，BC＝4，求EG的长．
7．如图，ABCD内有一点E，满足ED⊥AD于点D，∠EBC＝∠EDC，∠ECB＝45°，请找出与BE相等的一条线段，并予以证明．
8．如图，E是ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F.
(1)求证：△ADE≌△FCE；
(2)若∠BAF＝90°，BC＝5，EF＝3，求CD的长．
参考答案
1．A
2．C
3．4或－2
4．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD且AB＝CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴180°－∠BAC＝180°－∠DCA，
即∠BAE＝∠DCF.
又∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA＝∠DFC＝90°.
在△BEA和△DFC中，
∴△BEA≌△DFC，
∴AE＝CF.
5．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠AFN＝∠CEM.
∵FN＝EM，AF＝CE，
∴△AFN≌△CEM(SAS)．
(2)∵△AFN≌△CEM，
∴∠NAF＝∠ECM.
∵∠CMF＝∠CEM＋∠ECM，
∴107°＝72°＋∠ECM，
∴∠ECM＝35°，
∴∠NAF＝35°.
6．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
又∵BG、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
∴∠ABG＝∠CBG，∠BCE＝∠DCE，
∴∠CBG＋∠BCE＝90°.
在△BCF中，∠BFC＝180°－∠CBG－∠BCE＝90°，
即BG⊥CE.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∴∠AGB＝∠CBG.
又∵∠ABG＝∠CBG，
∴∠AGB＝∠ABG，
∴AB＝AG＝3，
∴GD＝AD－AG＝4－3＝1，
同理：AE＝1，
∴EG＝AD－AE－GD＝4－1－1＝2.
7．解：CD＝BE.
证明：如答图所示，延长DE交BC于点F.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∵ED⊥AD，
∴DF⊥BC，
∴∠BFE＝∠DFC＝90°.
又∵∠ECB＝45°，
∴∠FEC＝∠ECB＝45°，
∴FE＝FC.
∵∠EBC＝∠EDC，
∴△BEF≌△DCF，
∴CD＝BE.
8．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠D＝ECF，∠DAE＝∠F，
又点E是CD的中点，
∴DE＝CE.
在△ADE和△FCE中，
∴△ADE≌△FCE.
(2)∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF＝3.
∵AB∥CD，
∴∠AED＝∠BAF＝90°.
在ABCD中，AD＝BC＝5，
∴DE＝＝＝4，
∴CD＝2DE＝8.
1
第18章平行四边形
18. 1 平行四边形的性质
第3课时平行四边形的性质定理3
1．如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＋BD＝16，CD＝6，则△ABO的周长是( )
A．10 B．14
C．20 D．22
2．[眉山]如图，EF过ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F.若ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为( )
A．14 B．13
C．12 D．10
3．[2018·衡阳]如图，ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M.如果△CDM的周长为8，那么ABCD的周长是____．
4．如图，在ABCD中，AB＝8 cm，BC＝10 cm，△AOB的周长比△BOC的周长少_____cm.
5．如图，在ABCD中，AB＝2 cm，AD＝4 cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长____cm.
6．如图，在ABCD中，AB＝9 cm，对角线AC、BD相交于点O.若△COD的周长为20 cm，且AC比BD长6 cm，试求对角线AC、BD的长．
7．如图，已知在ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.
(1)已知AE＝3 cm，AF＝4 cm，AD＝8 cm，求CD的长；
(2)若已知ABCD的周长为28 cm，且AE＝3 cm，AF＝4 cm，求ABCD的面积．
8．[2018·淮安]如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F.求证：AE＝CF.
9．如图，在ABCD中，BD⊥AB，AB＝12 cm，AC＝26 cm，求AD、BD、BC及CD的长．
10．如图，在ABCD中，E是BC的中点，连结AE，并延长交DC的延长线于点F.
(1)求证：AB＝CF；
(2)连结DE，若AD＝2AB，求证：DE⊥AF.
参考答案
1．B
2．C
3．16
4．2
5．4
6．解：∵△COD的周长为20 cm，
∴OC＋OD＝20－CD＝20－AB＝20－9＝11 (cm)．
∵AC－BD＝6 cm，
∴2OC－2OD＝6 cm，∴OC＝7 cm，OD＝4 cm，
∴AC＝2OC＝14 cm，BD＝2OD＝8 cm.
