第16章分式
16. 1 分式及其基本性质
1.分式
1．下列式子是分式的有( )
(1)；(2)；(3)；(4).
A．(1)(2) B．(3)(4)
C．(1)(3) D．(1)(2)(3)(4)
2．下列关于分式的判断，正确的是( )
A．当x＝2时，的值为0
B．当x≠3时，有意义
C．无论x为何值，不可能得整数值
D．无论x为何值，的值总为正数
3．仓库有煤m吨，原计划每天烧煤a吨，现在每天节约b吨，则可多烧的天数为( )
A. B.
C.－ D.－
4．要使分式有意义，x的取值应满足_____．
5．若分式的值为0，则x的值为______.
6．(1)当a＝1、2时，分别求分式的值；
(2)当a取何值时，分式有意义？
(3)当a取何值时，分式的值为0?
7．当x取什么数时，下列分式有意义？
(1)；(2).
8．[2018·金华丽水]对于两个非零实数x、y，定义一种新的运算：xy＝＋.若1?(－1)＝2，则(－2)?2的值是____．
9．小李将单价为m元/千克的茶叶a千克和单价为n元/千克的茶叶b千克混合，按的价格(平均价)出售．若m＝60，a＝25，n＝30，b＝35，则混合茶叶出售的平均价格是多少？
10．对于分式，当x取什么值时，
(1)无意义？
(2)有意义？
(3)值为0?
11．已知分式，当x＝2时，分式的值为0；当x＝－2时，分式没有意义，求a＋b的值．
参考答案
1．C
2．D
3．C
4．x≠2
5．2
6．解：(1)当a＝1时，＝＝1；
当a＝2时，＝＝.
(2)因为当分母的值等于0时，分式没有意义．由2a＝0，得a＝0，所以当a取0以外的任何实数时，分式有意义．
(3)因为分式的值为0的条件为2a≠0且a＋1＝0，
解得a＝－1，所以当a＝－1时，分式的值为0.
7．解：(1)由2x＋1≠0，得x≠－，
所以当x≠－时，分式有意义．
(2)由|x|－5≠0，得x≠±5，
所以当x≠±5时，分式有意义．
8．－1
9．解：由题意，得＝＝42.5(元/千克)．
答：混合茶叶出售的平均价格是42.5元/千克．
10．解：(1)当分母(x－2)(x＋3)＝0时，即x＝2或x＝－3时，分式无意义．
(2)当分母(x－2)(x＋3)≠0时，即x≠2且x≠－3时，分式有意义．
(3)当分子x－5＝0，即x＝5时，(x－2)(x＋3)≠0，分式的值为0.
11．解：∵当x＝2时，分式的值为0，
∴2－b＝0，b＝2，且4＋a≠0，a≠－4.
∵x＝－2时，分式没有意义，
∴2×(－2)＋a＝0，解得a＝4，
∴a＋b＝6.
1
第16章分式
16. 1 分式及其基本性质
2.分式的基本性质
1．[2018·莱芜]若x、y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是( )
A. B.
C. D.
2．下列分式中，最简分式是( )
A.B.
C. D.
3．分式，，的最简公分母是( )
A．(m＋n)2(m－n) B．(m＋n)3(m－n)
C．(m＋n)(m－n) D．(m2－n2)2
4．化简的结果是( )
A. B.
C. D.
5．分式－的分子与分母都有的因式是_______，约分后的结果是________．
6．若＝，则＝_____．
7．若＝2，＝6，则＝_____．
8．化简下列分式：
(1)； (2)；
(3)；(4).
9．通分：(1)，，；(2)，.
10．[2018·南充]已知－＝3，则代数式的值是( )
A．－ B．－
C. D.
11．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数．
(1)； (2).
12．不改变分式的值，使下列分式中分子和分母的最高次项的系数为正数．
(1)； (2)；
(3).
