2019高考数学（江苏） 考前冲刺技巧四　二级结论巧用

必备四　二级结论巧用
结论一　函数的奇偶性
　　1.奇函数与偶函数的定义域关于原点对称.
2.函数f(x)为奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0.
3.如果f(x)为偶函数,那么f(x)=f(|x|).
4.奇函数在对称的区间内有相同的单调性,偶函数在对称的区间内有不同的单调性.
跟踪集训
1.定义在R上的奇函数f(x)满足:当x≥0时, f(x)=log2(x+2)+(a-1)x+b(a,b为常数),若f(2)=-1,则f(-6)的值为　　　.?
2.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)3.设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(2)=0,则不等式<0的解集为　　　　　　　　.?
结论二　函数的单调性、极值与最值
　　1.函数的单调性
(1)?x1,x2∈D,x1≠x2,>0(<0)?y=f(x),x∈D单调递增(递减).
(2)复合函数的单调性:“同增异减”;单调区间是定义域的子集.
(3)f(x)在(a,b)上是增函数?f '(x)≥0在区间(a,b)上恒成立;f(x)在(a,b)上是减函数?f '(x)≤0在区间(a,b)上恒成立.
注意:①等号不能少;②逆命题不成立;③单调区间不能用“∪”连接.
(4)f(x)在(a,b)上存在单调递增区间?f '(x)>0,x∈D有解.
(5)存在x1,x2∈D,x1≠x2, f(x1)=f(x2)?y=f(x),x∈D不单调.
2.函数的单调性与极值:(1)函数f(x)有三个单调区间?f(x)有两个极值点?f '(x)=0有两个不等根;
(2)函数f(x)在[a,b]上不单调?f(x)在(a,b)上有极值点,可求出f(x)的极值点x0∈(a,b).
3.函数的最值:函数f(x)在D上的最大值为M?函数f(x)在D上的最小值为m?
跟踪集训
4.设f(x)=4x3+mx2+(m-3)x+n(m,n∈R)是R上的单调增函数,则m的值为　　　　.?
5.已知函数f(x)=|x2-4|+a|x-2|,x∈[-3,3]的最大值是0,则实数a的取值范围是　　　　.?
6.已知函数f(x)=x3-x2+mx+2,若对任意x1,x2∈R,均满足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则实数m的取值范围是　　　　.?
7.已知函数f(x)=若存在x1,x2∈R,且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是　　　　.?
结论三　抽象函数的周期性与单调性
　　1.函数的周期性
(1)若函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a),则f(x)为周期函数,2a是它的一个周期.
(2)设f(x)是R上的偶函数,且图象关于直线x=a(a≠0)对称,则f(x)是周期函数,2a是它的一个周期.
(3)设f(x)是R上的奇函数,且图象关于直线x=a(a≠0)对称,则f(x)是周期函数,4a是它的一个周期.
(4)f(x+a)f(x)=k(a>0)、 f(x+a)+f(x)=k(a>0)(k为常数)都表明函数f(x)是周期为2a的周期函数.
2.函数图象的对称性
(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x),则f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(a-x),即f(x)=-f(2a-x),则f(x)的图象关于点(a,0)对称.
(3)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=对称.
(4)若f(x+a)+f(b-x)=c,则函数y=f(x)的图象关于点对称.
跟踪集训
8.奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=　　　　.?
9.若偶函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(3)=3,则f(-1)=　　　　.?
10.函数f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称, f(1)=4,则f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)的值为　　　　.?
结论四　函数零点
　　1.一元二次方程实根分布理论:一元二次方程的两个实根分布在同一区间上的条件:开口方向、对称轴、判别式、区间端点的函数值的符号;两个实根分布在两个不同区间上的条件:开口方向、区间端点的函数值的符号.
2.函数有零点(方程有解)问题,利用分离参数法将参数的取值范围转化为函数值域求解.
3.确定函数的零点个数或者已知函数的零点个数,求参数的值或范围,一般利用数形结合法求解,画图形时尽量是动直线与定曲线的图形.
