第19章 矩形、菱形与正方形
19.1.1.1 矩形的性质
1．下列说法错误的是( )
A．矩形的对角线互相平分
B．矩形的对角线相等
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
2．如图是一张矩形纸片ABCD，AB＝10，AD＝4.若用剪刀沿∠ABC的平分线BE剪下，则DE的长等于( )
A．4
B．5
C．6
D．7
3．如图，在矩形ABCD中，AB
4．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，点E为AD的中点，CE＝5，则AD＝____．
5．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AB＝AO. 求∠ABD的度数．
6．[2018·洛宁县期末]如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分线段BO，垂足为点E，BD＝15 cm，求AC、AB的长．
7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，点M、N分别为OA、OD的中点．求证：BM＝CN.
8．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点，连结AF、CE.求证：
(1)△BEC≌△DFA；
(2)四边形AECF是平行四边形．
9．[2018·九台区期末]如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，△DEF为等腰直角三角形，∠DEF＝90°，AD＋CD＝10，AE＝2.求AD的长．
10．[2018·渝北区期末]如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连结OE，且∠ODE＝15°.
(1)求证：CO＝CE；
(2)求∠OED的度数．
11．柳北区校级模拟]如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC的延长线上，AE＝BF.
(1)求证：四边形ABFE是平行四边形；
(2)若∠BEF＝∠DAE，AE＝3，BE＝4，求EF的长．
参考答案
1． C
2． C
3． 4
4． 6
5．解：∵四边形ABCD为矩形，∴AO＝BO.
又∵AB＝AO，
∴AB＝AO＝BO，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠ABD＝60°.
6．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝15 cm，
∵OA＝AC，OB＝BD，
∴OA＝OB＝7.5 cm.
∵AE垂直且平分线段BO，
∴AB＝OA＝7.5 cm.
7．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OC＝OD＝OB.
∵点M、N分别是OA、OD的中点，即AM＝OM，ON＝DN，
∴OM＝ON.
在△BOM和△CON中，
∴△BOM≌△CON，∴BM＝CN.
8．证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠EBC＝∠FDA＝90°.
又∵E、F分别是边AB、CD的中点，
∴BE＝DF.
在Rt△BEC和Rt△DFA中，
∴△BEC≌△DFA.
(2)∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AB∥CD.
∵点E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD，∴AE＝CF.
∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．
9．解：设AD＝x.∵△DEF为等腰三角形，
∴DE＝EF，∠FEB＋∠DEA＝90°.
又∵∠AED＋∠ADE＝90°.
∴∠FEB＝∠EDA.
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠A＝90°，
∴△ADE≌△BEF(AAS)，
∴AD＝BE，
∴AD＋CD＝AD＋AB＝x＋x＋2＝10.
解得x＝4.即AD＝4.
10．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴EC＝DC.
又∵∠BDE＝15°，
∴∠CDO＝60°.
又∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴OD＝OC，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD，
∴CO＝CE.
(2)∵△COD是等边三角形，
∴∠OCD＝60°，∠OCB＝90°－∠DCO＝30°.
∵∠CDE＝∠CED＝45°，
又∵CD＝CE＝CO，
∴∠COE＝∠CEO，
∴∠CEO＝(180°－30°)÷2＝75°，
∴∠OED＝∠CEO－∠CED＝30°.
11．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠D＝∠BCD＝90°.
∴∠BCF＝180°－∠BCD＝180°－90°＝90°.
∴∠D＝∠BCF.
在Rt△ADE和Rt△BCF中，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF，
∴∠1＝∠F，
∴AE∥BF.
∵AE＝BF，
∴四边形ABFE是平行四边形．
(2)∵∠D＝90°，∴∠DAE＋∠1＝90°.
∵∠BEF＝∠DAE，∴∠BEF＋∠1＝90°.
∵∠BEF＋∠1＋∠AEB＝180°，
∴∠AEB＝90°.
在Rt△AEB中，AE＝3，BE＝4，
∴AB＝＝＝5.
∵四边形ABFE是平行四边形，
∴EF＝AB＝5.
1
第19章 矩形、菱形与正方形
19.1.1.2 矩形的性质的运用
1．如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是( )
A．△AFD≌△DCE
B．AF＝AD
C．AB＝AF
D．BE＝AD－DF
2．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，如果∠ADB＝30°，那么∠E＝____度．
3．[辽阳]如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连结CE.若BC＝7，AE＝4，则CE＝____．
4．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，交矩形一边于点E.若∠CAE＝15°，则∠BOC＝____．
5．如图，在矩形ABCD中，BC＝2，DC＝1，如果将该矩形沿对角线折叠，使点C落在点C′处，那么图中重叠阴影部分的面积是____．
6．[百色]如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，CE、AF分别交DB于G、H两点．
求证：(1)四边形AFCE是平行四边形；
(2)EG＝HF.
7．[2018·宁夏]将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1＝40°，则∠2的度数是( )
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
8．[葫芦岛]如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为( )
A．10
B．4
C．4.5
D．5
9．[2018·湘西州]如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连结DE、CE.
(1)求证：△ADE≌△BCE；
(2)若AB＝6，AD＝4，求△CDE的周长．
10．[2018·天津]如图，在矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连结DE.