13．在三个整式x2－1，x2＋2x＋1，x2＋x中，请你从中任意选择两个，将其中一个作为分子，另一个作为分母组成一个分式，并将这个分式进行化简，再求当x＝2时分式的值．
参考答案
1．D
2．A
3．A
4．B
5．25b2c－
6．
7．12
8．解：(1) (2) (3) (4)－
9．解：(1)＝，＝，＝.
(2)＝，
＝.
10．D
【解析】－＝3，y－x＝3xy，∴x－y＝－3xy，∴原式＝＝＝＝.
11．解：(1)分式的分子与分母同时乘6得，
原式＝＝.
(2)分式的分子与分母同时乘10得，原式＝.
12．解：(1) (2)－ (3)
13．解：答案不唯一．如将x2＋x作为分子，x2－1作为分母可得分式：＝＝.
当x＝2时，原式＝＝2.
1
第16章分式
16. 2 分式的运算
1.分式的乘除法
1．化简×的结果是( )
A. B．a
C. D.
2．计算a3·()2的结果是( )
A．a B．a3
C．a6 D．a9
3．下列运算结果为x－1的是( )
A．1－ B.·
C.÷ D.
4．[2018·河北]老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简．规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是( )
A．只有乙 B．甲和丁
C．乙和丙 D．乙和丁
5．计算1÷·(m2－1)的结果是( )
A．－m2－2m－1 B．－m2＋2m－1
C．m2－2m－1 D．m2－1
6．计算：(1)·＝______．
(2)÷＝______．
7．化简÷(a－2)×的结果是______．
8．计算：
(1)·；
(2)·；
(3)[2018·徐州]÷.
9．计算：
(1)÷；
(2)(xy－x2)÷·；
(3)÷·.
10．已知a＝b＋2 018，求代数式·÷的值．
11．(1)计算：(a－b)(a2＋ab＋b2)；
(2)利用所学知识以及(1)所得等式，化简代数式÷.
参考答案
1．B
2．A
3．B
4．D
5．B
6．(1) (2)
7．
8．解：(1) (2) (3)2a－2b
9．解：(1) (2)－y (3)－
10．解：·÷
＝·÷
＝·×(a＋b)(a－b)
＝2(a－b)，
当a＝b＋2 018，即a－b＝2 018时，原式＝2(a－b)＝4 036.
11．解：(1)原式＝a3＋a2b＋ab2－a2b－ab2－b3＝a3－b3.
(2)原式＝·＝m＋n.
1
第16章分式
16. 2 分式的运算
2.分式的加减法
1．下列运算正确的是( )
A.－＝1 B.－＝
C.－＝ D.－＝
2．[2018·天津]计算－的结果为( )
A．1 B．3
C. D.
3．[2018·淄博]计算－的结果为( )
A. B．a－1 C．a D．1
4．计算－的结果是( )
A．－x2＋2x B．－x2＋6x
C．－ D.
5．[2018·苏州]计算(1＋)÷的结果是( )
A．x＋1 B. C. D.
6．计算：(1)[2018·常州]－＝_____．
(2)[2018·乐山]＋＝_______．
(3)[2018·衡阳]－＝________．
(4)[2018·武汉]－＝_____．
(5)[2018·襄阳]－＝______．
7．计算：(1)[2018·自贡]＋＝______．
(2)[2018·沈阳]－＝______．
8．计算：
(1)－x－1； (2)(－)·.
9．[2018·内江]已知－＝，则的值是( )
A. B．－ C．3 D．－3
10．[2018·南京]计算：(m＋2－)÷.
11．[2018·舟山]先化简，再求值：(－)·，其中a＝1，b＝2.
12．[2018·广州]已知T＝＋.
