2019高考数学（江苏） 考前冲刺技巧七　高频考点练透

必备七　高频考点练透
高频考点一　集合运算
1.(2018扬州高三第三次调研)已知集合A={-1,0,3,5},B={x|x-2>0},则A∩B=　　　　　.?
2.(2018南京高三年级第三次模拟)集合A={x| x2+x-6=0},B={x| x2-4=0},则A∪B=　　　.?
3.(2018南通高三第二次调研)已知集合U={-1,0,1,2,3},A={-1,0,2},则?UA=　　　　　.?
4.(2018江苏南通中学高三考前冲刺练习)已知集合A={0,4},B={3,2m}.若A∪B={0,3,4},则实数m的值为　　　　　.?
高频考点二　复数
1.(2018苏锡常镇四市高三教学情况调研(二))若复数z满足(1+i)z=2(i是虚数单位),则z的虚部为　　　　.?
2.(2018扬州高三第三次调研)已知(1+3i)(a+bi)=10i,其中i为虚数单位,a,b∈R,则ab的值为　　　　　.?
3.(2018江苏徐州模拟)已知复数z=(1-2i)2(i为虚数单位),则z的模为　　　　　.?
4.(2018扬州高三考前调研)在复平面内,复数z=(i为虚数单位)对应的点位于第　　　　象限.?
高频考点三　统计
1.(2018江苏盐城中学高三数学阶段性检测)一支田径队有男运动员28人,女运动员21人,现按性别用分层抽样的方法,从中抽取14位运动员进行健康检查,则男运动员应抽取　　　　人.?
2.(2018淮海中学高三数学3月高考模拟)有100件产品编号从00到99,用系统抽样方法从中抽取5件产品进行检验,分组后每组按照相同的间隔抽取产品,若第5组抽取的产品编号为91,则第2组抽取的产品编号为　　　　.?
3.(2018徐州铜山高三年级第三次模拟考试)甲在某周五天的时间内,每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图(左边一列的数字表示零件个数的十位数,右边的数字表示零件个数的个位数),则该组数据的方差s2的值为　　　　.?
1
8
7
2
2
1
2
4.(2018扬州高三考前调研测试)为了了解一批产品的长度(单位:毫米)情况,现抽取容量为400的样本进行检测,下图是检测结果的频率分布直方图,根据产品标准,单件产品长度在区间[25,30)的为一等品,在区间[20,25)和[30,35)的为二等品,其余均为三等品,则样本中三等品的件数为　　　　.?
高频考点四　概率
1.(2018江苏南京模拟)已知A,B,C三人分别在连续三天中值班,每人值班一天,那么A与B在相邻两天值班的概率为　　　　.?
2.(2018南通高三第二次调研)在长为12 cm的线段AB上任取一点C,以线段AC,BC为邻边作矩形,则该矩形的面积大于32 cm2的概率为　　　　.?
3.(2018扬州高三第三次调研)袋中有若干只红、黄、蓝三种颜色的球,这些球除颜色外完全相同.现从中随机摸出1只球,若摸出的球不是红球的概率为0.8,不是黄球的概率为0.5,则摸出的球为蓝色的概率为　　　　.?
4.(2018苏锡常镇四市高三教学情况调研(二))欧阳修在《卖油翁》中写到:“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿”,可见卖油翁的技艺之高超,若铜钱直径4厘米,中间有边长为1厘米的正方形小孔,随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计),则油恰好落入孔中的概率是　　　　.?
高频考点五　算法
1.如图所示的流程图的运行结果是　　　　.?
2.(2018徐州高三模拟)运行如图所示的伪代码,其结果为　　　　.?
S←0
For I From 1 To 9
S←S+I
End For
Print S
3.(2018苏锡常镇四市高三教学情况调研(二))如图是一个算法流程图,若输入值x∈[0,2],则输出S的取值范围是　　　　.?
4.执行如图所示的伪代码,输出的结果是　　　　.?
S←1
I←2
While　S≤100
I←I+2
S←S×I
End While
Print　I
高频考点六　空间几何体的体积与表面积
1.(2018江苏南京高三联考)已知一个圆锥的母线长为2,侧面展开图是半圆,则该圆锥的体积为　　　　.?
2.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,点P,Q分别为棱CC1,BC的中点,则四面体A1-B1PQ的体积为　　　　.?
3.直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB⊥BC,AB=3,BC=4,AA1=5,若三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为　　　　.?
高频考点七　空间平行与垂直
1.给出下列命题:
(1)若两个平面平行,则其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面;
(2)若两个平面平行,则垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面;
(3)若两个平面垂直,则垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面;
(4)若两个平面垂直,则其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面.
则其中所有真命题的序号为　　　　.?
2.已知平面α,β,γ和直线l,m,且l⊥m,α⊥γ,α∩γ=m,β∩γ=l,给出下列四个结论:①β⊥γ;②l⊥α;③m⊥β;④α⊥β.其中正确的序号是　　　　.?
3.(2018江苏南京高三联考)在三棱锥P-ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,且PA=PB,∠PDC为锐角.
(1)证明:BC∥平面PDE;
(2)若平面PCD⊥平面ABC,证明:AB⊥PC.
高频考点八　基本初等函数的图象与性质
1.(2018江苏如东高级中学期中)已知函数f(x)=ln(1+x2),则满足不等式f(2x-1)2.(2018江苏盐城期中)设函数f(x)是以4为周期的奇函数,当x∈[-1,0)时, f(x)=2x,则f(log220)=　　　　.?
3.(2018苏州期中考试)若函数f(x)=(a>0且a≠1)的值域为[6,+∞),则实数a的取值范围是　　　　.?
4.(2018常州教育学会学业水平检测)已知当x∈(0,1)时,函数y=(mx-1)2的图象与y=x+m的图象有且只有一个交点,则实数m的取值范围是　　　　.?
高频考点九　函数与方程
1.(2018盐城伍佑中学期末)若方程7x2-(m+13)x-m-2=0的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,则实数m的取值范围为　　　　.?
2.(2018常州教育学会学业水平检测)若函数f(x)=2x+x-2的零点在区间(k,k+1)(k∈Z)上,则k的值为　　　　.?
3.(2018江苏镇江期末)方程=|ln x|的解的个数为　　　　.?
4.(2018江苏宿迁期末)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m(m∈R)有三个不同的零点x1,x2,x3,且x1高频考点十　导数及其应用
1.若函数f(x)=ln x+ax2-2在区间内存在单调递增区间,则实数a的取值范围是　　　　.?
2.若函数f(x)=(x2-ax+a+1)ex(a∈N)在区间(1,3)只有1个极值点,则曲线f(x)在点(0, f(0))处的切线的方程为　　　　.?
3.(2018江苏兴化一中模拟)设函数f(x)=xex-asin xcos x(a∈R,其中e是自然对数的底数).