求证：(1)△ADE≌△CED；
(2)△DEF是等腰三角形．
11．[衢州改编]如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F.
(1)求证：△AEF≌△CDF；
(2)求DF的长．
12．[九江期末]如图，已知矩形ABCD和BCEF，AF＝BE，AF与BE交于点G，∠AGB＝60°.
(1)求证：AF＝DE；
(2)若AB＝6，BC＝8，求AF的长．
13．如图，在矩形ABCD中，点F是CD的中点，连结AF，并延长交BC的延长线于点E，连结AC.
(1)求证：△ADF≌△ECF；
(2)若AB＝1，BC＝2，求四边形ACED的面积．
14．[2018·繁昌县期末]某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD(AB＜BC)的对角线交点O旋转(如图1→图2→图3)，图中M、N分别为直角三角板的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．
图1 图2 图3
(1)该学习小组中一名成员意外地发现：在图1(三角板的一直角边与OD重合)中，BN2＝CD2＋CN2；在图③(三角板的一直角边与OC重合)中，CN2＝BN2＋CD2.请你对这名成员在图1和图3中发现的结论选择其一说明理由；
(2)试探究图2中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
参考答案
1． B
2． 15
3． 5
4． 120°
5．
6．证明：(1)∵ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，
∵E、F分别是AD、BC中点，∴AE＝CF.
又∵AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形．
(2)∵四边形AFCE是平行四边形，
∴EC∥AF，
∴∠FHB＝∠CGH.
又∵∠CGH＝∠DGE，
∴∠DGE＝∠FHB.
∵AD∥BC，∴∠EDG＝∠FBH.
∵E、F分别是AD、BC的中点，AD＝BC，
∴DE＝BF，∴△DEG≌△BFH，∴EG＝HF.
7． D
8． D
9．解：(1)证明：∵矩形ABCD，
∴AD＝BC，∠A＝∠B.
∵E是AB的中点，
∴AE＝BE.
在△ADE和△BCE中，
∴△ADE≌△BCE(SAS)．
(2)∵AB＝6，E是AB的中点，
∴AE＝BE＝3.
在Rt△ADE中，AD＝4，AE＝3，
根据勾股定理得DE＝＝＝5.
∵△ADE≌△BCE，
∴DE＝CE＝5.
又∵CD＝AB＝6，
∴△CDE的周长＝DE＋CE＋CD＝5＋5＋6＝16.
10．证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD.
由折叠的性质可得BC＝CE，AB＝AE，
∴AD＝CE，AE＝CD.
在△ADE和△CED中，
∴△ADE≌△CED(SSS)．
(2)由(1)得△ADE≌△CED，
∴∠DEA＝∠EDC，即∠DEF＝∠EDF，
∴EF＝DF，
∴△DEF是等腰三角形．
11．解：(1)证明：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，
∴AE＝AB，∠E＝∠B＝90°.
又∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，
∴AE＝DC.
在△AEF与△CDF中，
∴△AEF≌△CDF.
(2)∵△AEF≌△CDF，
∴EF＝DF.
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝4.
∵Rt△AEF≌Rt△CDF，∴FC＝FA.
设FA＝x，则FC＝x，FD＝6－x，
在Rt△CDF中，CF2＝CD2＋DF2，
即x2＝42＋(6－x)2，解得x＝，
则DF＝6－x＝.
12．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵四边形BCEF是平行四边形，
∴BC∥EF，BC＝EF，
∴AD＝EF，AD∥EF，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AF＝DE；
(2)连结BD.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝6，
∵BC＝8，
∴BD＝＝10，
∵四边形ADEF是平行四边形，
∴AF∥DE，
∴∠AGB＝∠BED＝60°.
∵AF＝DE＝BE，
∴△BDE是等边三角形，
∴AF＝BE＝BD＝10.
13．解：(1)证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠ADF＝∠ECF＝90°.
又∵点F为CD的中点，
∴DF＝CF，
∴AB＝2CF，
∴CF为△ABE的中位线，
∴BC＝CE，∴AD＝CE，
在Rt△ADF和Rt△ECF中，
∴△ADF≌△ECF(SAS)．
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2，AB＝CD＝1，CD⊥AD.
由(1)知，△ADF≌△ECF.∴AD＝CE.
∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED的面积＝AD×DC＝2.
14．解：(1)证明：如答图1，连结DN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD.
∵∠DON＝90°，
∴BN＝DN.
∵∠BCD＝90°，
∴DN2＝CD2＋CN2，
∴BN2＝CD2＋CN2.
答图1 答图2
(2)证明：如答图2，延长NO交AD于点P，连结PM、MN.
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD＝OB，AD∥BC，
∴∠DPO＝∠BNO，∠PDO＝∠NBO，
在△BON和△DOP中，
∴△BON≌△DOP(AAS)，
∴ON＝OP，BN＝PD.
∵∠MON＝90°，
∴PM＝MN.
∵∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴PM2＝PD2＋DM2，MN2＝CM2＋CN2，
∴PD2＋DM2＝CM2＋CN2，
∴BN2＋DM2＝CM2＋CN2.