(1)化简T；
(2)若正方形ABCD的边长为a，且它的面积为9，求T的值．
13．[2018·安徽]观察以下等式：
第1个等式：＋＋×＝1，
第2个等式：＋＋×＝1，
第3个等式：＋＋×＝1，
第4个等式：＋＋×＝1，
第5个等式：＋＋×＝1，
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：________________；
(2)写出你猜想的第n个等式：____________________(用含n的等式表示)，并证明．
参考答案
1．D
2．C
3．B
4．C
5．B
6．(1)1 (2)－1 (3) x－1 (4) (5)
7．(1) (2)
8．解：(1) (2)2x＋8
9．C
【解析】∵－＝＝，∴＝3.
10．解：(m＋2－)÷
＝·
＝·
＝·
＝2m＋6.
11．解：原式＝·＝a－b.当a＝1，b＝2时，原式＝1－2＝－1.
12．解：(1)T＝＋＝＋＝＋＝＝.
(2)∵正方形ABCD的边长为a，且它的面积a2＝9，∴a＝3，∴T＝＝.
13．(1)＋＋×＝1 (2)＋＋×＝1
解：(2)证明：∵左边＝＋＋×＝＝1，右边＝1.
∴左边＝右边，∴原等式成立．
1
第16章分式
16. 3 可化为一元一次方程的分式方程
1．[2018·成都]分式方程＋＝1的解是( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝3 D．x＝－3
2．[2017·岳阳]解分式方程－＝1，可知方程的解为( )
A．x＝1 B．x＝3
C．x＝ D．无解
3．[2018·德州]分式方程－1＝的解为( )
A．x＝1 B．x＝2
C．x＝－1 D．无解
4．[2017·十堰]甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
5．[2018·衡阳]衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x万千克，根据题意，列方程为( )
A.－＝10 B.－＝10
C.－＝10 D.＋＝10
6．[2018·淄博]“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%.结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是( )
A.－＝30
B.－＝30
C.－＝30
D.－＝30
7．[2018·怀化]一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行100 km所用时间与以最大航速逆流航行80 km所用时间相等．设江水的流速为vkm/h，则可列方程为( )
A.＝B.＝
C.＝D.＝
8．(1)[2018·广州]方程＝的解是_______．
(2)[2018·无锡]方程＝的解是__________．
9．[2018·舟山]甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20个，甲检测300个比乙检测200个所用的时间少10%.若设甲每小时检测x个．则根据题意，可列出方程：__________________．
10．解分式方程：
(1)[2018·连云港]－＝0；
(2)[2018·绵阳]＋2＝；
(3)[2018·镇江]＝＋1.
11．[2018·岳阳]为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为33 000平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工．为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了20%，结果提前11天完成任务，求实际平均每天施工多少平方米？
12．[2018·张家界]若关于x的分式方程＝1的解为x＝2，则m的值为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
13．[2018·潍坊]当m＝____时，解分式方程＝会出现增根．
14．[2018·达州]若关于x的分式方程＋＝2a无解，则a的值为____．
15．星期天，小明和小芳从同一小区门口同时出发，沿同一路线去离该小区1 800米的少年宫参加活动．为响应“节能环保，绿色出行”的号召，两人都步行．已知小明的速度是小芳的速度的1.2倍，结果小明比小芳早6分钟到达，求小芳的速度．
16．[2018·东营]小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出，他们的家分别距离剧院1 200 m和2 000 m，两人分别从家中同时出发．已知小明和小刚的速度比是3∶4，结果小明比小刚提前4 min到达剧院，求两人的速度．
17．[2017·广州]甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60千米，再由乙队完成剩下的筑路工程．已知乙队筑路总千米数是甲队筑路总千米数的倍，甲队比乙队多筑路20天．
(1)求乙队筑路的总千米数；
(2)若甲、乙两队平均每天筑路千米数之比为5∶8，求乙队平均每天筑路多少千米？
参考答案
1．A
2．C
3．D
4．A
5．A
6．C
7．C
8．(1) x＝2 (2) x＝－
9．＝×(1－10%)
10． (1)解：去分母，得3x－2(x－1)＝0，
解得x＝－2.