(1)当a=0时,求f(x)的极值;
(2)若对于任意的x∈, f(x)≥0恒成立,求a的取值范围;
(3)是否存在实数a,使得函数f(x)在区间上有两个零点?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
4.已知函数f(x)=xln x,g(x)=x2+x-a(a∈R).
(1)若直线x=m(m>0)与曲线y=f(x)和y=g(x)分别交于M,N两点.设曲线y=f(x)在点M处的切线为l1,y=g(x)在点N处的切线为l2.
①当m=e时,若l1⊥l2,求a的值;
②若l1∥l2,求a的最大值;
(2)设函数h(x)=f(x)-g(x)在其定义域内恰有两个不同的极值点x1,x2,且x10,且λln x2-λ>1-ln x1恒成立,求λ的取值范围.
高频考点十一　解不等式
1.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集是B,不等式x2+ax+b<0的解集是A∩B,那么a+b等于　　　　.?
2.设函数f(x)=则不等式f(6-x2)>f(x)的解集为　　　　.?
3.已知函数f(x)=则不等式f(f(x))≤3的解集为　　　　.?
高频考点十二　线性规划
1.(2018苏州阳光指标调研)已知变量x,y满足则z=2x-3y的最大值为　　　　.?
2.已知变量x,y满足目标函数z=3x+y的最小值为5,则c的值为　　　　.?
3.(2018江苏扬州高三第一次模拟)若实数x,y满足则x2+y2的取值范围是　　　　.?
高频考点十三　基本不等式
1.(2018江苏盐城中学高三上学期期末)若log4(a+4b)=log2,则a+b的最小值是　　　　.?
2.(2018苏州学业阳光指标调研)已知正实数a,b,c满足+=1,+=1,则c的取值范围是　　　　.?
3.(2018江苏盐城高三(上)期中)设函数f(x)=|x-a|+(a∈R),当x∈(0,+∞)时,不等式f(x)≥4恒成立,则a的取值范围是　　　　.?
高频考点十四　三角函数的图象与性质
1.若-3m,m(m>0)恰好是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的两个相邻零点,则φ=　　　　.?
2.函数y=cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移个单位后,与函数y=sin的图象重合,则φ=　　　　.?
3.已知函数f(x)=3sin(ω>0)和g(x)=3cos(2x+φ)的图象的对称中心完全相同,若x∈,则f(x)的取值范围是　　　　.?
高频考点十五　三角变换求值
1.已知sin θ+2cos θ=0,则=　　　　.?
2.若a∈,cos=2cos 2α,则sin 2α=　　　　.?
3.已知角α,β满足=,若sin(α+β)=,则sin(α-β)的值为　　　　.?
4.已知α∈,tan α=-2.
(1)求sin的值;(2)求cos的值.
高频考点十六　解三角形
1.在△ABC中,已知AB=5,BC=3,∠B=2∠A,则边AC的长为　　　　.?
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acos B-bcos A=c,则=　　　　.?
3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c=2,且asin A-csin C=(a-b)sin B.
(1)求角C的值;
(2)若c+bcos A=a(4cos A+cos B),求△ABC的面积.
4.(2018徐州铜山高三年级第三次模拟考试)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=1,b=2,B-A=.
(1)求sin A的值;
(2)求c的值.
高频考点十七　平面向量
1.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为CD,BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ=　　　　.?
2.(2018泰州中学检测)已知O是△ABC外接圆的圆心,若4+5+6=0,则cos C=　　　　.?
3.(2018徐州铜山第三次模拟)等边△ABC的边长为2,过边BC上一点P分别作AB,AC的垂线,垂足分别为M,N,则·的最小值为　　　　.?
4.(2018泰州中学高三3月检测)设向量a=(sin x,cos x),b=(-1,1),c=(1,1),其中x∈[0,π].
(1)若(a+b)∥c,求实数x的值;
(2)若a·b=,求函数y=sin的值.
高频考点十八　直线与圆
1.已知直线3x-4y-6=0与圆x2+y2-2y+m=0(m∈R)相切,则m的值为　　　　.?
2.(2018江苏南京高三联考)在平面直角坐标系xOy中,已知AB是圆O:x2+y2=1的直径,若直线l:kx-y-3k+1=0上存在点P,连接AP与圆O交于点Q,满足BP∥OQ,则实数k的取值范围是　　　　 .?
3.(2018兴化一中模拟)若直线l1:y=x+a和直线l2:y=x+b将圆(x-1)2+(y-2)2=5分成长度相等的四段弧,则ab=　　　　.?
4.已知直线l与圆C:x2+y2+2x-4y+a=0相交于A、B两点,弦AB的中点为M(0,1).
(1)求实数a的取值范围以及直线l的方程;
(2)若圆C上存在四个点到直线l的距离为,求实数a的取值范围;
(3)已知N(0,-3),若圆C上存在两个不同的点P,使PM=PN,求实数a的取值范围.
高频考点十九　圆锥曲线的几何性质
1.(2018江苏南通模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,点B(0,b),且·=0,则双曲线C的离心率为　　　　.?
2.若抛物线y=ax2的焦点坐标是(0,1),则a=　　　　.?
3.(2018江苏南通模拟)已知圆C1:x2+2cx+y2=0,圆C2:x2-2cx+y2=0,椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2c,若圆C1,C2都在椭圆C内,则椭圆C的离心率的范围是　　　　.?
高频考点二十　圆锥曲线的综合问题
1.(2018江苏高考预测卷二)已知过双曲线-=1(a>0,b>0)的右顶点A且斜率为-1的直线l与双曲线的两条渐近线分别交于B,C两点,若A,B,C三点的横坐标成等比数列,则双曲线的离心率为　　　　.?
2.(2018江苏高考预测卷四)如图,F1,F2是双曲线E:-=1与椭圆F的公共焦点,A是它们在第二象限的交点,且AF1⊥AF2,则椭圆F的离心率为　　　　.?
3.(2018江苏联考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点,右焦点分别为A,F,右准线为m.
(1)若直线m上不存在点Q,使△AFQ为等腰三角形,求椭圆离心率的取值范围;
(2)在(1)的条件下,当e取最大值时, A点坐标为(-2,0),设B,M,N是椭圆上的三点,且=OM+,求以线段MN的中点为圆心,过A,F两点的圆的方程.
高频考点二十一　等差、等比数列的基本量运算
1.(2018南京、盐城高三第二次模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S15=30,a7=1,则S9的值为　　　　.?
2.(2018江苏扬州中学模拟)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,公差为d,若-=100,则d的值为　　　　.?
3.(2018江苏南通阶段检测)若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+…+ln a20的值为　　　　.?
4.(2018江苏扬州高三第一次模拟)已知各项都是正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若4a4,a3,6a5成等差数列,且a3=3,则S3=　　　　.?