跟踪集训
11.已知函数f(x)=若函数y=f(x)-m有两个不同的零点,则实数m的取值范围是　　　　.?
12.已知函数f(x)=3x-32x-m在[-1,1]上有零点,则实数m的取值范围是　　　　.?
13.已知函数f(x)=(a为常数,e为自然对数的底数)的图象在点A(0,1)处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点,则实数a的取值范围是　　　　.?
结论五　三角函数
　　1.sin=
2.cos=
3.asin α+bcos α=sin(α+φ)辅助角φ所在象限由点(a,b)所在象限决定,tan φ=.
4.求三角函数在给定范围上的单调区间:一般是求出所有的单调区间,再与给定区间取交集.
5.正弦函数、余弦函数最值的等价说法: f(a)≤f(x),?x成立等价于f(a)是f(x)的最小值,x=a是函数的一条对称轴.
跟踪集训
14.已知角α的始边为x轴正半轴,终边上一点P的坐标为(-4,3),则的值为　　　　.?
15.设α,β∈[0,π],且满足sin αcos β-cos αsin β=1,则sin(2α-β)+sin(α-2β)的取值范围为　　　　.?
16.设f(x)=sin2x-cos xcos,则f(x)在上的单调增区间为　　　　.?
结论六　解三角形
　　1.sin A=sin(B+C),cos A=-cos(B+C);
2.A>B?sin A>sin B,cos A3.tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C;
4.对锐角三角形的理解和应用:三个角都是锐角的三角形;任意两个角的和是钝角的三角形;在锐角三角形中,任意一个角的正弦值大于其余两个角的余弦值,任意两边的平方和大于第三边的平方,即sin A>cos B,sin A>cos C,
跟踪集训
17.在斜△ABC中,若tan A∶tan B∶tan C=1∶2∶3,则cos A=　　　　.?
18.锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsin A.
(1)求B的大小;
(2)求cos A+sin C的取值范围.
结论七　不等式
　　1.≤≤≤(a,b>0).
2.(1)xy≤;(2)xy≤;(3)当x>0时,x+≥2;
(4)当x,y同号时,+≥2;当x,y异号时,+≤-2.
3.不等式恒成立、有解问题:二次不等式在R上恒成立,利用判别式;若给定区间,则分离参数是常用方法.通过分离参数,不等式恒成立问题可以转化为a0,x∈D恒成立,即为f(x)min>0,x∈D.
跟踪集训
19.若在区间[1,3]内,存在实数满足不等式2x2+mx-1<0,则实数m的取值范围是　　　　.?
20.不等式a2+8b2≥λb(a+b)对任意a,b∈R恒成立,则实数λ的取值范围为　　　　.?
21.已知实数x,y满足x2+y2=1,则的最小值为　　　　.?
22.若a>0,b>0,且2a+b=1,则S=2-(4a2+b2)的最大值是　　　　.?
结论八　平面向量
　　1.三点共线的判定
A,B,C三点共线?,共线;向量,,中,A,B,C三点共线?存在实数α,β使得=α+β,且α+β=1.
2.三角形“四心”的向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则
(1)O为△ABC的外心?||=||=||===.
(2)O为△ABC的重心?++=0.
(3)O为△ABC的垂心?·=·=·.
(4)O为△ABC的内心?a+b+c=0.
3.向量中线定理:△ABC中,点D为BC的中点,则+=2.
4.||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|,注意等号成立的条件.
5.若a,b都是非零向量,则a∥b?a=λb?x1y2=x2y1?夹角等于0°或180°?|a·b|=|a||b|.
6.若a,b都是非零向量,则a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0?夹角等于90°?|a+b|=|a-b|.
7.数量积的其他结论:当a与b同向共线时,a·b=|a|·|b|;当a与b反向共线时,a·b=-|a|·|b|;当a与b共线时,|a·b|=|a|·|b|;当a与b为任意向量时,|a·b|=|a|·|b|·|cos θ|≤|a|·|b|(θ为a与b的夹角);a与b的夹角为锐角的充要条件是
a与b的夹角为钝角的充要条件是
跟踪集训
23.已知A,B,C是直线l上不同的三个点,点O不在直线l上,则使等式x2+x+=0成立的实数x的取值集合为　　　.?