经检验，x＝－2是方程的解，所以原分式方程的解是x＝－2.
(2)解：方程两边同时乘以x－2，得x－1＋2(x－2)＝－3，
去括号，得x－1＋2x－4＝－3，
移项，得x＋2x＝2，
合并同类项，系数化为1，得x＝，
经检验，x＝是原分式方程的解，
故原分式方程的解为x＝.
(3)解：方程两边同乘(x＋2)(x－1)，得x(x－1)＝2(x＋2)＋(x＋2)(x－1)．
解得x＝－.
检验：当x＝－时，(x＋2)(x－1)≠0.
故x＝－是原分式方程的解．
11．解：设原计划平均每天施工x平方米．
依题意，得－＝11，解得x＝500.
经检验，x＝500是原分式方程的解．
∴实际平均每天施工为500×(1＋20%)＝600(平方米)．
12．B
【解析】∵关于x的分式方程＝1的解为x＝2，∴x＝2满足关于x的分式方程＝1，∴＝1，解得m＝4.
13．2
【解析】方程两边同乘(x－3)，得x－5＝－m，则x＝5－m.若方程会产生增根，则增根为x＝3，
所以5－m＝3，解得m＝2.
14．1
【解析】原分式方程去分母，得x－3a＝2a(x－3)，由分式方程无解，得到x＝3，把x＝3代入整式方程得3－3a＝2a(3－3)，解得a＝1.
15．解：设小芳的速度为x米/分．
由题意，可得－＝6，解得x＝50，
经检验，x＝50是原分式方程的解且符合实际．
所以，小芳的速度为50米/分．
16．解：设小明和小刚的速度为3x m/min，4x m/min.
由题意，得＝－4，解得x＝25，
经检验x＝25是原分式方程的解．
所以小明的速度为3x＝3×25＝75(m/min)，小刚的速度为4x＝4×25＝100(m/min)．
17．解：(1)60×＝80(千米)，即乙队筑路的总千米数为80千米．
(2)根据题意，得－20＝，解得x＝.
经检验，x＝是原方程的解且符合题意，
×8＝.
所以，乙队平均每天筑路千米．
1
第16章分式
16. 4 零指数幂与负整数指数幂
1.零指数幂与负整数指数幂
1．计算20·2－3的结果是( )
A．－ B.
C．0 D．8
2．[2018·聊城]下列计算错误的是( )
A．a2÷a0·a2＝a4
B．a2÷(a0·a2)＝1
C．(－1.5)8÷(－1.5)7＝－1.5
D．－1.58÷(－1.5)7＝－1.5
3．计算(a2)3＋a2·a3－a2÷a－3的结果为( )
A．2a5－a B．2a5－
C．a5 D．a6
4．在①(－1)－3＝1；②(－1)3＝－3；
③3a－2＝；④(－x)5÷(－x)－2＝－x7中，运算不正确的式子有( )
A．①② B．②③
C．①②③ D．①②③④
5．[2018·拱墅区期末]已知a＝(－3)－2，b＝(－3)－1，c＝(－3)0，那么a，b，c之间的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b
6．若(x－1)0＝1，则x________．
7．计算：
(1)[2018·盐城]π0－()－1＋；
(2)[2018·广东]|－2|－2 0180＋()－1；
(3)[2018·曲靖]－(－2)＋(π－3.14)0＋＋(－)－1.
8．计算：(1)(－1)2 018＋(π－3.14)0－()－1.
(2)0.25×(－2)－2÷16－1－(π－3)0.
9．化简下列各式，使其结果只含正整数指数幂：
(1)(－2a3b－3)·(3a－4b－1)；
(2)(－3m2n－2)－3·(－2m－3n4)－2.
10．先化简，再求值：1－÷(－)，其中a＝－()－1＋(π－)0.
11．已知x＋x－1＝3，求下列式子的值：
(1)x2＋x－2；
(2)x4＋x－4；
(3)x－x－1.