高频考点二十二　等差、等比数列的综合运用
1.设等比数列{an}的公比为q(02.(2018江苏徐州期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2an-1,n∈N*,数列{bn}满足nbn+1-(n+1)bn=n(n+1),n∈N*,且b1=1.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)若cn=an·,数列{cn}的前n项和为Tn,对任意的n∈N*,都有Tn≤nSn-a,求实数a的取值范围;
(3)是否存在正整数m,n,使b1,am,bn(n>1)成等差数列?若存在,求出所有满足条件的m,n;若不存在,请说明理由.
高频考点二十三　实际应用题
1.(2018江苏海安高级中学阶段检测(三))一块圆柱形木料的底面半径为12 cm,高为32 cm,要将这块木料加工成一只毛笔筒,在木料一端正中间掏去一个小圆柱,使小圆柱与原木料同轴,并且掏取的圆柱体积是原木料体积的三分之一,设小圆柱底面半径为r cm,高为h cm,要求笔筒底面的厚度超过2 cm.
(1)求r与h的关系,并指出r的取值范围;
(2)笔筒成形后进行后续加工,要求笔筒上底圆环面、桶内侧面、外表侧面都喷上油漆,其中上底圆环面、外表侧面喷漆费用均为a(元/cm2),桶内侧面喷漆费用为2a(元/cm2),而桶内底面铺贴金属薄片,其费用是7a(元/cm2)(其中a为正常数).
①将笔筒的后续加工费用y(元)表示为r(cm)的函数;
②求出当r取何值时,笔筒的后续加工费用y最小,并求出y的最小值.
2.已知美国苹果公司生产某款iPhone手机的年固定成本为40万美元,每生产1万台还需另投入16万美元.设苹果公司一年内共生产该款iPhone手机x万台并全部销售完,每万台的销售收入为R(x)万美元,且R(x)=
(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式;
(2)当年产量为多少万台时,苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.
3.如图,某广场中间有一块边长为2百米的菱形绿化区ABCD,其中图形BMN是半径为1百米的扇形,∠ABC=.管理部门欲在该地从M到D修建小路:在上选一点P(异于M、N两点),过点P修建与BC平行的小路PQ.问:点P选择在何处,才能使得修建的小路与PQ及QD的总长度最小?并说明理由.
高频考点二十四　矩阵及其变换(理科专用)
1.(2018苏州学业阳光指标调研)选修4-2:矩阵与变换
已知M=,β=,求M4β.
2.(2018江苏南京模拟)已知矩阵A=,B=,求矩阵A-1B.
高频考点二十五　坐标系与参数方程(理科专用)
1.(2018南京、盐城高三第二次模拟)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(a>0,θ为参数),点P是圆C上的任意一点,若点P到直线l距离的最大值为3,求a的值.
2.(2018苏州学业阳光指标调研)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=,若直线l与曲线C相交于A,B两点,求△AOB的面积.
高频考点二十六　不等式选讲(理科专用)
1.(2017南京、盐城、连云港高三第二次模拟)设a≠b,求证:a4+6a2b2+b4>4ab(a2+b2).
2.(2018江苏高考预测卷四)
已知函数f(x)=
(1)求函数f(x)的值域;
(2)若关于x的方程f(x)-a=0(a<0)有两个不相等的实数根,求a+的最大值.

高频考点二十七　求空间角(理科专用)
1.(2018江苏南京调研)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD∥BC,AP=AB=AD=1.
(1)若直线PB与CD所成角的大小为,求BC的长;
(2)求二面角B-PD-A的余弦值.
2.(2017南京、盐城、连云港高三第二次模拟)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面四边形ABCD为菱形,A1A=AB=2,∠ABC=,E,F分别是BC,A1C的中点.
(1)求异面直线EF,AD所成角的余弦值;
(2)点M在线段A1D上,=λ,若CM∥平面AEF,求实数λ的值.
高频考点二十八　随机变量及其分布(理科专用)
1.(2018江苏南通海安高级中学高三阶段检测)在1,2,3,…,9这9个自然数中,任取3个不同的数.
(1)求这3个数中至少有1个数是偶数的概率;
(2)求这3个数的和为18的概率;
(3)设ξ为这3个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为1,2,3,则有两组相邻的数1,2和2,3,此时ξ的值是2).求随机变量ξ的分布列及其数学期望E(ξ).
2.(2018南京、盐城高三第二次模拟)甲、乙两人站在P点处分别向A,B,C三个目标进行射击,每人向三个目标各射击一次,每人每次射击每个目标均相互独立,且两人各自击中A,B,C的概率分别都为,,.
(1)设X表示甲击中目标的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;
(2)求甲、乙两人共击中目标数为2的概率.
高频考点二十九　数学归纳法(理科专用)
1.(2018常州教育学会学业水平检测)记(x+1)··…·(n≥2且n∈N*)的展开式中含x项的系数为Sn,含x2项的系数为Tn.
(1)求Sn;
(2)若=an2+bn+c对n=2,3,4成立,求实数a,b,c的值;
(3)对(2)中的实数a,b,c,用数学归纳法证明:对任意n≥2且n∈N*,=an2+bn+c都成立.
2.(2018苏州学业阳光指标调研)在正整数集上定义函数y=f(n),满足f(n)[f(n+1)+1]=2[2-f(n+1)],且f(1)=2.
(1)求证:f(3)-f(2)=;
(2)是否存在实数a,b,使f(n)=+1对任意正整数n恒成立?并证明你的结论.
高频考点三十　抛物线(理科专用)
1.已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l过点M(4,0).
(1)若点F到直线l的距离为,求直线l的斜率;
(2)设A,B为抛物线上两点,且AB不与x轴垂直,若线段AB的垂直平分线恰过点M,求证:线段AB中点的横坐标为定值.
2.(2018江苏海安高级中学阶段检测(三))如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-4=0,抛物线C:y2=2px(p>0).
(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;
(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证:线段PQ的中点坐标为(4-p,-p);
②求p的取值范围.
答案精解精析
高频考点一　集合运算
1.答案　{3,5}
解析　由交集定义可得A∩B={3,5}.
2.答案　{-3,-2,2}
解析　集合A={2,-3},B={2,-2},则A∪B={-3,-2,2}.
3.答案　{1,3}
解析　由补集定义可得?UA={1,3}.
4.答案　2
解析　因为2m>0,则由并集定义可得2m=4,m=2.
高频考点二　复数
1.答案　-1
解析　复数z==1-i的虚部是-1.
2.答案　3
解析　复数a+bi==i(1-3i)=3+i,则a=3,b=1,ab=3.
3.答案　5
解析　复数z=(1-2i)2=-3-4i,则|z|=5.
4.答案　三
解析　复数z===--i对应的点位于第三象限.
高频考点三　统计
1.答案　8
解析　男运动员应抽取×14=8人.
2.答案　31
解析　将100件产品分成5组,每组20件,则抽取的样本编号是以20为公差的等差数列,第5组抽取的产品编号为91,则第2组抽取的产品编号为91-20×3=31.