7．解：(1)∵SABCD＝BC·AE＝CD·AF，
即3×8＝4·CD，
∴CD＝6 cm.
(2)设BC、CD的长分别为x cm和y cm，
则解得
∴SABCD＝BC·AE＝8×3＝24(cm2)．
8．证明：∵AC、BD为ABCD的对角线，
∴AO＝CO，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO.
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE＝CF.
9．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝12 cm，AO＝AC＝13 (cm)．
∵BD⊥AB，∴∠ABD＝90°.
在Rt△ABO中，OB＝＝5 cm.
∴BD＝2OB＝2×5＝10 (cm)．
在Rt△ABD中，AD＝＝2 cm，
∴BC＝AD＝2 cm，
∴AD＝BC＝2 cm，BD＝10 cm，CD＝12 cm.
10．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠ABE＝∠FCE.
又∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE.
在△ABE和△FCE中，
∴△ABE≌△FCE，
∴AB＝CF.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD.
∵AB＝CF，DF＝DC＋CF，
∴DF＝2CF，∴DF＝2AB.
∵AD＝2AB，∴AD＝DF.
∵△AEB≌△FEC，
∴AE＝EF.
∴ED⊥AF.
1
第18章平行四边形
18. 1 平行四边形的性质
第4课时平行四边形的性质定理的综合
1．如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A′处．若∠1＝∠2＝50°，则∠A′的度数为______.
2．如图，在平行四边形ABCD中，如果AB＝5，AD＝9，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，那么DF＝____．
3．如图，在平行四边形ABCD中，连结BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF＝DE，连结AF、CE，求证：AF∥CE.
4．[2018·金牛区期末]如图，在ABCD中，BE平分∠ABC交CD的延长线于点E，作CF⊥BE于点F.
(1)求证：BF＝EF；
(2)若AB＝6，DE＝3，求ABCD的周长．
5．[2018·厦门期末]如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC边的中点，DF∥AE，DF与BC的延长线交于点F，AE、DC的延长线交于点G，连结FG.若AD＝3，AG＝2，FG＝2，求直线AG与DF之间的距离．
6．[2018·黄冈]如图，在ABCD中，分别以边BC、CD为腰作△BCF、△CDE，使BC＝BF，CD＝DE，∠CBF＝∠CDE，连结AF、AE.
(1)求证：△ABF≌△EDA；
(2)延长AB与CF相交于点G，若AF⊥AE，求证：BF⊥BC.
7．[平定县期末]下面是一个有关特殊平行四边形和等边三角形的小实验，请根据实验解答问题：已知在ABCD中，∠ABC＝120°，点D又是等边三角形DEF的一个顶点，DE与AB相交于点M，DF与BC相交于点N(不包括线段的端点)．
(1)如图1，若AB＝BC，求证：BD＝BM＋BN；
(2)如图2，若BC＝2AB，过点D作DH⊥BC于点H，求证：∠BDC＝90°.
图1 图2
参考答案
1．105°
2．4
3．
4．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CE，
∴∠E＝∠ABE.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠E＝∠CBE，
∴CB＝CE.
∵CF⊥BE，
∴BF＝EF.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6.
∵DE＝3，
∴BC＝CE＝9，
∴平行四边形ABCD的周长为30.
5．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥EF.
∵DF∥AE，∴∠EGC＝∠CDF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AD＝EF＝BC＝3.
∵E是BC边的中点，
∴BE＝CE，
∴BE＝CF＝EC，
∵∠EGC＝∠CDF，∠ECD＝∠FCD，EC＝CF，
∴△ECG≌△FCD.
∵EF2＝9，EG2＋FG2＝12＋(2)2＝9，
∴EF2＝FG2＋EG2，
∴∠EGF＝90°，
∴FG⊥AG，
∴直线AG与DF之间的距离为2.
6．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC.
∵BC＝BF，CD＝DE，
∴BF＝AD，AB＝DE.
∵∠ADE＋∠ADC＋∠EDC＝360°，∠ABF＋∠ABC＋∠CBF＝360°，∠EDC＝∠CBF，
∴∠ADE＝∠ABF，
∴△ABF≌△EDA(SAS)．
(2)如答图，延长FB交AD于点H.