1
第19章 矩形、菱形与正方形
19.1.2.1 矩形的判定
1．下列关于矩形的说法，正确的是( )
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直且平分
D．矩形的对角线相等且互相平分
2．[2018·上海]已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( )
A．∠A＝∠B
B．∠A＝∠C
C．AC＝BD
D．AB⊥BC
3．在ABCD中增加下列条件中的一个，这个四边形就是矩形，则增加的条件是( )
A．对角线互相平分
B．AB＝BC
C．∠A＋∠C＝180°
D．AB＝AC
4．如图，在ABCD中，请再添加一个条件，使得四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是__________________．
5．延长等腰△ABC的腰BA到点D，CA到点E，分别使AD＝AB，AE＝AC，则四边形BCDE是________，其判别的依据是__________________________．
6．[2018·紫阳县期末]如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AB＝5，BC＝12，AC＝13.
求证：四边形ABCD是矩形．
7．[2018·厦门期末]如图，在ABCD中，BE平分∠ABC，且与AD边交于点E，∠AEB＝45°，证明：四边形ABCD是矩形．
8．[2018·宁波模拟]如图，在平行四边形ABCD中，E、F为BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE，求证：
(1)△ABF≌△DCE；
(2)四边形ABCD是矩形．
9．[铜山区月考]如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、DC上的点，且AE＝CF.
(1)证明：△ADE≌△CBF；
(2)当∠DEB＝90°时，试说明四边形DEBF为矩形．
10．如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，四边形EFGH是怎么样的特殊四边形？证明你的结论．
11．[日照]如图，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E.
(1)求证：△DCA≌△EAC；
(2)只需添加一个条件，即________________，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．
12．[2018·通辽]如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AF＝CD，连结CF.
(1)求证：△AEF≌△DEB；
(2)若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
13．如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE.
(1)求∠CAE的度数；
(2)取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．
参考答案
1． D
2． B
3． C
4． AC＝BD(答案不唯一)
5．矩形对角线互相平分且相等的四边形是矩形
6．证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
又∵在△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，
满足132＝52＋122，
∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
7．证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC.
∵BE平分∠ABC，∠AEB＝45°，
∴∠ABE＝∠EBC＝45°，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
8．解：(1)证明：∵BE＝CF，BF＝BE＋EF，CE＝CF＋EF，
∴BF＝CE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC.
在△ABF和△DCE中，
∴△ABF≌△DCE(SSS)．
(2)∵△ABF≌△DCE，
∴∠B＝∠C.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B＋∠C＝180°，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
9．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，∠A＝∠C，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∵AE＝CF，∴BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
又∵∠DEB＝90°，
∴四边形DEBF是矩形．
10．解：四边形EFGH是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
∵BH、CH分别平分∠ABC与∠BCD，
∴∠HBC＝∠ABC，∠HCB＝∠BCD，
∴∠HBC＋∠HCB＝(∠ABC＋∠BCD)＝×180°＝90°，∴∠H＝90°.
同理可得∠HEF＝∠F＝90°，
∴四边形EFGH是矩形．
11．AD＝BC(答案不唯一)
解： (1)证明：在△DCA和△EAC中，
∴△DCA≌△EAC.
(2)添加AD＝BC，可使四边形ABCD为矩形；理由如下：
∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，
由(1)得：△DCA≌△EAC，
∴∠D＝∠E＝90°，
∴四边形ABCD为矩形．
12．解：(1)证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE.
又∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠EAF＝∠EDB，
∴△AEF≌△DEB(AAS)．
(2)四边形ADCF是矩形．
证明：∵AF∥CD，且AF＝CD，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵△AEF≌△DEB，
∴AF＝BD，
∴BD＝CD，即AD是△ABC的中线．
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF是矩形．
13．解：(1)在等边△ABC中，
∵点D是BC边的中点，
∴∠DAC＝30°.
又∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，∴∠CAE＝30°.
(2)在等边△ABC中，
∵点F是AB边的中点，点D是BC边的中点，
∴CF＝AD，∠CFA＝90°.
又∵AD＝AE，∴AE＝CF.
由(1)知∠CAE＝30°，∴∠EAF＝60°＋30°＝90°.
∴∠CFA＋∠EAF＝180°，∴CF∥AE.
∴四边形AFCE是平行四边形．
又∵∠CFA＝90°，∴平行四边形AFCE是矩形．
1
第19章 矩形、菱形与正方形
19.1.2.2 矩形的判定的运用
1．[上海]已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( )
A．∠BAC＝∠DCA
B．∠BAC＝∠DAC
C．∠BAC＝∠ABD
D．∠BAC＝∠ADB
2．四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定它是矩形的是( )
A．AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝90°
B．AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD
C．∠BAD＝∠ABC＝90°，∠BCD＋∠ADC＝180°
D．∠BAD＋∠ADC＝180°，∠ABC＝∠ADC＝90°
3．如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和点G，H.
求证：(1)△PHC≌△CFP；
(2)四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形．
4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，点E、F分别在边AB、BC上，AE＝DF＝DC.
(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；
(2)当∠FDC与∠EFB满足数量关系____________________时，四边形AEFD是矩形，并说明理由．
5．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.
(1)求证：△BOE≌△DOF；
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(3)当OD与AC满足怎样的数量关系时，四边形ABCD是矩形？并说明理由．
6．[2018·涵江区期末]如图，在△ABC中，AC＝9，AB＝12，BC＝15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H.