3.答案　
解析　由茎叶图可得这组数据的平均数是=20,则方差s2==.
4.答案　100
解析　由频率分布直方图可得一等品的频率是0.062 5×5=0.312 5,二等品的频率是(0.05+0.037 5)×5=0.437 5,则三等品的频率是1-(0.312 5+0.437 5)=0.25,又样本容量是400,所以样本中三等品的件数为0.25×400=100.
高频考点四　概率
1.答案　
解析　A,B,C三人分别在连续三天中值班,每人值班一天,有(ABC)、(ACB)、(BAC)、(BCA)、(CAB)、(CBA),共6种,其中A与B在相邻两天值班的结果有4种,故所求概率为=.
2.答案　
解析　设AC=x cm,x∈(0,12),则由题意得x(12-x)>32,解得43.答案　0.3
解析　因为摸出的球不是红球的概率是0.8,所以摸出的球是红球的概率是0.2,又摸出的球不是黄球的概率是0.5,则摸出的球是黄球的概率是0.5,所以摸出的球是蓝球的概率为1-0.2-0.5=0.3.
4.答案　
解析　本题考查几何概型.油恰好落入孔中的概率为=.
高频考点五　算法
1.答案　24
解析　该流程图运行2次,第1次,S=6,a=4,条件a>2满足,继续运行,第2次,S=24,a=2,条件a>2不满足,结束运行,故输出的S=24.
2.答案　45
解析　该伪代码运行9次,则S=1+2+3+……+9==45.
3.答案　[0,1]
解析　由流程图可得S=结合函数图象得S∈[0,1].
4.答案　8
解析　该算法运行3次,第1次,I=4,S=4;第2次,I=6,S=24;第3次,I=8,S=192,运行结束,故输出的I=8.
高频考点六　空间几何体的体积与表面积
1.答案　π
解析　设圆锥底面圆半径为r,则2π=2πr,r=1,则圆锥的高h==,则该圆锥的体积V=πr2h=π.
2.答案　
解析　=---S△PCQ=2×2-×2×1-×2×1-×1×1=,
当△B1PQ作为三棱锥的底面时,三棱锥的高是边长为2的等边三角形A1B1C1的边B1C1上的高,h=,四面体A1-B1PQ的体积为V=××=.
3.答案　50π
解析　如图,ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴A1A⊥AC,又三棱柱的所有顶点都在同一球面上,∴A1C是球的直径,∴R=.∵AB⊥BC,∴AC==5,∴A1C2=52+52=50,故该球的表面积为S=4πR2=4π=πA1C2=50π.
高频考点七　空间平行与垂直
1.答案　(1)(2)
解析　(1)因为两个平面平行,所以两个平面没有公共点,即其中一个平面的直线与另一个平面也没有公共点.由直线与平面平行的判定定理可得直线与该平面平行,所以(1)正确.(2)因为该直线与其中一个平面垂直,那么该直线必与其中两条相交直线垂直,又两个平面平行,故另一个平面也必定存在两条相交直线与该直线垂直,所以该直线与另一个平面也垂直.故(2)正确.(3)错,反例:该直线可以在另一个平面内.(4)错,反例:其中一个平面内也存在直线与另一个平面平行.综上,(1)(2)为真命题.
2.答案　②④
解析　如图,∵β∩γ=l,∴l?γ,由α⊥γ,α∩γ=m,且l⊥m,得l⊥α,故②正确;由β∩γ=l,得l?β,由l⊥α,得α⊥β,故④正确;而①③条件不充分,不能判断.
3.证明　(1)因为D,E分别为AB,AC的中点,所以DE∥BC.
又DE?平面PDE,BC?平面PDE,
所以BC∥平面PDE.
(2)过点P作PO⊥CD,垂足为O.
因为平面PCD⊥平面ABC,PO?平面PCD,平面PCD∩平面ABC=CD,
所以PO⊥平面ABC.
又因为AB?平面ABC,所以AB⊥PO.
因为PA=PB,D为AB的中点,所以AB⊥PD.
又∠PDC为锐角,一定有PO∩PD=P,PO,PD?平面PCD,所以AB⊥平面PCD.
又PC?平面PCD,所以AB⊥PC.
高频考点八　基本初等函数的图象与性质
1.答案　(-1,2)
解析　函数f(x)是偶函数,且在[0,+∞)内单调递增,则f(2x-1)2.答案　-
解析　∵函数f(x)是以4为周期的奇函数,log220∈(4,5),
∴4-log220∈[-1,0),
∴f(log220)=f(log220-4)=-f(4-log220),
∵当x∈[-1,0)时, f(x)=2x,∴f(log220)=-=-=-.
3.答案　(1,2]
解析　当x≤2时, f(x)=-x+8≥6,所以当x>2时, f(x)=logax+5≥6恒成立,所以a>1,loga2≥1=logaa,故14.答案　(0,1)∪(3,+∞)
解析　由图象只有1个交点得m2x2-(2m+1)x+1-m=0在(0,1)上只有一个解,当m=0时,显然不成立,当m≠0时,令f(x)=m2x2-(2m+1)x+1-m,作出函数f(x)的图象(图略),由图象可得或解得03.
高频考点九　函数与方程
1.答案　(-4,-2)
解析　令f(x)=7x2-(m+13)x-m-2,则解得-42.答案　0
解析　f(x)在R上单调递增,且f(0)=-1<0, f(1)=1>0,所以f(x)在(0,1)上有唯一零点,故k=0.
3.答案　2
解析　在同一直角坐标系中作出函数y=,y=|ln x|的图象(图略),可知两函数图象有2个交点,故原方程有两解.
4.答案　(-2,0)
解析　函数g(x)=f(x)-m(m∈R)有三个不同的零点x1,x2,x3,且x1高频考点十　导数及其应用
1.答案　[-2,+∞)
解析　由题意得, f '(x)=+2ax,f(x)在区间内存在单调递增区间,则f '(x)≥0在有解,故a≥,又g(x)=-在上是单调递增函数,所以g(x)>g=-2,所以实数a的取值范围是a≥-2.
2.答案　y=x+6
解析　f '(x)=[x2+(2-a)x+1]ex(a∈N),
设g(x)=x2+(2-a)x+1,
因为函数f(x)在区间(1,3)只有1个极值点,
所以函数f'(x)在区间(1,3)只有1个零点,则有g(1)·g(3)<0,解得4所以f(0)=6, f '(0)=1,则所求切线方程为y=x+6.
3.解析　(1)当a=0时, f(x)=xex, f '(x)=ex(x+1),令f '(x)=0,得x=-1.
列表如下:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,+∞)
f '(x)
-
0
+
f(x)
单调递减
极小值
单调递增
所以函数f(x)的极小值为f(-1)=-,无极大值.