∵AE⊥AF，
∴∠EAF＝90°，
∵△ABF≌△EDA，
∴∠EAD＝∠AFB.
∵∠EAD＋∠FAH＝90°，
∴∠FAH＋∠AFB＝90°，
∴∠AHF＝90°，即FB⊥AD.
∵AD∥BC，
∴FB⊥BC.
7．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝60°.
∵AB＝BC，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∴△ABD，△BDC都是等边三角形，
∴∠A＝∠DBC＝60°，∠ADB＝60°，AD＝BD.
∵∠EDF＝60°，
∴∠ADM＋∠MDB＝∠BDN＋∠MDB＝60°，
∴∠ADM＝∠BDN.
在△ADM与△BDN中，
∴△ADM≌△BDN，
∴AM＝BN，
∴BD＝AB＝AM＋MB＝BN＋MB，
即BD＝BM＋BN；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝60°.
∵DH⊥BC，∠C＝60°，
∴∠DHC＝90°，∠HDC＝30°.
设CH＝x，则DC＝2x，DH＝x，
∴BC＝2AB＝2DC＝4x，
∴BH＝BC－HC＝3x.
∵DH⊥BC，
∴BD＝＝2x，
∴BD2＋DC2＝BC2，
∴∠BDC＝90°.
1
第18章平行四边形
18. 2 平行四边形的判定
第1课时平行四边形的判定定理1,2
1．能够判定一个四边形是平行四边形的条件是( )
A．一组对角相等
B．两条对角线相等
C．一组对边平行
D．一组对边平行且相等
2．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是( )
A．①②
B．①④
C．③④
D．②③
3．[2018·呼和浩特]顺次连结平面上A、B、C、D四点得到一个四边形，从①AB∥CD，②BC＝AD，③∠A＝∠C，④∠B＝∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有( )
A．5种
B．4种
C．3种
D．1种
4．[衡阳]如图，在四边形ΑΒCD中，AB∥CD，要使四边形ΑΒCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是( )
A．AB＝CD
B．BC＝AD
C．∠A＝∠C
D．BC∥AD
5．[2018·岳阳]如图，在平行四边形ABCD中，AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．
6．[东莞市期末]如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F是对角线AC上的两点，AE＝CF，∠1＝∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形．
7．点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是该平面内任意一点，若A、B、C、D四个点恰能构成一个平行四边形，则在该平面内符合这样条件的点D的个数有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8．[2018·恩施]如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于点O.求证：AD与BE互相平分．
9．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE.已知∠BAC＝30°，AB＝2BC，EF⊥AB，垂足为点F，连结DF.
求证：(1)AC＝EF；
(2)四边形ADFE是平行四边形．
参考答案
1．D
2．D
3．C
4．B
5．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∵AE＝CF，
∴BE＝DF，BE∥DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
6．证明：∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠BCE.
∵AE＝CF，
∴AE＋EF＝CF＋EF，
即AF＝CE.
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE(ASA)，
∴AD＝BC.
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
7．C
8．
证明：如答图，连结BD、AE.
∵AB∥ED，
∴∠ABC＝∠DEF.
∵AC∥FD，
∴∠ACB＝∠DFE.
∵FB＝CE，
∴BC＝EF.
在△ACB和△DFE中，
∴△ACB≌△DFE(ASA)，
∴AB＝DE.
又∵AB∥ED，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AD与BE互相平分．
9．证明：(1)∵在等边△ABE中，EF⊥AB，
∴AB＝2AF，
∴AF＝BC.
在Rt△AEF和Rt△BCA中，
∴Rt△AEF≌△Rt△BCA，
∴AC＝EF.
(2)由(1)知AC＝EF，
而△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°.
又∵∠BAC＝30°，
∴EF＝AC＝AD，且AD⊥AB，而EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
1
第18章平行四边形
18. 2 平行四边形的判定
第2课时平行四边形的判定定理3
1．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：
①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.
从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )
A．3种 B．4种
C．5种 D．6种
2．[钦州模拟]如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在线段OA、OC上，且OB＝OD，∠1＝∠2，AE＝CF.