(1)求证：四边形AGPH是矩形；
(2)在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
7．[2018·娄星区期末]如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E、P分别在AD、BC上，且DE＝BP＝1.
(1)判断△BEC的形状，并说明理由；
(2)判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；
(3)求四边形EFPH的面积．
8．[2018·宽城区期末]如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝4，CF＝3，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
参考答案
1． C
2． C
3．证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，AD∥BC.
又∵EF∥AB，AD∥GH，∴EF∥CD，BC∥GH，
∴∠CPF＝∠HCP, ∠CPH＝∠PCF，
∵CP＝CP，∴△PHC≌△CFP；
(2)由(1)知AB∥EF∥CD, AD∥GH∥BC，
∴四边形PEDH和四边形PFBG都是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形．∴∠D＝∠B＝90°，
∴平行四边形PEDH和平行四边形PFBG都是矩形．
4．解：(1)证明：∵DF＝DC，
∴∠DFC＝∠C.
∵∠B＝∠C，
∴∠DFC＝∠B，
∴AE∥DF.
∵AE＝DF，
∴四边形AEFD是平行四边形．
(2)当∠FDC＝2∠EFB时，四边形AEFD是矩形．理由如下：
∵2∠DFC＋∠FDC＝180°，∠FDC＝2∠EFB，
∴2∠DFC＋2∠EFB＝180°，
∴∠DFC＋∠EFB＝90°，
∴∠DFE＝180°－90°＝90°.
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴四边形AEFD是矩形．
5．解：(1)证明：∵点O是AC的中点，∴OA＝OC.
∵AE＝CF，∴OE＝OF.
∵DF∥BE，∴∠OEB＝∠OFD，
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF.
(2)∵△BOE≌△DOF，∴OD＝OB.
∵OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形．
(3)结论：当OD＝AC时，四边形ABCD是矩形．
理由：∵OD＝AC，OD＝OB，
∴BD＝AC.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
6．解：(1)证明∵AC＝9，AB＝12，BC＝15，
∴AC2＝81，AB2＝144，BC2＝225，
∴AC2＋AB2＝BC2，
∴∠A＝90°.
∵PG⊥AC，PH⊥AB，
∴∠AGP＝∠AHP＝90°，
∴四边形AGPH是矩形．
(2)存在．理由如下：
如答图，连结AP.
∵四边形AGPH是矩形，
∴GH＝AP.
∵当AP⊥BC时，AP最短．
∴9×12＝15·AP.
∴AP＝.
7．解：(1)△BEC是直角三角形．
理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC＝∠ABP＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝2，
由勾股定理得CE＝＝＝，
同理可得BE＝2，
∴CE2＋BE2＝5＋20＝25.
∵BC2＝52＝25，
∴BE2＋CE2＝BC2，
∴∠BEC＝90°，
∴△BEC是直角三角形．
(2)四边形EFPH为矩形．
证明：∵在矩形ABCD，AD＝BC，AD∥BC，
∴四边形DEBP是平行四边形，
∴BE∥DP.
又∵DE＝BP，
∴AE＝CP，
∴四边形AECP是平行四边形，
∴AP∥CE，
∴四边形EFPH是平行四边形．
∵∠BEC＝90°，
∴平行四边形EFPH是矩形．
(3)在Rt△PCD中，FC⊥PD，
由三角形的面积公式得PD·CF＝PC·CD，
∴CF＝＝，
∴EF＝CE－CF＝－＝.
∵PF＝＝，
∴S矩形EFPH＝EF·PF＝.
8．解：(1)证明：如答图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6.
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF.
(2)∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠2＋∠4＝∠5＋∠6＝90°，
∵CE＝4，CF＝3，
∴EF＝＝5，
∴OC＝EF＝.
(3)当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO＝CO，
∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
1
第19章 矩形、菱形与正方形
19.2.1.1 菱形的性质
1．如图，在菱形ABCD中，∠ADB与∠ABD的大小关系是( )
A．∠ADB＞∠ABD
B．∠ADB＜∠ABD
C．∠ADB＝∠ABD
D．无法确定
2．如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线．若∠BAC＝50°，则∠ABC的度数为( )
A．40°
B．50°
C．80°
D．100°
3．[2018·淮安]如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是( )
A．20
B．24
C．40
D．48
4．如图，在菱形ABCD中，点M、N分别在AB、CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连结BO.若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为( )
A．28°
B．52°
C．62°
D．72°
5．[菏泽]在菱形ABCD中，∠A＝60°，其周长为24 cm，则菱形的面积为____cm2.
6．[2018·黔三州]已知一个菱形的边长为2，较长对角线长为2，则这个菱形的面积是____．
7．[2018·柳州]如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，且AB＝2.
(1)求菱形ABCD的周长；
(2)若AC＝2，求BD的长．
8．[自贡]如图，点E、F分别在菱形ABCD的边DC、DA上，且CE＝AF.求证：∠ABF＝∠CBE.
∴∠ABF＝∠CBE.
9．[2018·潮安区期末]如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连结AE、CF，求证：△ADE≌△CDF.
10．如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB，交AB的延长线于点E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F.求证：DF＝BE.
11．[2018·昌平区期末]如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，求菱形的面积及线段DH的长．
12．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连结CE.