(2)①当a≤0时,由于对于任意x∈,有sin xcos x≥0,
所以函数f(x)≥0恒成立,当a≤0时,符合题意;
②当0所以函数f(x)在上为增函数,所以f(x)≥f(0)=0,即当0③当a>1时, f '(0)=1-a<0, f'=>0,
所以存在α∈,使得f '(α)=0,且在(0,α)内, f '(x)<0,
所以f(x)在(0,α)上为减函数,所以f(x)即当a>1时,不符合题意.
综上所述,a的取值范围是(-∞,1].
(3)不存在实数a,使得函数f(x)在区间上有两个零点.
理由:由(2)知,当a≤1时, f(x)在上是增函数,且f(0)=0,故函数f(x)在区间上无零点.
当a>1时, f '(x)=ex(x+1)-acos 2x,
令g(x)=ex(x+1)-acos 2x,g'(x)=ex(x+2)+2asin 2x,
当x∈时,恒有g'(x)>0,所以g(x)在上是增函数.
由g(0)=1-a<0,g=+a>0,
故g(x)在上存在唯一的零点x0,即方程f '(x)=0在上存在唯一解x0,
且当x∈(0,x0)时, f '(x)<0,当x∈时, f '(x)>0,
即函数f(x)在(0,x0)上单调递减,在上单调递增,
当x∈(0,x0)时, f(x)当x∈时, f(x0)0,
所以f(x)在上有唯一零点,
所以,当a>1时, f(x)在上有一个零点.
综上所述,不存在实数a,使得函数f(x)在区间上有两个零点.
4.解析　 (1)解法一:函数f(x)的定义域为{x|x>0}.
f '(x)=1+ln x,g'(x)=ax+1.
①当m=e时, f '(e)=2,g'(e)=ae+1.
因为l1⊥l2,所以f '(e)·g'(e)=-1,即2(ae+1)=-1.
解得a=-.
②因为l1∥l2,则f '(m)=g'(m)在(0,+∞)上有解,即ln m-am=0在(0,+∞)上有解.
设F(x)=ln x-ax,x>0,则F'(x)=-a=.
当a≤0时,F'(x)>0恒成立,则函数F(x)在(0,+∞)上为增函数.
(i)当a<0时,取x=ea,F(ea)=a-aea=a(1-ea)<0.
取x=e,F(e)=1-ae>0,所以F(x)在(0,+∞)上存在零点.
(ii)当a=0时,F(x)=ln x存在零点x=1,满足题意.
(iii)当a>0时,令F'(x)=0,则x=,则F(x)在上为增函数,在上为减函数.
所以F(x)的最大值为F=ln -1≥0,解得0取x=1,F(1)=-a<0.
因为当a∈时,方程F(x)=0在(0,+∞)上有解.
所以 a的最大值是.
解法二:函数f(x)的定义域为{x|x>0}.
f '(x)=1+ln x,g'(x)=ax+1.
则f '(m)=1+ln m,g'(m)=am+1.
因为l1∥l2,则f '(m)=g'(m)在(0,+∞)上有解,即ln m=am在(0,+∞)上有解.
因为m>0,所以a=.
令F(x)=(x>0),则F'(x)=,令F'(x)=0,解得x=e.
当x∈(0,e)时,F'(x)>0,F(x)为增函数;
当x∈(e,+∞)时,F'(x)<0,F(x)为减函数.
所以F(x)max=F(e)=.
所以,a的最大值是.
(2)h(x)=xln x-x2-x+a(x>0),
h'(x)=ln x-ax.
因为x1,x2是h(x)在其定义域内的两个不同的极值点,
所以x1,x2是方程ln x-ax=0的两个不等实根,
故ln x1=ax1,ln x2=ax2.
两式作差得a=.
由λln x2-λ>1-ln x1,得1+λ因为λ>0,0所以1+λ?>?ln<.
令t=,则t∈(0,1).
由题意得,ln t<在t∈(0,1)上恒成立.
令φ(t)=ln t-,t∈(0,1),
则φ'(t)=-=.
①当λ2≥1,即λ≥1时,?t∈(0,1),φ'(t)>0,所以φ(t)在(0,1)上单调递增,
又φ(1)=0,则φ(t)<0在(0,1)上恒成立.
②当λ2<1,即0<λ<1时,
若t∈(0,λ2),则φ'(t)>0,φ(t)在(0,λ2)上为增函数;
若t∈(λ2,1),则φ'(t)<0,φ(t)在(λ2,1)上为减函数.
又φ(1)=0,所以φ(t)不恒小于0,不符合题意.
综上,λ∈[1,+∞).
高频考点十一　解不等式
1.答案　-3
解析　易知A=(-1,3),B=(-3,2),
∴A∩B=(-1,2),则-1+2=-a,-2=b,
∴a=-1,b=-2,∴a+b=-3.
2.答案　(-3,2)
解析　函数f(x)在R上单调递增,则不等式f(6-x2)>f(x)等价于6-x2>x,解得-33.答案　{x|x≤}
解析　不等式f(f(x))≤3?或解得f(x)≥-3,即或解得0≤x≤或x<0,所以不等式f(f(x))≤3的解集为{x|x≤}.
高频考点十二　线性规划
1.答案　-9
解析　约束条件对应的平面区域如图中阴影部分,当目标函数y=x-z在点(0,3)处时,z取得最大值-9.
2.答案　5
解析　图中△ABC为满足条件的可行域,由z=3x+y得y=-3x+z,当直线y=-3x+z过点C时,z有最小值5,此时解得代入2x-y=c,得c=5.
3.答案　
解析　可行域如图中阴影部分.
x2+y2的几何意义是可行域内的点与坐标原点的连线的距离的平方,
由图形可知最小值为OB的平方,最大值为OA的平方,
≤x2+y2≤()2,
可得≤x2+y2≤25.
故答案为.
高频考点十三　基本不等式
1.答案　9
解析　由题意可得a+4b=ab,ab>0,则+=1,所以a+b=(a+b)=5++≥5+2=9,当且仅当=,a=2b=6时取等号,故a+b的最小值是9.
2.答案　
解析　因为a,b是正实数,且+=1,则a+b=ab≥2,ab≥4.又由+=1得+=1,c==1+∈.
3.答案　(-∞,2]
解析　函数f(x)=|x-a|+(a∈R),∵x∈(0,+∞),
∴当x>a时,f(x)=x+-a≥2-a≥4,当且仅当x=3时取等号,即6-a≥4,可得a≤2.
当x∵y=-x在(0,+∞)上是递减函数,对f(x)≥4不成立.
∴a无解.
综上,a的取值范围是(-∞,2].
高频考点十四　三角函数的图象与性质
1.答案　
解析　∵ωm+φ=kπ(k∈Z),-3ωm+φ=-π+kπ(k∈Z),
∴4φ=-π+4kπ(k∈Z),∵0<φ<π,∴k=1,φ=.