求证：(1)△BEO≌△DFO；
(2)四边形ABCD是平行四边形．
3．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E、F在AC上，点G、H在BD上，AF＝CE，BH＝DG.求证：四边形EGFH是平行四边形．
4．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB、CD的延长线交于点E、F.求证：四边形AECF是平行四边形．
5．如图，ABCD的对角线AC、BD交于点O，EF过点O，且与BC、AD分别交于点E、F.试猜想线段AE、CF的关系，并说明理由．
6．如图，在ABCD中，AE⊥BD，BM⊥AC，CN⊥BD，DF⊥AC.求证：MN∥EF.
参考答案
1．D
2．证明：(1)在△BEO和△DFO中，
∴△BEO≌△DFO(ASA)．
(2)由(1)可知△BEO≌△DFO，
∴OE＝OF.
∵AE＝CF，
∴OA＝OC.
∵OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
3．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵AF＝CE，BH＝DG，
∴AF－OA＝CE－OC，BH－OB＝DG－OD，
即OF＝OE，OH＝OG，
∴四边形EGFH是平行四边形．
4．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，OA＝OC，AB∥CD，
∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO.
在△FDO和△EBO中，
∴△FDO≌△EBO，
∴OF＝OE，
∴四边形AECF是平行四边形．
5．解：AE与CF平行且相等．
理由：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，AF∥EC，
∴∠OAF＝∠OCE.
在△OAF和△OCE中，
∴△OAF≌△OCE，
∴AF＝CE.
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE∥CF，且AE＝CF，
即AE与CF平行且相等．
6．
证明：如答图所示，连结ME、NF.∵BM⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BMO＝∠DFO＝90°.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC.
又∵∠BOM＝∠DOF，
∴△BMO≌△DFO，∴OM＝OF，
同理OE＝ON.
∴四边形MNFE是平行四边形．
∴MN∥EF.
1
第18章平行四边形
18. 2 平行四边形的判定
第3课时平行四边形的判定的综合
1．[2018·安徽]如图，ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是( )
A．BE＝DF
B．AE＝CF
C．AF∥CE
D．∠BAE＝∠DCF
2．如图，在ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F, 连结AF、CE.求证：AF＝CE.
3．[2018·福田区期末]如图，已知∠A＝∠E＝90°，A、C、F、E在一条直线上，AF＝EC，BC＝DF.
求证：(1)Rt△ABC≌Rt△EDF；
(2)四边形BCDF是平行四边形．
4．[2018·九江期末]如图，四边形ABCD是平行四边形，∠EAD＝∠DBC，∠AED＝90°.
(1)求证：AE∥BD；
(2)过点C作CF⊥BD于点F，连结EF，求证：四边形EFCD是平行四边形．
5．[2018·高州市期末]如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB＝60°，EF＝DC.
(1)求证：四边形EFCD是平行四边形；
(2)连结BE，若BE＝EF，求证：AE＝AD.
6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在①AB∥CD；②AO＝CO；③AD＝BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”作为结论构成命题．
(1)以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例．
(2)写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明．(命题请写成“如果……，那么……”的形式)
参考答案
1．B
2．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF.
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，∴AE∥CF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF.
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝CE.
3．证明：(1)∵AF＝EC，
∴AC＝EF.
又∵BC＝DF，
∴Rt△ABC≌Rt△EDF(HL)．
(2)∵Rt△ABC≌Rt△EDF，
∴BC＝DF，∠ACB＝∠DFE，
∴∠BCF＝∠DFC，
∴BC∥DF.
又∵BC＝DF，
∴四边形BCDF是平行四边形．
4．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC.
∵∠EAD＝∠DBC，
∴∠EAD＝∠ADB，
∴AE∥BD.
(2)∵AE∥BD，
∴∠AED＋∠BDE＝180°.
∵∠AED＝90°，
∴∠BDE＝90°.
∵CF⊥BD，
∴∠EDB＝∠CFD＝90°，
∴DE∥CF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD.
∵∠EAD＝∠CBF，∠AED＝∠BFC＝90°，
∴△ADE≌△BCF(AAS)，
∴DE＝CF，
∴四边形EFCD是平行四边形．
5．
证明：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵∠EFB＝60°.
∴∠ABC＝∠EFB，
∴EF∥DC，
∵DC＝EF，
∴四边形EFCD是平行四边形．
(2)如答图，连结BE.
∵BF＝EF，∠EFB＝60°，
∴△EFB是等边三角形，
∴EB＝EF，∠EBF＝60°.