24.P是△ABC所在平面内一点,若·=·=·,则P是△ABC的　　　　.(填“外心”“重心”“内心”“垂心”中的一种)?
25.已知A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足=[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)],λ∈R,则点P的轨迹一定经过△ABC的　　　　.(填“外心”“重心”“内心”“垂心”中的一种)?
结论九　等差数列
　　1.在等差数列{an}中,ap=q,aq=p(p≠q)?ap+q=0;Sm+n=Sm+Sn+mnd.
2.若Sm,S2m,S3m分别为{an}的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列.
3.若等差数列{an}的项数为2m,公差为d,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md,=.
4.若等差数列{an}的项数为2m-1,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m-1=(2m-1)am,S奇=mam,S偶=(m-1)am,S奇-S偶=am,=.
跟踪集训
26.等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=20,S20=50,则S30=　　　　.?
27.一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27,则该数列的公差为　　　　.?
结论十　等比数列
　　1.等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sm,S2m-Sm,S3m-S2m均不为0,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等比数列.
2.Sm+n=Sm+qmSn=Sn+qnSm.
3.在有限等比数列{an}中,公比为q,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶.若n为偶数,则S偶=qS奇;若n为奇数,则S奇=a1+qS偶.
4.如果数列{an}是等差数列,那么数列{}(总有意义)必是等比数列.如果数列{an}是等比数列,那么数列{loga|an|}(a>0,且a≠1)必是等差数列.
跟踪集训
28.在等比数列{an}中,若S10=10,S20=30,则S30=　　　　.?
29.数列{an}中,=4an,a1=1,an>0,则an=　　　　.?
30.等比数列{an}共有奇数项,所有奇数项和S奇=255,所有偶数项和S偶=-126,末项是192,则首项a1=　　　　.?
结论十一　直线与圆
　　1.阿波罗尼斯圆:若点A、B是定点,M是动点,且MA=kMB,k>0,k≠1,则动点M的轨迹是圆(阿波罗尼斯圆).
2.定点A到动直线l的距离等于定长的直线l是以A为圆心,定长为半径的圆的切线.
3.以AB为直径的圆经过点C,则AC⊥BC,可以利用斜率或向量求解.
4.对角互补的四边形有外接圆.
5.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径两端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
6.过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点(x0,y0)的切线方程为(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2,过圆外一点可以作圆的两条切线.
7.过圆内一定点的弦长最长的有1条,是过该点的直径,最短的弦有1条,是垂直于过该点直径的弦.
跟踪集训
31.若A(1,1),B(3,4),且点A和B到直线l的距离都等于1,则这样的直线l有　　　　条.?
32.已知圆M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线l:x+y-6=0,A为直线l上一点.若圆M上存在两点B,C,使得∠BAC=60°,则点A横坐标的取值范围是　　　　.?
33.在平面直角坐标系xOy中,已知圆O1,圆O2均与x轴相切且圆心O1,O2与原点O共线,O1,O2两点的横坐标之积为6,设圆O1与圆O2相交于P,Q两点,直线l:2x-y-8=0,则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为　　　　.?
结论十二　圆锥曲线
　　1.椭圆中的常用结论:(1)焦点弦长公式:左焦点弦AB=2a+e(x1+x2);右焦点弦AB=2a-e(x1+x2);(2)通径长为;(3)焦点三角形的面积S=b2tan ;(4)若A、B是椭圆C:+=1(a>b>0)上关于坐标原点对称的两点,P为椭圆C上任意一点,则kPAkPB=-.
2.双曲线中焦点三角形的面积S=.
3.若点M(x0,y0)在曲线±=1上,则过M的切线方程为±=1.
4.过抛物线y2=2px(p>0)焦点的弦AB有如下结论:
(1)xA·xB=;(2)yA·yB=-p2;(3)|AB|=(α是直线AB的倾斜角).