2.答案　
解析　平移后的函数的解析式为y=cos=cos(2x-π+φ)=-cos(2x+φ)=sin(0<φ<π),此时图象与函数y=sin的图象重合,故φ+=-+2kπ,k∈Z,即φ=-+2kπ,k∈Z,∵0<φ<π,∴φ=.
3.答案　
解析　由两个三角函数图象的对称中心完全相同,可知两个函数的周期相同,故ω=2,所以f(x)=3sin.
当x∈时,-≤2x-≤,
所以-≤sin≤1,故f(x)∈.
高频考点十五　三角变换求值
1.答案　1
解析　由题设可知sin θ=-2cos θ,代入得
==1.
2.答案　
解析　因为α∈,所以cos α+sin α>0,
则由cos=(cos α+sin α)=2(cos α+sin α)·(cos α-sin α)可得cos α-sin α=,两边平方可得1-sin 2α=,解得sin 2α=.
3.答案　-
解析　因为=,且sin(α+β)=,=,
所以sin(α-β)=sin(α+β)×=-.
4.解析　(1)由α∈,tan α=-2,得sin α=,cos α=-,
sin=sin cos α+cos sin α=.
(2)sin 2α=2sin αcos α=-,cos 2α=cos2α-sin2α=-,
cos=coscos 2α+sinsin 2α=.
高频考点十六　解三角形
1.答案　2
解析　由∠B=2∠A得sin B=sin(2A)=2sin Acos A,由正弦定理和余弦定理可得b=2a·.又a=3,c=5,代入解得b=2.
2.答案　4
解析　因为acos B-bcos A=c,所以sin Acos B-sin Bcos A=sin C=sin(A+B),化简得sin Acos B=4sin Bcos A,所以==4.
3.解析　(1)由正弦定理及asin A-csin C=(a-b)sin B可得a2+b2=c2+ab,
又由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,得cos C=,所以C=.
(2)由正弦定理及c+bcos A=a(4cos A+cos B)可得sin C+sin Bcos A=4sin Acos A+sin Acos B,从而有sin Bcos A=2sin Acos A,
当A=时,b=2,S△ABC=2;
当A≠时,b=2a,a=2,b=4,S△ABC=absin C=2.
综上,△ABC的面积是2.
4.解析　(1)在△ABC中,因为a=1,b=2,B-A=,
由正弦定理得,=,
于是2sin A=sin Acos +cos Asin ,即3sin A=cos A,
又sin2A+cos2A=1,所以sin A=.
(2)由(1)知,cos A=,
则sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=1-2sin2A=,
在△ABC中,因为A+B+C=π,B-A=,所以C=-2A.
则sin C=sin=sin cos 2A-cos sin 2A=×+×=.
由正弦定理得,c== .
高频考点十七　平面向量
1.答案　
解析　因为=+=+=+(+)=2++=2--,所以=-,所以λ+μ=.
2.答案　
解析　由题意可得4+5=-6(1),设△ABC外接圆的半径为R,则由(1)知C为锐角,两边平方得16R2+25R2+40R2cos∠AOB=36R2,则cos∠AOB=-,即cos 2C=-,则2cos2C-1=-,cos C>0,则cos C=.
3.答案　-
解析　由题意可得·2PM+·PN=×22,PM+PN=,且∠MPN=120°,则·=PM·PNcos 120°=-PM·PN≥-×=-,当且仅当PM=PN=时,取等号,故·的最小值是-.
4.解析　(1)a+b=(sin x-1,cos x+1).
因为(a+b)∥c,所以sin x-1=cos x+1,
则sin x-cos x=2,
可得2=2,
故sin=1.
因为x∈[0,π],所以x-∈,
故x-=,解得x=.
(2)因为a·b=,所以-sin x+cos x=,即sin x-cos x=-,
可得2=-,
故sin=-.
因为-=,
所以sin=sin=cos.
由x∈[0,π],可得x-∈,
又sin=-<0,则x-∈,
故可得cos>0.
因为sin2+cos2=1,
所以cos==,
所以sin=.
高频考点十八　直线与圆
1.答案　-3
解析　圆x2+y2-2y+m=0,即x2+(y-1)2=1-m,由直线3x-4y-6=0与圆相切可得d==2=,得m=-3.
2.答案　
解析　由题意可得点Q是AP的中点,O是AB的中点,OQ=1,则BP=2,则点O到直线l:kx-y-3k+1=0的距离≤3,解得k≥-.
3.答案　-4
解析　由题意可得直线l1,l2与圆相交的四点构成正方形,则圆心(1,2)到直线l1,l2的距离=×,a=1±,同理b=1±,a≠b,则ab=(1+)(1-)=-4.
4.解析　(1)圆C:(x+1)2+(y-2)2=5-a,则圆心C(-1,2),r=(a<5).
根据题意得CM=因为CM⊥AB?kCM·kAB=-1,kCM=-1?kAB=1,
所以直线l的方程为x-y+1=0.
(2)与直线l平行且距离为的直线为l1:x-y+3=0过圆心,有两个交点,
l2:x-y-1=0与圆相交?2(3)设P(x,y),PM=PN?x2+(y+5)2=12.
根据题意得两个圆相交,则|-2|<5<+2?-57-20且20-57<3,所以-57-20高频考点十九　圆锥曲线的几何性质
1.答案　
解析　A(-a,0),F(c,0),·=(-a,-b)·(c,-b)=-ac+b2=0,ac=b2=c2-a2,e2-e-1=0,又e>1,得e=.
2.答案　
解析　因为抛物线方程为x2=y,所以其焦点坐标为,则有=1,即a=.
3.答案　
解析　由题意,得圆C1,C2的圆心分别为(-c,0)和(c,0),半径均为c,满足题意得圆与椭圆的临界位置关系如图所示,则知要使圆C1,C2都在椭圆内,则需满足不等式2c≤a,所以离心率0高频考点二十　圆锥曲线的综合问题
1.答案　
解析　由题意,得A(a,0),则直线l的方程为y=-x+a,双曲线的渐近线方程为y=±x.由得x=;由得x=.由题意,得=a·或=a·,整理得b=3a或b=-3a(不符合题意).所以e2====10,故e=.
2.答案　
解析　设椭圆F的方程为+=1(a>b>0),易得解得a=2,C=,
所以椭圆F的离心率e===.
3.解析　(1)设直线m与x轴的交点是Q,依题意知FQ≥FA,
即-c≥a+c,≥a+2c,≥1+2,≥1+2e,2e2+e-1≤0,得0(2)当e=且A(-2,0)时,F(1,0),故a=2,c=1,所以b=,
所以椭圆方程是+=1,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则+=1,+=1.
由=+,
得B.
因为B是椭圆C上一点,所以+=1,
即++2××·=1,则+=0.①
因为圆过A,F两点,所以线段MN的中点的坐标为,
所以=(++2y1y2)=
.②
由①和②得
===×=,所以圆心坐标为,故所求圆方程为+=.