∵DC＝EF，
∴EB＝DC.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AB＝AC，
∴∠EBF＝∠ACB，
∴△AEB≌△ADC(SAS)，
∴AE＝AD.
6．解：(1)是真命题．
证明如下：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO.
又∵∠AOB＝∠COD，AO＝CO，
∴△ABO≌△CDO，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)假命题：
a．在四边形ABCD中，如果AB∥CD，AD＝BC，那么四边形ABCD是平行四边形；
b．在四边形ABCD中，AC交BD于点O，如果AO＝CO，AD＝BC，那么四边形ABCD是平行四边形．
反例：
答图1 答图2
如答图1所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，但四边形ABCD不是平行四边形；
如答图2所示，在四边形ABCD中，AO＝CO，AD＝BC，但四边形ABCD不是平行四边形．
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第18章平行四边形
18. 2 平行四边形的判定
第4课时平行四边形的性质与判定的综合
1．如图，在ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连结BE、DF.求证：四边形BEDF是平行四边形．
2．[2018·达川区期末]如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，AE＝CF，连结AF、BF、DE、CE分别交于点H、G.求证：
(1)四边形AECF是平行四边形；
(2)EF与GH互相平分．
3．如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点，过点B作AC的平行线，交CE的延长线于点F，连结BF.
求证：(1)FB＝CO；
(2)四边形AOBF是平行四边形．
4．如东县一模]如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，点E是边CD的中点，连结BE并延长交AD的延长线于点F，连结CF.
(1)求证：四边形BDFC是平行四边形；
(2)若CB＝CD，求四边形BDFC的面积．
5．[2018·香坊区期末]在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边DC、AB上，DE＝BF，连结AE、CF.
(1)如图1，求证：四边形AECF为平行四边形；
(2)如图2，连结DF、BE分别交AE、CF于点G、H，连结GH，若E为CD的中点，在不添加辅助线的情况下，请直接写出以G、H为顶点的平行四边形．
图1 图2
参考答案
1．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，AD＝BC，∠DAB＝∠BCD.
又∵△ADE和△CBF是等边三角形，
∴DE＝BF，AE＝CF，∠DAE＝∠BCF＝60°.
∵∠DCF＝∠BCD－∠BCF，
∠BAE＝∠DAB－∠DAE，
∴∠DCF＝∠BAE，
在△DCF和△BAE中，
∴△DCF≌△BAE，
∴DF＝BE.
又∵DE＝BF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
2．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
(2)由(1)得：四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE.
∵AE＝CF，AB∥CD，AB＝CD，
∴BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BF∥DE，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴EF与GH互相平分．
3．证明：(1)∵AC∥BF，
∴∠ACF＝∠CFB.
∵E是BO的中点，
∴OE＝BE.
在△OCE和△BFE中，
∴△OCE≌△BFE，
∴FB＝CO.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，
∴AO＝FB.
又∵AO∥BF，
∴四边形AOBF是平行四边形．
4．解：(1)证明：∵∠A＝∠ABC＝90°，∴AF∥BC，
∴∠DCB＝∠CDF，∠FBC＝∠BFD.
又∵E是CD的中点，∴DE＝EC，
∴△BCE≌△FDE，
∴DF＝BC.
又∵DF∥BC，
∴四边形BDFC为平行四边形．
(2)当BC＝CD＝3时，过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形．
在Rt△CDG中，DG＝BC－AD＝2，
CG＝＝，
∴S平行四边形BDFC＝BC·CG＝3.
5．解：(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB.
∵DE＝BF，
∴DC－DE＝AB－BF，即EC＝AF.
又∵EC∥AF，
∴四边形AECF为平行四边形．
(2)∵E是CD的中点，
∴ED＝EC＝DC.
∵ED＝BF，
∴ED＝BF＝DC＝AB＝AF.
∵DE∥AF，
∴∠EDG＝∠GFA，∠DEG＝∠GAF，
∴△DGE≌△FGA，
∴AG＝EG＝AE，DG＝FG＝DF.
同理得：FH＝HC＝CF，
∴AG＝FH.
∵AG∥FH，
∴四边形AFHG是平行四边形，
同理可得：DGHE、EGHC、FBHG、GFHE.
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