12．对于实数a，b，定义运算如下：
ab＝例如24＝2－4＝.
计算：[22]×[(－3)2]＝____．
13．如图是一个运算程序，若输入的数为x＝－1，则输出的数为____．
参考答案
1．B
2．D
3．D
4．C
5．D
6．≠1
7．(1)解：原式＝1－2＋2＝1.
(2)解：原式＝2－1＋2＝3.
(3)解：原式＝2＋1＋3－3＝6－3＝3.
8．解：原式＝1＋1－3＝－1.
(2)解：原式＝0.25×÷－1＝÷－1＝0.
9．解：(1)－ (2)－
10．解：a＝－()－1＋(π－)0＝4－2＋1＝3，
原式＝－.
将a＝3代入上式，得原式＝－＝－.
11．解：(1)∵x＋x－1＝3，
∴(x＋x－1)2＝x2＋2＋x－2＝9，
∴x2＋x－2＝7.
(2)∵(x2＋x－2)2＝x4＋2＋x－4＝49，
∴x4＋x－4＝47.
(3)∵(x－x－1)2＝x2－2＋x－2＝7－2＝5，
∴x－x－1＝±.
12．
13．2
1
第16章分式
16. 4 零指数幂与负整数指数幂
2.科学计数法
1．[2018·镇江]0.000 182用科学记数法表示应为( )
A．0.182×10－3 B．1.82×10－4
C．1.82×10－5 D．18.2×10－4
2．[2018·恩施]已知某新型感冒病毒的直径约为0.000 000 823米，将0.000 000 823用科学记数法表示为( )
A．8.23×10－6 B．8.23×10－7
C．8.23×106 D．8.23×107
3．某种细胞的直径是0.000 000 95米，将0.000 000 95用科学记数法表示为( )
A．9.5×10－7 B．9.5×10－8
C．0.95×10－7 D．95×10－8
4．花粉的质量很小，一粒某种花粉的质量约为0.000 103毫克，那么0.000 103可用科学记数法表示为( )
A．10.3×10－5 B．1.03×10－4
C．0.103×10－3 D．1.03×10－3
5．[2018·张家界]目前世界上能制造的芯片最小工艺水平是5纳米，而我国能制造芯片的最小工艺水平是16纳米．已知1纳米＝10－9米，用科学记数法将16纳米表示为___________米．
6．已知0.003×0.005＝1.5×10n，则n＝______．
7．1纳米＝10－9米，将0.003 05纳米用科学记数法表示为________米．
8．某颗粒物的直径是0.000 002 5米，把0.000 002 5用科学记数法表示为________米．
9．用科学记数法表示下列各数：
(1)0.000 1；(2)0.000 13；(3)0.000 000 204；
(4)－0.000 000 004 06.
10．计算下列各题：
(1)(4×10－3)÷(－2×10－5)；
(2)(－3×108)×(7×10－3)．
11．有一句谚语说：“捡了芝麻，丢了西瓜．”据测算，5万粒芝麻才200 g，你能换算出1粒芝麻有多少克吗？(结果用科学记数法表示)
12．某户居民家的水龙头有漏水现象，据观察，1分钟漏水40滴，若一年(按365天计算)由于这种现象而浪费的水的质量为1.051 2×103千克，则1滴水的质量为多少克？(结果用科学记数法表示)
参考答案
1．B
2．B
3．A
4．B
5．1.6×10－8
6．－5
7．3.05×10－12
8．2.5×10－6
9．解：(1)10－4；(2)1.3×10－4；(3)2.04×10－7；(4)－4.06×10－9.
10．解：(1)－2×102；
(2)－2.1×106.
11．解：由题意，得200÷50 000＝0.004＝4×10－3(g)，故1粒芝麻有4×10－3克．
12．解：1滴水的质量为1.051 2×103×1 000÷24×60×40×365＝5×10－2克．
1