高频考点二十一　等差、等比数列的基本量运算
1.答案　-9
解析　设等差数列{an}的公差为d.因为{an}是等差数列,所以S15==15a8=30,所以a8=2,则d=a8-a7=1,a5=a7-2d=-1,则S9==9a5=-9.
2.答案　
解析　由题意可得=a1+d,则-=d-d=1 000d=100,解得d=.
3.答案　50
解析　因为{an}是各项均为正数的等比数列,所以
a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,a10a11=e5,
则ln a1+ln a2+…+ln a20=ln(a1a2…a20)=ln(a10a11)10=10ln e5=50.
4.答案　
解析　设等比数列{an}的公比为q,q>0,则4a4+6a5=2a3,4a3q+6a3q2=2a3,解得q=(舍负),则a3=a2=3,a2=,a1=,a3=,则S3=++=.
高频考点二十二　等差、等比数列的综合运用
1.答案　
解析　由a1=4a3a4=4q5,得a1q5=,即a6=.又a6+a4=2a5,所以a6+×=,则4q2-8q+3=0,又02.解析　(1)当n=1时,S1=2a1-1=a1,所以a1=1.
当n≥2时,Sn=2an-1,Sn-1=2an-1-1,
两式相减得an=2an-1,所以=2,又a1=1,
从而数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,
所以数列{an}的通项公式为an=2n-1.
由nbn+1-(n+1)bn=n(n+1)两边同除以n(n+1),得-=1,
从而数列是首项为1,公差为1的等差数列,所以=n,
从而数列{bn}的通项公式为bn=n2.
(2)由(1)得cn=an=n·2n-1,
于是Tn=1×1+2×2+3×22+…+(n-1)×2n-2+n×2n-1,
所以2Tn=1×2+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n,
两式相减得-Tn=1+2+22+…+2n-1-n×2n=-n×2n,
所以Tn=(n-1)·2n+1,
由(1)得Sn=2an-1=2n-1,
因为?n∈N*,都有Tn≤nSn-a,即(n-1)·2n+1≤n(2n-1)-a恒成立,
所以a≤2n-n-1恒成立,记dn=2n-n-1,所以a≤(dn)min,
因为dn+1-dn=[2n+1-(n+1)-1]-(2n-n-1)=2n-1>0,从而数列{dn}为递增数列,
所以当n=1时,dn取最小值d1=0,于是a≤0.
(3)不存在.
理由:假设存在正整数m,n,使b1,am,bn(n>1)成等差数列,则b1+bn=2am,
即1+n2=2m,
若n为偶数,则1+n2为奇数,而2m为偶数,上式不成立.
若n为奇数,设n=2k-1(k∈N*),则1+n2=1+(2k-1)2=4k2-4k+2=2m,
于是2k2-2k+1=2m-1,即2(k2-k)+1=2m-1,
当m=1时,k=1,此时n=2k-1=1与n>1矛盾;
当m≥2时,上式左边为奇数,右边为偶数,显然不成立.
综上所述,满足条件的m,n不存在.
高频考点二十三　实际应用题
1.解析　(1)据题意,πr2h=(π×122×32),所以h=,
因为32-h>2,所以h<30,即<30,解得r>,
又0(2)①据题意,笔筒的后续加工费用y=7aπr2+2a(2πrh)+a(π·122-π·r2+2π×12×32),
整理得y=6aπr2+4aπrh+12aπ×76
=6aπr2+4aπr·+12aπ×76
=6aπ,定义域为.
②由①知,y'=6aπ=12aπ·,令y'=0,得r=8∈,
r
8
(8,12)
y'
-
0
+
y
↙
极小值
↗
由表知,当r=8时,y取极小值即最小值2 064aπ.
答:当r=8 cm时,笔筒的后续加工费用y最小,最小值为2 064aπ元.
2.解析　(1)由利润等于收入减去成本,可得
当0当x>40时,W=xR(x)-(16x+40)=--16x+7 360,
∴W=
(2)当0∴x=32时,W取最大值,Wmax=6 104;
当x>40时,W=--16x+7 360≤-2+7 360,
当且仅当=16x,即x=50时,W取最大值,Wmax=5 760,
∵6 104>5 760,
∴当x=32时,W取最大值,为6 104.
则当年产量为32万台时,利润最大,为6 104万美元.
3.解析　连接BP,过P作PP1⊥BC,垂足为P1,过Q作QQ1⊥BC,垂足为Q1.
设∠PBP1=θ,则l=-θ,
若0<θ<,则在Rt△PBP1中,PP1=sin θ,BP1=cos θ,
若θ=,则PP1=1,BP1=0,
若<θ<,则PP1=sin θ,
BP1=cos(π-θ)=-cos θ,
∴PQ=2-cos θ-sin θ,
在Rt△QCQ1中,QQ1=PP1=sin θ,CQ1=sin θ,
则CQ=sin θ,故DQ=2-sin θ,
设、PQ、QD的总长度为f(θ)百米,则
f(θ)=-θ+4-cos θ-sin θ,
f '(θ)=sin θ-cos θ-1=2sin-1,
令f '(θ)=0,得θ=,
当0<θ<时, f '(θ)<0, f(θ)单调递减;
当<θ< 时, f '(θ)>0, f(θ)单调递增.
所以当θ=时, f(θ)取最小值,
即当BP⊥BC时,、PQ、QD的总长度最小.
高频考点二十四　矩阵及其变换(理科专用)
1.解析　矩阵M的特征多项式为f(λ)==λ2-2λ-3.
令f(λ)=0,解得λ1=3,λ2=-1,
所以属于特征值λ1=3的一个特征向量为α1=,属于特征值λ2=-1的一个特征向量为α2=.
令β=mα1+nα2,即=m+n,所以
解得m=4,n=-3.
所以M4β=M4(4α1-3α2)=4(M4α1)-3(M4α2)
=4(α1)-3(α2)=4×34-3×(-1)4=.
2.解析　设矩阵A的逆矩阵A-1=,
则AA-1=,
即=,故a=,b=0,c=0,d=1,从而矩阵A的逆矩阵A-1=.
所以A-1B=
=.
高频考点二十五　坐标系与参数方程(理科专用)
1.解析　因为直线l的参数方程为(t为参数),
所以直线l的普通方程为y=x+2.
又因为圆C的参数方程为(a>0,θ为参数),
所以圆C的普通方程为x2+y2=a2.
所以圆C的圆心到直线l的距离为=1,
所以1+a=3,解得a=2.
2.解析　由曲线C的极坐标方程是ρ=,得ρ2sin2θ=2ρcos θ,即y2=2x,
所以曲线C的直角坐标方程是y2=2x.
由直线l的参数方程为(t为参数),得x-y-4=0,
所以直线l的普通方程为x-y-4=0.