跟踪集训
34.设P是有公共焦点F1,F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点,且PF1⊥PF2,椭圆C1的离心率为e1,双曲线C2的离心率为e2,若e2=3e1,则e1=　　　　.?
35.已知椭圆+=1(a>b>0),M,N是椭圆上关于原点对称的两点,P是椭圆上任意一点,且直线PM,PN的斜率分别为k1,k2(k1k2≠0),若椭圆的离心率为,则|k1|+|k2|的最小值为　　　　.?
36.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为　　　　.?
答案精解精析
结论一　函数的奇偶性
跟踪集训
1.答案　4
解析　由已知得f(0)=0=1+b,
∴b=-1,又f(2)=2+2(a-1)-1=-1,
∴a=0,∴f(x)=log2(x+2)-x-1(x≥0),
∴f(-6)=-f(6)=-3+6+1=4.
2.答案　
解析　由f(x)是偶函数知f(x)=f(-x)=f(|x|),则f(2x-1)3.答案　(-2,0)∪(0,2)
解析　由已知得,函数f(x)在(-∞,0)上也为增函数.画出函数的草图(如图),可得在(-2,0)和(2,+∞)上f(x)>0,在(-∞,-2)和(0,2)上f(x)<0.当x>0时,由<0,可得f(x)-f(-x)=2f(x)<0,结合图象可知,x∈(0,2);当x<0时,由 <0,可得f(x)-f(-x)=2f(x)>0,结合图象可知x∈(-2,0).综上,x∈(-2,0)∪(0,2).
结论二　函数的单调性、
极值与最值
跟踪集训
4.答案　6
解析　由f(x)=4x3+mx2+(m-3)x+n(m,n∈R)是R上的单调增函数,得f '(x)=12x2+2mx+m-3≥0在R上恒成立,则4m2-48(m-3)≤0,即(m-6)2≤0,故m=6.
5.答案　(-∞,-5]
解析　易知f(2)=0,则要使f(x),x∈[-3,3]的最大值是0,只需f(x)≤0,x∈[-3,3]恒成立,则-a|x-2|≥|x2-4|,x∈[-3,3],-a≥|x+2|max=5,x∈[-3,2)∪(2,3],所以a≤-5,实数a的取值范围是(-∞,-5].
6.答案　
解析　由对任意x1,x2∈R,均满足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,得函数f(x)=x3-x2+mx+2在R上递增,则f '(x)=3x2-2x+m≥0在R上恒成立,则m≥(-3x2+2x)max=,当x=时取等号,故实数m的取值范围是.
7.答案　(-∞,4)
解析　由?x1≠x2,x1,x2∈R, f(x1)=f(x2),得f(x)在R上不单调.若f(x)在R上单调,只能单调递增,此时解得a≥4,故函数不单调时实数a的取值范围是a<4.
结论三　抽象函数的
周期性与单调性
跟踪集训
8.答案　1
解析　因为f(x)为R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),f(0)=0.因为f(x+2)为偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2),所以f(x+4)=f(-x)=-f(x),所以f(x+8)=f(x),即函数f(x)的周期为8,故f(8)+f(9)=f(0)+f(1)=1.
9.答案　3
解析　因为f(x)的图象关于直线x=2对称,
所以f(x)=f(4-x), f(-x)=f(4+x),
又f(-x)=f(x),所以f(x)=f(4+x),
则f(-1)=f(4-1)=f(3)=3.
10.答案　4
解析　因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以f(x)是R上的奇函数.因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4.所以f(2 017)=f(504×4+1)=f(1)=4,又因为f(2 016)+f(2 018)=-f(2 014)+f(2 014+4)=-f(2 014)+f (2 014)=0,所以f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)=4.
结论四　函数零点
跟踪集训
11.答案　(1,+∞)
解析　画出函数y=f(x),y=m的图象如图,由图象可得当m>1时,函数y=f(x)-m有两个不同的零点.
12.答案　
解析　令3x=t,t∈,则函数f(x)=3x-32x-m在[-1,1]上有零点?m=-t2+t,t∈,则m∈.