(1)求证：BD＝EC；
(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
13．[2018·开福区校级期末]如图，在菱形ABCD中，AB＝4，E为BC的中点，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，CG∥AE，CG交AF于点H，交AD于点G.
(1)求菱形ABCD的面积；
(2)求∠CHA的度数．
参考答案
1． C
2． C
3． A
4． C
5． 18
6． 2
7．解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2.
∴菱形ABCD的周长为8.
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC＝1，OB＝OD，且∠AOB＝90°，
∴在Rt△AOB中，OB＝＝＝，∴BD＝2OB＝2.
8．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A＝∠C，AB＝CB.
在△AFB和△CEB中，
∴△AFB≌△CEB，
∴∠ABF＝∠CBE.
9．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD.
∵点E、F分别为边CD、AD的中点，
∴AD＝2DF，CD＝2DE，
∴DE＝DF.
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF(SAS)．
10．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝BC，∠ABC＝∠ADC.
∴∠CBE＝∠CDF.
∵CF⊥AD，CE⊥AB，
∴∠CFD＝∠CEB＝90°.
在△CBE和△CDF中，
∴△CEB≌△CFD，
∴DF＝BE.
11．解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，
∴S菱形ABCD＝·AC·BD＝120，AO＝12，OD＝5，AC⊥BD，
∴AD＝AB＝＝13.
∵DH⊥AB，
∴AO·BD＝DH·AB，
∴12×10＝13×DH，
∴DH＝.
12．解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
又∵BE＝AB，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BD＝EC.
(2)∵四边形BECD是平行四边形，
∴BD∥CE，
∴∠ABO＝∠E＝50°.
又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∴∠BAO＝90°－∠ABO＝40°.
13．解：(1)如答图，连结AC，
∵E为BC的中点，AE⊥BC，
∴AB＝AC.
又∵AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AE＝AB＝×4＝2，
∴S菱形ABCD＝BC·AE＝4×2＝8.
(2)在等边三角形ABC中，∵AE⊥BC，
∴∠CAE＝∠BAC＝×60°＝30°，
同理∠CAF＝30°，
∴∠EAF＝∠CAE＋∠CAF＝30°＋30°＝60°.
∵AE∥CG，
∴∠CHA＝180°－∠EAF＝180°－60°＝120°.
1
第19章 矩形、菱形与正方形
19.2.1.2 菱形的性质的运用
1．[2018·定州市期末]如图所示的坐标系中，四边形ABCD是菱形，顶点A、B在x轴上，AB＝5，点C在第一象限，且菱形ABCD的面积为20，点A的坐标为(－2，0)，则顶点C的坐标为( )
A．(4，3)
B．(5，4)
C．(6，4)
D．(7，3)
2．如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD＝80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上，且BE＝BO，则∠BEO＝____度．
3．如图，四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，求阴影部分的面积．
4．[2018·沈阳改编]如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E.
(1)求证：四边形OCED是矩形；
(2)若CE＝1，DE＝2，求菱形ABCD的面积．
5．[2018·宁晋县期中]如图，在菱形ABCD中，点E在BC上，且AE＝AD，∠EAD＝2∠BAE，求∠BAE的度数．
6．[2018·岳池县期中]如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
(1)证明：四边形ACDE是平行四边形；
(2)若AC＝4，BD＝3，求△ADE的周长．
7．[沈阳]如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F，连结EF.
求证：(1)△ADE≌△CDF；
(2)∠BEF＝∠BFE.
8．如图，在ABCD中，BC＝2AB＝4，点E、F分别是BC、AD的中点．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．
9．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点P、Q分别在边AB、BC上，且AP＝BQ.试判断△PDQ的形状，并证明．
10．[白云区校级期中]如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2.
(1)若CE＝1，求BC的长；
(2)求∠BCD的度数．
11．[2018·新疆]如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC的一个动点，点M、N分别是AB、BC边上的中点，则MP＋PN的最小值是( B )
A.
B．1
C.
D．2
,
参考答案
1． C
2． 65
3．解：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，
∴菱形的面积＝×6×8＝24.
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积＝×24＝12.
4．解：(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°.
∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形．
∵∠COD＝90°，∴平行四边形OCED是矩形．
(2)S菱形ABCD＝AC·BD＝2DE·CE＝4.
5．解：∵在菱形ABCD中，AB＝AD，
AE＝AD，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB.
设∠BAE＝x，则∠EAD＝2x，
∵AD∥BC，
∴AEB＝∠EAD＝2x.
在△BAE中，∠ABE＝∠AEB＝2x，
∴x＋2x＋2x＝180°，
解得x＝36°，即∠BAE＝36°.
6．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴AE∥CD，∠AOB＝90°.
∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°，
∴∠AOB＝∠EDB，
∴DE∥AC，
∴四边形ACDE是平行四边形．
(2)∵四边形ABCD是菱形，AC＝4，BD＝3，
∴AO＝2，DO＝1.5，AD＝CD＝＝2.5.
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE＝CD＝2.5，DE＝AC＝4，
∴△ADE的周长＝AD＋AE＋DE＝2.5＋2.5＋4＝9.
7．证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠A＝∠C.
∵DE⊥AB，DF⊥CB，
∴∠AED＝∠CFD＝90°，
∴△ADE≌△CDF.