将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得t2-8t+7=0,
设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,
所以t1+t2=8,t1t2=7,
所以AB=|t1-t2|==×=6,
因为原点到直线x-y-4=0的距离d==2,
所以△AOB的面积为·AB·d=×6×2=12.
高频考点二十六　不等式选讲(理科专用)
1.证明　a4+6a2b2+b4-4ab(a2+b2)=(a2+b2)2-4ab(a2+b2)+4a2b2=(a2+b2-2ab)2=(a-b)4.
因为a≠b,所以(a-b)4>0,
所以a4+6a2b2+b4>4ab(a2+b2).
2.解析　(1)当-2≤x<-1时, f(x)=-x-1,则f(x)∈(0,1];
当-1≤x≤2时, f(x)=x+1,则f(x)∈[0,3];
当x<-2或x>2时, f(x)∈(-∞,1),
综上, f(x)的值域为(-∞,3].
(2)因为a<0,
所以-a>0,所以-a+≥2,当且仅当a=-1时,等号成立.
所以a+的最大值为-2.
高频考点二十七　求空间角(理科专用)
1.解析　以A为坐标原点,AB,AD,AP为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.
则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1).
(1)设C(1,y,0),
则=(1,0,-1),=(-1,1-y,0).
因为直线PB与CD所成角的大小为,
所以|cos<,>|==,
即=,解得y=2或y=0(舍),
所以C(1,2,0),所以=(0,2,0),所以BC的长为2.
(2)设平面BPD的法向量为n1=(x,y,z).
因为=(-1,0,-1),=(0,1,-1),
则即
令x=1,则y=1,z=1,所以n1=(1,1,1).
因为平面PDA的一个法向量为n2=(1,0,0),
所以cos==,
所以二面角B-PD-A的余弦值为.
2.解析　(1)因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱,所以A1A⊥平面ABCD.
又AE?平面ABCD,AD?平面ABCD,所以A1A⊥AE,A1A⊥AD.
在菱形ABCD中,∠ABC=,连接AC,则△ABC是等边三角形.
因为E是BC的中点,所以BC⊥AE.
因为BC∥AD,所以AE⊥AD.
以A为坐标原点,AE,AD,AA1为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图.
则A(0,0,0),C(,1,0),D(0,2,0),A1(0,0,2),E(,0,0),F.
(1)=(0,2,0),=,所以·=1.
从而cos<,>==.
故异面直线EF,AD所成角的余弦值为.
(2)设M(x,y,z),由于点M在线段A1D上,
则=λ,即(x,y,z-2)=λ(0,2,-2),
则M(0,2λ,2-2λ),所以=(-,2λ-1,2-2λ).
设平面AEF的法向量为n=(x0,y0,z0).
因为=(,0,0),=,
所以n·=0,n·=0,得x0=0,x0+y0+z0=0.
令y0=2,则z0=-1,
所以平面AEF的一个法向量为n=(0,2,-1).
由于CM∥平面AEF,则n·=0,
即2(2λ-1)-(2-2λ)=0,解得λ=.
高频考点二十八　随机变量及其分布(理科专用)
1.解析　(1)记“这3个数中至少有一个数是偶数”为事件A,
则P(A)==.
(2)记“这3个数的和为18”为事件B,
考虑三个数由大到小排列后的中间数只有可能为5,6,7,8,分别为459,567,468,369,279,378,189七种情况,所以P(B)==.
(3)随机变量ξ的可能取值为0,1,2.
P(ξ=0)=,
P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
所以ξ的数学期望E(ξ)=0×+1×+2×=.
2.解析　(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)=××=,
P(X=1)=××+××+××=,
P(X=2)=××+××+××=,
P(X=3)=××=.
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.
(2)设Y表示乙击中目标的个数,
由(1)易知,P(Y=0)=,P(Y=1)=,P(Y=2)=,
则P(X=0,Y=2)=×=,
P(X=1,Y=1)=×=,
P(X=2,Y=0)=×=.
所以P(X+Y=2)=P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=0)=++=.
所以甲、乙两人共击中目标数为2的概率为.
高频考点二十九　数学归纳法(理科专用)
1.解析　(1)Sn==.
(2)=,=,=,
则　　解得a=,
b=-,c=-.
(3)证明:①当n=2时,由(2)知等式成立;
②假设n=k(k∈N*,且k≥2)时,等式成立,
即=k2-k-,
当n=k+1时,
由(x+1)··…··
=·
=,
知Tk+1=Sk+Tk
=,
所以=
==,
又(k+1)2-(k+1)-=,等式也成立,
综上可得,对任意n≥2且n∈N*,都有=an2+bn+c成立.
2.解析　(1)证明:f(n)[f(n+1)+1]=2[2-f(n+1)],
整理得f(n+1)=,
将f(1)=2,代入得f(2)==, f(3)==,
所以f(3)-f(2)=-=.
(2)存在.
证明:由f(1)=2, f(2)=,可得a=-,b=.
下面用数学归纳法证明:存在实数a=-,b=,
使f(n)=+1成立.
①当n=1时,显然成立.
②当n=k时,假设存在a=-,b=,使f(k)=+1成立,
那么,当n=k+1时,
f(k+1)=
=
==1+=+1,
即当n=k+1时,存在a=-,b=,使f(k+1)=+1成立.
由①②可知,存在实数a=-,b=,使f(n)=+1对任意正整数n恒成立.
高频考点三十　抛物线(理科专用)
1.解析　(1)易知直线l不与x轴垂直,设直线l的方程为y=k(x-4),
因为抛物线的焦点坐标F(1,0),
点F到直线l的距离为,所以=,
解得k=±,所以直线l的斜率为±.
(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点坐标为N(x0,y0),
则直线MN的斜率为,则直线AB的斜率为,
故直线AB的方程为y-y0=(x-x0),
联立
消去x,得y2-y0y++x0(x0-4)=0,
所以y1+y2=,
因为N为AB的中点,所以=y0,即=y0,
所以x0=2,即线段AB的中点的横坐标为定值2.
2.解析　(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点坐标为,
由点在直线l:x-y-4=0上,得-0-4=0,即p=8,
所以抛物线C的方程为y2=16x.
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0).
因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平分线段PQ,
于是PQ的方程可设为y=-x+b.
①证明:由得y2+2py-2pb=0(*),
因为P和Q是抛物线C上相异两点,所以y1≠y2,
从而Δ=(2p)2-4×(-2pb)>0,化简得p+2b>0,方程(*)的两根为-p±,从而y0==-p.
因为M(x0,y0)在直线l上,所以x0=4-p,
所以M(4-p,-p),
所以线段PQ的中点坐标为(4-p,-p).
②因为M(4-p,-p)在直线y=-x+b上,所以-p=-(4-p)+b,即b=4-2p.
由①知p+2b>0,于是p+2(4-2p)>0,解得p<,
又p>0,
所以0即p的取值范围为.