13.答案　[-5,-2-2)
解析　曲线f(x)在点(0,1)处的切线方程为y=x+1,该切线与f(x)的图象恰有三个公共点,则该切线与f(x)=(1-x)(a+x),x≥2有两个不同交点,即关于x的方程x+1=(1-x)(a+x),x∈[2,+∞)有两个不等根,整理得x2+ax+1-a=0,x∈[2,+∞)有两个不等根,所以
解得-5≤a<-2-2.
结论五　三角函数
跟踪集训
14.答案　-
解析　由已知得,tan α=-,
则
=
===tan α=-.
15.答案　[-1,1]
解析　由sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)=1,α,β∈[0,π],得α-β=,所以α=β+,β=α-,所以sin(2α-β)+sin(α-2β)=sin+sin=cos α+cos β=cos β+cos=cos β-sin β=cos,由α,β∈[0,π],α=β+得β∈,则β+∈,
则cos∈,
所以cos∈[-1,1].
16.答案　
解析　f(x)=+cos xsin x=sin 2x-cos 2x+=sin+,由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z得
kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,与取交集得所求递增区间是.
结论六　解三角形
跟踪集训
17.答案　
解析　设tan A=k,k>0,则tan B=2k,tan C=3k,由
tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C得6k=6k3,k=1,则tan A=1,则
A=,cos A=.
18.解析　(1)由a=2bsin A得sin A=2sin Bsin A,因为sin A≠0,所以sin B=,又B是锐角,则B=.
(2)cos A+sin C=cos A+sin(A+B)=cos A+sin=sin A+cos A=sin,又由△ABC为锐角三角形得则则A+∈,
sin∈,
即cos A+sin C的取值范围是.
结论七　不等式
跟踪集训
19.答案　m<-1
解析　由题意知,不等式m<-2x(x∈[1,3]),易知函数y=-2x,x∈[1,3]单调递减,则ymax=-1,∴m<-1,即实数的取值范围是m<-1.
20.答案　[-8,4]
解析　由题意知a2-λab+(8-λ)b2≥0?a∈R恒成立,则
Δ=λ2b2-4(8-λ)b2≤0,即λ2+4λ-32≤0,解之得-8≤λ≤4.即实数λ的取值范围是[-8,4].
21.答案　--1
解析　因为2xy=(x+y)2-(x2+y2)=(x+y)2-1=(x+y+1)·(x+y-1),又≤=,所以=x+y-1≥--1=--1,当且仅当x=y时取等号.故的最小值为--1.
22.答案　
解析　由≥≥,得≤,且4a2+b2≥,所以S=2-(4a2+b2)=·-(4a2+b2)≤-,当且仅当2a=b=时取等号,即S的最大值为.
结论八　平面向量
跟踪集训
23.答案　{-1}
解析　∵=-,
∴x2+x+-=0,
即=-x2+(1-x),
∵点A、B、C都在直线l上,点O不在l上,
∴-x2+(1-x)=1,
即x=0(舍去)或x=-1,
∴x的取值集合为{-1}.
24.答案　重心
解析　由·=·,可得·(-)=0,即·=0,∴⊥,同理可证⊥,⊥,∴P是△ABC的垂心.
25.答案　重心
解析　取AB的中点D,
则2=+,
∵=[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)],
∴=[2(1-λ)+(1+2λ)]=+,
∵+=1,
∴P,C,D三点共线,
∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心.
结论九　等差数列
跟踪集训
26.答案　90
解析　(S20-S10)-S10=(S30-S20)-(S20-S10),则S30=3S20-3S10=3×50-3×20=90.
27.答案　5
解析　设该等差数列的前12项中奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶,公差为d.
由已知条件,得
解得
又S偶-S奇=6d,
所以d==5.
结论十　等比数列
跟踪集训
28.答案　70
解析　 解法一:∵S10=a1+a2+…+a10,
S20-S10=a11+a12+…+a20=a1q10+a2q10+…+a10q10=q10S10,
S30-S20=a21+a22+…+a30=a1q20+a2q20+…+a10q20=q20S10,
∴S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,公比为q10.