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB.
∵△ADE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∴AB－AE＝CB－CF，
∴BE＝BF，
∴∠BEF＝∠BFE.
8．解：(1)证明：∵在ABCD中，AB＝CD，
BC＝AD，∠B＝∠D.
又∵BE＝EC＝BC，
AF＝DF＝AD，
∴BE＝DF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF.
(2)∵四边形AECF为菱形，∴AE＝EC.
又∵点E是边BC的中点，∴BE＝EC，即BE＝AE.
又∵BC＝2AB＝4，∴AB＝BC＝BE，
∴AB＝BE＝AE，即△ABE为等边三角形，
ABCD的BC边上的高为2×sin 60°＝，
∴菱形AECF的面积为2×＝2.
9．解：△PDQ为等边三角形．
证明：∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，
∴AD＝AB＝BD，∠ADB＝∠ABD＝∠CBD＝∠CDB＝60°.
在△ADP和△BDQ中，
∴△ADP≌△BDQ，∴DP＝DQ，∠ADP＝∠QDB.
又∵∠ADB＝60°，∴∠PDQ＝60°.
∴△PDQ为等边三角形．
10．解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠1＝∠ACD.
∵∠1＝∠2，
∴∠ACD＝∠2，
∴CM＝DM.
∵ME⊥CD，
∴CE＝DE＝CD＝1，
∴BC＝CD＝2.
(2)如答图，连结BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CB＝CD，∠ACB＝∠ACD.
∵F为边BC的中点，
∴CF＝CB.
∵CE＝CD，
∴CE＝CF.
在△MCF和△MCE中，
∴△FCM≌△ECM(SAS)，
∴∠CFM＝∠CEM＝90°，
∴DF⊥BC，
∴BD＝CD，
∴BC＝CD＝BD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD＝60°.
11． B
【解析】如答图，取AD的中点M′，连结M′N交AC于点P，则由菱形的轴对称性可知M，M′关于直线AC对称，从而PM′＝PM，此时MP＋PN的值最小，而易知四边形CDM′N是平行四边形，故M′N＝CD＝1，于是，MP＋PN的最小值是1，故选B.
1
第19章 矩形、菱形与正方形
19.2.2.1 菱形的判定定理1
1．下列命题中，正确的是( )
A．有一个角是60°的平行四边形是菱形
B．有一组邻边相等的四边形是菱形
C．有两边相等的平行四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是菱形
2．[2018·嘉兴]用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是( )
A
B
C
D
3．小明和小亮在做一道习题：若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD是菱形．小明补充的条件是AB＝BC；小亮补充的条件是AC＝BD，你认为下列说法正确的是( )
A．小明、小亮都正确
B．小明正确，小亮错误
C．小明错误，小亮正确
D．小明、小亮都错误
4．如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB.其中正确的是____________ (填序号)．
5．[西华县期末]如图，在△ABC中，AD是角平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且DE∥AC，DF∥AB，试说明四边形AEDF是菱形．
6．[宁夏]在△ABC中，M是AC边上的一点，连结BM.将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．
7．[2018·岱岳区期中]如图，在四边形ABCF中，∠ACB＝90°，点E是AB边的中点，点F恰是点E关于AC所在直线的对称点．
(1)证明：四边形AECF为菱形；
(2)连结EF交AC于点O，若BC＝16，求线段OF的长．
8．[2018·内江]如图，四边形ABCD是平行四边形，点E、F分别是AB、BC上的点，AE＝CF，并且∠AED＝∠CFD .
求证：(1)△AED≌△CFD；
(2)四边形ABCD是菱形．
9．如图，小刚在研究矩形性质时，把两张完全相同的矩形纸片叠放在一起(矩形ABCD和矩形BFDE)，请你帮他判断重叠部分的四边形BNDM的形状，并给出证明．
10．[邗江区校级月考]如图，在△ABC中，AB＝AC，M是BC的中点，MD⊥AB，ME⊥AC，DF⊥AC，EG⊥AB，垂足分别为点D、E、F、G，DF、EG相交于点P.判断四边形MDPE的形状，并说明理由．
11．如图，在ABCD中，点E为BC边上的一点，连结AE、BD，且AE＝AB.
(1)求证：∠ABE＝∠EAD；
(2)若∠AEB＝2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形．
参考答案
1． D
2． C
3． B
4．①②③④
5．证明：如图，∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD.
∵DF∥AB，∴∠ADF＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠ADF，∴AF＝DF，
∴四边形AEDF是菱形．
6．证明：如答图，由折叠得AB＝AD，BM＝DM，∠1＝∠2，
∵DM∥AB，∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，∴AD＝DM，
∴AB＝AD＝BM＝DM，
∴四边形ABMD是菱形．
7．解：(1)证明：∵∠ACB＝90°，点E是AB边的中点，
∴CE＝AB＝EA.
∵点F是点E关于AC所在直线的对称点，
∴AE＝AF，CE＝CF，
∴CE＝EA＝AF＝CF，
∴四边形CFAE为菱形．
(2)∵四边形CFAE为菱形，
又∵E是AB边的中点，
∴OA＝OC，OE＝OF，
∴OE＝BC＝8，
∴OF＝8.
8．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C.
在△AED和△CFD中，
∴△AED≌△CFD(ASA)；
(2)由(1)得△AED≌△CFD，∴AD＝DC.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
9．解：四边形BNDM是菱形．
∵四边形ABCD、四边形BFDE是矩形，
∴MB∥DN，BN∥MD，
∴四边形BNDM是平行四边形．
在△ABM和△EDM中，
∴△ABM≌△EDM，
∴BM＝DM，
∴四边形BNDM是菱形．
10．解：四边形MDPE为菱形，理由：
如答图，连结AM.
∵ME⊥AC，DF⊥AC，∴ME∥DF.
∵MD⊥AB，EG⊥AB，∴MD∥EG，
∴四边形MDPE是平行四边形．
∵AB＝AC，M是BC的中点，∴AM是角平分线，
∴MD＝ME，∴四边形MDPE为菱形．
11．解：(1)证明：在ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EAD.
∵AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠EAD.
(2)∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBE.
∵∠ABE＝∠AEB，∠AEB＝2∠ADB，
∴∠ABE＝2∠ADB.
∴∠ABD＝∠ABE－∠DBE＝2∠ADB－∠ADB＝∠ADB，
∴AB＝AD.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形．
1
第19章 矩形、菱形与正方形
19.2.2.2 菱形的判定定理2
1．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是( )
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四条边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
2．[聊城]如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是( )
A．AB＝AC
B．AD＝BD
C．BE⊥AC
D．BE平分∠ABC
3．[2018·龙东]如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件_____________，使平行四边形ABCD是菱形．
4．[西宁]如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC＝8，BD＝6.
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若AC⊥BD，求平行四边形ABCD的面积．
5．[2018·三台县期中]如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连结CD，求证：
(1)AC⊥BD；
(2)四边形ABCD是菱形．
6．给出如下定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．如图，在筝形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC、BD相交于点O.在OC上截取OE＝OA，连结BE、DE.
(1)求证：AC垂直平分BD；
(2)判断四边形ABED的形状．
7．如图，把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分的形状吗？说明你的理由．
8．[2018·北京]如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连结OE.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB＝，BD＝2，求OE的长．
9．[2018·郴州]如图，在ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD、BC于点E、F，连结BE、DF.求证：四边形BFDE是菱形．
10．如图，在ABCD中，点E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB，交CB的延长线于点G.
(1)求证：DE∥BF；
(2)若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．
参考答案
1． B
2． D
3． AB＝BC或AC⊥BD
4．解：(1)证明：∵O是AC的中点，∴OA＝OC.
∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
在△AOD和△COB中，
∴△AOD≌△COB，
∴OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴S菱形ABCD＝AC·BD＝24.
5．证明：(1)∵AE∥BF，
∴∠BCA＝∠CAD，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠CAD，
∴∠BCA＝∠BAC，
∴BA＝BC，
∴△BAC是等腰三角形．
∵BD平分∠ABC，
∴AC⊥BD.
(2)∵△BAC是等腰三角形，
∴AB＝CB.
∵∠CBD＝∠ABD＝∠BDA，
∴△ABD是等腰三角形，
∴AB＝AD，
∴DA＝CB，
∵BC∥DA，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
6．解：(1)证明：∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上．
∵BC＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上．
∴AC垂直平分BD.
(2)四边形ABED是菱形，理由：
∵AC垂直平分BD，∴OB＝OD.
∵OE＝OA，∴四边形ABED是平行四边形．
又∵AB＝AD，∴平行四边形ABED是菱形．
7．解：重叠部分为菱形．理由如下：
如答图所示，∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．分别作CD、BC边上的高AE、AF.
∵两纸条相同，∴纸条宽度AE＝AF，
∴SABCD＝AE·CD＝BC·AF，
∴CD＝BC，∴平行四边形ABCD为菱形．
8．解：(1)证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC.
∵AB∥DC，
∴∠DCA＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴DA＝DC.
又∵AB＝AD，
∴AB＝DC.
又∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD＝DB＝1，AC⊥BD.
在Rt△ABO中，由勾股定理，得
OA＝＝＝2.
∴AC＝2OA＝4.
∵CE⊥AE，OA＝OC，
∴OE＝AC＝2.
9．证明：∵BD垂直平分EF，∴EO＝FO，∠EOD＝∠FOB＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，∴△EOD≌△FOB，∴OD＝OB.∵EO＝FO，EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形．
1
第19章 矩形、菱形与正方形
19.3 正方形
1．在四边形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，能判定这个四边形为正方形的是( )
A．AD∥BC，∠B＝∠D
B．AC＝BD，AB＝CD，AD＝BC
C．OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC
D．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD
2．如图，点E是正方形ABCD的对角线BD上的一点，DE≠EB，则图中的全等三角形的对数共有( )
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
3．如图，四边形ABCD是正方形，延长BC至点E，使CE＝CA，连结AE，交CD于点F，则∠AFC的度数是( )
A．150°
B．125°
C．135°
D．112.5°
4．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED的度数为____．
5．[兰州]在平行四边形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是________．
6．[2018·广安]如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上的点，连结AM，延长AD至点E，使得AE＝AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F.求证：AB＝EF.
7．[2018·洛宁县期末]如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连结EB、ED.