∴(S20-S10)2=S10(S30-S20),
∵S10=10,S20=30,
∴(30-10)2=10(S30-30),∴S30=70.
解法二:∵S10=10,S20=30,
∴S20=S10+a11+a12+…+a20
=S10+a1q10+a2q10+…+a10q10
=S10+q10S10=10(1+q10)=30,
∴q10=2,
∴S30=S20+a21+a22+…+a30
=S10+q10S10+q20S10
=10(1+q10+q20)
=70.
29.答案　
解析　对于=4an,等号两边取以2为底的对数得,2log2an+1=log2an+2.
令bn=log2an,则2bn+1=bn+2,即2(bn+1-2)=bn-2.
令Cn=bn-2,则Cn+1=Cn,
∵a1=1,∴b1=0,C1=-2,
∴{Cn}是首项为-2,公比为的等比数列,
∴Cn=-2=-,
∴bn=2-,an=.
30.答案　3
解析　等比数列{an}共有2k+1(k∈N*)项,则a2k+1=192,则S奇=a1+a3+…+a2k-1+a2k+1=(a2+a4+…+a2k)+a2k+1=S偶+a2k+1=-+192=255,解得q=-2,而S奇===255,解得a1=3.
结论十一　直线与圆
跟踪集训
31.答案　4
解析　由题意可得直线l与圆A:(x-1)2+(y-1)2=1和圆B:(x-3)2+(y-4)2=1都相切,又AB=>2,则圆A和圆B相外离,所以两圆有4条公切线,即直线l有4条.
32.答案　[1,5]
解析　由题意可得过点A作圆M的两条切线,则两切线之间的夹角大于等于60°,连接CM,则CM与一条切线的夹角大于等于30°,又圆M的半径为2,
设A(x,6-x),
则MA=≤4,
解得1≤x≤5.
33.答案　-
解析　设圆O1:(x-a1)+(y-b1)2=,圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=.两式相减得2(a2-a1)x+2(b2-b1)y+-=0(1),由O1,O2,O共线可得==k,则b1=ka1,b2=ka2,代入(1)化简得2x+2ky-(a1+a2)=0(2).两圆方程相加得2x2+2y2-2(a1+a2)x-2(b1+b2)y++=0(3),又因为a1a2=6,所以(3)可变为2x2+2y2-2(a1+a2)x-2(b1+b2)y+(a1+a2)2-12=0(4),(2)代入(4)可得x2+y2=6,即为点P的轨迹方程.圆心(0,0)到直线l:2x-y-8=0的距离为,所以点P到直线的距离的最小值为-=-.
结论十二　圆锥曲线
跟踪集训
34.答案　
解析　设椭圆的长,短半轴分别为a1,b1,双曲线的实,虚半轴分别为a2,b2,因为点P是椭圆与双曲线的一个交点,则由焦点三角形的面积得tan 45°=,=,又由e2=3e1得=,a2=a1,-c2=c2-,-c2=c2-,=2c2,则e1==.
35.答案　1
解析　设P(x0,y0),M(x1,y1),N(-x1,-y1),则k1k2=·==-=-=-1+=-,所以|k1|+|k2|≥2=1,当且仅当|k1|=|k2|=时取等号,所以|k1|+|k2|的最小值为1.
36.答案　
解析　由已知得焦点坐标为F,
因此直线AB的方程为y=,即4x-4y-3=0.
解法一:与抛物线方程联立,消去x得4y2-12y-9=0,
则yA+yB=3,yAyB=-,
故|yA-yB|==6.
因此S△OAB=|OF||yA-yB|=××6=.
解法二:与抛物线方程联立,消去y得x2-x+=0,故xA+xB=.根据抛物线的定义有|AB|=xA+xB+p=+=12,
又原点到直线AB的距离d==,
因此S△OAB=|AB|·d=.
解法三:∵|AB|===12,
原点到直线AB的距离d=|OF|·sin 30°=,
∴S△OAB=|AB|·d=×12×=.