(1)写出图中所有的全等三角形；
(2)延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°，求∠AFE的度数．
8．[2018·灵石县期末]如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是∠ABC的平分线，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC交其延长线于点F.求证：四边形ABFE是正方形．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形．
10．[2018·肥城市期末]如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝3，E为OC上一点，OE＝1，连结BE，过点A作AF⊥BE于点F，与BD交于点G.
(1)BE与AG相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；
(2)求AF的长．
11．[2018·吉林改编]如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE，垂足为G.
(1)求证：AF＝BE；
(2)如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等？请说明理由．
图1 图2
12．[2018·惠城区期末]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，过点A作直线AE交DO的延长线于点E，使∠EAB＝∠C，连结BE.
(1)求证：BC∥AE；
(2)求证：四边形AEBD是矩形；
(3)当△ABC满足什么条件时，四边形AEBD是正方形，并说明理由．
13．[2018·成都期末]如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连结DE.过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连结AG.
(1)求证：矩形DEFG是正方形；
(2)求AG＋AE的值．
14．[宿迁]如图，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且BE＝1，若点P在对角线BD上移动，则PA＋PE的最小值是________．
参考答案
1． D
2． C
3． D
4． 45°
5．①③④
6．证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠EAF＝∠BMA.
∵EF⊥AM，
∴∠AFE＝90°＝∠B，
在△ABM和△EFA中，
∴△ABM≌△EFA(AAS)，∴AB＝EF.
7．解：(1)根据正方形的对称性，正方形ABCD关于直线AC成轴对称，所以全等的三角形有：△ADC≌△ABC，△ADE≌△ABE，△DCE≌△BCE.
(2)∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝CB，∠DCE＝∠BCE＝45°，且CE＝CE，
∴△DCE≌△BCE，
∴∠DEC＝∠BEC.
∵∠DEB＝140°，
∴∠DEC＝∠BEC＝70°，
∴∠EBC＝65°，
∵AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CBE＝65°.
8．证明：∵AE∥BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABC＋∠BAE＝180°，
∴∠BAE＝90°.
∵EF⊥BC于点F，
∴∠F＝90°，
∵∠F＝∠ABC＝∠BAE＝90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝45°，
∴∠AEB＝∠EBF＝45°，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∴AB＝AE，
∴四边形ABFE是正方形．
9．证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°.
又∵∠ACB＝90°，
∴四边形CEDF是矩形．
∵DE＝DF，
∴矩形CEDF是正方形．
10．解：(1)BE＝AG.
证明：∵AF⊥BE，
∴∠AFE＝∠OAG＋AEF＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO＝BO，
∴∠AOG＝∠OAG＋∠AGO＝90°，
∴∠AEF＝∠AGO.
在△AOG和△BOE中，
∴△AOG≌△BOE(AAS)，
∴AG＝BE.
(2)∵△AOB是等腰直角三角形，且AB＝3，
∴BO＝3.
∵OE＝1，
∴AE＝3＋1＝4.
由勾股定理得BE＝＝，
S△ABE＝BE·AF＝AE·OB，
∴××AF＝×4×3，
∴AF＝.
11．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝AD，∠BAD＝∠D＝90°，
∴∠FAD＋∠AFD＝90°.
∵AF⊥BE，∴∠AGE＝90°，
∴∠FAD＋∠AEG＝90°，
∴∠AFD＝∠AEG，
∴△DAF≌△ABE(AAS)，
∴AF＝BE.
(2)MP＝NQ.理由：如答图，过点A作AF∥MP交CD于点F，过点B作BE∥NQ交AD于点E，得到BEQN和AFPM，
∴AF＝MP，BE＝NQ.
∵AF∥MP，BE∥NQ，MP⊥NQ，
∴AF⊥BE，∴由(1)得AF＝BE，∴MP＝NQ.
12．解：(1)证明：∵AB＝AC，
∴∠CBA＝∠C.
又∵∠EAB＝∠C，
∴∠EAB＝∠CBA，
∴BC∥AE.
(2)证明：∵点O为AB的中点，
∴BO＝AO.
在△BOD和△AOE中，
∴△BOD≌△AOE(ASA)，∴BD＝EA.
∵BC∥AE，即BD∥AE，
∴四边形AEBD是平行四边形．
又∵在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，∴∠BDA＝90°，
∴四边形AEBD是矩形．
(3)当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形AEBD是正方形．理由如下：
∵AD是△ABC的角平分线，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠DBA＝∠BAD＝45°，∴BD＝DA.
∵四边形AEBD是矩形，
∴四边形AEBD是正方形．
13．解：(1)证明：如答图，作EM⊥AD于点M，EN⊥AB于点N.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB.
∵EM⊥AD于点M，EN⊥AB于点N，
∴EM＝EN.
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是正方形，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN.
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF，
∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形．
(2)∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE，
∴AG＝CE，
∴AE＋AG＝AE＋EC＝AC＝AD＝4.
14．
【解析】作出点E关于BD的对称点E′交BC于E′，连结AE′与BD交于点P，此时AP＋PE最小，
∵PE＝PE′，
∴AP＋PE＝AP＋PE′＝AE′，
在Rt△ABE′中，AB＝3，BE′＝BE＝1，
根据勾股定理得AE′＝，
则PA＋PE的最小值为.
1
